Phương pháp lượng giác hóa trong chứng minh bất đẳng thức

Mºt sŁ b§t flng thøc cì b£n.. Trong ch÷ìng n y, t¡c gi£nh›c l⁄i mºt sŁ b§t flng thøc kinh i”n nh÷ b§t flng thøc AM - GM, b§tflng thøc Cauchy-Schwarz, b§t flng thøc Jensen v b§t flng thøc

B¸GI ODÖCV OT O TR×˝NG I H¯C QUY NHÌN

To¡n sì c§p l mºt l¾nh vüc m c¡c k‚t qu£ ÷æc c¡c chuy¶n gia s¡ngt⁄o ra t÷ìng Łi ƒy ı v ho n thi»n Ch‰nh v… v“y vi»c nghi¶n cøu ” thu

÷æc mºt k‚t qu£ mîi câ þ ngh¾a l i•u r§t khâ Khi åc mºt sŁ

t i li»u v• B§t flng thøc chóng ta s‡ g°p mºt sŁ b i to¡n ⁄i sŁ m khi gi£ichóng ÷æc chuy”n th nh b i to¡n l÷æng gi¡c Trong ch÷ìng tr…nhTo¡n håc phŒ thæng, chuy¶n • l÷æng gi¡c âng mºt vai trÆ nh÷ l mºtcæng cö ›c lüc nh‹m gi£i quy‚t hi»u qu£ nhi•u b i to¡n cıa gi£i t‰ch,

⁄i sŁ v h…nh håc Trong thüc ti„n, l÷æng gi¡c v c¡c °c tr÷ng cì b£ncıa l÷æng gi¡c l chuy¶n • cƒn thi‚t trong vi»c bçi d÷ïng håc sinh giäiTo¡n ð b“c Trung håc phŒ thæng, çng thíi c¡c øng döng cıa nâ luæn

l sü h§p d¤n Łi vîi nhi•u Łi t÷æng håc sinh v gi¡o vi¶n

Möc ti¶u cıa lu“n v«n "Ph÷ìng ph¡p l÷æng gi¡c hâa trong chøngminh b§t flng thøc" nh‹m tr…nh b y v§n • ¡p döng ph÷ìng ph¡p l÷ænggi¡c ho¡ ” gi£i quy‚t mºt sŁ b i to¡n v• b§t flng thøc nh‹m t⁄o ra mºt • t iphò hæp cho vi»c gi£ng d⁄y v bçi d÷ïng håc sinh giäi c§p trung håcphŒ thæng

Lu“n v«n, ngo i phƒn Mð ƒu, K‚t lu“n v T i li»u tham kh£o, nºi dungch‰nh cıa lu“n v«n ÷æc chia l m ba ch÷ìng

Ch÷ìng 1 Mºt sŁ b§t flng thøc cì b£n Trong ch÷ìng n y, t¡c gi£nh›c l⁄i mºt sŁ b§t flng thøc kinh i”n nh÷ b§t flng thøc AM - GM, b§tflng thøc Cauchy-Schwarz, b§t flng thøc Jensen v b§t flng thøcChebyshev

Ch÷ìng 2 flng thøc v B§t flng thøc l÷æng gi¡c Ch÷ìng n y tr…nh

b y c¡c cæng thøc l÷æng gi¡c cì b£n, c¡c flng thøc v b§t flng thøcl÷æng gi¡c th÷íng g°p

Ch÷ìng 3 L÷æng gi¡c hâa trong chøng minh b§t flng thøc.Ch÷ìng n y tr…nh b y cì sð lþ thuy‚t v chøng minh c¡c b§t flng thøctrong tam gi¡c b‹ng ph÷ìng ph¡p l÷æng gi¡c hâa çng thíi, s÷u tƒmc¡c • b i to¡n v• b§t flng thøc trong c¡c • thi håc sinh giäi câ sß döngph÷ìng ph¡p l÷æng gi¡c hâa

