Tài liệu Chương 1: Tín hiệu và hệ thống rời rạc docx

• Phân loại:Xét trường hợp tín hiệu là hàm của biến thời gian Tín hiệu tương tự: biên độ hàm, thời gian biến đều liên tục.. Tại sao lại tín hiệu số ?• Để có thể xử lý tự động bằng máy tí

Chương 1

TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG

RỜI RẠC

• Quan hệ vào-ra với hệ TT-BB:

– Tín hiệu vào (tác động), tín hiệu ra (đáp ứng), đáp ứng xung

Những nội dung cần nắm vững:

Chương 2

• Định nghĩa biến đổi z (1 phía, 2 phía)

• Miền hội tụ của biến đổi z

• Các tính chất của biến đổi z

• Phương pháp tính biến đổi z ngược (phân tích thành các phân thức hữu tỉ đơn giản…)

• Cách tra cứu bảng công thức biến đổi z

• Ứng dụng biến đổi z 1 phía để giải PT-SP

• Xét tính nhân quả và ổn định thông qua hàm truyền đạt H(z)

Miền thời gian Mặt phẳng z Miền tần số

Nhân quả:

Ổn định:

(Vị trí của điểm cực của H(z) so với

đường tròn đơn vị)

Phổ X(e jw )=F[x(n)] Phổ Y(e jw )=F[y(n)] Đáp ứng tần số H(e jw )= Y(e jw )/ X(e jw )

=F[h(n)]

Y(e jw )= X(e jw ) H(e jw )

1.1 Khái niệm và phân loại

• Tín hiệu là biểu hiện vật lý của thông tin

• Về mặt toán, tín hiệu là hàm của một hoặc nhiều biến độc lập Các biến độc lập có thể là: thời gian, áp suất,

độ cao, nhiệt độ…

• Biến độc lập thường gặp là thời gian Trong giáo trình sẽ chỉ xét trường hợp này

• Một ví dụ về tín hiệu có biến độc lập là thời gian: tín

hiệu điện tim

• Phân loại:

Xét trường hợp tín hiệu là hàm của biến thời gian

Tín hiệu tương tự: biên độ (hàm), thời gian (biến) đều liên

tục Ví dụ: x(t)

Tín hiệu rời rạc: biên độ liên tục, thời gian rời rạc Ví dụ: x(n)

x(n)

Phân loại tín hiệu

Thời gian liên tục Thời gian rời rạc

Biên độ

liêntục

Biên độ

rời rạc

Xử lý số tín hiệu

Lấy mẫu &

biến đổi tương tự-số

Xử lý tín hiệu số

Biến đổi số tương tự

Tín hiệu tương tự

Tín hiệu

tương tự

Tín hiệu số

Tại sao lại tín hiệu số ?

• Để có thể xử lý tự động (bằng máy tính)

• Giảm được nhiễu

• Cho phép sao lưu nhiều lần mà chất lượng

không thay đổi

• Các bộ xử lý tín hiệu số (DSP)

khi được chế tạo hàng loạt có chất lượng xử lý đồng nhất và chất lượng xử lý không thay đổi theo thời gian

Biến đổi tương tự-số

• Lấy mẫu sau đó

lượng tử hóa

Lấy mẫu (rời rạc hóa thời gian)

Lượng tử hóa

(rời rạc hóa biên độ)

Chu kỳ lấy mẫu Ts

Tần số lấy mẫu Fs = 1/Ts

1.2 Ký hiệu tín hiệu rời rạc

• Dãy giá trị thực hoặc phức với

phần tử thứ n là x(n), -<n<+n<n<++

• n lấy giá trị nguyên

• Quá trình lấy mẫu đều (Ts = hằng số), giả thiết Ts = 1 -> Fs = 1

x(n) = x(nTs)

Một số tín hiệu rời rạc đặc biệt

0 n 0

(n)n))

1

• Tín hiệu hàm mũ

x(n)=an

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 n

• Tín hiệu tuần hoàn

x(n)=x(n+N), N>0: chu kỳ

x(n)

x(n)=sin[(2  /N)(n+n0)]

