60 đề thi HSG toán 12 năm 2021 2022 lớp 12

Chủ quán không biết rõ chủ của những chiếc mũ đó nên gửi trả cho họ một cách ngẫu nhiên.. Trong đó, A là số lượng vi khuẩn ban đầu, S t là số lượng vi khuẩn có được sau thời gian t phú

1 Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Khánh Hòa

2 Đề thi chọn HSG tỉnh Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Thừa Thiên Huế

3 Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Lào Cai

4 Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT tỉnh Đồng Nai

5 Đề thi học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Hưng Yên

6 Đề kiểm tra đội tuyển HSG lần 1 Toán 12 năm 2020 – 2021 trường THPT Vĩnh Lộc – Thanh Hóa

7 Đề thi HSG Toán 12 cấp tỉnh năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Thanh Hóa

8 Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2020 – 2021

9 Đề khảo sát học sinh giỏi Toán 12 năm 2020 – 2021 trường THPT Quế Võ 1 – Bắc Ninh

10 Đề chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Gia Lai (Bảng B)

11 Đề chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Hải Phòng (Bảng B)

12 Đề thi HSG Toán 12 cấp tỉnh năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Bà Rịa – Vũng Tàu

13 Đề khảo sát HSG Toán 12 năm 2020 – 2021 trường THPT Hưng Nhân – Thái Bình

14 Đề chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Hà Tĩnh

15 Đề chọn đội tuyển thi HSG Toán Quốc gia năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Tiền Giang

16 Đề chọn đội tuyển thi HSG Toán Quốc gia năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT An Giang

17 Đề chọn đội tuyển thi HSG Toán Quốc gia 2020 – 2021 trường chuyên Bến Tre (lần 2)

18 Đề thi chọn HSG cấp huyện Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Cao Bằng

19 Đề chọn đội tuyển HSG Toán THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT TP HCM

20 Đề chọn đội tuyển thi HSG Toán Quốc gia năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Thái Nguyên

21 Đề chọn đội tuyển thi HSG Toán Quốc gia năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Ninh Bình

22 Đề chọn đội tuyển thi HSG Toán Quốc gia năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Hưng Yên

23 Đề lập đội tuyển thi HSG Toán Quốc gia năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Bình Định

24 Đề chọn đội tuyển HSG Toán 12 THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Quảng Trị

25 Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Nghệ An (Bảng A)

26 Đề chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Hải Dương

27 Đề chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Bình Định

28 Đề chọn đội tuyển HSG Toán 12 THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Hà Nội

29 Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán năm 2021 sở GD&ĐT Lâm Đồng

30 Đề thi HSG Toán THPT cấp tỉnh năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Ninh Bình

31 Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Quảng Trị

32 Đề thi HSG Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Bà Rịa – Vũng Tàu

33 Đề chọn đội tuyển HSG Toán THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Hà Tĩnh

34 Đề chọn đội tuyển thi HSG Quốc gia môn Toán năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Kiên Giang

35 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Hà Nội

36 Đề bồi dưỡng HSG Toán 12 năm 2020 – 2021 trường THPT Liễn Sơn – Vĩnh Phúc

37 Đề chọn đội tuyển HSG Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Phú Thọ (Ngày 1)

38 Đề chọn đội tuyển HSG Toán THPT năm 2021 sở GD&ĐT Khánh Hòa (Vòng 1)

39 Đề chọn đội tuyển HSG Toán 12 năm học 2020 – 2021 sở GD&ĐT Quảng Bình

40 Đề chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia 2021 môn Toán sở GD&ĐT Đồng Tháp

41 Đề thi học sinh giỏi Toán năm học 2020 – 2021 sở GD&ĐT Bắc Giang

42 Đề chọn đội tuyển HSG Toán năm 2021 sở GD&ĐT tỉnh Đồng Nai

43 Đề thi lập đội tuyển HSG Toán THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Đắk Lắk (ngày 2)

44 Đề thi lập đội tuyển HSG Toán THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Đắk Lắk (ngày 1)

45 Đề thi HSG Toán cấp trường năm 2020 – 2021 trường chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa

46 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm học 2020 – 2021 sở GD&ĐT Hà Nam

47 Đề chọn đội tuyển thi HSG Quốc gia Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Bến Tre

48 Đề chọn học sinh giỏi Toán năm 2020 – 2021 trường THPT chuyên Bến Tre

49 Đề chọn đội tuyển Toán năm 2020 – 2021 trường THPT chuyên Trần Phú – Hải Phòng

50 Đề thi HSG Toán 12 năm 2020 – 2021 trường THPT chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi

51 Đề thi thử HSG Toán vòng 1 lần 2 năm 2020 – 2021 trường chuyên Hùng Vương – Bình Dương

52 Đề thi HSG Toán 12 (vòng 2) năm 2020 – 2021 trường chuyên Nguyễn Du – Đắk Lắk

53 Đề thi HSG Toán 12 (vòng 1) năm 2020 – 2021 trường chuyên Nguyễn Du – Đắk Lắk

54 Đề chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2020 – 2021 trường THPT Chu Văn An – Hà Nội

55 Đề thi học sinh giỏi Toán 12 THPT cấp tỉnh năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Quảng Nam

56 Đề thi HSG Toán 12 năm học 2019 – 2020 sở GD&ĐT thành phố Hồ Chí Minh

57 Đề thi chọn HSG Toán THPT cấp tỉnh năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT An Giang

58 Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm học 2019 – 2020 sở GD&ĐT Đà Nẵng

59 Đề thi HSG cấp tỉnh Toán 12 năm học 2019 – 2020 sở GD&ĐT Bến Tre

60 Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Đồng Tháp

1

Câu I(4 điểm)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y f x x33x2

2 Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y  3 m x   2 x   cắt trục hoành tại ba điểm 3 2 phân biệt

Câu II(4 điểm)

1 Giải phương trình lượng giác: cos 2 3 1 sin  2cos 2sin 2 2sin 1

1 Bốn người khách cùng ra khỏi quán và bỏ quên mũ Chủ quán không biết rõ chủ của những chiếc mũ đó nên gửi trả cho họ một cách ngẫu nhiên Tìm xác suất để cả bốn người cùng được trả sai mũ

2 Số lượng của một loài vi khuẩn trong phòng thí nghiệm được tính theo công thức ( ) S t  A e rt Trong đó, A là số lượng vi khuẩn ban đầu, ( ) S t là số lượng vi khuẩn có được sau thời gian t (phút), 0

r là tỷ lệ tăng trưởng không đổi theo thời gian và t là thời gian tăng trưởng Biết rằng số lượng

vi khuẩn ban đầu có 500 con và sau 5 giờ có 1500 con Hỏi sao bao lâu, kể từ lúc bắt đầu, số lượng

vi khuẩn đạt 121500 con ?

Câu IV(6 điểm)

1 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C có đáy ’ ’ ’, ABC là tam giác vuông với ABBC2 và A’ cách đều các đỉnh , , A B C Gọi , L K lần lượt là trung điểm của BC AC Trên các đoạn ’ , ’ , A B A A lần lượt lấy M N sao cho , MA ’ 2  BM AA , ’ 3 ’  A N Tính thể tích khối tứ diện MNKL biết ,

A L 

2 Bạn An muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác đều ABC có cạnh bằng 90 cm  Bạn cắt mảnh tôn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn nguyên liệu (với M , N thuộc cạnh BC; P , Q tương ứng thuộc cạnh AC và AB ) để tạo thành hình trụ có chiều cao bằng MQ Tính thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn An có thể làm được

3 Cho hình chóp S ABC có AB BC CA a   , SA SB   SC  a 3 , M là điểm bất kì trong không gian Gọi d là tổng khoảng cách từ M đến tất cả các đường thẳng AB , BC, CA , SA, SB,

SC Tính giá trị nhỏ nhất của d

Câu V(2 điểm)

Cho ba số thực a, b, c đều không nhỏ hơn 1 và thỏa mãn a 2  b 2  c 2  12

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 21 21 2 8 3 ( 2 )( 2 )

Ngày kiểm tra: 08 tháng 11 năm 2020 (Đề thi gồm có 01 trang, 05 câu)

