Tuyển tập câu hỏi trắc nghiệp Môn toán lớp 12 có đáp án và lời giải chi tiết

Điều kiện của tham số để một hàm số đơn điệu trên mọi khoảng xác định 12 Dạng 3.. Tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước 18 Dạng 5.. Lập phương trình mặt

Trang 2

MỤC LỤC

1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 3

A Tóm tắt lý thuyết 3

B Các dạng toán 4

Dạng 1 Xét sự đồng biến - nghịch biến của hàm số 4

Dạng 2 Điều kiện của tham số để một hàm số đơn điệu trên mọi khoảng xác định 12 Dạng 3 Tìm các khoảng đơn điệu; chứng minh hàm số đơn điệu trên tập K 15

Dạng 4 Tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước 18 Dạng 5 Tìm điều kiện của tham số để hàm số bậc ba có khoảng đơn điệu có độ dài cho trước 24

C Câu hỏi trắc nghiệm 35

2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 196

A Tóm tắt lí thuyết 196

Dạng 1 Cực trị của hàm số 198

Dạng 2 Cực trị có tham số 203

3 GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ 369

Dạng 1 Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn 374

Dạng 2 Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng 377

Dạng 3 Sử dụng GTLN, GTNN để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình 380

Dạng 4 Sử dụng GTLN, GTNN để chứng minh bất đẳng thức 386

Dạng 5 Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số vào bài toán thực tế389 Dạng 6 Một số ứng dụng sự biến thiên của hàm số 412

4 ĐƯỜNG TIỆM CẬN 603

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 603

B Câu hỏi trắc nghiệm 609

5 KHẢO SÁT HÀM SỐ 713

A Các dạng toán 713

Dạng 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm bậc ba 713

Dạng 2 Khảo sát hàm số bậc 4 trùng phương và các bài toán liên quan 723

Dạng 3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ 732

Trang 3

C Mức độ vận dụng cao 858

CHƯƠNG 2 HÀM SỐ LŨY THỪAHÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT 917 1 LŨY THỪA 917