Qua ¥y, tæi công xin gßi líi c£m ìn ‚n PhÆng o t⁄o Sau ⁄i håc,Khoa To¡n còng quþ Thƒy, Cæ gi¡o gi£ng d⁄y lîp Cao håc To¡n Gi£i t

‰ch khâa 20 ¢ gióp ï v t⁄o i•u ki»n thu“n læi cho tæi trong suŁtqu¡ tr…nh håc t“p v nghi¶n cøu

M°c dò lu“n v«n ÷æc thüc hi»n vîi sü nØ lüc cŁ g›ng cıa b£n th¥n,nh÷ng do i•u ki»n thíi gian câ h⁄n, tr…nh º ki‚n thøc v kinh nghi»mnghi¶n cøu cÆn h⁄n ch‚ n¶n lu“n v«n khâ tr¡nh khäi nhœng thi‚u sât.Chóng tæi r§t mong nh“n ÷æc nhœng gâp þ cıa quþ thƒy cæ v b⁄n

åc ” lu“n v«n ÷æc ho n thi»n hìn

B…nh ành, th¡ng 7 n«m 2020

Håc vi¶nPh⁄m V«n Linh

X†t h m y = f (x) = x +

y0 = a 1

Trong to¡n håc, b§t flng thøc AM-GM l

trung b…nh cºng v trung b…nh nh¥n cıa 2 sŁ thüc khæng ¥m ÷æc ph¡tbi”u nh÷ sau

ành lþ 1.5 (B§t flng thøc AM-GM, [2]) Cho a; b l

Khi â

Chøng minh Vîi a = 0; b = 0 th… b§t flng thøc luæn luæn óng

p,( aSuy ra ành lþ ÷æc chøng minh.

ành lþ tr¶n ÷æc tŒng qu¡t cho n sŁ:

ành lþ 1.6 Cho a1; a2; :::; an l c¡c thüc khæng ¥m th… ta câ

nChøng minh Hi”n nhi¶n b§t flng thøc óng vîi n = 2

Gi£ sß b§t flng thøc ¢ óng cho n sŁ khæng ¥m th… b§t flng thøc

công óng vîi 2n sŁ khæng ¥m

Ta câ

a1 + a2 + : : : + a2n

2n

n¶n b§t flng thøc óng khi n b‹ng mºt luÿ thła cıa 2

Gi£ sß b§t flng thøc óng vîi n sŁ khæng ¥m, ta chøng minh b§t flng thøc óng vîi n 1 sŁ khæng ¥m Th“t v“y, °t

1,

flng thøc trong (1.1) x£y ra khi v

Ho n to n t÷ìng tü, ta câ

v

Cºng tłng v‚ (1.1), (1.2), (1.3) ta ÷æc

2x + y + zSuy ra i•u ph£i chøng minh

flng thøc x£y ra khi v ch¿ khi çng thíi flng thøc trong (1.1), (1.2),

(1.3) x£y ra khi v ch¿ khi

x = y = z = 3

4:

3V‰ dö 1.8 Cho x; y; z > 0 v x + y + z = 1: Chøng minh

Gi£i Ta câx

Theo b§t flng thøc AM-GM ta câ

Chøng minh N‚u a21 + a22 + + a2n = 0 tøc a1 = a2 = = an = 0 th… (1.4)

óng

Cºng (1.5), (1.6), (1.7) theo v‚ ta ÷æc:

A 3

2:flng thøc x£y ra khi x = y = z = 1 Vîi x = y = z = 1 th… a = b = c = 1

3

X akbk

k=1 k=1 k=1 k=1 k=1

Gi£i B§t flng thøc mang t‰nh Łi xøng giœa c¡c bi‚n, do â khæng

m§t t‰nh tŒng qu¡t, ta gi£ sß a b c: Khi â ta câ

Nh÷ v“y, theo b§t flng thøc Chebyshev, ta câ

tü flng thøc x£y ra khi x = y = z =

2.1 B§t flng thøc l÷æng gi¡c

Trong vi»c chøng minh mºt b§t flng thøc ⁄i sŁ nh§t ành, chóng ta

câ th” sß döng c¡c ph†p thay th‚ l÷æng gi¡c, v hƒu nh÷ nâ luæn d¤nng÷íi gi£i ‚n mºt c¡ch gi£i ìn gi£n Sau ¥y l mºt sŁ b§t flng thøc l÷ænggi¡c cì b£n th÷íng dòng [3, 6]

M»nh • 2.1 Trong tam gi¡c ABC Khi â, chóng ta câ c¡c b§t flng thøcsau

2 (iv) sin A2 sin B2 sin C2 1

8 (v) cos A + cos B + cos C 3

2

4 (x) sin2 A2 + sin2 B2 + sin2 C2 3

4 (xi) cos2 A + cos2 B + cos2 C 3

4 (xii) cos2 A2 + cos2 B2 + cos2 C2 9

4

(xiii)

(xiv)

(xv)

(xvi) tan A + tan B + tan C 3

Chøng minh (i) H m sin x ÷æc lªm v o kho£ng (0; ); do â, tł Jensen,

sin A sin B sin C

(iii) T÷ìng tü chøng minh m»nh • 2.1 (i), chóng ta câ

2 2

(vii) Tł A; B; C 2 (0; ) suy ra A=2; B=2; C=2 2 (0; =2) H m cos x

lªm trong kho£ng (0; =2) Theo b§t flng thøc Jensen, chóng ta câ

Theo (iv)

(xi) p döng m»nh • 2.1 (ix), ta câ

cos2 A + cos2 B + cos2 C = 3

(xiv) Do cot x lçi tr¶n (0; =2) v sß döng B§t flng thøc Jensen, chóng

2 sin A sin B 1 + cos C

, 2 sin A sin B sin(A + B) (1 + cos C) sin(A + B)

, sin A sin B(1 + cos C)

Do â

sin(A + B)cot A + cot B + cot C=

(xvi) V… tam gi¡c l tam gi¡c nhån n¶n A; B; C 2 (0; =2): H m f(x) = tan x l lçi tr¶n (0; =2); theo b§t flng thøc Jensen chóng ta câ

tan A + tan B + tan C 3 tan

Hìn nœa, chóng ta ÷a ra ành lþ s‡ l

ph†p thay th‚ l÷æng gi¡c

ành lþ 2.2 °t A; B; C 2 (0; ): C¡c gâc A; B v

mºt tam gi¡c khi v ch¿ khi

(i) tan A2 tan B2 + tan B2 tan C2 + tan A2 tan C2 = 1:

(ii) sin2 A + sin2 B + sin2 C = 2 + 2 cos A cos B cos C

(iii) tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C

(iv) sin2 A2 + sin2 B2 + sin2 C2 + 2 sin A2 sin B2 sin C2 = 1

Chøng minh (i) Gåi A; B; C l

A + B + C = ; ta câ

V… th‚

tan2 = tan

c¡c gâc cıa mºt tam gi¡c b§t k… Tł

A + B

cot

= 2cot

v ¥y l

(ii) Bi‚n Œi v‚ tr¡i ta ÷æc

sin2 A + sin2 B + sin2 C = sin2 A + sin2 B + sin2 C

=

= 1

= 1

= 1

= 1

= 2

= 2 + [cos(A B) + cos(A + B)] cos C

= 2 + 2 cos A cos B cos C:

¥y i•u cƒn chøng minh

(iii) Ta câ A + B + C = , A + B = C, suy ra

tan(A + B) = tan(

,

1 tan A tan B, tan A + tan B = (1

, tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C:

(iv) Chóng ta câ

=tøc

sao cho A + B + C1 = : Khi â

3.1Chøng minh b§t flng thøc trong tam gi¡c

3.1.1 Chøng minh b§t flng thøc trong tam gi¡c nhån

Trong phƒn n y chóng ta s‡ x†t c¡c b§t flng thøc l÷æng gi¡c trongtam gi¡c nhån

V‰ dö 3.1 Chøng minh r‹ng trong måi tam gi¡c nhån ta câ

2. (cos A + cos B + cos C)2 sin2 A + sin2 B + sin2 C;

3 sin A + sin B + sin C > cos A + cos B + cos

C Gi£i Tr÷îc h‚t ta chøng minh r‹ng

tan A tan B cot2

Th“t v“y,

tan A tan B cot2 C2

, sin A sin B 1 + cos C cos

A cos B 1 cos C

, sin A sin B sin A sin B cos C cos A cos B + cos A cos B cos C

, sin A sin B cos A cos B cos C(cos A cos B + sin A sin B)

, cos C cos C cos(A B)

, cos(A B) 1

(3.2)(Do ABC nhån n¶n 0 < cos A; 0 < cos B; 0 < cos C < 1) V… (3.2) óng

n¶n (3.1) óng v d§u " = " trong (3.1) x£y ra khi v ch¿ khi A = B:

Do ABC nhån n¶n tan A > 0; tan B > 0: p döng b§t flng thøc AM

- GM ta câ

ptan A + tan B 2

Tł (3.1) v (3.3) câ

M°t kh¡c, tł (3.1) câ

Cºng (3.4) v (3.5) theo tłng v‚ ta ÷æc

p(hay

p tan A + p tan B 2 r

D§u "=" trong (3.6) x£y ra khi v ch¿ khi A = B:

Lþ lu“n t÷ìng tü

ptan B + ptan C 2r

Theo b§t flng thøc AM - GM ta câ

u

t

1. N‚u ABC l tam gi¡c vuæng th… k‚t qu£

Suy ra

flng thøc x£y ra khi v

ta câ

psin A + psin B + psin C

¥y l i•u ph£i chøng minh

V‰ dö 3.5 Cho ABC nhån Chøng minh r‹ng

(3.13)

tan A tan B tan C:

p döng b§t flng thøc Chebyshev cho hai d¢y ng÷æc chi•u (3.15),(3.16) ta câ

(cos A + cos B + cos C)(tan A + tan B + tan C)3(cos A tan A + cos B tan B + cos C tan C)

, (cos A + cos B + cos C)(tan A + tan B + tan C)

3(sin A + sin B + sin C):

Do ABC nhån ) cos A + cos B + cos C > 0 v

n¶n tł (3.17) ta câ

Suy ra i•u ph£i chøng minh

‹ng thøc x£y ra khi v ch¿ khi

"

cos A = cos B = cos Ctan A = tan B = tan C

3.1.2 Chøng minh b§t flng thøc trong tam gi¡c kh¡c

Trong phƒn n y ta x†t c¡c b§t flng thøc l÷æng gi¡c trong c¡c tamgi¡c °c bi»t nh÷ tam gi¡c c¥n, tam gi¡c vuæng, tam gi¡c vuæng c¥n

suy ra i•u ph£i chøng minh v… d§u b‹ng x£y ra khi v

tam gi¡c vuæng c¥n ¿nh A:

2 T÷ìng tü, do ABC vuæng t⁄i A n¶n B < 2 ; C < 2 : Hi”n nhi¶n

B, B, B sin

Do ABC l tam gi¡c vuæng t⁄i A n¶n sin B = cos C v

Tł (3.21) suy ra i•u ph£i chøng minh v… d§u b‹ng x£y ra khi v ch¿

khi ABC l tam gi¡c vuæng c¥n ¿nh A: 3

1 Ta thu ÷æc k‚t qu£ tŒng qu¡t sau

Cho ABC l tam gi¡c vuæng t⁄i A vîi c¡c gâc câ sŁ o b‹ng radian Vîimåi sŁ tü nhi¶n n 2; ta câ

a

b

2 Ta công câ k‚t qu£ sau

Cho ABC l tam gi¡c vuæng t⁄i A vîi c¡c gâc câ sŁ o b‹ng radian Vîimåi sŁ tü nhi¶n n 2; ta câ

tann B + tann C 8 :

