Các tập w mở và ws mở trong các không gian tôpô tổng quát

trong khæng gian tæpæ tŒng qu¡t... Khæng gian tæpæ ÷æc gåi l khæng gian Lindelof n‚u vîi måi phı mð b§t ký cıa nâ •u tçn t⁄i phı con ‚m ÷æc... vîi tæpæ n y trð th nh mºt khæng gian tæpæ

M— U

C¡c khæng gian tæpæ l nhœng c§u tróc cho ph†p ng÷íi ta h…nh thøc hâa c¡c kh¡i ni»m nh÷ l hºi tö, t‰nh li¶n thæng v t‰nh li¶n töc Chóng xu§t hi»n hƒu nh÷ trong t§t c£ måi ng nh cıa to¡n håc hi»n ⁄i v l mºt kh¡i ni»m thŁng nh§t câ t‰nh trång t¥m.

Cho pX; ql mºt khæng gian tæpæ v A €X: Engelking, trong [21], ¢ ành ngh¾a mºti”m x PX ÷æc gåi l mºt i”m tö cıa A n‚u vîi måi U Psao cho x PU; t“p U XA l khæng

‚m ÷æc N«m 1982, Hdeib [22] ¢ ành ngh¾a c¡c t“p âng v mð nh÷ sau: A ÷æc gåi l t“p âng n‚u nâ chøa t§t c£ c¡c i”m

!-tö cıa nâ Phƒn bò cıa t“p !- âng ÷æc gåi l t“p !-mð Hå t§t c£ c¡c t“p con !-mð cıa X l mºt tæpætr¶n X; v kþ hi»u l !: Câ r§t nhi•u kh¡i ni»m v k‚t qu£ li¶n quan ‚n c¡c t“p !- âng v !-mð ÷æcnghi¶n cøu trong thíi gian gƒn p¥y N«m 2002, Csaszar [11] ành ngh¾a khæng gian tæpætŒng qu¡t nh÷ sau: c°p

X; ql mºt khæng gian tæpæ tŒng qu¡t n‚u X l t“p kh¡c rØng v l t“p c¡c t“p con cıa X sao cho H

Pv hæp b§t ký c¡c t“p con cıa thuºc ; c¡c phƒn tß cıa ÷æc gåi l c¡c t“p -mð, phƒn bò c¡c t“p -mð

÷æc gåi l c¡c t“p

p- âng, hæp t§t c£ c¡c phƒn tß cıa ÷æc kþ hi»u l M v khæng gian tæpæ X; q÷æc gåi l m⁄nhn‚u M X: Gƒn ¥y, n«m 2016, Samer v Wafa [34] ¢ ÷a ra kh¡i ni»m c¡c t“p !-mð trong khænggian tæpæ tŒng qu¡t nh÷ sau: Cho pX; ql mºt khæng gian tæpæ tŒng qu¡t v B €X: Mºti”m x PX ÷æc gåi l i”m tö cıa B n‚u vîi måi A Psao cho x PA; t“p A XB l khæng ‚m

÷æc T“p t§t c£ c¡c i”m tö cıa B kþ hi»u l Cond(B) T“p B l !- - âng n‚u CondpBq

€B: T“p B l !- -mð n‚u XzB l t“p !- - âng Hå t§t c£ c¡c t“p !- -mð cıa pX; qkþ hi»u

l !: Hå ¢ sß döng kh¡i ni»m n y ” ÷a ra c¡c lîp mîi c¡c ¡nh x⁄ trong c¡c khæng gian tæpæ tŒngqu¡t, çng thíi công tr…nh b y nhi•u °c tr÷ng, t‰nh ch§t v c¡c v‰ dö li¶n quan ‚n kh¡i ni»m mîi

Mºt kh¡i ni»m kh¡c câ li¶n quan ch°t ch‡ vîi c¡c t“p mð â l c¡c t“p nßa mð Kh¡i ni»m n y ¢ ÷æc Levine [28] ÷a ra lƒn ƒu ti¶n v o n«m 1963 nh÷

sau: T“p hæp A l nßa mð n‚u tçn t⁄i t“p mð U sao cho U €A €U ; ho°c

nâi mºt c¡ch t÷ìng ÷ìng l A €intpAq: Ta kþ hi»u SOpX; ql hå t§t c£

c¡c t“p nßa mð trong khæng gian tæpæ pX; q: B‹ng c¡ch sß döng c¡c t“p nßa

mð, æng công ¢ tŒng qu¡t t‰nh li¶n töc bði t‰nh nßa li¶n töc nh÷ sau: H m

f : pX; 1q — pY; 2qgiœa hai khæng gian tæpæ ÷æc gåi l

måi V P2; f1p

V q PSOpX; 1q: N«m 2002, Al-Zoubi v

döng c¡c t“p ! -mð ” ành ngh¾a c¡c t“p nßa ! -mð nh÷ sau: T“p A l nßa ! -mð

n‚u tçn t⁄i t“p !-mð U sao cho U €A €U : Hå t§t c£ c¡c t“p nßa !-mð cıa

khæng gian tæpæ pX; q÷æc kþ hi»u l S!OpX; q: Al-Zoubi, trong [5], ¢ sß

döng kh¡i ni»m t“p nßa ! -mð ” giîi thi»u h m nßa ! -li¶n töc nh÷ sau: H m

f : pX; 1q — pY; 2qgiœa hai khæng gian tæpæ gåi l nßa ! -li¶n töc n‚u vîi måi

V P2; f1p

V q PS!OpX; 1q: Mîi ¥y, mºt kh¡i ni»m y‚u hìn t“p mð v m⁄nh hìn t“p nßa mð ÷æc Samer v Kafa [33] • xu§t nghi¶n cøu nh÷ sau: T“p A

l !s-mð n‚u tçn t⁄i mºt t“p mð U sao cho U €A €U!: C¡c t¡c gi£ ¢ xem x†t lîp c¡c t“p n

y v sß döng nâ ” nghi¶n cøu mŁi li¶n h» ch°t ch‡ giœa t‰nh li¶n töc v nßa li¶n töc cıa mºt lîpmîi c¡c h m

Möc ‰ch ch‰nh cıa lu“n v«n l nghi¶n cøu c¡c °c tr÷ng cıa c¡c t“p ! -mð

v !s-mð trong c¡c khæng gian tæpæ tŒng qu¡t.