Dạng 1 Rút gọn và tính giá trị biểu thức chứa lũy thừa 918

Dạng 2 Chứng minh đẳng thức lũy thừa 922

Dạng 3 So sánh các biểu thức chứa lũy thừa 927

Dạng 4 Bài toán lãi kép 931

2 HÀM SỐ LŨY THỪA 980

A Lý thuyết cơ bản 980

B Các dạng bài tập 981

Dạng 1 Tính toán - Rút gọn biểu thức lũy thừa 981

Dạng 2 So sánh lũy thừa hay căn số 983

Dạng 3 Bài toán lãi kép 985

3 LÔGARIT 1035

Dạng 1 Tính giá trị của biểu thức chứa logarit 1036

Dạng 2 Biểu diễn logarit theo các tham số 1039

Dạng 3 Tìm giá trị của x thỏa mãn hệ thức lôgarit 1046

Dạng 4 Chứng minh đẳng thức chứa lôgarit 1048

4 HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT 1147

Dạng 1 Tính giới hạn liên quan đến hàm số mũ và hàm số logarit 1147

Dạng 2 Các bài toán liên quan đến đạo hàm hàm số mũ và hàm số logarit 1148

Dạng 3 Đồ thị hàm số mũ và đồ thị hàm số logarit 1151

Dạng 4 Một số ứng dụng 1155

5 PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 1320

A Phương trình mũ 1320

Dạng 1 Đưa về phương trình mũ cơ bản 1320

Dạng 2 Đưa về cùng cơ số 1322

Dạng 3 Lôgarit hóa 1324

Dạng 4 Đặt một ẩn phụ 1327

Dạng 5 Đặt ẩn phụ với phương trình đẳng cấp 1331

Dạng 6 Đặt ẩn phu khi tích hai cơ số bằng 1 1334

Trang 4

Dạng 7 Đặt hai ẩn phụ và Đặt ẩn phụ không hoàn toàn 1337

Dạng 8 Phương pháp hàm số giải phương trình mũ 1342

Dạng 9 Phương trình mũ chứa tham số 1346

Dạng 10 Phương trình logarit cơ bản 1351

Dạng 11 Phương pháp đưa về cùng cơ số 1352

Dạng 12 Đặt một ẩn phụ .1357

Dạng 13 Đặt ẩn phụ không hoàn toàn 1360

Dạng 14 Mũ hóa 1362

Dạng 15 Phương pháp hàm số giải phương trình lôgarit 1364

Dạng 16 Phương trình lôgarit có chứa tham số 1367

6 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LÔGARIT 1523

Dạng 1 Bất phương trình mũ cơ bản 1523

Dạng 2 Phương pháp đưa về cùng cơ số .1526

Dạng 3 Giải bất phương trình logagit dạng cơ bản 1528

Dạng 4 Giải bất phương trình logagit bằng cách đưa về cùng cơ số 1530

Dạng 5 Bất phương trình mũ và logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ 1533

Dạng 6 Phương pháp đặt ẩn phụ trong bất phương trình logarit 1541

Dạng 7 Phương pháp sử dụng hàm số và bất đẳng thức 1545

CHƯƠNG 3 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂNVÀ ỨNG DỤNG 1709 1 NGUYÊN HÀM 1709

Dạng 1 Nguyên hàm đổi biến số loại I 1711

Dạng 2 Nguyên hàm đổi biến số loại II 1714

Dạng 3 Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần 1723

Dạng 4 Nguyên hàm hàm phân thức 1726

Dạng 5 Nguyên hàm của hàm vô tỷ 1730

Dạng 6 Nguyên hàm có yếu tố mũ và lôgarit 1735

Dạng 7 Sử dụng biến đổi lượng giác .1739

Dạng 8 Phương pháp đổi biến 1743

2 TÍCH PHÂN 1849

Dạng 1 Tính tích phân cơ bản 1849

Dạng 2 Phương pháp đổi biến dạng 1 1852

Dạng 3 Phương pháp đổi biến dạng 2 1859

Dạng 4 Tích phân từng phần 1864

Dạng 5 Tích phân của hàm phân thức hữu tỉ 1872

Dạng 6 Lớp các tích phân đặc biệt 1877

Trang 5

Dạng 7 Bài tập tổng hợp 1884

3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 2055

Dạng 1 Diện tích hình giới hạn bởi: đồ thị hàm số - trục hoành và hai cận 2056

Dạng 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số 2061

Dạng 3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba hàm số 2073

Dạng 4 Thể tích khối tròn xoay 2080

Dạng 5 Bài toán thực tế 2086

CHƯƠNG 4 SỐ PHỨC 2391 1 SỐ PHỨC 2391

Dạng 1 Xác định phần thực - phần ảo của số phức 2392

Dạng 2 Xác định mô-đun của số phức 2393

Dạng 3 Hai số phức bằng nhau 2394

Dạng 4 Tìm tập hợp điểm biểu diễn .2395

Dạng 5 Số phức liên hợp 2398

2 CỘNG, TRỪ VÀ NHÂN SỐ PHỨC 2457

Dạng 1 Cộng trừ hai số phức 2458

Dạng 2 Phép nhân hai số phức 2462

3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC 2571

A Lý thuyết cơ bản 2571

B Các dạng bài tập 2571

Dạng 1 Phép chia số phức đơn giản 2571

Dạng 2 Các bài toán tìm phần thực và phần ảo của số phức 2573

Dạng 3 Một số bài toán xác định môđun của số phức 2577

Dạng 4 Tìm tập hợp điểm-GTNN-GTLN 2579

4 Phép chia số phức 2623

5 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC 2667

Dạng 1 Giải phương trình bậc hai hệ số thực 2667

Dạng 2 Phương trình bậc cao với hệ số thực 2669

Dạng 3 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HỆ SỐ PHỨC 2672

Trang 6

PHẦN II HÌNH HỌC 2749

1 KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN 2751

A Khái niệm về hình đa diện và khối đa diện 2751

B Hai đa diện bằng nhau 2752

C Phân chia và lắp ghép khối đa diện 2754

D Câu hỏi trắc nghiệm 2758

2 KHỐI ĐA DIỆN LỒI, KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU 2814

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 2814

B CÁC VÍ DỤ 2817

D Mức độ thông hiểu 2841

E Mức độ thông hiểu 2869

3 KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN 2897

Dạng 1 Thể tích khối chóp tam giác 2898

Dạng 2 Thể tích khối chóp tứ giác 2901

Dạng 3 Thể tích khối lăng trụ đứng 2903

Dạng 4 Thể tích khối lăng trụ xiên 2905

Dạng 5 Tỉ số thể tích 2909

Dạng 6 Ứng dụng thể tích để tính khoảng cách 2912

Dạng 7 Thể tích khối đa diện liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 2917

