PHÂN ỨNG DỤNG CHUYÊN ĐỀ: Chủ đề 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

Giả sử SS x là một hàm Sử dụng công thức 5, ta tìm được công thức một số vật thể quen thuộc trong hình học như: 1 Thể tích khối chóp cụt: Cho khối chóp cụt có chiều cao h, diện tích đ

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG

Chủ đề 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

Ứng dụng 1: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

I LÝ THUYẾT

Bài toán 1: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) liên tục trên đoạn a;b , trục

hoành và hai đường thẳng x = 1, x = b được tính theo công thức  

Sf x dx b b  

Sf (x)dxf x dx

Lưu ý:

Bằng cách xem x là hàm số của biến y, tức x g y  , diện tích S

của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x g y  liên tục trên

đoạn a;b , trục tung và hai đường thẳng y = a, y = b được tính

theo công thức  

b

a

Sg y dy (2)

Bài toán 2: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị của hàm số f(x), g(x) liên tục trên a;b và

hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức    

Bằng cách xem x là hàm của biến y, diện tích S của hình phẳng

giới hạn bởi các đồ thị hàm số x f y ,x g y      liên tục trên

đoạn a;b và hai đường thẳng y = a, y = b được tính theo công

thức:    

b

a

Sf y  g y dy (4)

Bài toán 3: Hình phảng giới hạn bởi nhiều hơn hai đường cong

Diện tích S của hình phẳng giới hạn các đồ thị được chia thành nhiều phần diện tích, mà mỗi phần ta có thểtích theo công thức (1), (2), (3) và (4)

Minh họa các dạng thường gặp:

Phương pháp 2: Phác thảo dạng đồ thị và đưa ra kết quả

III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA

Câu 1: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm

số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b

như hình vẽ bên Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 2: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm

số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b

như hình bên Khẳng định nào sau đây đúng?

Gọi S1 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi y = f(x), Ox và hai đường thẳng x = a, x = b

Câu 4: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ

thị hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b như

hình bên Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 5: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm

số y f x   x4 2x2và trục hoành như hình bên Khẳng

định nào sau đây sai?

Câu 6: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm

số x g y  , trục tung và hai đường thẳng y = a, y = b như hình vẽ

bên Khẳng định nào sau đây đúng?

Sg y dx

Lời giải: (Chọn C)

Dựa vào nội dung ý nghĩa của tích phân ta có kết quả  

b a

Sg y dy

Câu 7: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị

hàm số x f y  , x g y   và hai đường thẳng y = a, y = b như

hình vẽ bên Khẳng định nào sau đây đúng?

Gọi S1 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi x = f(y), x = g(y) và hai đường thẳng y = a, y = c

03

03

24

Câu 21: (Đề thử nghiệm 2017) Ông An có một mảnh vườn elip có độ dài trục

lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m Ông muốn trồng hoa trên

dải dất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình

vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa là 100.00 đồng/1m2 Hỏi ông An cần

bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến

Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường (E1); (E2); x4;x 4 và diện tích của dải vườn là

IV BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN

Câu 1: Cho hai hàm số f = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn a;b có đồ thị lần lượt tại    C ; C Diện tích1 2

S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị   C ; C và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) bằng:1 2

Câu 2: Cho hai hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn a;b ,c a;b Gọi S là diện tích của hình

phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b Công thứcnào sau đây sai?

dưới được tính bởi công thức là:

A 3m + 6 (đ.v.d.t) B - 3m – 6 (đ.v.d.t) C 3m – 6 (đ.v.d.t) D – 3m + 6(đ.v.d.t)

Câu 6: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 2, trục Oy, trục Ox và đường thẳng x = - 3 có diện tích

là:

A S = 1 (đ.v.d.t) B S = 16 (đ.v.d t) C S = 9 (đ.v.d.t) D 4 (đ.v.d.t)

Câu 7: Cho Parabol (P): y x 2và tiếp tuyến của (P) tại điểm A(1;1) có

phương trình y 2x 1  Diện tích của phần bôi dậm như hình vẽ là:

Câu 8: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn a;b Diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số

f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) bằng:

f x dx

b 2 a

là:

A S = 1(đ.v.d.t) B S = 16 (đ.v.d.t) C S = 4 (đ.v.d.t) D S 4  (đ.v.d.t)

Câu 10: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 2 x    và trục Ox Khối tròn xoay tạo thành

khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thể tích là:

y x  6x, y x (hìnhbên) bằng:

Câu 12: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn a;b ,f x    0, x a;b Gọi S là diện tích của hình thang

cong giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) Khẳng địnhnào sau đây sai?