1.3 Các phép toán với tín hiệu rời rạc

• Phép nhân 2 tín hiệu rời rạc

1.3 Các phép toán với tín hiệu rời rạc

1.3 Các phép toán với tín hiệu rời rạc

Trễ 1 mẫu

D

Một tín hiệu rời rạc bất kỳ x(n) luôn có thể

được biểu diễn

1 2 3 4 0

-1 -2

1

0,5 y(n) =x1(n-1)

n

0 1 2 3

-1 -2 -3

0,5 -0,5

x2(n)

1.4 Phân loại các hệ xử lý tín hiệu rời rạc

1.4 Phân loại các hệ xử lý tín hiệu rời rạc

R1

R22v

3v

1.4 Phân loại các hệ xử lý tín hiệu rời rạc

Nếu hệ bất biến theo thời gian

Tác động (n) cho đáp ứng h(n) Tác động (n-k) cho đáp ứng h(n-k)

Với hệ tuyến tính bất biến (TTBB):

h(n) là đáp ứng xung của hệ

*: Phép tổng chập

1.4 Phân loại các hệ xử lý tín hiệu rời rạc

(n-1)

1.4 Phân loại các hệ xử lý tín hiệu rời rạc

Độ dài tín hiệu: Số lượng mẫu khác 0 của tín hiệu đó

Phân biệt các hệ TTBB dựa trên chiều dài của đáp ứng xung

• FIR : Hệ có đáp ứng xung hữu hạn (Finite Impulse Response)

• IIR : Hệ có đáp ứng xung vô hạn (Infinite Impulse Response)



 

 

2 n

W x(n)

• Năng lượng tín hiệu

1.4 Phân loại các hệ xử lý tín hiệu rời rạc

Tính tổng chập

Ví dụ 1 Tín hiệu vào và đáp ứng xung của hệ TTBB

như hình vẽ Hãy tính tín hiệu ra

1.4 Phân loại các hệ xử lý tín hiệu rời rạc

Tính tổng chập

Ví dụ 1

0,5h(n)n))

0,5 -2 -1 0 1 2 3 4 n)

2h(n)n)-1)

-2 -1 0 1 2 3 4 n)

y(n)n)) 0,5

2,5 2,5

2

2 2

2

y(n)=x(0)h(n-0)+x(1)h(n-1)=0,5h(n)+2h(n-1)

y(n)

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 n

 11

1.5.Tính chất của hệ TTBB

h1(n) x(n)

h2(n)

y(n)

h2(n) x(n)

1.5.Tính chất của hệ TTBB

Tín hiệu ra bằng tín hiệu vào

y(n) = x(n)

tiếp 2 hệ này ta được 1 hệ đồng

nhất

k 0

y(n) x(k)h(n k)y(n) h(k)x(n k)

Chỉ có hệ nhân quả thì mới thực hiện được trên

thực tế

Tín hiệu nhân quả: x(n) = 0 với n <n<+0

1.5.Tính chất của hệ TTBB

• Hệ ổn định

Với tín hiệu vào có giá trị hữu hạn thì tín hiệu

ra cũng có giá trị hữu hạnGiả thiết |x(n)|<n<+B

k k k

y(n) h(k)x(n k)y(n) h(k) x(n k)y(n) B h(k)

Ví dụ đáp ứng xung của hệ ổn định và không ổn định

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 n h(n)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 n

h(n)

Ổn định

Không ổn định

Ví dụ Xét tính nhân quả và ổn định của hệ có đáp

Đây là chuỗi lũy thừa, chuỗi này

 hội tụ nếu |a|<n<+1

 phân kỳ nếu |a|1

Hệ chỉ ổn định nếu |a|<n<+1

Để xét biểu diễn tần số của hệ TTBB, tác động của hệ

1.6 Đáp ứng tần số của hệ TTBB

H(ej) là hàm phức nên có thể được biểu diễn

theo phần thực, phần ảo:

H(ej)= HR(ej) +jHI(ej) hoặc theo biên độ-pha:

|H (ej)|: đáp ứng biên độ

arg[H (ej)]: đáp ứng pha

H(ej)= |H (ej)| ejarg[H(e )]j

Ví dụ Hệ TTBB có đáp ứng xung h(n)=anu(n), |a|<n<+1

1 ae

2 3 4 5 6

|H(e j )|

1.7 Phép biến đổi Fourier của tín hiệu

2

(1)