CHƯƠNG 2 MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU 3125 1 MẶT NÓN, MẶT TRỤ 3125

Dạng 1 Thiết diện qua trục hình trụ, hình nón 3126

Dạng 2 Thiết diện không qua trục hình trụ, hình nón 3129

Dạng 3 Góc và khoảng cách trong nón và trụ 3133

2 MẶT CẨU 3330

Dạng 1 Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy (hình chóp đều) 3331

Dạng 2 Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy (hình chóp khác) 3335

Trang 7

Dạng 3 Mặt cầu ngoại tiếp hình hộp, nội tiếp hình chóp 3339

CHƯƠNG 3 PHƯƠNG PHÁPTỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 3523 1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 3523

Dạng 1 Sự cùng phương của hai véc-tơ Ba điểm thẳng hàng 3527

Dạng 2 Tìm tọa độ điểm thỏa điều kiện cho trước 3534

Dạng 3 Một số bài toán về tam giác 3540

2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 3716

Dạng 1 Sự đồng phẳng của ba vec-tơ, bốn điểm đồng phẳng 3717

Dạng 2 Diện tích của tam giác 3723

Dạng 3 Thể tích khối chóp 3724

Dạng 4 Thể tích khối hộp 3726

Dạng 5 Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có vectơ pháp tuyến cho trước 3727

Dạng 6 Lập phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng 3727

Dạng 7 Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có cặp vectơ chỉ phương cho trước 3728

Dạng 8 Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và song song mặt phẳng cho trước 3729

Dạng 9 Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng 3730 Dạng 10 Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cho trước 3731

Dạng 11 Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau cho trước 3731

Dạng 12 Lập phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm và vuông góc với một mặt phẳng cắt nhau cho trước 3732

Dạng 13 Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm cho trước 3733

Dạng 14 Viết phương trình của mặt phẳng liên quan đến mặt cầu và khoảng cách3733 Dạng 15 Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc hoặc liên quan đến tam giác .3740

Dạng 16 Các dạng khác về viết phương trình mặt phẳng 3745

Dạng 17 Ví trí tương đối của hai mặt phẳng 3750

Dạng 18 Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu 3751

Dạng 19 Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Tìm hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng Tìm điểm đối xứng của một điểm qua mặt phẳng 3753

Dạng 20 Tìm tọa độ hình chiếu của điểm trên mặt phẳng Điểm đối xứng qua mặt phẳng 3755

Trang 8

3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 4014

B Các dạng toán 4014Dạng 1 Viết phương trình đường thẳng khi biết một điểm thuộc nó và một véc-tơchỉ phương 4014Dạng 2 Viết phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm cho trước 4016Dạng 3 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M cho trước và vuông gócvới mặt phẳng (α) cho trước 4017Dạng 4 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và song song với một đườngthẳng cho trước 4018Dạng 5 Đường thẳng d đi qua điểm M và song song với hai mặt phẳng cắt nhau(P ) và (Q) .4019Dạng 6 Đường thẳng d qua M song song với mp(P ) và vuông góc với d0 (d0 khôngvuông góc với ∆) .4022Dạng 7 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với haiđường thẳng chéo nhau d1 và d2 4025Dạng 8 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A đồng thời cắt cả hai đườngthẳng d1 và d2 4028Dạng 9 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng

d1 và cắt đường thẳng d2 4031Dạng 10 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc với đườngthẳng d1 và cắt đường thẳng d1 4034Dạng 11 Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P ) đồng thờicắt cả hai đường thẳng d1 và d2 4036Dạng 12 Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng d0 đồng thờicắt cả hai đường thẳng d1 và d2 4038Dạng 13 Viết phương trình đường thẳng d song song và cách đều hai đường thẳngsong song cho trước và nằm trong mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó 4040Dạng 14 Viết phương trình đường thẳng d là đường vuông góc chung của haiđường thẳng chéo nhau cho trước 4042Dạng 15 Viết phương trình tham số của đường thẳng d0 là hình chiếu của đườngthẳng d trên mặt phẳng (P ) 4046