Lu“n v«n s‡ t“p trung gi£i quy‚t c¡c b i to¡n sau:

1 Nghi¶n cøu c¡c °c tr÷ng cıa c¡c t“p ! -mð trong khæng gian tæpæ tŒng qu¡t, tł â nghi¶n cøu c¡c °c tr÷ng cıa c¡c kh¡i ni»m Lindelof, compact, compact ‚m ÷æc, li¶n töc, trong khæng gian tæpæ tŒng qu¡t.

2 Nghi¶n cøu v§n • t÷ìng tü nh÷ tr¶n Łi vîi c¡c t“p !s-mð.

Ngo i phƒn Mð ƒu, K‚t lu“n, T i li»u tham kh£o, Lu“n v«n ÷æc chia th nh 3 ch÷ìng€

Trong ch÷ìng 1 chóng tæi tâm t›t sì l÷æc mºt sŁ ki‚n thøc cì b£n v• khæng

Ch÷ìng 3 d nh cho vi»c tr…nh b y kh¡i ni»m c¡c t“p !s-mð trong c¡c khæng gian tæpæ tŒng qu¡t v sß döng c¡c kh¡i ni»m â ” t…m hi”u lîp c¡c t“p,

Nh¥n ¥y tæi công xin ch¥n th nh c£m ìn sü hØ træ v• m°t tinh thƒn cıa gia …nh, b⁄n b– ¢ luæn t⁄o måi i•u ki»n gióp ï ” tæi ho n th nh tŁt khâa håc v lu“n v«n n y.

M°c dò lu“n v«n ÷æc thüc hi»n vîi sü nØ lüc cŁ g›ng h‚t søc cıa b£n th¥n, nh÷ng do i•u ki»n thíi gian câ h⁄n, tr…nh º ki‚n thøc v kinh nghi»m nghi¶n cøu cÆn h⁄n ch‚ n¶n lu“n v«n khâ tr¡nh khäi nhœng thi‚u sât Tæi r§t mong nh“n ÷æc nhœng gâp þ cıa quþ thƒy cæ gi¡o ” lu“n v«n ÷æc ho n thi»n hìn Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn.

Gi£ sß tr¶n X ¢ cho mºt tæpæ : Khi â c°p pX; q÷æc gåi l mºt khæng gian tæpæ x¡c

ành tr¶n t“p n•n X: C¡c phƒn tß cıa ÷æc gåi l t“p mð v c¡c phƒn tß x PX ÷æc gåi l c¡c i”m cıa

khæng gian tæpæ pX; q: N‚u khæng sæ nhƒm l¤n, ta th÷íng kþ hi»u v›n t›t khæng gian

tæpæ pX; ql X: Tæpæ n y ÷æc gåi l tæpæ thæ

1.1.2 V‰ dö

1) Cho X l mºt t“p hæp kh¡c rØng tòy þ L§y tX; Hu: Khi â 3 ti¶n •

cıa tæpæ ÷æc thäa m¢n mºt c¡ch hi”n nhi¶n Tæpæ n y ÷æc gåi l tæpæ thæ

3) Cho X l mºt t“p tòy þ PpXql t“p hæp t§t c£ c¡c t“p con cıa X: Lóc â công l mºt

tæpæ tr¶n X: Tæpæ n y ÷æc gåi l tæpæ ríi r⁄c

1.1.1 ành ngh¾a

1) Gi£ sß ( X; d ) l mºt khæng gian m¶tric Gåi l hå t§t c£ c¡c t“p mð tr¶n

X: Lóc â ( X; ) l mºt khæng gian tæpæ °c bi»t tr¶n R ; tæpæ x¡c ành

bði m¶tric dpx; yq |x y|gåi l tæpæ thæng th÷íng

” þ r‹ng tr¶n còng mºt t“p hæp X cho tr÷îc, ta câ th” cho nhi•u tæpæ kh¡c nhau Khi

â ta nh“n ÷æc c¡c khæng gian tæpæ kh¡c nhau (câ chung mºt t“p n•n X) N‚u 1 v 2 l

hai tæpæ nh÷ v“y, khi â ta câ hai khæng gian tæpæ pX;1qv pX;2q:

B¥y gií 1 v2l hai tæpæ tr¶n X thäa m¢n i•u ki»n 1 €2; th… ta gåi 1y‚u hìn 2 hay 2 m⁄nhhìn 1 v kþ hi»u 1 ¤2: Hi”n nhi¶n tæpæ thæ

l tæpæ y‚u nh§t v tæpæ ríi r⁄c l tæpæ m⁄nh nh§t trong t§t c£ c¡c tæpæ còng x¡c ành tr¶n t“p X:

Công câ th” x£y ra tr÷íng hæp hai tæpæ 1 v 2 khæng so s¡nh ÷æc vîi nhau, chflng h⁄n 1 khæng chøa trong 2 ho°c ng÷æc l⁄i, 2 khæng chøa trong 1:

1.1.3 L¥n c“n

÷æc gåi l mºt l¥n c“n cıa x 0 n‚u tçn t⁄i t“p mð U P sao cho x 0 PU €A:

Hi”n nhi¶n n‚u U Pth… U l l¥n c“n cıa måi i”m cıa nâ Tuy nhi¶n mºt l¥n c“n cıa x0 ch÷a ch›c lmºt t“p mð

N‚u A l mºt l¥n c“n cıa x0 th… x0 ÷æc gåi l mºt i”m trong cıa A: Nâi c¡ch kh¡c, x0 l i”mtrong cıa A €X khi v ch¿ khi tçn t⁄i U P sao cho x0 PU €A:ành l‰ 1.1.1 T“p A €X l mð (tøc l A P) khi v ch¿ khi nâ l l¥n c“n cıa måi i”m cıa nâ.1.1.4 T“p âng

ành ngh¾a 1.1.2 Cho (X; ) l mºt khæng gian tæpæ T“p F €X ÷æc gåi l t“p âng n‚u v ch¿ n‚u

F c :XzF l t“p mð (tøc l XzF P)

Nh“n x†t 1.1.1 Ta câ pGcq

c XzpXzGq G: Nh÷ th‚ t“p G mð t÷ìng ÷ìng vîi Gc l t“p âng

6 ành l‰ 1.1.2 Cho X l mºt khæng gian tæpæ Khi â

1) H; X l c¡c t“p âng;

2) Giao mºt hå tòy þ c¡c t“p âng l mºt t“p âng;

3) Hæp mºt sŁ hœu h⁄n c¡c t“p âng l t“p âng.