ĐỀ CHÍNH THỨC

2

Qui định chung

+) Tổng điểm của bài thi được làm tròn đến 0.25 điểm

+) Học sinh có thể giải theo cách khác Nếu đúng cho điểm tối đa từng phần theo qui định

+) Nếu bài hình nào không vẽ hoặc vẽ sai cơ bản thì không được chấm điểm bài đó

SỞ GD & ĐT THANH HÓA

Ngày kiểm tra:08 tháng 11 năm 2020 (Đáp án gồm có 09 trang, 05 câu)

+)Nhận điểm uốn I(0; -2) làm tâm đối xứng

+) Cắt Ox tại điểm ( 1;0); 2;0  , cắt Oy tại điểm (0; 2) 

Đồ thị như hình vẽ

0,5

2 Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y  3 m x   2 x   cắt trục 3 2

HDC CHÍNH THỨC

Phương trình đã cho tương đương với: cos 2 3 1 sin  2cos 1 2sin 1

2

x x

x   k  và 2

2 3

2

4 x 4 x 1 0x

0

x x

1 Bốn người khách cùng ra khỏi quán và bỏ quên mũ Chủ quán không biết rõ

chủ của những chiếc mũ đó nên gửi trả cho họ một cách ngẫu nhiên Tìm xác suất

để cả bốn người cùng được trả sai mũ

2đ

Số phần tử của không gian mẫu là n  4! 24

Gọi biến cố A: "Cả bốn người cùng được trả sai mũ.”

: "

A Có ít nhất 1 người trong bốn người được trả đúng mũ.”

0.5 +) TH1: Cả bốn người cùng được trả đúng mũ có: 1 cách 0.25 +) TH2: Chỉ có một người được trả đúng mũ có:

Chọn 1 người trong 4 người để trả đúng mũ có: 1

4 4

C  cách

Ba người còn lại trả sai mũ có: 1

3 3! 1   C 1 2  Theo quy tắc nhân có: 4x2=8 cách

2 Số lượng của một loài vi khuẩn trong phòng thí nghiệm được tính theo công

thức ( ) S t  A e rt Trong đó, A là số lượng vi khuẩn ban đầu, ( ) S t là số lượng vi

khuẩn có được sau thời gian t (phút), r0 là tỷ lệ tăng trưởng không đổi theo thời

gian và t là thời gian tăng trưởng Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu có 500 con

và sau 5 giờ có 1500 con Hỏi sao bao lâu, kể từ lúc bắt đầu, số lượng vi khuẩn đạt

121500 con ?

2 đ

1 1

6

Ta lại có:

ln 3 300

500 ( ) 121500 121500 500.

ln 3 300

0.5

+) Do A A A B'  '  A C' và K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

nên A K' ABC( 'A AC)ABC

2 Bạn An muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh

tôn hình tam giác đều ABC có cạnh bằng 90 cm  Bạn muốn cắt mảnh tôn hình

chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn nguyên liệu (với M , N thuộc cạnh BC; P , Q

tương ứng thuộc cạnh AC và AB ) để tạo thành hình trụ có chiều cao bằng MQ

Tính thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn An có thể làm được

2

x R

I

A

M

Ta có khối chóp S ABC là khối chóp tam giác đều

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Khi đó SG là chiều cao của khối chóp

Ta có DI EJ FK Do đó SID SJE nên SI SJ

Suy ra ED IJ∥ (cùng song song với AC) Do đó bốn điểm D , E , I ,J đồng phẳng

Tương tự ta có bộ bốn điểm D , F , I , K và E , F ,J, K đồng phẳng

0.5

Ba mặt phẳng DEIJ,DFIK,EFJK đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến DI , EJ

, FK Suy ra DI ,EJ, FK đồng quy tại điểm O thuộc SG

Xét điểm M bất kì trong không gian

F

K O

9

V Cho ba số thực a, b, c đều không nhỏ hơn 1 và thỏa mãn a 2  b 2  c 2  12

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P       Vậy GTNN của P là a b c 86