V‰ dö 3.7 Chøng minh r‹ng, trong måi 4ABC ta câ

la + lb + lc

Tł (3.22) - (3.24) ) la + lb + lc

khi v ch¿ khi çng thíi flng thøc trong (3.22) - (3.24) x£y ra khi vkhi ABC •u

V‰ dö 3.8 Chøng minh r‹ng, trong måi ABC ta luæn câ

a

hb + hcGi£i Khæng l m m§t t‰nh tŒng qu¡t, gi£ sß a b c Khi â

Trong måi tam gi¡c ABC; ta luæn câ

a + b + c = 2R(sin A + sin B + sin C) 2R

Tł (3.25), (3.26) suy ra (3.27) t÷ìng ÷ìng vîi

Tł â suy ra i•u ph£i chøng minh

flng thøc x£y ra khi v ch¿ khi çng thíi flng thøc trong (3.25) -

(3.27) x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c hay ABC •u

3V‰ dö 3.9 Chøng minh r‹ng vîi måi ABC ta câ

Gi£i Khæng m§t t‰nh qu¡t gi£ sß A B C Suy ra

p döng Chebyshev ta câ

tan

tan A cos A + tan B cos B + tan C

cos C 3

, sin A + sin B + sin C tan A + tan B + tan C :

cos A + cos B + cos C3

M ta l⁄i câ

tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C:

Tł â, ta suy ra i•u ph£i chøng minh flng thøc x£y ra khi v ch¿ khi4ABC •u

V‰ dö 3.10 Chøng minh r‹ng vîi måi ABC ta câ

3 sin 2A + sin 2B + sin 2C

Gi£i Khæng m§t t‰nh tŒng qu¡t gi£ sß a b c Khi â

sin A sin B sin C; cos A cos B cos C:

Khi â theo B§t flng thøc Chebyshev th…

Tł â suy ra i•u ph£i chøng minh flng thøc x£y ra khi v ch¿ khiABC •u

V‰ dö 3.11 Cho 4ABC b§t k… Chøng minh r‹ng

1

1 + 2 cos A + 4 cos A cos B

Gi£i Theo AM-GM ta câ v‚ tr¡i ÷æc vi‚t l⁄i th nh

[3 + 2(cos A + cos B + cos C)

+ 4(cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A)] 9m

cos A + cos B + cos C 3

n¶n

cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A

(cos A + cos B + cos C)2

3Suy ra

3 + 2(cos A + cos B + cos C)

+ 4(cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A)

9:

Tł (3.28), (3.29) suy ra T 1: V“y ta câ i•u ph£i chøng minh.

3

4:

(3.29)

3

gi¡ trà nhä nh§t, b§t flng thøc l÷æng gi¡c th… Æi häi chóng ta ph£i n›mvœng c¡c cæng thøc l÷æng gi¡c, k¾ thu“t bi‚n Œi l÷æng gi¡c, t‰nh

D⁄ng 2 Cho ; v l c¡c gâc cıa mºt tam gi¡c tòy þ

°t

Khi â A + B + C = Hìn nœa 0 < A; B; C < =2; tøc l sü thay th‚

n y cho ph†p chóng ta chuy”n c¡c gâc cıa mºt tam gi¡c tòy þ sang c¡cgâc cıa mºt tam gi¡c nhån i•u n y °c bi»t quan trång khi chóng ta sßdöng b§t flng thøc Jensen, v… b§t flng thøc Jensen khæng th” ÷æc sßdöng cho h m cos x tr¶n kho£ng (0; ), ch¿ tr¶n kho£ng (0; =2) Tł