Trang 9

I

GIẢI TÍCH & ĐẠI SỐ

Trang 11

ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

BÀI 1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Tính đơn điệu của hàm số

Định nghĩa 1 Cho hàm số y = f (x) xác định trên K (K ⊂ R là một khoảng) Ta nói

• Hàm số y = f (x) đồng biến (tăng) trênK nếu với mọi cặp x1, x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì

f (x1) nhỏ hơn f (xx), tức là x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2)

• Hàm số y = f (x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x1, x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2

thì f (x1) lớn hơn f (xx), tức là x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2)

Định lí 1 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên K

Nếu f0(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K

Nếu f0(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K

Định lí 2 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên K Nếu f0(x) ≥ 0 (f0(x) ≤ 0) với mọi x thuộc K

và f0(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số f (x) đồng biến (nghịch biến) trên K

2 Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Tìm tập xác định

Tính đạo hàm f0(x) Tìm các điểm xi(i = 1, 2, , n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xácđịnh

Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên

Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Trang 12

B CÁC DẠNG TOÁN

{ DẠNG 1 Xét sự đồng biến - nghịch biến của hàm số

Phương pháp giải Để xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f (x) ta thực hiện các bướcgiải như sau:

Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số

Bước 2: Tính y0 Tìm các điểm thuộc D mà tại đó y0 = 0 hoặc y0 không xác định

Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số

Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số

Ví dụ 1 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = −x3+ 6x2− 9x + 4

Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞; 1), (3; +∞) và đồng biến trên khoảng (1; 3)

Ví dụ 2 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = −x4+ 4x2− 3

2; 0) và (√

Trang 13

Ví dụ 3 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = x4− 6x2+ 8x + 1.

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −2) và đồng biến trên khoảng (−2; +∞)

Ví dụ 4 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = 3 − 2x

x + 7 .Lời giải

Ví dụ 5 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = x

2− x + 1

x − 1 .Lời giải

"

x = 0

x = 2

Bảng biến thiên

Trang 14

Hàm số đồng biến biến trên mỗi khoảng (−∞; 0) và (2; +∞)

Ví dụ 6 Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x +√

4√2

4Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (−4; 2√

2) và nghịch biến trên khoảng (2√

Trang 15

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞; −1) và (0; 1),

Bài 2 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = x4− 2x2− 3

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−1; 0) và (1; +∞) ,

Bài 3 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = x4+ 4x3− 1

Lời giải

Tập xác định: D = R

Ta có y0 = 4x3+ 4 Cho y0 = 0 ⇔ 4x3+ 4 = 0 ⇔ x = −1

Trang 16

Bài 5 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = x3− x2− x + 1

3227

Å

−1

3; 1

ã

Bài 6 Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x3+ 3x2 + 3x + 2

x2− 2x

Lời giải

Trang 17

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi x2− 2x > 0 ⇔

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 0) và đồng biến trên khoảng (2; +∞)

1 − x.Lời giải

x + 2 .Lời giải

Trang 18

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞; −5) và (1; +∞)

x2− x + 3.Lời giải

Hàm số đã cho xác định khi x2− x + 3 > 0 (đúng với mọi x ∈ R)

2(x2− x + 2)√x2− x + 2 = 0 ⇔ −5x + 8 = 0 ⇔ x =

8

5.Bảng biến thiên:

6

√11

1

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

Å

−∞;85

√6x2+ 1 = 0 ⇔ −36x

x = 1

6.Bảng biến thiên

Trang 19

5√104

+∞

Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng

Å

−∞;16

ã

và Å 1

2; +∞

ã

Hàm số nghịch biến trên khoảng Å 1

6;

12

Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng (−∞; −1) và (1; 3),

Bài 13

Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R Hàm số y = f0(x) có đồ thị như

hình bên Hãy xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f (2 − x)

Trang 20

Hàm số f (x) nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞; −2) và (1; 3)

{ DẠNG 2 Điều kiện của tham số để một hàm số đơn điệu trên mọi khoảng xác địnhPhương pháp giải

