Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán liên quan đến đường thẳng và đường tròn trong mặt phẳng toạ độ theo hướng phát huy năng lực học sinh

Sáng kiến kinh nghiệm được hoàn thành với mục tiêu nhằm giúp học sinh hiểu được bản chất của vấn đề, các em không còn lúng túng trong việc áp dụng dạng toán này, mặt khác tạo ra cho các em hứng thú trong giải toán.

 S  GIÁO D C VÀ ĐÀO T O VĨNH PHÚCỞ Ụ Ạ

HƯỚNG D N H C SINH GI I M T S  BÀI TOÁN LIÊN QUANẪ Ọ Ả Ộ Ố  

Đ N ĐẾ ƯỜNG TH NG VÀ ĐẲ ƯỜNG TRÒN TRONG M T PH NGẶ Ẳ  

T A ĐỌ Ộ THEO HƯỚNG PHÁT HUY NĂNG L C H C SINHỰ Ọ

   Tác gi  sáng ki n:  ả ế DƯƠNG TH  THU HỊ ƯƠNG 

    Mã sáng ki n: 04.52.02ế

       8. Nh ng thông tin c n đữ ầ ược b o m tả ậ 31

 9. Các đi u ki n c n thi t đ  áp d ng sáng ki nề ệ ầ ế ể ụ ế 30

     10. Đánh giá l i ích thu đợ ược do áp d ng sáng ki nụ ế 31

     11. Danh sách nh ng t  ch c/cá nhân đã tham gia áp d ng th  ữ ổ ứ ụ ử

BÁO CÁO K T QUẾ Ả

NGHIÊN C U,  NG D NG SÁNG KI NỨ Ứ Ụ Ế

1. L i gi i thi uờ ớ ệ

 Trong chương trình toán h c ph  thông, phọ ổ ương pháp t a đ  trong m tọ ộ ặ  

ph ng là m t d ng toán khó đ i v i h c sinh. Nh ng d ng toán này l i r tẳ ộ ạ ố ớ ọ ư ạ ạ ấ  quan tr ng, nó có m t h u h t trong các kì thi THPT Qu c Gia và thi h c sinhọ ặ ầ ế ố ọ  

gi i T nh.ỏ ỉ

Khi g p d ng toán này, h c sinh thặ ạ ọ ường c m th y r t khó khăn và lúngả ấ ấ  túng v  phề ương pháp cũng nh  tính toán. Nguyên nhân là do các em ch a n mư ư ắ  

ch c ki n th c. Đ  giúp các em h c sinh có đắ ế ứ ể ọ ược k  năng t t trong vi c gi iỹ ố ệ ả  

nh ng d ng toán này, vi c rèn luy n  k  năng, b i dữ ạ ệ ệ ỹ ồ ưỡng năng l c t  duy choự ư  

h c sinh thông qua các bài toán là m t đi u r t c n thi t. Mu n làm t t đọ ộ ề ấ ầ ế ố ố ượ  c

đi u đó, ngề ười th y không ch  đôi m i phầ ỉ ̉ ớ ương pháp mà còn ph i có ki n th cả ế ứ  

v a chuyên, v a sâu, d n d t h c sinh tìm hi u m t cách lôgic b n ch t c aừ ừ ẫ ắ ọ ể ộ ả ấ ủ  toán h c. T  đó giúp các em có k  năng áp d ng phọ ừ ỹ ụ ương pháp này và t o nênạ  

s  say mê trong vi c h c môn Toán.ự ệ ọ

Phương pháp t a đ  trong m t  ph ng  đã có  các tài li u qua m ngọ ộ ặ ẳ ệ ạ  internet và các bài vi t c a đ ng nghi p chia s , đ  c p đ n, nh ng tôi th yế ủ ồ ệ ẻ ề ậ ế ư ấ  

ch a phát huy đư ược năng l c c a h c sinh, cũng nh  không th  áp d ng đự ủ ọ ư ể ụ ượ  c