a = tan

trong â ; v l c¡c gâc cıa mºt tam gi¡c, tøc l ; ; 2 (0; ) v++=

D⁄ng 5 Cho a; b; c l c¡c sŁ thüc d÷ìng sao cho ab + bc + ca = 1: Sau

â, theo D⁄ng 4 v D⁄ng 2, chóng ta sß döng c¡c thay th‚ sau

a = cot ; b = cot ; c = cot

D⁄ng 7 Cho a; b; c l c¡c sŁ thüc d÷ìng sao cho a + b + c = abc: Khi

â, theo D⁄ng 6 v D⁄ng 2, chóng ta câ th” sß döng c¡c thay th‚ sau

a = tan ; b = tan ; c = tan ;trong â ; v l c¡c gâc cıa mºt tam gi¡c nhån, tøc l ; ; 2 (0; =2) v + + =

D⁄ng 8 Cho a; b; c l c¡c sŁ thüc d÷ìng sao cho

a2 + b2 + c2 + 2abc = 1:

L÷u þ r‹ng v… c¡c sŁ a; b; c l d÷ìng n¶n chóng ta ph£i câ a; b; c < 1:

Do â theo ành lþ 2.2, chóng ta câ th” sß döng c¡c thay th‚

a = sintrong â ; v l c¡c gâc cıa mºt tam gi¡c b§t k…, tøc l ; ; 2 (0; ) v + + =

D⁄ng 11 T÷ìng tü nh÷ trong D⁄ng 10, Łi vîi c¡c bi”u thøc

chóng ta câ th” thüc hi»n c¡c thay th‚ costrong â ; v

3.2.2 V‰ dö

B¥y gií chóng ta s‡ xem x†t c¡c v‰ dö, thæng qua c¡c b i t“p s‡tr…nh b y c¡ch thøc v“n döng sü thay th‚ nâi tr¶n trong mºt sŁ tr÷ínghæp nh§t ành

V‰ dö 3.13 ([6]) Cho 4 sŁ a; b; c; d tho£ m¢n a2 + b2 = c2 + d2 = 1.Chøng minh r‹ng

Gi£i Theo D⁄ng 1, ta °t (

b = cos u

Suy ra

S = sin u(sin v + cos v) + cos u(sin v

) S = (sin u cos v + cos u sin v)

Khi â ta câ

A

= 3(1 + cos 2 ) + sin 2

Gi1 ; khi â bi‚n Œi S ta câ

£i Theo D⁄ng 1, ta °t x = tan vîi

j sin(

= j sin( )jj cos( )j + j sin( )jj cos( )j

j sin( )j 1 + j sin( )j 1

= j sin( )j + j sin( )j:

V‰ dö 3.17 ( • tuy”n sinh khŁi A n«m 2013) Chøng minh r‹ng vîi måi sŁ thüc d÷ìng x; y; z thäa m¢n

x(x + y + z) = 3yzth…

sin A(sin B + sin C) + 3 sin B sin C5 sin2 Ap

, 2 3(sin B + sin C) + 12 sin B sin C 15:

3

B§t flng thøc (3.31) t÷ìng ÷ìng vîi

(xy + yz + zx)ho°c

Tł (3.32) v theo D⁄ng 4, chóng ta câ th” l§y

x = tan

vîi ; ; 2

yz

= 1n¶n

tan 2 tan 2 + tan 2 tan 2 + tan 2 tan 2 = 1

, tan

, tan

¥y l i•u ph£i chøng minh.

D§u " = " x£y ra khi A = 6 ; B = C = 5

D§u flng thøc x£y ra khi v

p

7 + 4 3; b = c =

, yz 1 + zx 1 + xy 1 = 1 , x + y + z = xyz:Theo D⁄ng 7 tçn t⁄i ba gâc mºt tam gi¡c sao cho

Ta cƒn chøng minh

¥y ch‰nh l b§tflng thøc (v) v ta câ i•u ph£i chøng minh

flng thøc x£y ra khi v ch¿ khi

D§u " = " x£y ra khi v chi khi tam gi¡c ABC •u, khi â x = y = z.