Lưu ý: khi đã chắc chắn a 6= 0, hai công thức trên đây mới được sử dụng

Ví dụ 7 Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = x3− 3x2+ 3(m + 2)x + 3m − 1 đồng biếntrên R

Ví dụ 8 Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = 1

3(3 − m)x

3− (m + 3)x2+ (m + 2)x − 3đồng biến trên R

Trang 21

Ví dụ 9 Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = mx + m − 7

5x − m + 3 đồng biến trên mọi khoảngcủa tập xác định

Lời giải

Tập xác định: D = R \ß m − 3

5

™

x − m + 1 nghịch biến trên từng khoảng xácđịnh của nó

Lời giải

Trang 22

Vậy với m ∈ (−∞; −1) ∪ (2; +∞) thì hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

m > −1 ⇔ −1 < m ≤ −1

5.Vậy tập hợp các giá trị của tham số m thỏa yêu cầu của bài toán là

ï

−1; −15

ò

3

3 − (m + 2)x2− (3m − 1)x + m2 đồngbiến trên R

Trang 23

TH1: Nếu m = −2 khi đó (1) luôn đúng với mọi x ⇒ m = −2 thỏa bài toán.

TH2: Nếu m 6= −2 khi đó (1) thỏa với mọi x ∈ R ⇔

4 ⇒ m = 1 không thoả yêu cầu

+ m = 1 ⇒ y0 = 3 > 0, ∀x ∈ R ⇒ m = −1 thoả mãn yêu cầu bài toán

{ DẠNG 3 Tìm các khoảng đơn điệu; chứng minh hàm số đơn điệu trên tập K

Phương pháp giải Phương pháp

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số hoặc xét hàm số trên tập K

Trang 24

√6

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 2) và nghịch biến trên khoảng (2; 5)

Ví dụ 11 Xét chiều biến thiên của hàm số y = 2x − 1 −√

Ta có y0 = 2 − 3

2√3x − 5 =

4√3x − 5 − 3

2√3x − 5 ;Cho y0 = 0 ⇔ x = 89

48.Bảng biến thiên

x

y0

y

53

89

73

7

24

4724

+∞

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảngÅ 5

3;

8948

Trang 25

Ví dụ 14 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = cos 2x + 4 cos x trên đoạn [0; 2π].

Lời giải

Hàm số y = cos 2x + 4 cos x liên tục trên đoạn [0; 2π]

Ta có y0 = −2 sin 2x − 4 sin x = −4 sin x(cos x + 1)

Trên đoạn [0; 2π], y0 = 0 có nghiệm x = 0, x = π, x = 2π

2√2

2

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (−2; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; 2)

1 − x2.Lời giải

Trang 26

1Vậy hàm số đồng biến trên khoảng

Å

−1;√12

ã

và nghịch biến trên khoảng

Å1

2 + cos x trên đoạn [0; π].

π

12+

√32

5π

12 −

√32

5π

12 −

√32

ã

{ DẠNG 4 Tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trướcPhương pháp giải Có hai phương pháp chính để giải các bài toán

Phương pháp 1: Cô lập tham số, lập bảng biến thiên, từ đó rút ra điều kiện của tham số

Phương pháp 2: Lập bảng biến thiên trực tiếp để tìm các khoảng đơn điệu cụ thể, từ đórút ra kết luận

Trang 27

2+ 2x − 32x + 1 trên [0; 3] có f

0

(x) = 2x

2+ 2x + 8(2x + 1)2 > 0, ∀x ∈ [0; 3].

127

Từ bảng biến thiên ta có (2) ⇔ m> 12

7 .Vậy với m> 12

Trang 28

Ví dụ 17 Tìm m để hàm số y = x3− (2m + 1) x2+ (m2+ 2m) x + 1 đồng biến trên (0; +∞).