1.1.5 Phƒn trong v bao âng cıa mºt t“p hæp

ành ngh¾a 1.1.3 Gi£ sß X l mºt khæng gian tæpæ v A €X: Lóc â câ ‰t nh§t mºt t“p mð

chøa trong A chflng h⁄n t“p rØng Hæp t§t c£ c¡c t“p mð chøa

trong ÷æc gåi l phƒn trong cıa t“p kþ hi»u l hay Ta câ

ành ngh¾a 1.1.4 Cho A €X: Luæn luæn câ ‰t nh§t mºt t“p âng chøa A;

chflng h⁄n X: Giao t§t c£ c¡c t“p âng chøa A ÷æc gåi l bao âng cıa A; kþ

hi»u A: Hi”n nhi¶n A l t“p âng b† nh§t chøa A:

Tł ành ngh¾a ta câ ngay k‚t qu£: A l t“p âng khi v ch¿ khi A A:

ành l‰ 1.1.4 Cho A; B €X; ta câ

1) AA;

2) N‚u A €B th… A €B;

3) AYB AYB:

ành l‰ 1.1.5 Bao âng cıa t“p hæp A l t“p hæp t§t c£ c¡c i”m d‰nh cıa A:

1.1.7 T“p hæp trò m“t - Khæng gian kh£ li

ành ngh¾a 1.1.6 Gi£ sß A; B l hai t“p con trong khæng gian tæpæ X: N‚u B €A th… ta nâit“p A trò m“t trong t“p B: N‚u A €X v A X th… A ÷æc gåi l trò m“t trong X hay A l mºt t“p hæptrò m“t kh›p nìi

Ta câ c¡c t‰nh ch§t sau

1) N‚u A trò m“t trong B; B trò m“t trong C th… A trò m“t trong C;

2) T“p A trò m“t trong B khi v ch¿ khi vîi måi x PB v måi l¥n c“n V cıa

ành ngh¾a 1.1.8 Gi£ sß (X; ) l mºt khæng gian tæpæ v H B €: Hå B

2) Tæpæ thæng th÷íng tr¶n R nh“n hå c¡c kho£ng mð pa; bql m mºt cì sð cıa nâ

ành l‰ 1.1.6 Hå B €l mºt cì sð cıa khæng gian tæpæ pX; qkhi v ch¿ khi vîi måi x PX

v vîi måi l¥n c“n V cıa x •u tçn t⁄i B PB sao cho x PB €V:

ành l‰ 1.1.7 Cho B tU : PIu €PpXqthäa m¢n hai i•u ki»n:

a) Vîi måi U; V PB v vîi måi x €U XV; tçn t⁄i W PB sao cho x PW €U

b) Vîi måi x PX tçn t⁄i U PB sao cho x PU:

Khi â tçn t⁄i mºt tæpæ tr¶n X sao cho B l mºt cì sð cıa :

ành l‰ 1.1.8 Cho X l khæng gian tæpæ Gi£ sß Vx l mºt cì sð l¥n c“n cıa mØi i”m x PX:Khi â ta câ

1) Vîi måi x PX; vîi måi Vx PVx; ta câ x PVx;

2) N‚u Vx; Vx PVx th… tçn t⁄i Vx PV sao cho Vx €Vx XVx;

3) Vîi måi Vx PVx •u tçn t⁄i mºt Wx €Vx sao cho måi y PWx th… tçn t⁄i Vx PVy

sao cho Vy €Vx:

Ng÷æc l⁄i, gi£ sß X l mºt t“p tòy þ v vîi måi x PX tçn t⁄i mºt hå Vx gçm c¡c t“p Vx €Xsao cho c¡c t‰nh ch§t tr¶n ÷æc thäa m¢n Lóc â tçn t⁄i mºt tæpæ duy nh§t tr¶n X sao cho Vx lmºt cì sð l¥n c“n cıa mØi i”m x PX:

ành l‰ 1.1.9 Cho B l

÷æc Khi â X kh£ li v

h⁄n ho°c ‚m ÷æc.

mºt cì sð cıa khæng gian tæpæ X: Gi£ sß hå B ‚m t⁄i mØi i”m x

PX •u tçn t⁄i mºt cì sð l¥n c“n hœu

ành ngh¾a 1.1.10 Khæng gian tæpæ X câ cì sð ‚m ÷æc gåi l khæng gian thäa m¢n ti¶n • ‚m

÷æc thø hai N‚u X thäa m¢n t‰nh ch§t l vîi måi x PX •u tçn t⁄i cì sð l¥n c“n ‚m ÷æc th… X ÷æc

gåi l thäa m¢n ti¶n • ‚m ÷æc

thø nh§t.

t“p A trong khæng gian X khi v ch¿ mºt t“p con cıa B: Phı U ÷æc gåi l phı mð

cıa A n‚u måi phƒn khi A l

BPU

tß cıa nâ l

n y công l mºt phı cıa t“p mð Phı con cıa phı A: U

l mºt hå con cıa U m b£n th¥n hå

ành l‰ 1.1.10 (Lindelof) Gi£ sß pX; ql mºt khæng gian tæpæ câ cì sð ‚m ÷æc Khi â

måi phı mð tòy þ U cıa mºt t“p A €X •u tçn t⁄i mºt phı con ‚m ÷æc

Khæng gian tæpæ ÷æc gåi l khæng gian Lindelof n‚u vîi måi phı mð b§t

ký cıa nâ •u tçn t⁄i phı con ‚m ÷æc Nh÷ v“y, khæng gian thäa m¢n ti¶n • ‚m

thø hai l mºt khæng gian Lindelof.