đ i v i h c sinh trố ớ ọ ường tôi. B i h  th ng bài t p ch a th  hi n t  d  đ nở ệ ố ậ ư ể ệ ừ ễ ế  khó, t  đ n gi n đ n các bài t p t ng h p.ừ ơ ả ế ậ ổ ợ

Cho nên, qua nhi u năm gi ng day môn toan   trề ả ̣ ́ ở ương THPT Dân T c̀ ộ  

N i Trú khi d y t i ph n phộ ạ ớ ầ ương pháp t a đ  trong m t ph ng tôi luôn bănọ ộ ặ ẳ  khoăn làm th  nào đ  cho gi  d y c a mình đ t k t qu  cao nh t, các em chế ể ờ ạ ủ ạ ế ả ấ ủ 

đ ng trong vi c chi m lĩnh ki n th c. Th y đóng vai trò là ngộ ệ ế ế ứ ầ ười đi u khi nề ể  

đ  các em tìm đ n đích c a bai toan. Chính vì l  đó, trong nhiêu năm qua tôi đaể ế ủ ̀ ́ ẽ ̀ ̃ 

đ u t  th i gian nghiên c u vê linh v c phầ ư ờ ứ ̀ ̃ ự ương pháp t a đ  trong m t ph ng,ọ ộ ặ ẳ  chu trong vao dang toan liên quan đ n đ́ ̣ ̀ ̣ ́ ế ường th ng và đẳ ường tròn, m t m t làộ ặ  giúp h c sinh hi u đọ ể ược b n ch t c a v n đ , các em không còn lúng túngả ấ ủ ấ ề  trong vi c áp d ng d ng toán này, m t khác t o ra cho các em h ng thú trongệ ụ ạ ặ ạ ứ  

gi i toán.ả

T  nh ng lý do trên, tôi đã khai thác, h  th ng hóa các ki n th c và t ngừ ữ ệ ố ế ứ ổ  

h p thành m t đ  tài sáng ki n kinh nghi m “ợ ộ ề ế ệ H ướ ng d n h c sinh gi i m t ẫ ọ ả ộ  

s  bài toán liên quan đ n đ ố ế ườ ng th ng và đ ẳ ườ ng tròn trong m t ph ng to ặ ẳ ạ  

đ  theo h ộ ướ ng phát huy năng l c h c sinh” ự ọ  . Đ  tài này tôi đã áp d ng trongề ụ  công tác gi ng d y năm h c này và đã đ t đả ạ ọ ạ ược nh ng k t qu  kh  quan.   ữ ế ả ả

2. Tên sáng ki n:ế  H ướ ng d n h c sinh gi i m t s  bài toán liên quan đ n  ẫ ọ ả ộ ố ế

đ ườ ng th ng và đ ẳ ườ ng tròn trong m t ph ng to  đ  theo h ặ ẳ ạ ộ ướ ng phát huy  năng l c h c sinh ự ọ  

3. Tác gi  sáng ki n:ả ế

­ H  và tên:ọ  D ng Th  Thu H ngươ ị ươ

­ Đ a ch  tác gi  sáng ki n: Trị ỉ ả ế ường PT DTNT C p 2­3 Vĩnh Phúc.ấ

­ S  đi n tho i:0975521031.E_mail:duonghuong.dtnt@gmail.comố ệ ạ

4. Ch  đ u t  t o ra sáng ki n:ủ ầ ư ạ ế  Dương Th  Thu Hị ương

Khi áp d ng phụ ương pháp  t a đ  trong m t ph ngọ ộ ặ ẳ   ta c n n m v ngầ ắ ữ  

ki n th c v  ế ứ ề t a đ , phọ ộ ương trình c a đủ ường th ng, ẳ phương trình đường tròn 

    + Cho A x y( A; A) &B x y( B; B)  Ta có: uuurAB=(x B−x y A; B −y A)