5

 , khi a b c  2 0.5

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LÀO CAI TOANMATH.com

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT

NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn thi: TOÁN THPT Ngày thi: 18/01/2021 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Đề thi gồm 01 trang – 05 câu

SC  Gọi N là giao điểm của

SD với mặt phẳng BMP Tính thể tích của khối đa diện SABMNP

Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí của giám thị 1: Chữ kí của giám thị 2:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH ĐỒNG NAI

TOANMATH.com

Đề thi gồm 01 trang & 06 câu

THI CHỌN HỌC SINH VÀ HỌC VIÊN GIỎI LỚP 12 THPT VÀ GDTX NĂM HỌC 2020 – 2021

Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1 (5 điểm)

Cho hàm số y f x x33x29x có đồ thị là  C

1) Tìm tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị  C

2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C tại điểm có hoành độ x 3

3) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số g x  f x m có đúng 5 điểm cực trị Câu 2 (3 điểm)

Câu 4 (3,5 điểm)

Cho hình chóp S.ABC có ABAC10a, BC12a (với 0 a  ), hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng đáy trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, góc giữa hai mặt phẳng

SBC và ABC bằng 60°

1) Tính theo a diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

2) Gọi hai điểm D, E lần lượt thuộc hai cạnh AB, BC thỏa mãn 2

AD BE a Tính theo a thể tích của khối chóp S.ADE

Câu 5 (3 điểm)

1) Một chiếc hộp đựng 20 viên bi giống nhau, mỗi viên bi được ghi một trong các số tự nhiên từ 1 đến

20 (không có hai viên bi ghi cùng một số) Bốc ngẫu nhiên 4 viên bi từ chiếc hộp nói trên, tính xác suất

để tổng các số ghi trên các viên bi chia hết cho 3

2) Tìm hệ số của số hạng chứa x12 trong khai triển 3  10

Thí sinh được phép sử dụng máy tính cầm tay, không được phép sử dụng tài liệu khi làm bài./

Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Trường / Trung tâm:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Câu III (5,0 điểm)

1 Cho hình chóp S.ABC có ABAC2a, BC a , SA3a a0 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo

a biết  SAB SAC 60

2 Cho điểm A nằm trên mặt cầu  S tâm O, bán kính R cm Gọi I, K là hai điểm trên đoạn OA sao cho 9

OI IK KA Các mặt phẳng lần lượt đi qua I, K cùng vuông góc với OA và cắt mặt cầu  S theo đường tròn  C1 ,  C2 Gọi V , 1 V lần lượt là thể tích khối nón đỉnh O, đáy là đường tròn 2  C1 ,  C2 Tính tỉ số 1

Câu IV (1,0 điểm)

Tìm nguyên hàm 2

xdxI

Câu VI (2,0 điểm)

Gọi S là tập các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 3

- HẾT -

https://toanmath.com/

Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của cán bộ coi thi:

Câu 1: Cho hàm số y f x= ( ) Hàm số y f x= ′( ) có đồ thị trên một khoảng K như hình vẽ bên

Trong các khẳng định sau, có tất cả bao nhiêu khẳng định đúng ?

( )I : Trên K, hàm số y f x= ( ) có hai điểm cực trị

Trang 2/8 - Mã đề 001

Câu 5: Cho dãy số ( )u n với 1

1 2 1

33

Câu 6: Cho lăng trụ tam giác đều ABC A B C ′ ′ ′ có cạnh bên bằng cạnh đáy Đường thẳng MN

(M A C N BC∈ ′ ; ∈ ′) là đường vuông góc chung của A C′ và BC′ Tỷ số NB

Câu 11: Cho hàm số:y=2x3−(m+6)x2−(m2−3m x) +3m2có đồ thị là (Cm ) ( m là tham số) Gọi S

là tất cả các giá trị của m sao cho đồ thị (Cm ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ

1; ;2 3

x x x thỏa mãn ( ) (2 ) (2 )2

x − + x − + x − = Tính số phần tử của S

Câu 15: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của điểm

A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC bằng a 3

4 Khi đó thể tích của khối lăng trụ là

Câu 20: Cho hàm số f x( ) xác định trên R\{0} và có bảng biến thiên như hình vẽ

Số nghiệm của phương trình 2 (2f x − −3) 13 0= là:

Câu 21 Cho hàm số y f x= ( ) có đồ thị như hình vẽ bên

Có bao nhiêu giá trị nguyên m∈ −[ 9;9] để phương trình

Câu 22: Một khối cầu ngoại tiếp khối lập phương Tỉ số thể tích giữa khối cầu và khối lập phương

Trang 5/8 - Mã đề 001

Câu 23: Cho tam giác ABC vuông tại B góc ACB bằng

60° đường phân giác trong của góc ACB cắt AB tại I Vẽ

nửa đường tròn tâm I bán kính IA ( như hình vẽ) Cho

ABC

∆ và nửa đường tròn trên cùng quay quanh AB tạo

nên các khối cầu và khối nón có thể tích tương ứng V1,

Câu 25: Cho hình chópS ABC Tam giác ABC vuông tạiA,AB =1cm,AC = 3cm Tam giácSAB,

SAC lần lượt vuông góc tại B và C Khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC có thể tích bằng5 5 cm3

a x

III ABC là một tam giác IV A, B, C thẳng hàng

Trong 4 khẳng định trên có bao nhiêu khẳng định đúng?

Trang 6/8 - Mã đề 001

Tìm các giá trị thực của tham số mđể phương trình f x m( )+ =2 có hai nghiệm phân biệt

A − ≤ ≤2 m 1 B − < < −3 m 2 C − < <1 m 2 D − ≤ ≤1 m 2

Câu 30: Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v t1( )=2 m/st ( ) Đi được 12

giây, người lái xe gặp chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc a = −12 m/s( 2) Tính quãng đường s( )m đi được của ôtô từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi dừng hẳn?

Câu 33: Cho hàm số f x( )có bảng xét dấu đạo hàm như sau

Hàm số y=3 (2f x 1) 4x 9x 6+ − 3+ 2− xđồng biến trên khoảng nào dưới đây

Câu 39: Cho hình chóp S ABC có tam giácABC vuông tại A, tam giác SAC đều nằm trong mặt

phẳng vuông góc với mặt đáy (ABC), AB=4 ,a AC=3a Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC ?

13 Mệnh đề nào sau đây đúng ?

Câu 42: Cho bất phương trình 8x 3.22x 19.2x m 5 0 1   Có tất cả bao nhiêu giá trị

nguyên dương của tham số m để bất phương trình  1 nghiệm đúng với mọi x   1;2 ?

Câu 43: Một hộp đựng phấn hình hộp chữ nhật có chiều dài 30cm, chiều rộng 5cm và chiều cao

6cm Người ta xếp thẳng đứng vào đó các viên phấn giống nhau, mỗi viên phấn là một một khối trụ có chiều cao h=6cmvà bán kính đáy 1

2

r= cm Hỏi có thể xếp được tối đa bao nhiêu viên phấn?

A 153 viên B 151 viên C 150 viên D 154 viên

Câu 44: Cho hai cấp số cộng ( )x n : 4, 7, 10,… và ( )y n : 1, 6, 11,… Hỏi trong 2021 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số có bao nhiêu số hạng chung?

− nghịch biến trên khoảng (1;+∞)

là (a b; ] với a b, là các số hữu tỉ Giá trị của biểu thức 2a b+5 bằng

A 10 B 8 C 9 D 11

- Hết -

(Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề)

Lời giải và bình luận đề thi VMO 2020

Nguyễn Tăng Vũ - Lê Phúc Lữ - Nguyễn Công Thành

Bài 1 (5 điểm) Cho dãy số thực (xn) có x1 ∈



0,12

Bài 2 (5 điểm) Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn

f (x) f (y) = f (xy − 1) + xf (y) + yf (x)với mọi số thực x, y

Bài 3 (5 điểm) Cho tam giác nhọn không cân ABC có trực tâm H và D, E, F lần lượt

là chân đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C Gọi (I) là đường tròn ngoại tiếp tam giácHEF với tâm I và K, J lần lượt là trung điểm BC, EF Cho HJ cắt lại (I) tại G, GKcắt lại (I) tại L

a) Chứng minh rằng AL vuông góc với EF

b) Cho AL cắt EF tại M , IM cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác IEF tại N ,