X; q:

Gi£ sß X l mºt khæng gian tæpæ, Y l khæng gian con cıa X v t“p

con cıa Y: ” þ r‹ng, n‚u A l mºt t“p mð (hay âng) trong Y

A l mºt th…

ch÷a

ch›c A l mð (hay âng) trong X: Tuy nhi¶n ta câ

pành l‰ 1.1.11 Cho pX; ql khæng gian tæpæ v pY;Y ql khæng gian con cıa X; q:Khi â

a) A €Y l mºt t“p mð trong khæng gian con Y khi v ch¿ khi A Y XG vîi

G l mºt t“p mð trong khæng gian X:

vîi F l mºt t“p âng trong khæng gian X:

H» qu£ 1.1.1 Cho Y l mºt khæng gian con cıa khæng gian tæpæ X v

Khi â n‚u Vy l mºt l¥n c“n cıa y trong Y th… tçn t⁄i mºt l¥n c“n V

nh x⁄ f : X —Y ÷æc gåi l li¶n töc t⁄i i”m x0 PX n‚u vîi måi l¥n c“n

V cıa fpx0qtçn t⁄i l¥n c“n U cıa x0 sao cho fpUq €V:

nh x⁄ f ÷æc gåi l li¶n töc tr¶n X n‚u nh÷ f li¶n töc t⁄i måi i”m x PX:1.2.2 ành l‰

Cho X; Y l hai khæng gian tæpæ v f : X —Y l mºt ¡nh x⁄ C¡c m»nh • sau ¥y l t÷ìng ÷ìng:

a) f li¶n töc tr¶n X;

11 b) Vîi måi t“p âng F €Y th… f1

Gi£ sß X; Y; Z l ba khæng gian tæpæ, f : X —Y l ¡nh x⁄ li¶n töc t⁄i x0 PX

v g : Y —Z l ¡nh x⁄ li¶n töc t⁄i y0 fpx0q: Khi â ¡nh x⁄ hæp h gf : X —Z li¶n töc t⁄i x0

PX:

1.2.4 Ph†p çng phæi

Cho X; Y l hai khæng gian tæpæ Gi£ sß f : X —Y l mºt song ¡nh sao cho f v ¡nh x⁄

ng÷æc f1 cıa nâ còng li¶n töc th… f ÷æc gåi l mºt ph†p çng phæi (hay ph†p bi‚n Œi tæpæ ) tł X

l¶n Y: Hai khæng gian tæpæ ÷æc gåi l çng phæi vîi nhau n‚u câ mºt ph†p çng phæi tł khæng

gian n y l¶n khæng gian kia Ta cÆn gåi hai khæng gian n y l t÷ìng ÷ìng tæpæ N‚u mºt t‰nh

ch§t n o câ

Łi vîi khæng gian tæpæ X th… nâ công câ Łi vîi khæng gian tæpæ Y çng

phæi vîi nâ th… t‰nh ch§t §y ÷æc gåi l mºt b§t bi‚n tæpæ.

ành ngh¾a 1.3.1 Gi£ sß X l mºt t“p tòy þ, pX qPI l mºt hå c¡c khæng gian tæpæ

v mØi PI ta câ mºt ¡nh x⁄ f : X —X tł t“p X v o t“p X : N‚u tr¶n X ta x†t tæpæ m⁄nh

nh§t (tøc l tæpæ ríi r⁄c) th… hi”n nhi¶n t§t c£ c¡c ¡nh x⁄ f •u li¶n töc Tr÷íng hæp n y l tƒm

th÷íng Ta s‡ chøng tä r‹ng tr¶n X s‡ tçn t⁄i mºt tæpæ y‚u nh§t sao cho t§t c£ c¡c ¡nh x⁄ f •

li¶n töc

-mð khi v ch¿ khi A l hæp cıa mºt hå c¡c t“p thuºc B:

Gi£ sß l mºt tæpæ tr¶n X sao cho t§t c£ c¡c f •u li¶n töc Khi â n‚u

ành l‰ 1.3.1 Gi£ sß l tæpæ ƒu tr¶n X x¡c ành bði hå ¡nh x⁄ pf qPI ; f : X —X ; Y l mºt

khæng gian tæpæ v f : Y —X l mºt ¡nh x⁄ Khi â f li¶n töc khi v ch¿ khi vîi måi PI; c¡c ¡nh x⁄ f

f li¶n töc

B¥y gií cho X l mºt t“p v pX qPI l mºt hå c¡c khæng gian tæpæ Vîi mØi PI; ta câ ¡nh

x⁄ g : X —X: N‚u trang bà cho X tæpæ y‚u nh§t (tøc l tæpæ thæ) th… t§t c£ c¡c ¡nh x⁄ g •u

li¶n töc V§n • l h¢y t…m tr¶n X mºt tæpæ m⁄nh nh§t l m cho t§t c£ c¡c ¡nh x⁄ g •u li¶n töc °t l

hå t§t c£ c¡c t“p con G €X sao cho g1pGql t“p mð trong X vîi måi PI: Khi â ta ki”m tra

÷æc l mºt tæpæ tr¶n X: N‚u l mºt tæpæ tr¶n X sao cho g li¶n töc v G l mºt -mð th… g1pGqmð

trong X vîi måi PI n¶n G Pv do â ¤: V“y l tæpæ m⁄nh nh§t tr¶n X l m cho t§t c£ c¡c pg

C¡c x ; PI l c¡c th nh phƒn (tåa º) cıa phƒn tß px qPI : Vîi mØi 0 PI;

ta x†t ph†p chi‚u p 0 : X —X 0 ; cho bði

vîi tæpæ n y trð th nh mºt khæng gian tæpæ gåi l

Tikhonov) cıa c¡c khæng gian tæpæ X :

Ta h¢y x¡c ành rª hìn tæpæ Tikhonov tr¶n X nh÷ sau N‚u G 0 l

mð trong X0 th… t“p hæp

l t“p mð trong X:

Mºt t“p thuºc cì sð cıa tæpæ t‰ch s‡ câ d⁄ng

trong â G i l t“p mð trong Xi : Ta câ th” vi‚t l⁄i nh÷ sau

cıa c¡c khæng gian tæpæ X ; PI: i•u ki»n cƒn v

li¶n töc l vîi måi PI; c¡c ¡nh x⁄ p f : Y —X li¶n töc

1.3.3 Khæng gian th÷ìng

ành ngh¾a 1.3.4 Cho X l mºt khæng gian tæpæ Gi£ sß tr¶n X câ mºt quan h» t÷ìng

÷ìng R: Kþ hi»u X X{R tx~ : x~ l lîp t÷ìng ÷ìnguv g l ¡nh x⁄ th÷ìng, â l ph†pchi‚u tł X l¶n X cho bði cæng thøc

X Qx —gpxq x~ ty PX{yRxu:

Tæpæ m⁄nh nh§t trong c¡c tæpæ tr¶n X sao cho g li¶n töc (tæpæ cuŁi x¡c ành bði ¡nh x⁄ g ) ÷æc gåi l tæpæ th÷ìng tr¶n X : Khi â X còng vîi tæpæ n y

÷æc gåi l khæng gian tæpæ th÷ìng cıa X theo quan h» R:

ành l‰ 1.3.2 Cho X l khæng gian tæpæ v R l quan h» t÷ìng ÷ìng tr¶n X:

Khi â

ành l‰ sau l mºt h» qu£ cıa ành l‰ 1.3.2.

ành l‰ 1.3.3 Cho X; Y l hai khæng gian tæpæ, X{R l khæng gian th÷ìng theo quan h»t÷ìng ÷ìng R v f : X{R —Y: Khi â f li¶n töc khi v ch¿ khi f g : X —Y li¶n töc

Khæng gian tæpæ theo ành ngh¾a l mºt c§u tróc to¡n håc kh¡ ìn gi£n v r§t tŒng qu¡t n¶n câ th” øng döng v o nhi•u t…nh huŁng kh¡c nhau Tuy nhi¶n, n‚u khæng bŒ sung c¡c y¶u cƒu kh¡c th… nâ ‰t câ nhœng t‰nh ch§t thó và Chflng h⁄n, trong c¡c khæng gian thæ th… ta khæng th” ph¥n bi»t c¡c i”m vîi nhau, cÆn khæng gian ríi r⁄c th… mØi i”m l⁄i thu v• tłng Łc £o n¶n chóng khæng câ g… ” nghi¶n cøu th¶m Möc n y nh›c l⁄i mºt sŁ v§n • v• t¡ch c¡c i”m công nh÷ c¡c t“p âng trong khæng gian tæpæ.

1.4.1 C¡c ành ngh¾a v t‰nh ch§t

ành ngh¾a 1.4.1 Khæng gian tæpæ pX; q÷æc gåi l khæng gian thäa m¢n ti¶n •t¡ch T1 (hay T1-khæng gian) n‚u vîi hai i”m kh¡c nhau trong X th… s‡ tçn t⁄i mºt l¥n c“n cıa i”m n

y m khæng chøa i”m kia

ành l‰ 1.4.1 Khæng gian tæpæ X l mºt T1-khæng gian khi v ch¿ khi mØi phƒn tß x PX;t“p hæp txul t“p âng

ành ngh¾a 1.4.2 Khæng gian tæpæ X ÷æc gåi l mºt T2-khæng gian hay l khæng gianHausdorff n‚u vîi hai i”m x; y PX; x y th… s‡ tçn t⁄i c¡c l¥n c“n

U cıa x; l¥n c“n V cıa y sao cho U XV H:

V‰ dö 1.4.1 1) C¡c khæng gian metric •u l khæng gian Hausdorff.

2) Måi T2-khæng gian •u l T1-khæng gian.

XV H:

ành l‰ 1.4.2 Cho X l mºt T1-khæng gian Lóc â X l T3-khæng gian khi v ch¿ khi vîi måi x

PX; vîi måi l¥n c“n V cıa x; tçn t⁄i mºt l¥n c“n U cıa x sao cho x PU €U

ành l‰ 1.4.4 Cho X l mºt khæng gian tæpæ ch‰nh quy Gi£ sß X thäa m

¢n ti¶n • ‚m ÷æc thø hai Lóc â X l mºt khæng gian chu'n t›c.

1.4.2 Sü tçn t⁄i c¡c h m li¶n töc

ành l‰ 1.4.5 (BŒ • Uryshon) Gi£ sß X l mºt khæng gian tæpæ chu'n t›c, A

v B l hai t“p con âng cıa X sao cho A XB H: Khi â tçn t⁄i mºt h m sŁ li¶n töc f : X —R sao cho

xPM

thäa m¢n F |M f v

sup |F pxq|sup |fpxq|:

xPX xPM

H» qu£ 1.4.2 Cho f l mºt h m sŁ thüc li¶n töc tr¶n t“p âng M trong khæng gian chu'n t›c X: Khi â tçn t⁄i mºt h m sŁ thüc li¶n töc F tr¶n X sao cho

F |M f:

1.5 Khæng gian compact - Khæng gian¤li¶n thæng

ành ngh¾a 1.5.1 T“p K €X cıa khæng gian tæpæ X ÷æc gåi l mºt t“p compact n‚u mØi phı

mð cıa nâ •u câ chøa mºt phı con hœu h⁄n Nâi c¡ch kh¡c, gi£ sß pG qPI l hå c¡c t“p mð thäam¢n K € G th… tçn t⁄i c¡c

ành l‰ 1.5.1 Gi£ sß X l khæng gian compact Khi â måi t“p con âng cıa X

•u l t“p compact.

i•u ng÷æc l⁄i cıa ành l‰ ch¿ óng n‚u nh÷ X l mºt T2-khæng gian.

ành l‰ 1.5.2 N‚u X l mºt T2 - khæng gian th… måi t“p con compact cıa X

•u l t“p âng.