3. To  đ  trung đi m c a đo n th ng. To  đ  tr ng tâm tam giác.ạ ộ ể ủ ạ ẳ ạ ộ ọ

y y y

+

= +

    +Cho tam giác ABC, có A x y( A; A) (,B x y B; B) (,C x y C; C)

y y y y

+ +

= + +

=

II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TH NG.Ẳ

1. Vect  ch  phơ ỉ ương c a đủ ường th ng.ẳ

   Đ nh nghĩa: ị Vect  ơ urđược g i là vect  ch  phọ ơ ỉ ương c a đủ ường th ng ẳ ∆ n uế  0

ur rvà giá c a ủ ur song song ho c trùng v i ặ ớ ∆

2. Phương trình tham s  c a đố ủ ường th ng.ẳ

Phương trình tham s  c a đố ủ ường th ng ẳ ∆ đi qua đi m Mể 0(x0;y0) và nh n vectậ ơ 

3. Vect  pháp tuy n c a đơ ế ủ ường th ng.ẳ

   Đ nh nghĩa: ị Vect  ơ nr được g i là vect  pháp tuy n c a đọ ơ ế ủ ường th ng ẳ ∆ n uế  0

n

r r

và nr vuông góc v i vect  ch  phớ ơ ỉ ương c a đủ ường th ng ẳ ∆

4. Phương trình t ng quát c a đổ ủ ường th ng.ẳ

   Đ nh nghĩa: ị Phương trình ax by c+ + = 0 v i a và b không đ ng th i b ng 0ớ ồ ờ ằ  

được g i là phọ ương trình t ng quátổ  c a đ ng th ng.ủ ườ ẳ

   Nh n xét:ậ  N u đế ường th ng ẳ ∆ có  phương trình ax by c+ + = 0 thì ∆ có vectơ pháp tuy n là ế n a br( ); và có vect  ch  phơ ỉ ương là u b ar(− ; )

5. V  trí tị ương đ i c a hai đố ủ ường th ng.ẳ

Xét hai đường th ng ẳ ∆ 1 & ∆ 2có phương trình TQ l n lầ ượt là a x b y c1 + 1 + = 1 0 và 

a x b y c

a x b y c

+ + = + + =  (I)

+ H  (I) có 1 nghi m (xệ ệ 0 ; y0), khi đó ∆ ∆ 1 2 t i đi m Mạ ể 0(x0 ; y0)

+  H  (I) có vô s  nghi m khi đó ệ ố ệ ∆ 1 ∆ 2 

2 1

2 1

2 2 2 1

b a b a

b b a a

Chú ý: ∆ ⊥ ∆1 2 �nr1 ⊥nr2 �a a1 2 +b b1 2 =0

7. Công th c tính tính kho ng cách t  m t đi m đ n m t đứ ả ừ ộ ể ế ộ ư ờng th ng.ẳ

Trong   mp   Oxy   cho   đường   th ng  ẳ có   phương   trình   ax+by+c=0   và   đi mể  

M0(x0;y0). Kho ng cách t  đi m Mả ừ ể 0 đ n đế ường th ng ẳ , kí hi u d(Mệ 0,  ), đ­

ư c tính b i công th c: d(Mợ ở ứ 0,  ) = .

2 2 0 0

b a

c by ax

III. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

3. Phương trình ti p tuy n c a đế ế ủ ường tròn

  Ti p tuy nế ế  c a đủ ường tròn (C) tâm I(a;b) t i đi m M(xạ ể 0; y0) có PT:

  (x0 −a x x)( − 0 ) ( + y0 −b y y)( − 0 ) 0 =

7.1.2. BÀI T P ÁP D NGẬ Ụ

Bài 1: L p PT tham s  c a đ ng th ng d:ậ ố ủ ườ ẳ

a. d đi qua đi m ể M(− 1;4) và có vect  ch  phơ ỉ ương ur= −( 3;2) ;

b. d đi qua đi m ể M(2; 1 − ) và có vect  pháp tuy n ơ ế nr=( )5;1

(x ­ a) 2  + (y ­ b) 2  = R 2  

a. Ta có: M(­5; ­8) và có h  s  góc k = ­3 nên vtcpệ ố ur(1;­3)  vtpt nr(3;1).Nên PT 

t ng quát c a ổ ủ ∆là: 3x+y+23=0

b.  Ta có: uuurAB(­6;4)  vtpt nr(4;6). Nên PT t ng quát c a ổ ủ ∆là: 2x+3y­7=0

Bài 3: Trong m t ph ng t a đ  ặ ẳ ọ ộ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm  I( )3;3  và 