(2)

(1), (2) là cặp biến đổi Fourier của h(n)

(1) là công thức biến đổi Fourier thuận (phân tích)

• Pulse

• Tone

1 H( )

0 Hãy xác định đáp ứng xung h(n)

2 Theo tần số f:   

x(n) X(f)e df

X(ej) tuần hoàn chu kỳ 2

X(f) tuần hoàn chu kỳ là 1

• Biến đổi Fourier của tín hiệu trễ

 j F

x(n) X(e )

j m m

j

ee

F x(m) x(m)e

x(m)e X(e )

1.9 Phương trình sai phân tuyến tính

1.9 Phương trình sai phân tuyến tính

h(k)

1.9 Phương trình sai phân tuyến tính

Hệ có đáp ứng xung vô hạn (IIR), hay hệ truy hồi

1.10 Đáp ứng tần số của hệ biểu diễn

Bài tập chương 1 (1/3)

1 Giả sử x(n) = 0 với n <n<+ 2 và n > 4 Với mỗi tín hiệu sau

đây, hãy xác định giá trị n để cho tín hiệu đó tương ứng bằng 0

2 Xét hệ S có tín hiệu vào x(n) và tín hiệu ra y(n) Hệ này có

được bằng cách mắc hệ S1 nối tiếp với hệ S2 theo sau Quan hệ vàora đối với 2 hệ S1 và S2 là:

S1 : y1(n) = 2x1(n) + 4x1(n1)

S2 : y2(n) = x2(n2) + (1/2)x2(n3)với x1(n), x2(n) ký hiệu tín hiệu vào

-0,5 -1

Bài tập chương 1(3/3)

4 Cho x(n) = (n) + 2(n1)  (n3) và

h(n) = 2(n+1) + 2(n1)Hãy tính và vẽ kết quả của các tổng chập sau:

Giải bài tập chương 1 (1/8)

Giải bài tập chương 1 (2/8)

-0,5 -1

Giải bài tập chương 1 (3/8)

-0,5 -1

d) x(2n+1) là x(n) lấy tại các thời điểm 2n+1 (chứ khôngphải do x(2n) dịch trái 1 mẫu)

e) x(n)u(3n): u(3-n) = 1 nếu 3-n 0 tức là n 3

u(3-n) = 0 nếu 3-n <n<+0 tức là n > 3Vậy x(n)u(3n) = x(n) nếu n 3

x(n)u(3n) = 0 nếu n > 3

Giải bài tập chương 1 (4/8)

-0,5 -1

f) x(n-1)u(3-n) là tích của 2 tín hiệu x(n-1) và u(3-n)

g) x(n2) (n2) là tích của 2 tín hiệu x(n2) và (n2)

h) (1/2)x(n)+(1/2)(-1)nx(n) = y(n)

Nếu n chẵn hoặc n = 0:(-1)n = 1 nên y(n) = x(n)

Nếu n lẻ :(-1)n = -1 nên y(n) = 0

i) x((n-1)2) là x(n) lấy tại các thời điểm (n-1)2

Giải bài tập chương 1 (5/8)

Giải bài tập chương 1 (6/8)

4.

0 -1 1 2

2x(n+1) = 2(n+1) + 4(n)  2(n2)

Giải bài tập chương 1 (7/8)

Giải bài tập chương 1 (8/8)

Chương 2

PHÉP BIẾN ĐỔI Z

X(z) là hàm phức của biến phức z Định nghĩa như trên

là biến đổi z 2 phía Biến đổi z 1 phía như sau:

• Xét quan hệ giữa biến đổi z và biến đổi Fourier Biểu diễn biến phức z trong toạ độ cực

Trường hợp đặc biệt nếu r = 1 hay |z|=1 biểu thức trên

trở thành biến đổi Fourier

j

Điều kiện tồn tại biến đổi z

• Miền giá trị của z để chuỗi lũy thừa trong định

nghĩa biến đổi z hội tụ gọi là miền hội tụ

• Áp dụng tiêu chuẩn Cô-si để xác định miền hội tụ

Điều kiện tồn tại biến đổi z

Tương tự, X1(z) hội tụ với các giá trị của z thỏa mãn |z|<n<+Rx+

với:

n

1R

x-Ví dụ 1 Cho tín hiệu x(n)=u(n) Hãy xác định

biến đổi z và miền hội tụ.