Chøng minh Cho K l t“p compact chøa trong X: Ta chøng minh XzK l t“p

mð L§y y PXzK: Vîi måi x PK •u tçn t⁄i c¡c l¥n c“n mð V pxqcıa x v l¥n

c“n Vxpyqcıa y sao cho V pxq XVxpyq H: Hå U tV pxquxPK l mºt phı mð cıa

K n¶n tçn t⁄i phı con hœu h⁄n:

ành l‰ 1.5.3 Cho X l mºt T2-khæng gian v A; B l hai t“p compact cıa X

v A B : Khi â tçn t⁄i hai t“p mð U; V trong X sao cho A €U; B €V

ành l‰ 1.5.5 Cho pX; Y ql hai khæng gian tæpæ v

X v o Y: N‚u K €X l mºt t“p compact th… fpKq €¹Y công l mºt t“p compact.ành l‰ 1.5.6 ( ành l‰ Tikhonov) ” t‰ch X

PI

tæpæ pX qPI l compact, i•u ki»n cƒn v ı l måi PI; X l c¡c khæng gian compact

Ta nh›c l⁄i r‹ng trong khæng gian Euclide Rn (vîi tæpæ thæng th÷íng), mØi t“p A €Rn lcompact khi v ch¿ khi A âng v bà ch°n

ành l‰ 1.5.7 1) ” mºt t“p con A trong Rn l compact, i•u ki»n cƒn v ı l måi d

¢y b§t ký trong A •u tçn t⁄i mºt d¢y con cıa nâ hºi tö v• mºt i”m trong t“p

A:

2) Łi vîi mØi t“p âng trong Rn; c¡c kh¡i ni»m compact, bà ch°n v ho n to

n bà ch°n l t÷ìng ÷ìng.

1.5.2 Khæng gian compact àa ph÷ìng

ành ngh¾a 1.5.3 Khæng gian tæpæ X ÷æc gåi l compact àa ph÷ìng n‚u vîi måi x PX •u tçn t⁄i mºt l¥n c“n âng v compact

ành l‰ 1.5.8 a) Khæng gian con âng cıa mºt khæng gian compact àa ph÷ìng l mºt khæng gian compact àa ph÷ìng.

b) Khæng gian con mð cıa mºt khæng gian Hausdorff compact àa ph÷ìng l compact àa ph÷ìng.

1.5.3 Compact hâa

pành ngh¾a 1.5.4 Cho X l mºt khæng gian tæpæ khæng compact v cho c°p Y; ’qtrong â Y

l mºt khæng gian compact, ’ : X —’pXq €Y l mºt ph†p çng phæi sao cho ’pXq Y:Khi â ta gåi c°p pY; ’ql mºt compact hâa cıa khæng gian tæpæ X:

B¥y gií gi£ sß pX; ql mºt khæng gian compact àa ph÷ìng nh÷ng khæng compact Kþhi»u 8l mºt i”m khæng thuºc X: °t X8X Y t8u: Ta x¡c ành €PpX8qgçm t§t c£c¡c phƒn tß cıa v nhœng t“p con G €X8câ chøa 8sao cho G U Y t8u; U P v

XzU l t“p compact cıa X: Kþ hi»u i : X —X8l ph†p nhóng çng nh§t

ành l‰ 1.5.9 (Alexandrov) Vîi c¡c kþ hi»u tr…nh b y ð tr¶n ta câ pX8; iql mºt

compact hâa cıa X:

Chøng minh Tr÷îc h‚t ta chøng minh X8l mºt t“p compact Gi£ sß pG qPI

l mºt phı mð cıa X8v 8 PG 0 vîi0 PI: Theo ành ngh¾a, XzG 0 X8zG 0 : ” þ r‹ng, hå pG

qPI công phı XzG 0 n¶n tçn t⁄i1; :::;n PI ” G 1 ; :::; G n phı XzG 0 : V“y G 0 ; :::; G n phı X8:

Ta ki”m tra pX; ql khæng gian con cıa X8: i•u n y hi”n nhi¶n v… vîi måi

G Pta câ G X8XG: Hìn nœa, i : X —X8rª r ng l ph†p çng phæi tł X l¶n ipXq X €X8: TacÆn chøng minh X X8: Th“t v“y, mºt l¥n c“n cıa 8 trong X8câ d⁄ng t8u YU trong â U Hdo

a) f x P r0; 1svîi måi x PX;

b) f x 1 khi x PK;

c) fpxq0 khi x RU:

H» qu£ 1.5.3 Cho X l mºt T2-khæng gian v compact àa ph÷ìng Vîi måi t“p âng F €X v måi x0

RF •u tçn t⁄i h m li¶n töc f x¡c ành tr¶n X sao cho

a) fpxq P r0; 1s;

b) f x0q 1;

1.5.4 Khæng gian li¶n thæng

ành ngh¾a 1.5.5 Khæng gian tæpæ X ÷æc gåi l li¶n thæng n‚u trong X ch¿

câ hai t“p Hv X l çng thíi vła mð v vła âng.

Nâi c¡ch kh¡c, X l mºt khæng gian li¶n thæng n‚u khæng tçn t⁄i hai t“p mð

kh¡c rØng A; B sao cho A XB Hv XA YB:

ành l‰ 1.5.12.£Gi£ sß pA q PI l mºt hå¤nhœng t“p li¶n thæng trong khæng gian

ành ngh¾a 1.5.6 Cho X l khæng gian tæpæ, x PX: Kþ hi»u Cpxql hæp t§t c£ c¡c t“pli¶n thæng A sao cho x PA v ta gåi Cpxql th nh phƒn li¶n thæng cıa x trong X: N‚u

Cpxq txuvîi måi x PX th… X ÷æc gåi l khæng gian ho n to n b§t li¶n thæng

Tł ành ngh¾a ta câ

ành l‰ 1.5.14 Cho X l mºt khæng gian tæpæ Khi â

1) Th nh phƒn li¶n thæng Cpxql t“p li¶n thæng lîn nh§t trong X câ chøa x:

2) VîiHx; y PX ta câ mºt trong hai tr÷íng hæp Cpxq Cpyqho°c

CpxqXCpyq

:

3) Vîi måi x PX ta câ Cpxql mºt t“p âng.