DN cắt AB, AC lần lượt tại P , Q Chứng minh rằng P E, QF , AK đồng quy.Bài 4 (5 điểm) Với số nguyên n ≥ 2, gọi s (n) là tổng các số nguyên dương không vượtquá n và không nguyên tố cùng nhau với n

a) Chứng minh s (n) = n

2 (n + 1 − φ (n)), trong đó φ (n) là số các số nguyên dươngkhông vượt quá n và nguyên tố cùng nhau với n

b) Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên n ≥ 2 thỏa mãn s (n) = s (n + 2021)

Bài 5 (6 điểm) Cho đa thức P (x) = a21x21+ a20x20 + · · · + a1x + a0 có các hệ sốthuộc [1011, 2021] Biết rằng P (x) có nghiệm nguyên và c là một số dương sao cho

|ak+2− ak| ≤ c với mọi k ∈ {0, 1, , 19}

a) Chứng minh rằng P (x) có đúng một nghiệm nguyên

1

Lời giải và bình luận đề thi VMO 2020

b) Chứng minh

10Pk=0(a2k+1− a2k)2 ≤ 440c2

Bài 6 (7 điểm) Một học sinh chia tất cả 30 viên bi vào 5 cái hộp được đánh số

1, 2, 3, 4, 5 (sau khi chia có thể có hộp không có viên bi nào)

a) Hỏi có bao nhiêu cách chia các viên bi vào các hộp (hai cách chia là khác nhau nếu

có một hộp có số bi trong hai cách chia là khác nhau)?

b) Sau khi chia, học sinh này sơn 30 viên bi đó bởi một số màu (mỗi viên được sơnđúng một màu, một màu có thể sơn cho nhiều viên bi), sao cho không có 2 viên binào trong cùng một hộp có màu giống nhau và từ hai hộp bất kì không thể chọn

ra được 8 viên bi được sơn bởi 4 màu Chứng minh rằng với mọi cách chia, họcsinh đều phải dùng không ít hơn 10 màu để sơn bi

c) Hãy chỉ ra một cách chia sao cho với đúng 10 màu, học sinh có thể sơn bi thỏamãn các điều kiện ở câu b)

Bài 7 (7 điểm) Cho tam giác nhọn không cân ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi D làgiao điểm hai tiếp tuyến của (O) tại B và C Đường tròn đi qua A và tiếp xúc với BCtại B cắt trung tuyến đi qua A của tam giác ABC tại G Cho BG, CG lần lượt cắt CD,

2

Lời giải và bình luận đề thi VMO 2020

Bài 1

Cho dãy số thực (xn) có x1 ∈



0,12

, ta có

f0(x) = 6x (1 − x) ≥ 0 với mọi x ∈



0,12

, nên 0 = f (0) < (xn) < f 1

2



= 1

2,hay 0 < x2 < 1

2.Giả sử 0 < xn < 1

2 (n − 1)

.Mà

1

2n − g

1

2 (n − 1)



= 12n − 2n − 3

4 (n − 1)3 =

(n − 2) (2n2− 4n + 1)4n (n − 1)3 ≥ 0

với mọi n ≥ 2 nên ta suy ra 0 < g (xn) < 1

2n, hay 0 < xn+1 <

12n Theo nguyên líquy nạp, ta có 0 < xn< 1

2 (n − 1) với mọi n ≥ 2.

Từ đó, cho n → +∞, áp dụng nguyên lí kẹp ta có ngay lim xn= 0

b) Từ câu trên, ta thấy 3 − 2nxn > 3 − 2n

2 (n − 1) > 0 với mọi n ≥ 2 nên theo bấtđẳng thức AM - GM, ta có

xn+1 < 3x2n < 3

(n − 1)4 <

1(n + 1)3.3

Lời giải và bình luận đề thi VMO 2020

Từ đó ta có

yn <

mXk=1

(kxk) + 1

(m + 1)2 +

1(m + 2)2 + · · · +

1

n2với mọi n > m

Tuy nhiên

1

(m + 1)2 +

1(m + 2)2 + · · · +

+ 1

2− 13

+ · · · + 1

mPk=1(kxk) + 2 với mọi n > m, tức là (yn) bị chặn trên Mặt khác, dễthấy (yn) là dãy tăng ngặt nên theo định lý Weierstrass, ta có (yn) hội tụ