n

1

n 0

1X(z) 1.z

Ví dụ 2 Cho tín hiệu x(n)=anu(n) Hãy xác

định biến đổi z và miền hội tụ.

x(n)  X(z) X(z)  x(n)

Biến đổi z thuận Biến đổi z ngược

2.2 Phép biến đổi z ngược

2.3 Một số tính chất của biến đổi z

2.3 Một số tính chất của biến đổi z

 Biến đổi z của tín hiệu trễ

Z

Z 0

m n

0

x(n n ) z X(Z)

   

2.3 Một số tính chất của biến đổi z

 Biến đổi z của tín hiệu trễ

z-1

2.3 Một số tính chất của biến đổi z

 Giá trị đầu của dãy

 

Z Z

2.3 Một số tính chất của biến đổi z

 Vi phân của biến đổi z

n 1 n

dX(z)

( n)x(n)zdz



 

 

  Nhân 2 vế với - z

 

n n

2.4 Một số phương pháp tính

biến đổi z ngược

 Khai triển thành các phân thức hữu tỷ đơn giản

1 3z 2z



  với |z|>2 Tìm x(n) ?Mẫu số có 2 nghiệm theo z-1: z-1=1 và z-1=1/2

2.4 Một số phương pháp tính

biến đổi z ngược

 Khai triển thành các phân thức hữu tỷ đơn giản

1 az

Vậy x(n)=2.2nu(n)-u(n)=u(n)[2n+1-1]

2.4 Một số phương pháp tính

biến đổi z ngược

 Khai triển theo phép chia

X(z) có dạng là tỷ số của 2 đa thức theo z Tiến

hành phép chia đa thức để có từng mẫu của x(n)

1 2

zX(z)

2.4 Một số phương pháp tính

biến đổi z ngược

 Khai triển theo phép chia

Một số cặp biến đổi z thông dụng (1/2)

Một số cặp biến đổi z thông dụng (2/2)

2.5 Ứng dụng biến đổi z để giải PT-SP

• Giải PT-SP: Biết PT-SP, biết tín hiệu vào, tính tín hiệu ra

Ví dụ Cho PT-SP y(n) = x(n) + ay(n-1)

Biết: Điều kiện đầu y(-1) = K

Tín hiệu vào x(n) = ejnu(n)Hãy xác định tín hiệu ra

Lấy biến đổi z 1 phía PT-SP:

2.5 Ứng dụng biến đổi z để giải PT-SP

Y(z)=X(z)+az-1Y(z)+ay(-1)

1

X(z) ay( 1)Y(z)

a) H(z) của hệ nhân quả

Hệ nhân quả nên h(n) = 0 với n <n<+ 0 n

Miền hội tụ không chứa điểm cực, vậy:

Mọi điểm cực của hệ TT-BB nhân quả đều nằm trong

h n

R  lim | h(n)|



Nếu (1) thỏa mãn thì H(z) hội tụ ngay cả khi |z|=1

Miền hội tụ của H(z) chứa đường tròn đơn vịthì hệ sẽ ổn định

2.6 Hàm truyền đạt của hệ TT-BB

c) H(z) của hệ nhân quả và ổn định

Toàn bộ điểm cực của hệ nhân quả và ổn định phải nằm bên trong đường tròn đơn vị

d) H(z) của hệ đặc trưng bởi PT-SP-TT-HSH

k 0 N

k k

k 0

b zY(z)

Bài tập chương 2 (1/2)

1 Cho tín hiệu

Hãy tính biến đổi z của tín hiệu này bằng cách dùng:

a) Định nghĩa biến đổi z

b) Tín hiệu u(n) và trễ của u(n)

2

3 Ứng dụng biến đổi z 1 phía để giải PT-SP:

Giải bài tập chương 2 (1/5)

Giải bài tập chương 2 (2/5)

Giải bài tập chương 2 (3/5)

Giải bài tập chương 2 (4/5)

Giải bài tập chương 2 (5/5)

4.

c)

1 1 2

1H(z) z.H (z) H (z)

 

1 2 1

Chương 3

BỘ LỌC SỐ

3.1 Khái niệm

 Trong nhiều ứng dụng khác nhau, ta thường phải thay đổi biên độ của các thành phần tần số khác nhau của tín hiệu

hoặc loại bỏ đi một số thành phần tần số nào đó

Quá trình xử lý như vậy đối với tín hiệu được gọi là lọc

 Có thể dùng bộ lọc tương tự để lọc tín hiệu số được không ?