ành l‰ 1.5.15 Gi£ sß f l mºt ¡nh x⁄ li¶n töc tł X v o Y v A l mºt t“p li¶n thæng trong X: Khi â

fpAql t“p li¶n thæng trong Y:

20 ành l‰ sau ¥y n¶u l¶n °c tr÷ng cıa t“p li¶n thæng trong R :

ành l‰ 1.5.16 T“p con E R l li¶n thæng khi v ch¿ khi E thäa m¢n t‰nh

ch§t: Vîi måi x; y PE n‚u x z y th… z PE:

H» qu£ 1.5.4 T“p E trong R l li¶n thæng khi v ch¿ khi E l mºt kho£ng, tøc

b q ; p8 ; b s ; p a;

8q; ra; 8q; p8; 8q; a; bq; ra; bs; pa; bs; pa; bqvîi måi a; b PR:

Ch֓ng 2

C CT P!-M—V

C CH M!-LI NTÖC

Cho pX; ql mºt khæng gian tæpæ v A €X: Mºt i”m x PX ÷æc gåi l i”m tö cıa

A n‚u vîi mØi U Pvîi x PU th… t“p U XA l khæng ‚m ÷æc N«m 1982, Hdeib ành ngh¾a t“p !- âng v t“p !-mð nh÷ sau: A ÷æc gåi l t“p !- âng n‚u nâ chøa t§t c£ c¡c i”m tö cıa nâ Phƒn bò cıa mºt t“p !- âng ÷æc gåi l !-mð Hå t§t c£ c¡c t“p con !-mð cıa X t⁄o th nh mºt tæpæ tr¶n

X: Kþ hi»u l!: Nhi•u kh¡i ni»m tæpæ v k‚t qu£ li¶n quan ‚n t“p !- âng v t“p !-mð ÷æc nh›c ‚n trong [2], [3], [6], [7], [8], [9], [18], [19], [23], [35], [37] v trong nhi•u t i li»u tham kh£o gƒn ¥y

N«m 2002, Csaszar [11] ành ngh¾a khæng gian tæpæ tŒng qu¡t nh÷ sau: C°p pX; qlkhæng gian tæpæ tŒng qu¡t

n‚u X Hv l t“p c¡c t“p con cıa X sao cho H Pv âng vîi c¡c ph†p to¡n hæp tòy þ

Łi vîi khæng gian tæpæ tŒng qu¡t pX; q; c¡c phƒn tß cıa ÷æc gåi l t“p -mð, phƒn bòcıa t“p -mð ÷æc gåi l t“p - âng, hæp t§t c£ c¡c phƒn tß cıa ÷æc kþ hi»u l M ; v pX;

q÷æc gåi l m⁄nh n‚u M X: Gƒn ¥y, nhi•u kh¡i ni»m tæpæ mîi ÷æc ÷a ra trong c§u tróc cıakhæng gian tæpæ tŒng qu¡t, xem [1], [10], [12], [13], [14], [15], [16], [17], [24], [25], [26], [27],[29], [30], [31], [32], [36] — ch÷ìng n y, ta t…m hi”u kh¡i ni»m c¡c t“p -mð trong khæng giantæpæ tŒng qu¡t Sß döng kh¡i ni»m c¡c t“p !-mð ” t…m hi”u c¡c °c tr÷ng Lindelof, compact, li¶ntöc trong c¡c khæng gian tæpæ tŒng qu¡t

2.1 Mºt sŁ kh¡i ni»m trong khæng gian tæpæ tŒng qu¡t

ành ngh¾a 2.1.1 ([14]) Cho pX; ql mºt khæng gian tæpæ tŒng qu¡t v B l t“p c¡c t“p concıa X sao cho H PB: Khi â, B ÷æc gåi l mºt cì sð cıa

€ 22

B1 €Bu : Ta công nâi r‹ng ÷æc sinh ra bði B:

ành ngh¾a 2.1.2 Cho pX; ql mºt khæng gian tæpæ tŒng qu¡t

a) T“p hæp F c¡c t“p con cıa X ÷æc gåi l mºt phı cıa M n‚u M l mºt t“p con cıa hæp c¡c phƒn tß cıa F:

f)pX; q÷æc gåi l Lindelof n‚u mØi phı -mð cıa M câ mºt lîp phı con -mð ‚m ÷æc

ành ngh¾a 2.1.3 ([10]) Gi£ sß pX; ql khæng gian tæpæ tŒng qu¡t v A € X; A H:Khæng gian con tæpæ tŒng qu¡t cıa A tr¶n X l tæpæ tŒng qu¡tA tA XU : U Putr¶nA: C°p pA;Aq÷æc gåi l khæng gian con cıa khæng gian tæpæ tŒng qu¡t pX; q:

H m f : pX; 1q — pY; 2q÷æc gåi l mºt h m tr¶n c¡c khæng gian tæpæ tŒngqu¡t n‚u pX; 1qv pY;2ql c¡c khæng gian tæpæ tŒng qu¡t Ta quy ÷îc, mØi h m l mºt h

m tr¶n c¡c khæng gian tæpæ tŒng qu¡t

ành ngh¾a 2.1.4 ([11]) H m f : pX; 1q — pY; 2q÷æc gåi l p1; 2q-li¶n töc t⁄i i”m x

PX; n‚u vîi måi t“p 2-mð V chøa fpxqtçn t⁄i mºt t“p 1-mð

U chøa x sao cho fpUq €V: N‚u f l p1;2q-li¶n töc t⁄i mØi i”m cıa X th… f ÷æc gåi l

p1;2q-li¶n töc

ành ngh¾a 2.1.5 ([15]) H m f : pX; 1q — pY; 2q÷æc gåi l p1; 2q- âng n‚u fpCql 2âng trong pY; 2qvîi mØi t“p 1- âng C:

-2.2 C¡c t“p !-mð trong c¡c khæng gian tæpæ tŒng qu¡t

ành ngh¾a 2.2.1 Cho pX; ql khæng gian tæpæ tŒng qu¡t v B €X:

a)i”m x PX l i”m tö cıa B n‚u vîi måi A P sao cho x PA; A XB l khæng ‚m ÷æc.T“p t§t c£ c¡c i”m tö cıa B ÷æc kþ hi»u l CondpBq:

b) B l !- - âng n‚u CondpBq €B:

c) B l !- -mð n‚u XzB l !- - âng Hå t§t c£ c¡c t“p !- -mð cıa pX; q ÷æc kþhi»u l!:

ành l‰ 2.2.1 T“p con G cıa khæng gian tæpæ tŒng qu¡t pX; ql !- -mð n‚u

v ch¿ n‚u vîi måi x PG tçn t⁄i U P sao cho x PU v UzG ‚m ÷æc

Chøng minh Ta câ G l !- -mð khi v ch¿ khi XzG l !- - âng khi v ch¿ khi

CondpXzGq €XzG khi v ch¿ khi vîi mØi x PG; x RCondpXzGqkhi v ch¿ khivîi mØi x PG; tçn t⁄i U P sao cho x PU v U X pXzGq UzG ‚m ÷æc

H» qu£ 2.2.1 T“p con G cıa khæng gian tæpæ tŒng qu¡t pX; ql !- -mð n‚u v ch¿ n‚u vîi måi x

PG tçn t⁄i U P v t“p ‚m ÷æc C €M sao cho

x PUzC €G:

Chøng minh. ÒqGi£ sß G l !- -mð v x PG: Theo ành l‰ 2.2.1, tçn t⁄i U P

sao cho x PU v UzG ‚m ÷æc °t C UzG: Khi â C ‚m ÷æc, C €M v x U qC UzpUzGq

€G:

L§y x PG: Theo gi£ thi‚t, tçn t⁄i U P v t“p ‚m ÷æc C €M sao cho

x PUzC €G: V… C UzG €C n¶n UzG ‚m ÷æc

H» qu£ 2.2.2 Cho pX; ql khæng gian tæpæ tŒng qu¡t Khi ⠀!:

Chøng minh L§y G P v x PG: °t U G; C H: Khi â U P; C €M sao

cho x PUzC €G: Do â, theo H» qu£ 2.2.1, G P!:

ành l‰ 2.2.2 Vîi b§t ký khæng gian tæpæ tŒng qu¡t pX; q;! l mºt tæpæ tŒng qu¡t tr¶n X:

Chøng minh Theo€¤H» qu£ ¤2.2.2, H P !: °t tG

!- -mð cıa pX;qv x P G : Tçn t⁄i 0 PJ sao cho x PG 0 : V… G

0 l

PJ

!- -mð n¶n theo H» qu£ 2.2.2, tçn t⁄i U P v t“p ‚m ÷æc C €M sao cho

Theo H» qu£ 2.2.2 suy ra l - -mð.

CondpRzAq ppRzAqzNq €RzA:

Khi â A P!z:

ành l‰ 2.2.3 Cho pX; ql khæng gian tæpæ tŒng qu¡t Khi â M M ! :

Chøng minh V… €! n¶n M €M ! : M°t kh¡c, cho x PM ! : V… M ! P! theo H» qu£2.2.1, tçn t⁄i U Pv t“p ‚m ÷æc C €M sao cho x PUzC €M ! : V… U €M n¶n x

Cho X l mºt t“p khæng ‚m ÷æc, X H: Ta ành ngh¾a tæpæ Łi ‚m ÷æc l t“p hæp cıa t§t c£c¡c t“p con U €X sao cho U Hhay XzU l ‚m ÷æc Ta kþ hi»u tæpæ Łi ‚m ÷æc tr¶n X l

ành l‰ 2.2.5 Cho pX; ql khæng gian tæpæ tŒng qu¡t Khi â ! n‚u v ch¿ n‚u pcocqU

€vîi måi U PztHu:

Chøng minh. ÒqGi£ sß !pv U PztHu: Khi â theo ành l‰ 2.2.4,

Cx €M sao cho x PUxzCx €A:¤Do â

UxzCx PpcocqU x € vîi måi x PA v v…

Gi£ sß pcocqU € vîi måi U PztHu: Ch¿ cƒn chøng tä r‹ng ! €: Cho

A P !ztHu: Theo H» qu£ 2.2.1, vîi mØi x PA tçn t⁄i Ux Pv t“p ‚m ÷æc

th‚ UxzCx P: V“y

A tUxzCx : x PAu P:

ành ngh¾a 2.2.2 Khæng gian tæpæ tŒng qu¡t pX; q÷æc gåi l ‚m ÷æc àa ph÷ìng n‚u

M Hv vîi måi x PM ; tçn t⁄i U Psao cho x PU v U l ‚m ÷æc

ành l‰ 2.2.6 N‚u pX; ql khæng gian tæpæ tŒng qu¡t ‚m ÷æc àa ph÷ìng th… ! l tæpæríi r⁄c tr¶n M :

pChøng minh Ta chøng tä r‹ng måi t“p con cıa M l !- -mð Cho x PM ; v…

X; ql ‚m ÷æc àa ph÷ìng n¶n tçn ⁄i U P sao cho x PU v U l ‚m ÷æc Theo ành l‰ 2.2.4,

Chøng minh. ÒqGi£ sß pX; !ql compact ‚m ÷æc v M l væ h⁄n Chån t“p con khæng ‚m

÷æc tan : n PNuvîi ai aj khi i j cıa M : Vîi mØi n PN; °t An M ztak : k ¥nu: Khi â tAn :

n PNul mºt phı !-mð cıa M ! M v do â nâ câ phı con hœu h⁄n, chån tAn ; An ; :::; An k utrong â

Gi£ sß M l hœu h⁄n N‚u M Hta câ i•u ph£i chøng minh N‚u M Hth… theo H»qu£ 2.2.3, l tæpæ ríi r⁄c tr¶n M ; trong â M l hœu h⁄n Do â pX;!ql compact ‚m ÷æc

H» qu£ 2.2.5 Cho pX; ql

compact n‚u v ch¿ n‚u M l

khæng gian tæpæ tŒng qu¡t Khi â pX;!ql hœu h⁄n

BŒ • 2.2.1 Cho pX; ql khæng gian tæpæ tŒng qu¡t v °t B l mºt cì sð cıa : Khi â pX;

ql Lindelof n‚u v ch¿ n‚u måi phı -mð cıa M bao gçm c¡c phƒn tß cıa B câ mºt phı con ‚m

־c

pành l‰ 2.2.8 Khæng gian tæpæ tŒng qu¡t pX; ql Lindelof khi v ch¿ khi X;!ql Lindelof