­ Tìm t a đ  đi mọ ộ ể  N’ đ i x ng v i ố ứ ớ N qua I

­ Vi t phế ương trình đường th ng AB đi quaẳ  M, N’

Bài 4: Trong măt phăng toa đô ̣ ̉ ̣ ̣ Oxy, cho tam giác ABC có các đường cao AE, 

BF c t nhau t i ắ ạ H(− 2;6). Đường tròn ( )K  ngo i ti p tam giác ạ ế HEF có phươ  ngtrình ( ) (2 )2

­ T a đ  đi m C thu c đ ng tròn (K)ọ ộ ể ộ ườ

­ L p ph ng trình đ ng th ng AC, BH, ABậ ươ ườ ẳ

­ T  đó tìm t a đ  các đi m ừ ọ ộ ể A, B, C.

F

A M N

C nh ạ AB qua M , nh n ậ HCuuur=(6; 8 − ) là véc t  pháp tuy n nên có phơ ế ương

Bài 5: Trong m t ph ng t a đ  Oxy, cho tam giác ABC nh n tr c hoành làmặ ẳ ọ ộ ậ ụ  

đường phân giác trong c a góc A, đi m  ủ ể E 3; 1( − )   thu c độ ường th ng BC vàẳ  

đường tròn ngo i ti p tam giác ABC có phạ ế ương trình x2 y2 2x 10y 24 0. Tìm t a đ  các đ nh A, B, C  bi t đi m A có hoành đ  âm. ọ ộ ỉ ế ể ộ

Đường tròn ngo i ti p có tâm I(1;5)ạ ế

T a đ  đi m A là nghi m c a h : ọ ộ ể ệ ủ ệ

B K

Bài 6: Trong m t ph ng t a đ  Oxy, cho tam giác ABC vuông t i B, ặ ẳ ọ ộ ạ BC 2BA =  

G i E, F l n lọ ầ ượt là trung đi m c a BC, AC. Trên tia đ i c a tia FE l y đi mể ủ ố ủ ấ ể  

M sao cho  FM 3FE =  Bi t đi m M có t a đ  ế ể ọ ộ (5; 1 − ), đường th ng AC cóẳ  

phương trình 2x y 3 0 + − = , đi m A có hoành đ  là s  nguyên. Xác đ nh t a để ộ ố ị ọ ộ các đ nh c a tam giác ABC.ỉ ủ

Phân tích:

­ Ch ng minhứ BM AC ⊥

­ Vi t ph ng trình đ ng th ng BMế ươ ườ ẳ

­ Tìm t a đ  đi m I là giao đi m c a BM và AC.ọ ộ ể ể ủ

­ Tìm t a đ  đi m A, B, C.ọ ộ ể

x 2y 7 0 y 11

5

= + − =

E C

A B

Ta có AC 5AIuuur= uur= −( 2;4) C 1;1( )  V y ậ A 3; 3( − ),B 1; 3( − ) ,C 1;1( )

Bài 7: Trong m t ph ng v i h  t a đ  Oxy, cho hình ch  nh t ABCD có tâmặ ẳ ớ ệ ọ ộ ữ ậ  I(1;3). G i N là đi m thu c c nh AB sao choọ ể ộ ạ 2

3

AN= AB.  Bi t đế ường th ngẳ  

DN có phương trình: x + y ­ 2=0 và AB=3AD. Tìm t a đ  đi m B.ọ ộ ể

Phân tích:

­ Vi t phế ương trình đường th ng BD đi qua I và có vtptẳ n a b ar( ; )( 2 +b2 0)