A S 4 (đ.v.d.t) B S 2 (đ.v.d.t) C S = 4 (đ.v.d.t) D S (đ.v.d.t)

Câu 15: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn a;b Diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số

f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) bằng:

A  

b a

b a

b 2

a

Sf x dx D  

b a

x 2 dx

1 2

0

x 2 dx

Câu 22: Hình phẳng giới hạn bởi đồ hai thị hàm số 2

y 2x x , y x   khi quay quanh trục Ox tạo thành khốitròn xoay có thể tích là:

A

1 2 0

x dx

1

2 2

Câu 25: Giả sử hình phẳng tạo bởi các đường cong y = f(x), y = g(x), x = a, x = b có diện tích là S1 Còn

hình phẳng tạo bởi các đường cong y = 2f(x), y = 2g(x), x = a, x = b có diện tích S2 Trong cáckhẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Câu 31: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2

A 7

16

6 (dvdt) D 5 (dvdt)Câu 35: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi (C): y x 2và d: x + y = 2 bằng:

Câu 38: Xét hai biểu thức:

(1) cho y1 = f1(x) và y2 = f2(x) là hai hàm số liên tục trên đoạn a;b Giả sử:    , với a b lànghiệm của phương trình f1(x) – f2(x) = 0 Khi đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi 2 đườngthẳng và đồ thị được cho bởi công thức:

A (1) đúng nhưng (2) sai B (2) đúng nhưng (1) sai

C Cả (1) và (2) đều đúng D Cả (1) và (2) đều sai

Câu 39: Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số 3

yx 3x 2 và đồ thị hàm số yx 2

Câu 40: Viết công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 21, trục hoành, trục tung

và đường thẳng x = 2

A

2 2 0

Sx 1 dx B  

2 2 01

2 2 11



1 2 11





Câu 41: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x 21,yx3bằng:

Câu 43: Dựa vào ý nghĩa hình học của tích phân, hãy tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:

Câu 44: Kí hiệu S là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm

số liên tục y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b như

trong hình vẽ bên? Khẳng định nào sai?

Câu 45: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 3, trục Oy, trục Ox và đường thẳng x = 2 có diện tích S

Khẳng định nào sau đây đúng:

và hai đường thẳng x = a, x = b như trong hình vẽ Khẳng định nào đúng?

Câu 47: Diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục và hai đường

thẳng x = a, x = b được tính theo công thức:

152

Câu 50: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y e x, trục Oy, trục Ox và đường thẳng x = 1 có diện tích

Câu 53: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (hình bên) bằng:

Ứng dụng 2: TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ

I LÝ THUYẾT

Bài toán 1: Tính thể tích vật thể

Cho một vật thể trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Gọi B là

phần của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục

Ox tại các điểm a và b Gọi S(x) là diện tích thiết diện của vật

thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có

hoành độ a x b  (hình bên) Giả sử SS x là một hàm

Sử dụng công thức (5), ta tìm được công thức một số vật thể quen thuộc trong hình học như:

1) Thể tích khối chóp cụt: Cho khối chóp cụt có chiều cao h, diện tích đáy nhỏ và đáy lớn theo thứ tự là

3) Thể tích khối lăng trụ: Khối lăng trụ có chiều cao h và diện tích đáy S có thể tích là: V = hS

Bài toán 2: Tính thể tích khối tròn xoay

Một hình phẳng quay quanh một trục nào đó tạo nên một khối tròn xoay

Dạng 1: (Hình phẳng quay quanh Ox) Cho hình phẳng được giới hạn

bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn a b;  , trục Ox và 2

đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể

tích là:

2 

b x a

Dạng 2: (Hình phẳng quay quanh Oy) Cho hình phẳng được giới hạn

bởi đồ thị hàm số x = g(y) liên tục trên đoạn a b;  , trục Oy và hai

đường thẳng y = a, y = b quay quanh trục Oy ta được khối tròn xoay

có thể tích là: 2 

b y a

Dạng 3: Thể tích khối tròn xoay có được khi quay nhiều đồ thị hàm số quanh một trục

Ta tiến hành chia phần thể tích V thành các phần thể tích thành phần V V1, , 2 mà mỗi phần được tính bằng các công thức (6), (7)

Minh họa các dạng thường gặp:

II BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA

Câu 1: Thể tích khối tròn xoay do phần hình phẳng S trong hình vẽ dưới quanh trục Ox được tính bằng

Câu 2: Cho hình phẳng giới hạn (H) như hình vẽ bên Thể tích khối

tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox là:

Câu 3: Cho hình phẳng giới hạn (H) như hình vẽ bên Thể tích khối

tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (H) qaunh trục Oy là:

Câu 4: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 2 xvà trục Ox Khối tròn xoay tạo thành

khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thể tích là:

21

Do tính đối xứng nên thể tích cần tìm bằng thể tích khối tròn

xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong

Câu 9: Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường y e y x, 0,x0,xln 4 Đường thẳng x = k

0kln 4 chia (H) thành hai hình phẳng là S1 và S2 như hình vẽ bên Quay S S quanh trục Ox1, 2được khối tròn xoay có thể tích lần lượt là V V Với giá trị nào của k thì 1, 2 V12V2

x x dx

1 2 0

Câu 12: Trên mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y3x x 2 và trục hoành Thể tích

khối tròn xoay khi quay (H) quanh tục Ox bằng:

Câu 13: Khối tròn xoay do hình giới hạn bởi các đường yf x y , 0,x a x b a b ,  ,  quanh trục Ox có

thể tích là V1 Khối tròn xoay do hình giới hạn bởi các đường y3f x y , 0,x a x b a b ,  ,  quay quanh trục Ox có thể tích V2 Chọn phương án đúng?

Câu 15: Một bác thợ gốm làm một cái lọ có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới

hạn bởi các đường y x1 và trục Ox quay quanh trục Ox biết đáy lọ và miệng lọ có đường kínhlần lượt là 2dm và 4dm, khi đó thể tích lọ là:

A 8 dm 3 B 15 3

314

315

Vậy 3 2 3

0

151

2

 Chọn đáp án C

Câu 16: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y2x5,y x 22 Tính thể tích khối tròn xoay

tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox Một học sinh trình bày bài giải như sau:

Hỏi lời giải trên đúng hay sai từ bước nào?

A Lời giải đúng B Sai từ bước 1

C Sai từ bước 2 D Sai từ bước 3

Lời giải

3

2 2

Câu 17: Quay hình phẳng (H) như hình được tô đậm trong hình vẽ bên quanh

trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là:

Câu 18: Quay hình phẳng (H) như hình được tô đậm trong hình vẽ bên

quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích:

Câu 19: Quay hình phẳng (H) như hình được tô đậm trong hình vẽ bên quanh

trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là:

A V 32 B V  2

C

2

23

Câu 20: Trên mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường  P y x:  2; P' : y 4 ; x2  d :y4

Thể tích của khối tròn xoay khi quay (H) quanh trục Ox bằng:

x x

y x y Oy

y Oy

III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN

Câu 1: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 1 3, 2

Câu 2: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y x1,x4và trục Ox Khối tròn xoay tạo

thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thể tích là:

6 32

2

2 2

12

 Câu 4: Trên mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường y x 2xvà trục hoành Thể tích

của khối tròn xoay khi quay B quanh trục Ox bằng:

quanh trục Ox có thể tích là V Khẳng định nào sau đây đúng?