V“y ta câ i•u ph£i chøng minh

bc 1 + ca 1 + ab 1 + 2abc 1 = 1:

Do a; b; c la ba sŁ thüc d÷ìng, suy ra

bc 1; ca 1; ab 1 2 (0; 1):

p döng D⁄ng 8, °t

Tł i•u ki»n b i to¡n, ta câ

cos2 A + cos2 B + cos2 C + 2 cos A cos B cos C = 1:

Tł gi£ thi‚t tr¶n v ¡p döng Vîi måi tam gi¡c ABC th…

sin2 A + sinsuy ra

Khi â b§t flng thøc cƒn chøng minh t÷ìng ÷ìng vîi b§t flng thøc

Khi â

a2 + b2 + c2 + 2abc = 1trð th nh

cos2 + cos2 + cos2 + 2 cos cos cos = 1:

, cos cos cos + 1 = cos sin sin + cos sin sin + cos sin sin

, cos( + ) cos sin( + ) sin + 1 = 0

, cos( + + ) + 1 = 0 ( óng):

V¥y ta câ i•u ph£i chøng minh

V‰ dö 3.28 Cho x; y; z > 0 l sŁ thüc Chøng minh b§t flng thøc

Gi£i B§t flng thøc ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi

= 2+ cos [cos(

= 2+ cos (cos() + cos( + ))

= 2+ 2 cos cos cos > 2:3

3.3 Sß döng l÷æng gi¡c hâa trong b i to¡n cüc trà

V‰ dö 3.29 Cho x2 + y2 = 1 T…m gi¡ trà lîn nh§t cıa bi”u thøc

V‰ dö 3.30 Cho ba sŁ thüc d÷ìng a; b; c thäa m¢n i•u ki»n a+b+c = 1:

T…m gi¡ trà lîn nh§t cıa bi”u thøc

Q =

V‰ dö 3.31 Cho ba sŁ thüc d÷ìng a; b; c thay Œi thäa m¢n i•u ki»n

T…m gi¡ trà nhä nh§t cıa bi”u thøc

Gi£i Ta câ

r a = tan A;

bc

Tł gi£ thi‚t a

T…m gi¡ trà lîn nh§t cıa bi”u thøc

Gi£i Tł i•u ki»n ta câ

3

V‰ dö 3.33 Cho ba sŁ thüc d÷ìng a; b; c thay Œi thäa m¢n i•u ki»n:

T…m gi¡ trà lîn nh§t cıa bi”u thøc

Q =Gi£i Tł i•u ki»n ta câ

ab = 1 + bc + ca:

T…m gi¡ trà lîn nh§t cıa bi”u thøc

Q =

c =

3V‰ dö 3.35 Cho ba sŁ thüc d÷ìng a; b; c thay Œi thäa m¢n i•u ki»n:

i to¡n,

ta câ

cos2 A + cos2 B + cos2 C + 2 cos A cos B cos C = 1:

0; 2

(3.40)

Tł gi£ thi‚t (3.40) v ành lþ 2.2 (ii) ta câ A + B + C = v

P = 4 cos2 A + cos2 B + cos2 C + 2(cos A + cos B + cos C)

T…m gi¡ trà lîn nh§t cıa bi”u thøc

Gi£i Tł i•u ki»n ta câ

Do a; b; c l ba sŁ thüc d÷ìng, suy ra

Theo D⁄ng 9, ta °t

1

p1bc

Tł i•u ki»n b i to¡n, ta câ

cos2 A + cos2 B + cos2 C + 2 cos A cos B cos C = 1:

Tł gi£ thi‚t (3.41) v

°t tr¶n ta câ