­ Tính góc gi a hai đ ng th ng BD và DNữ ườ ẳ

­ Tìm t a đ  đi m D là giao đi m c a BD và DN và ọ ộ ể ể ủ t a đ  đi m B.ọ ộ ể

= +

­ Vi t ph ng trình đ ng th ng AFế ươ ườ ẳ

­ Tìm t a đ  đi m F, Eọ ộ ể

­ Vi t phế ương trình đường th ng AEẳ

4 0

1

0 7

3

C y

x y

x

B B

T a đ  đi m H là nghi m c a h :ọ ộ ể ệ ủ ệ

Bài 10: Trong m t ph ng to  đ  Oxy, cho các đ ng th ng ặ ẳ ạ ộ ườ ẳ d1 : 3x+ 2y− = 4 0;

 d2 : 5x− 2y+ = 9 0. Vi t phế ương trình đường tròn có tâm I d2 và ti p xúc v i ế ớ d1

Do đường tròn ti p xúc v i đế ớ ường th ng ẳ d1 t i đi m A nên ạ ể IA d⊥ 1. 

V y phậ ương trình IA là: 2(x+ − 2) (3 y− = 5) 0 � 2x− 3y+ = 19 0      

 K t h p ế ợ I d2nên t a đ  tâm ọ ộ I là nghi m h  ệ ệ 5 2 9 0 1 ( )1;7

4 4 4 0

AB B

­ L p pậ hương trình đường  tròn ngo i ti p ạ ế ∆ABC

­ G i D là giao đi m th  hai c a đ ng phân giác trong     ọ ể ứ ủ ườ

­ L p pậ hương trình đường  th ng BC.ẳ

Gi i:ả  

+ Ta có IA= 5. Phương trình đường  tròn ngo i ti pạ ế ∆ABC là:

( )C : (x− 1) 2 + − (y 7) 2 = 25

+ G i D là giao đi m th  hai c a đọ ể ứ ủ ường phân giác trong      

góc A v i đớ ường tròn ngo i ti p ạ ế ∆ABC. T a đ  ọ ộ

c a D là nghi m c a h : ủ ệ ủ ệ 2 2 ( )

1 0

2;3 ( 1) ( 7) 25

7 4 31

131 5

V y phậ ương trình c nh BC là : ạ 9x+ 12y− 117 0 =  ho c ặ 15x+ 20y− 131 0 =

Bài 13: Trong m t ph ng v i h  to  đ  Oxy, cho đ ng tròn ặ ẳ ớ ệ ạ ộ ườ

(C): x2 + y2 + 4x+ 2y+ = 3 0 và đi m M(­3;2). G i I là tâm c a để ọ ủ ường tròn (C). 

Vi t phế ương trình đường th ng qua M c t (C) t i hai đi m phân bi t A và Bẳ ắ ạ ể ệ  sao cho di n tích tam giác IAB l n nh t.ệ ớ ấ

Phân tích:

­ Tính di n tích tam giác IAB. Di n tích này l n nh t khi nàoệ ệ ớ ấ

­ L p phậ ương trình đường th ng ẳ ∆ qua M(­3;2), vect  pháp tuy n ơ ế

2 2 ( ; ),  ( 0)

 gi a cung nh  BC. Do đó ữ ỏ ID BC⊥ hay đường th ng BCẳ

 nh n véc t  ậ ơ uuurDI=( )3;4 làm vec t  pháp tuy n.ơ ế

+ KẻAH ⊥BC. Do S∆ABC = 4S∆IBC     nên AH = 4IK

K H D

I

C B

A

Di n tích tam giác IAB là: ệ 1 .sinﾣ 1 2.sinﾣ sinﾣ 1

*) 3a=4b: PT đường th ng c n tìm là: 4x+3y+6=0.ẳ ầ

V y có hai đậ ường th ng tho  mãn đ  bài: x+3=0, 4x+3y+6=0.ẳ ả ề

Bài 14: Trong m t ph ng Oxy, cho đ ng tròn ặ ẳ ườ  ( ) :C x2 + y2 − 4x− 6y+ = 12 0 có tâm I và  đ ng th ng ườ ẳ  ( ): d x y+ − = 4 0. Tìm  trên  đ ng  th ng  (d)  đi m M sao cho ti pườ ẳ ể ế  tuy n c a (C) qua M ti p xúc v i (C) t i A, B và  tam  giác IAB  có  di n  tích  l n  nh t.ế ủ ế ớ ạ ệ ớ ấ