Lời giải

Tập xác định của hàm số D = R

Ta có: y0 = 3x2 − 2 (2m + 1) x + m2+ 2m; ∆0y0 = (2m + 1)2− 3 (m2+ 2m) = (m − 1)2

Với m = 1, ta có y0 > 0, ∀x ∈ R ⇒ hàm số luôn đồng biến trên R nên đồng biến trên (0; +∞)

Do đó m = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Xét hàm số f (x) = x

2+ 22x trên [1; +∞) có f

0(x) = 2x

2− 44x2 ; f0(x) = 0 ⇔ x =√

2

Trang 29

√2

0(x) = 0 ⇔ x = 3 ±√

6

Trang 30

2 −√62

0

Từ bảng biên thiên ta có (2) ⇔ m> 2

3.Vậy với m> 2

2+ 4x) + 14(x + 2)2

Trang 31

Hàm số nghịch biến trên [1; +∞) khi và chỉ khi y0 ≤ 0, ∀x ∈ [1; +∞).

5 , hàm số đã cho luôn nghịch biến trên [1; +∞).

Xét hàm số f (x) = −3x2− 6x − 1 trên (−∞; −2] ∪ [2; +∞) có f0(x) = −6x − 6; f0(x) = 0 ⇔ x = −1.Bảng biến thiên

Vậy với m> −1, hàm số đồng biến trên (−∞; −2) và (2; +∞)

Bài 32 Tìm a để hàm số y = x3− 3 (a − 1) x2+ 3(a − 2)x + 1 đồng biến trên mỗi khoảng có hoành

độ thỏa 1 ≤ |x| ≤ 2

Trang 32

Lời giải.

Ta có 1 ≤ |x| ≤ 2 ⇔ x ∈ [−2; −1] ∪ [1; 2]

Đạo hàm y0 = 3x2 − 6(a − 1)x + 3(a − 2) = a(−6x + 3) + 3x2+ 6x − 6

Hàm số đồng biến trên [−2; −1] và [1; 2] khi và chỉ khi y0 > 0, ∀x ∈ [−2; −1] ∪ [1; 2]

Trên [−2; −1] ta có y0 > 0 ⇔ a(−6x + 3) + 3x2 + 6x − 6 > 0 ⇔ a > x

2+ 2x − 22x − 1 (1).

Trên [1; 2] ta có y0 > 0 ⇔ a(−6x + 3) + 3x2+ 6x − 6 > 0 ⇔ a ≤ x

2+ 2x − 22x − 1 (2).

Xét hàm số f (x) = x

2+ 2x − 22x − 1 trên [−2; −1] ∪ [1; 2].

Ta có f0(x) = 2x

2− 2x + 2(2x − 1)2 > 0, ∀x ∈ [−2; −1] ∪ [1; 2]

Bước 3: Biến đổi |x2− x1| = l (2) thành (x1+ x2)2− 4x1· x2 = l2

Bước 4: Sử dụng định lí Vi-ét đưa (2) thành phương trình theo tham số

Bước 5: Giải phương trình, so sánh với điều kiện (1) để chọn kết quả thỏa mãn

Ví dụ 19 Tìm a để hàm số y = x3+ 3x2+ ax + a nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1

Lời giải

Ta có: y0 = 3x2 + 6x + a; ∆0y0 = 9 − 3a

Với 9 − 3a ≤ 0 ⇔ a> 3 ⇒ y0 > 0, ∀ ∈ R ⇒ hàm số luôn đồng biến trên R, mâu thuẫn giả thiết

Do đó a> 3 không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Với 9 − 3a > 0 ⇔ a < 3 ⇒ y0 có hai nghiệm x1, x2(x1 < x2)

Trang 33

Bình phương hai vế được (x1+ x2)2− 4x1· x2 = 16 ⇔ 4(2m − 1)

6 (thỏa mãn).Vậy với m = 7 ±

√61

6 , hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 4.

Với m ≤ −1, ta có y0 ≤ 0, ∀x ∈ R nên không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Với m > −1, giả sử y0 có hai nghiệm x1, x2 (x1 < x2), ta có x1+ x2 = 2, x1· x2 = −3m − 2

Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn 4 khi và chỉ khi |x1− x2| ≤ 4

Bình phương hai vế được (x1+ x2)2− 4x1· x2 ≤ 16 ⇔ 12m + 12 ≤ 16 ⇔ m ≤ 1

3.Kết hợp ta có m ∈

Å

−1;13ò, hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn 4

Trang 34

Vậy hàm số đồng biến trên (0; 2) và nghịch biến trên (−∞; 0) và (2; +∞)

Bài 36 Xét tính đơn điệu của hàm số y = x3− 3x + 2 trên tập xác định

Vậy hàm số đồng biến trên (−∞; −1) và (1; +∞), nghịc biến trên khoảng (−1; 1)