 Bộ lọc số: là bộ lọc dùng để lọc tín hiệu số

…10010010…

L

R

 Bộ lọc FIR và IIR

N=0: FIR N>0: IIR

Sơ đồ khối

3.2 Bộ lọc FIR

const h0 = 0.5;

h1 = 0.5;

var

xn, xnt1, yn: real;

begin xnt1 := 0;

repeat (* NhËp tÝn hiÖu vµo tõ bµn phÝm *) write(’NhËp tÝn hiÖu vµo xn = ’);

readln(xn);

(* TÝnh tÝn hiÖu ra *) yn:= h0 * xn + h1 * xnt1;

(* TrÔ tÝn hiÖu *)

b0

3.3 Bộ lọc IIR

 Hệ bậc hai a0y(n)+a1y(n-1)=b0x(n)+b1x(n-1)

Giả thiết a0 = 1 y(n)=-a1y(n-1)+b0x(n)+ b1x(n-1)

=-a1y(n-1) + w(n)w(n)=b0x(n)+b1x(n-1)

D

y(n-1)-a1

b0

D

b1

w(n)

3.3 Bộ lọc IIR

k 0 k 1

N k

k 0

w(n) b x(n k)



3.4 Mắc nối tiếp và song song các hệ

H(z) của hệ phức tạp thường được phân tích thành

3.4 Mắc nối tiếp và song song các hệ

Q k

• Nhân quả: h(n) = anu(n) nếu |z| > |a|

• Phản nhân quả:h(n) = -anu(-n-1) nếu |z| <n<+ | a|

• Hệ nhân quả và ổn định nếu |a| <n<+ 1

• Đáp ứng tần số H(ej) = H(z)|z = e j

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -4

-2 0 2 4 6 8

Normalized Angular Frequency ( rads/sample)

5 10 15 20 25 30

Normalized Angular Frequency ( rads/sample)

• 1 điểm không bậc 2 tại z = 0

• 2 điểm cực

a a

a j 4a a p

a a

4

Hệ ổn định và nhân quả nếu a1 và a2

-5 0 5 10

Normalized Angular Frequency ( rads/sample)

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0

Normalized Angular Frequency ( rads/sample)

Ví dụ: Xử lý ảnh.

Ảnh qua bộ lọc thông thấp (làm trung bình)

Ví dụ:

Ảnh qua bộ lọc thông cao (đạo hàm)

Giải bài tập chương 3 (1)

|H()|

b) Đáp ứng biên độ: |H(ej)|=(1/3)|1+2cos|

Giải bài tập chương 3 (2)

2

a) H(z) = 1 + 2z-1 + 4z-3 = Y(z)/X(z)

Y(z) = X(z) + 2z-1X(z)+ 4z-3 X(z)y(n) = x(n) + 2x(n-1) + 4x(n-3)b)

z-1

z-1

2

Chương 4

PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

RỜI RẠC

4.1 Chuỗi Fourier rời rạc của tín hiệu

rời rạc tuần hoàn

(DFS: Discrete Fourier Serie)

Xét tín hiệu xp(n) tuần hoàn với chu kỳ N:

xp(n) = xp(n+kN), k nguyên

Tín hiệu này không biểu diễn được bằng biến đổi z nhưng

có thể biểu diễn bằng chuỗi Fourier thông qua hàm e mũ phức với các tần số là bội của tần số cơ bản 2/N

j(2 / N)nk k

e (n) e 

Đây là tín hiệu tuần hoàn theo k với chu kỳ N

4.1 Chuỗi Fourier rời rạc của tín hiệu

rời rạc tuần hoàn

Chuỗi Fourier biểu diễn tín hiệu rời rạc tuần hoàn:

4.1 Chuỗi Fourier rời rạc của tín hiệu

rời rạc tuần hoàn

Thay đổi thứ tự lấy tổng

4.1 Chuỗi Fourier rời rạc của tín hiệu

rời rạc tuần hoàn

• Quan hệ với biến đổi z

Xét 1 chu kỳ của xp(n):   



p

x (n) 0 n N-1x(n)

p z e

X (k) X(z)

2/N

Re(z) Im(z)

Ví dụ: Hãy tính các hệ số chuỗi Fourier của dãy tín hiệu

tuần hoàn sau

4.2 Biến đổi Fourier rời rạc của tín hiệu

có độ dài hữu hạn

(DFT: Discrete Fourier Transform)

Ta đã xét cách biểu diễn một tín hiệu rời rạc tuần hoàn bằng chuỗi Fourier Bằng cách diễn giải thích hợp ta cũng

có thể dùng cách biểu diễn như vậy cho các tín hiệu có độ dài hữu hạn

Có thể coi tín hiệu có độ dài hữu hạn N là tín hiệu tuần

hoàn có chu kỳ N trong đó một chu kỳ chính là tín hiệu có

0 n cßn l¹i

4.2 Biến đổi Fourier rời rạc của tín hiệu

0 n cßn l¹i Biến đổi thuận (phân tích)

Biến đổi ngược (tổng hợp)

4.3 Biến đổi nhanh Fourier

(FFT: Fast Fourier Transform)

• Tính trực tiếp DFT cần N2 phép nhân số phức và N(N-1) phép cộng số phức

• Thuật giải FFT: phân tích DFT của dãy N số lần lượt

thành DFT của các dãy nhỏ hơn

• Điều kiện áp dụng thuật giải: N = 2m

• Số lượng phép toán giảm xuống còn Nlog2N

4.4 Các hàm cửa sổ

• Lấy ra đoạn tín hiệu có độ dài N để phân tích

• Tương đương nhân tín hiệu với hàm w(n)

w(n) = 1 trong đoạn tín hiệu được lấyw(n) = 0 trong đoạn tín hiệu không được lấy

x’(n) = x(n).w(n)

x(n)

n N

4.4 Các hàm cửa sổ

X’(f) = X(f)*W(f)

• Tín hiệu được phân tích có độ dài hữu hạn đã

gây ra X’(f)  X(f)  có sai số khi tính biến đổi Fourier

• Để giảm sai số có thể tăng N

• Phương pháp hay dùng là chọn W(f) hay chọn w(n)

• Cửa sổ chữ nhật gây sai số lớn nên thường dùng các cửa

sổ khác như Hamming, Hanning, Kaiser, Blackman…

4.4 Các hàm cửa sổ

• Hàm cửa sổ Hamming, Hanning:

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Hamming

1 Giả thiết tín hiệu x(n) là tổng của 2 tín hiệu x1(n) và x2(n)

x1(n) là tín hiệu cosin có tần số góc là 0,1rad/s, x2(n) cũng là tín hiệu cosin có tần số góc là 0,4rad/s Người ta dùng bộ lọc thông cao FIR có độ dài đáp ứng xung bằng 3 với giả thiết h(0)

= h(2) =  và h(1) =  để triệt tiêu tín hiệu x1(n) và cho qua hoàn toàn tín hiệu x2(n) Hãy xác định các hệ số ,  và vẽ sơ

đồ khối thực hiện bộ lọc FIR này

2 Hàm truyền đạt của hệ TTBB nhân quả có dạng như sau:

với a là số thực.

a Xác định giá trị của a sao cho H(z) ứng với một hệ ổn định

b Lấy 1 giá trị đặc biệt của a trong số các giá trị này, biểu diễn các điểm cực, điểm không và miền hội tụ

c Đánh giá |H(f)|

az 1 H(z)

z a







Bài tập lớn (1/2)

1. Bộ lọc số FIR có PT-SP

Hãy lập trình bằng Pascal để xác định đáp ứng

xung của bộ lọc này

-Khởi tạo tín hiệu trễ = 0 (xnt1, xnt2, xnt3, xnt4)