Phân tích:

­ Tính di n tích tam giác IAB. Di n tích này l n nh t khi nàoệ ệ ớ ấ

­ Tìm  trên  đ ngườ   th ng (d) đi m Mẳ ể

­ L p phậ ương trình đường th ng Iẳ 1I2

­ G i ọ H AB I I = 1 2 . Ta tính I1H , I2H

Bài 16:  Trong m t ph ng Oxy cho đ ng tròn (C)ặ ẳ ườ  :  x2 +y2 − 6x+ 2y+ = 6 0  và 

đường th ng ẳ d: 2x y− + = 1 0. Tìm đi m ể M d sao cho t  M k  đừ ẻ ược hai ti pế  tuy n đ n (C) các ti p đi m là A, B; bi t r ng đế ế ế ể ế ằ ường th ng  AB đi qua đi mẳ ể(2; 1)

Phân tích:

­ Xác đ nh tâm và bán kính c a đị ủ ường tròn(C). 

­ Vi t phế ương trình đường tròn(C )1 tâm M bán kính MA

­ Vi t phế ương trình đường th ng AB bi t A, B là giao c a (C) vàẳ ế ủ (C ) 1  

­ Cho đi m M thu c đ ng th ng AB, tìm M.ể ộ ườ ẳ

Bài 17: Trong m t ph ng t a đ  ặ ẳ ọ ộ Oxy, cho đường th ng ẳ d x: − 3y− = 2 0 và hai 

đi m phân bi t  ể ệ A( )1; 3 và  B  không thu c độ ường th ng  ẳ d. L p phậ ương trình 

đường th ng ẳ AB bi t r ng kho ng cách t  đi m ế ằ ả ừ ể B đ n giao đi m c a ế ể ủ AB và d 

2 4 6

C A

O B

Bài 18: Trong m t ph ng v i h  to  đ  ặ ẳ ớ ệ ạ ộ Oxy, cho đường th ng ẳ ∆ : 3x− 4y+ = 4 0 

và đi m ể C(2; 5 − )  Tìm trên ∆ hai đi m ể A và B đ i x ng nhau quaố ứ 2;5

2

I � �� �

� � sao cho

2

0 2

a a

V y hai đi m c n tìm là  A(0;1) và B(4;4), ho c B(0;1) và A(4;4).ậ ể ầ ặ

Bài 19: Trong m t ph ng to  đ  ặ ẳ ạ ộ Oxy, cho hình tam giác ABC có di n tích b ngệ ằ  

2. Bi t ế A(1;0), B(0;2)và trung đi m ể I c a  ủ AC n m trên đằ ường th ng ẳ y x=  Tìm 

to  đ  đ nh ạ ộ ỉ C. 

Phân tích:

là véc t  pháp tuy n nên ơ ế AB có phương trình là: 2x y+ − = 2 0.

Vì  I  thu c   độ ường   th ng  ẳ y x=   nên  I t t( ; )mà  I  là   trung   đi m   c a  ể ủ AC  nên 

Bài 20:  Trong m t ph ng t a đ  ặ ẳ ọ ộ Oxy, cho hai đi m  ể M(3;1) và  I(2;­2). Vi tế  

phương trình đường th ng ẳ d đi qua đi m  ể M  và c t tr c  ắ ụ Ox, Oy l n l ầ ượ ạ A t t i  

V i ớ a b= + 4, thay vào (1) ta được ( )a b; = (6;2)ho c ặ ( ; ) (2; 2)a b = −

T  đó, phừ ương trình đường th ng d là ằ x+ 3y− = 6 0 ho c ặ x y− − = 2 0

V y có hai đậ ường th ng th a mãn yêu c u bài toán là  ẳ ỏ ầ d x: + 3y− = 6 0ho cặ  

d x y− − =

Bài 21:  Trong m t ph ng v i h  t a đ  ặ ẳ ớ ệ ọ ộ Oxy, cho tam giác  ABC  có   C( )5;1 , 