2 + x − x2.Lời giải

ã

= 32Bảng biến thiên

32

0

Trang 35

Vậy hàm số đồng biến trên

Å

−1;12

Vậy hàm số luôn nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞; 1) và (1; +∞)

4 − 2x2p(x − 1) (3 − x) √3 − x +√

√2

2

√2

Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng (1; 2) và nghịch biến trên khoảng (2; 3)

Bài 40 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x3− 2x2+ mx + 1 đồng biến trênR

Lời giải

Tập xác định D = R

Đạo hàm y0 = 3x2− 4x + m ⇒ y0 ≥ 0 ⇔ 3x2− 4x ≥ −m

Trang 36

Hàm số đồng biến trên R khi −m ≤ 3x2− 4x = g(x) với ∀x ∈ R.

= −1 < 0 với ∀x ∈ R ⇒ Hàm số nghịch biến trên R

⇒ m = 0 không thỏa yêu cầu

Trường hợp m 6= 0, khi đó điều kiện để hàm số đồng biến trên R là

Đạo hàm y0 = m + (m + 1) sin x ⇒ y0 ≥ 0 ⇔ m + (m + 1) sin x ≥ 0 (1)

Hàm số đã cho đồng biến trên R nếu y0 ≥ 0 với ∀x ∈ R

Ta xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1: m = −1 ⇒ (1) vô nghiệm ⇒ m = −1 không thỏa yêu cầu

Trường hợp 2: m > −1, khi đó (1) ⇔ sin x ≥ − m

Trang 37

Bài 44 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x + m(sin x + cos x) đồng biến trên R.

Lời giải

Tập xác định D = R

Đạo hàm y0 = 1 + m(cos x − sin x)

Hàm số đồng biến trên R thì y0 ≥ 0 với mọi x ∈ R

2 .Vậy −

√

2

2 ≤ m ≤

√2

x − m nghịch biến trên (0; +∞).Lời giải

◦ Tập xác định: D = R \ {m}

Đạo hàm: y0 = −m2+ 4

(x − m)2.Hàm số nghịch biến trên (0; +∞) khi và chỉ khi

x + m đồng biến trên (2; +∞).Lời giải

Trang 38

Xét hàm số g(x) = x2+ x trên khoảng (−1; 1), có g0(x) = 2x + 1 = 0 ⇔ x = −1

2.Bảng biến thiên:

−14

Bài 49 Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số y = x3+ 3x2− mx − 4 đồng biến trên khoảng(−∞; 1)

Trang 39

TXĐ: D = R \ {−m}, y0 = m

2− 4(x + m)2.Hàm số đồng biến trên (1; +∞) khi

Trang 40

Nhận xét: khi x nhận giá trị trên (2; +∞) thì 1

2√

x − 2 nhận mọi giá trị trên (0; +∞).

Yêu cầu bài toán ⇔ y0 ≤ 0, ∀x ∈ (2; +∞) ⇔ (m + 1)t + m ≤ 0, ∀t ∈ (0; +∞)

Åđặt t = 1

2√

x − 2

ã

0;π6

Lời giải

Ta có: y0 = −2 cos x sin2x + 2 − m sin x

(1 + cos2x)2 .Vậy y0 ≤ 0 ∀x ∈0;π

Å0;12

ã.Vậy ⇔ m ≤ t

2+ 2

t = g(t)∀t ∈

Å0;12

ã

2 cos x − m đồng biến trên

0;π2

.Lời giải

2

khi và chỉ khi

sin x − m Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịchbiến trên khoảng 0;π

2

Lời giải

Điều kiện: sin x 6= m

Điều kiện cần để hàm số y = (m − 1) sin x − 2

sin x − m nghịch biến trên khoảng

0;π2

là

Ta thấy cos x

(sin x − m)2 > 0 ∀x ∈

0;π2

Tiêu đề	Tuyển Tập Câu Hỏi Trắc Nghiệm Môn Toán Lớp 12 Có Đáp Án Và Lời Giải Chi Tiết
Chuyên ngành	Toán
Năm xuất bản	2020

Định dạng
Số trang	4.545
Dung lượng	31,82 MB