5

21

2

2 2

11

 Câu 7: Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y 4,y 0,x 1,x 4

x

quanh Ox là:

A V 6 B V 12 C V 4 D V 8

Câu 8: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị số y x 2 2x1,x0,y0,x2 Khối tròn xoay tạo

thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thể tích là:

Câu 9: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 2 2x1,y0,x0,x2 Khối tròn xoay tạo

thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thể tích là:

quanh trục Ox là:

Câu 12: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn a b;  Thể tích của khối tròn xoay sinh bởi khi quay hình thang

cong giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) quanh trục

đường thẳng x = 1 quay quanh trục Ox là:

1

2 2

Câu 15: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình phẳng B giới hạn bởi đường y x 2xvà trục hoành Thể tích

của khối tròn xoay tạo thành khi quay B xung quanh trục Ox bằng:

khi quay hình phẳng đó quanh trục Ox có thể tích là:

6



Câu 18: Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y e x, trục Ox và hai đường thẳng x = 0, x = 1 Thê tích

khối tròn xoay khi quay hình đó quanh trục hoành được cho bởi công thức:

A

1 2 0

Câu 19: Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường y 2x5, trục hoành,

1

y dy

Câu 20: Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình thang cong giới hạn

bởi đồ thị hàm số y 2 x2, trục Ox và hai đường thẳng x = - 1, x = 0 xung quanh trục Ox:

0

2 2

12

12



0 2

12



  Câu 21: Gọi (H) bằng hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 3x, y = x, x = 1 Quay (H) xung quanh trục Ox

ta được khối tròn xoay có thể tích bằng:

Câu 22: Gọi (H) bằng hình phẳng giới hạn bởi các đường y x1,x4, Ox Quay (H) xung quanh trục

Ox ta được khối tròn xoay có thể tích bằng:

25

6Câu 23: Công thức thể tích V của khối tròn xoay được tạo khi quay hình cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số

Câu 24: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y3 ,x y x x , 0,x1 Tính thể tích vật thể tròn xoay

khi (H) quay quanh Ox:

Câu 25: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = xlnx, y = 0, x = e Tính thể tích của khối tròn xoay

tạo thành khi (H) quay quanh trục Ox:

A

3 227

Câu 27: Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số yf x y g x ,   và hai đường thẳng x =

a, x = b (a < b) Khi đó thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục

Ox ta có thể được tính bởi công thức:

Câu 30: Trên mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường y x 2 xvà trục hoành Thể tích

khối tròn xoay khi quay B quanh trục Ox bằng:

phẳng giới hạn bởi đường thẳng y2x2và đường cong y2 1 x2 xung quanh trục Ox Hãy

 Câu 34: Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 2 4x4,y0,x0,x3 Khi đó thể tích khối tròn

xoay khi quay hình (H) quanh trục Ox là:

335



D 33Câu 35: Hình (S) giới hạn bởi y3x2, Ox, Oy Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình (S) quanh trục

Câu 37: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường 2 1, 0, 1



2 0

sinx+cosxdx



2 0inx+cosx



Câu 42: Trên mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường yx24xvà trục hoành Thể tích

của khối tròn xoay khi quay B quanh trục Ox bằng:

Câu 44: Cho hình phẳng giới hạn (H) như hình vẽ bên Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng

21

21

21

Câu 46: Cho hai hàm số f(x), g(x) liên tục trên đoạn a b;  và thỏa mãn 0 f x g x , x a b;  Thể tích

khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số trên và hai

đường thẳng x = a, x = b (a < b) quanh trục Ox Khi đó thể tích được giới hạn bởi công thức:

Câu 49: (Tạp chí THPT đề 04/2017) Thể tích khối tròn xoay nhận được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường

cong y3x x 2và trục hoành quanh trục hoành bằng:

diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 0 x 1là một tam giác đều có cạnh là 4 lnx 1

A V 4 3 2ln 2 1   B V 4 3 2ln 2 1   C V 8 3 2ln 2 1   D V 162ln 2 1 