Nhận xét Ở câu a, ta còn cách đánh giá khác là chỉ ra xn ≤ 21n Hướng xử lý này có thể thực hiện tương tự bằng quy nạp, và ở câu b, chỉ cần ước lượng đơn giản chuyển từ

Lời giải Giả sử f : R → R thỏa mãn

f (x) f (y) = f (xy − 1) + xf (y) + yf (x)với mọi số thực x, y

Thế y = 0 vào đẳng thức trên, ta có

f (x) f (0) = f (−1) + xf (0)

Vì vậy nếu f (0) 6= 0 thì f (x) phải có dạng x + k, với k là số thực nào đó Tuy nhiên,khi đó hệ số của xy trong vế trái của phương trình đề cho là 1, trong khi hệ số của xy ở

vế phải là 3, vô lí Vậy f (0) = 0, do đó từ đẳng thức trên, ta cũng có f (−1) = 0

Từ đó, thế y = −1 vào phương trình đề cho, ta suy ra f (x) = f (−x − 1) Với tính chấtnày, thế y bởi −y − 1 vào phương trình đề cho, ta thu được

f (x) f (y) = f (xy + x) + xf (y) + (−y − 1) f (x)

4

Lời giải và bình luận đề thi VMO 2020Đối chiếu đẳng thức trên với phương trình đề cho, ta có

f (xy + x) = f (xy − 1) + (2y + 1) f (x)

Từ đẳng thức này, với mỗi x 6= 0, thế y bởi 1

(f (1) − 1) f (x + 1) = f (x) + f (1) (x + 1) (2)Tiếp tục thế x = y = 1 vào phương trình đề cho, ta có f (1)2 = 2f (1) nên f (1) = 0 hoặc

a) Chứng minh rằng AL vuông góc với EF

b) Cho AL cắt EF tại M , IM cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác IEF tại N ,

DN cắt AB, AC lần lượt tại P , Q Chứng minh rằng P E, QF , AK đồng quy

5

Lời giải và bình luận đề thi VMO 2020Lời giải Ta thấy (HEF ) là đường tròn đường kính AH nên I là trung điểm AH, kéotheo (IEF ) là đường tròn Euler của tam giác ABC nên nó đi qua D, K.

a) Dễ thấy IE = IF và KE = KF , do đó IK là trung trực EF nên đi qua J , từ đó

có được

J I · J K = J E · J F = J H · J Gnên HKGI là tứ giác nội tiếp Suy ra∠HIK = ∠HGK = ∠HAL, do đó IK k AL

Mà IK ⊥ EF nên AL ⊥ EF

b) Ta có

M A · M L = M E · M F = M I · M Nnên tứ giác AILN nội tiếp, suy ra

∠ANI = ∠ALI = ∠IAL = ∠DIK = 90◦− ∠IKD = 90◦− ∠IND

nên ∠AND = 90◦

Nếu DN k EF thì AN ⊥ EF , mà AM ⊥ EF nên M N đi qua A, suy ra A, I, Mthẳng hàng nên AI ⊥ EF , kéo theo EF k BC, điều này không thể xảy ra vì tamgiác ABC không cân Do đó, DN và EF không song song, và giả sử chúng cắtnhau tại điểm T

Ta thấy N thuộc đường tròn đường kính AD và hai đường tròn đường kính AD,

AH tiếp xúc nhau nên T A là tiếp tuyến chung của hai đường tròn nói trên, vì Tchính là tâm đẳng phương của chúng và (IEF ) Do đó T A ⊥ AD, hay AT k BC.Gọi S là giao điểm của P E và QF , ta có chùm điều hòa cơ bản A (T S, BC) =

A (T S, P Q) = −1, mà AT k BC nên AS chia đôi BC, tức AS đi qua K, hay AK,

P E, QF đồng quy Ta có điều cần chứng minh

6