đi m  ể B  thu c độ ường th ng  ẳ x y+ + = 6 0  và trung tuy n  ế AM. Đi m  ể N( )0;1   là trung đi m c a ể ủ AM, đi m ể D(− − 1; 7) không n m trên đằ ường th ng ẳ AM và n mằ  khác phía v i ớ A so v i đớ ường th ng ẳ BC đ ng th i kho ng cách t  ồ ờ ả ừ A và D t iớ  

đường th ng ẳ BC b ng nhau. Xác đ nh t a đ  các đi m ằ ị ọ ộ ể A, B.

Phân tích:

     ­   Do A, D n m khác phía so v i ằ ớ BC và cách đ u  ề BC suy ra BC đi qua trung 

đi m ể I c a  ủ AD.

­ G i ọ G a b( );  là giao đi m c a ể ủ DN và MI suy ra G là trong tâm c a tam giácủ  

ADM

­ L p ph ng trình đ ng th ng BCậ ươ ườ ẳ

­ Tìm t a đ  đi m B, M, A.ọ ộ ể

Gi i:ả

Do A, D n m khác phía so v i ằ ớ BC và cách 

đ u ề BC suy ra BC đi qua trung đi m  ể I c aủ  

AD.

G i ọ G a b( );  là giao đi m c a ể ủ DN và MI suy 

ra G là trong tâm c a tam giác ủ ADM

1 5

;

3 3

a a

b G

Bài 22: Trong m t ph ng v i h  t a đ  ặ ẳ ớ ệ ọ ộ Oxy, cho đ ng th ngườ ẳ  ( ) : 2d x y− + = 2 0 

và hai đi mể   A(4;6),B(0; 4) −  Tìm trên đ ng th ngườ ẳ  ( )d  đi m ể M sao cho vectơ 

Gi i:ả  Ta có nuurd = − (1; 2) �uuurd = (2;1) =nuuurAC

Khi đó AC: 2(x+ + − = 1) y 2 0 � 2x y+ = 0

G i ọ C= AC d. T a đ  c a ọ ộ ủ C là nghi m c a h :ệ ủ ệ

) 5

6

; 5

3 ( 5

6 5

x y

3 4 1

16 0

64 108

45 2

y

y y

15 15

B −

 ho c ặ 2

1 4 ( ; )

3 3

B −Bài 24: 

Trong m t ph ng v i h  t a đ  ặ ẳ ớ ệ ọ ộ Oxy, cho hình ch  nh t ữ ậ ABCD có di n tích ệ S=

6, đi m  ể I(1;0) là giao đi m c a hai để ủ ường chéo.Trung đi m c a c nh ể ủ ạ AB là 

D

B

C M

Bài 25: Trong m t ph ng v i h  tr c t a đ  ặ ẳ ớ ệ ụ ọ ộ  Oxy  cho tam giác ABC vuông đ nhỉ  

A. Bi t  ế C( )2;2 , đi m  ể I( )1;0   là trung đi m c nhể ạ   BC, c nh  ạ AB  song song v iớ  

đường th ng ẳ x y+ = 0. Tìm t a đ  hai đ nh ọ ộ ỉ A, B.

  ( ) :C x2+y2−2x−2y+ =1 0, ( ') :C x2+y2+4x− =5 0  cùng   đi   qua  M(1; 0)   Vi tế  

phương trình đường th ng ẳ d qua M c t hai đắ ường tròn (C), (C’) l n l ầ ượ ạ A t t i 

và B ( A khác M ) sao cho  MA= 2MB

Phân tích:

­ L p phậ ương trình đường th ng d qua M có vect  pháp tuy n là ẳ ơ ế n a br( ; ) 

­ G i H, H’ l n l t là trung đi m c a AM, BM.ọ ầ ượ ể ủ

­ MA= 2MB� IA2 −IH2 = 2 I B' 2 −I H' ' 2

Gi i: ả