2 Đúng: Thay tọa độ điểm vào mặt phẳng 3 Sai: Thực chất ta tưởng lầm rằng mặt phẳng phẳng α song song d nhưng thực chất là d thuộc phẳng phẳng α, các em kiểm tra bằng cách tính khoảng cá[r]
Trang 1Cau 1: Tim m dé góc giữa hai vectơ: H =(1;log, 5;log 2) y = ;log 3;4) là góc nhọn Chọn
phương án dung va day đủ nhất
A m>—.m=1 B.m>1 hoac 0<m<—
1
> GIải:
rr uv _3+log,5.log,3+4log, 2 s* Tacd cos(u,v) = Do mẫu số luôn lớn hơn 0 nên ta đi tìm
điêu kiện đê tử sô dương
s%* Mặt khác 3+log; 5.log 3+4log „2 >0 <© 4log,„ 2 >—4 © log„ 2> —1<© log, 2>log,, +
m
+ VớI (<7z<T thì —>2em<— Ka hop voi diéu kién suy rad<m<—
mM
** VớIz>] thì S—<2<>m >5 Kêt hợp với điêu kiện suy ra m> Ï
m
s* Vậy m>l1 hoặc 0<m< q
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz„ cho mặt phăng (P): 3x -3y + 2z +37 = 0 các điểm
A(4;1;5) , BG: 0; 0:1), C(- 1;2; 2:0) „ Điểm M (a;b;c) thuộc (P) sao cho biểu thức
P= MA.MB + MB MC+MC.MA đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó a+b+c băng:
> Giai:
% M (a;b;c) => P=3| (a—2y +(b-1P +(c-2)°-5 |
*®MeP—3a-3b+2c+37=0>3(a—2)—3(b—1)+2(c— 2) =—44
*_ Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có:
(-44)” =[3(a~2)~3(b~1)+2(~ 2)] < +3? +2?)| (=2)? +(b—D? +(e=2Ö |
+ *
-44)7
= (a2)? +(b-1)? +(c-2) > a —_ = 88 (a—2) +(b-l)y +(c-2) 32132122
s* Dâu “=” xảy ra khi và chỉ khi = = =8 MC7:-2)=atb+e=1
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phăng (P): 2x - y + 2 = 0 và đường thắng
" (m là tham số) Tìm m để đường thắng đ„ song song với mặt
mx +(2m +])z + 4m + 2— Ö
phăng (P)
> Giai:
2x-y+2=0
& d,//(P) <= hệ PT ân x, y, z sau vô nghiệm 14 (2m+1)x+(I—?m)y+m—1=0
mx + (2m +])z + 4m + 2 =0
“ (1) > y=2x+2 Thay vao (2) ta được: re y= =
Trang 21 2
s* Thay x, y vào (3) ta được: (2m +l)z = = ŒmŸ +11m+6) Đề PT này vô nghiệm thi
1 m=- =
2 Cau 4: Trong khong gian voi hé toa dd Oxyz, mot mat phăng đi qua điểm M (1:3:9) và cắt các tia Ox,
Oy, Oz lần lượt tại A(a; 0:0), B(0:b;0) , C(0:0;c) với a, b, c là các số thực dương Tìm giá tri của biểu
thức P = a +b + c đề thê tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất
> Giải:
s% Vsc ==OA.OB.OC =— abc
s* Phuong trinh mat phang di qua A, B, C: —+ b +—=1
a Cc
s* VÌ ME(ABO)S—+ + =1
e
% Áp dụng BĐT Côsi: p-4434? > 3 3 2 2! => babe > 121,5=minV,,,,
a b Cc abc abc 6
Dau “=” xây ra khi và chỉ khi 5° ° 9 ©|P=9 Satb+c=39
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thắng V: a = ¬ = ni và ba điểm AQ:2;-
L), B(-3:-2;3) , C(5:4:-7) Gọi tọa độ điểm ấM (a;b;c) nam trén A sao cho MA+MB nho nhat, khi do giá trị của biểu thức P = a +Ð + c là:
> Giải:
s* MA nên Ä/(1+/;2/;—1-f)
UUIM
AM =(—2:2£—2:—t) => AM =6? —12 +8
uu
BM =(t+4;2t+2;-t—4) > BM =\60? +241 +36
MA+ MB = V6t? —121+8 + V6r? +241 +36 = J6 Jú- ty’ +3 S42 +2
444 £2444 43
fx)
2
© se Áp dung BDT Vecto ta co: f(x) - + se | pare)
“+ Dau “=” xay ra khi va chi khi: I=1_1+2_, 8-3V6
% Do đó: | BON tone tế -H]—.„- 16-6
Trang 3Câu 6: Trong không gian voi hé toa dd Oxyz, cho hinh hop chi nhat ABCD.A'B'C'D' co A tring voi
gôc của hệ tọa độ Cho B(z;0;0), D(0;2;0), Aˆ(0;0;5) với a,b > 0 Gọi M 1a trung diém cua canh CC’
Xác định tỉ số 5 để hai mặt phẳng (A`BD) và (BDM) vuông góc với nhau
œị® `
a
'b
B
Bi
Hướng dẫn đăng ký tai li6u(s6 Iluong co han)
XOAN TIN NHAN: “TOI MUON DANG KY TAI
LIEU DE THI FILE WORD”
ROI GUI DEN SO DIEN THOAI:
0969.912.851
- Tir gia thiét ta c6: C(a;a;0); C(a;a;0) > M ¬
- Mặt phẳng (BDM) có VTPT là:
- Mat phang (A’BD) co VTPT là:
- Yêu câu của bài toán tương duong voi: n,.n, =0< + =a`=Ũ<Ầa=b< mẽ 1
A A : rie A A x w Xx —l y < +1 ` ~ w
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thăng A: > = 1 = —T và mặt phăng (P): 2x- y+ 2z -I= 0 Mặt phăng (Q) chứa A và tạo với (P) một góc z nhỏ nhất, khi đó góc a gan voi gid trị nào nhât sau đây?
> Gial:
x=l+2/
s* A:4v=f Chọn 2 diém (1;0;-1) và (3;1;-2) với z=l
z=-l-f
re? (Q) chia A suy ra (Q): a(x-1)+by+c(z+1)=0 > ax+ by+cz—a+c=0
Và (3;1;-2)c(@)—>3a+b—2c—a+c=0>2a+b—-c=0—>c=2a+b
“> Vậy (Q): ax+by+(2a+b)z+a+b=0 Gọi œ=((P).(Ó)), ø €| 0°;90" |
Trang 4
ULL UE
tpn |b + 6a] 1 /b? +12a+36a’
“9° Taco: COSA = = 5 5 5 = ab + 4ab +5a2
np|.|Ao| 3fa? +b? +(2a +b) +4ab+5a
® Néua=0 >cosa=
1
3/2
2
% /(?)=0<>| 10 Từ bảng biến thiên ta có thể dễ nhận thây:
t=-6
kS max F=f - 2] =2 a = 008" HH
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;1), 8(1;0;-3), C(-1;-2;-3) và mặt câu (S):
x+y +2 -2x+2z-2=0 Diém D(a;b:c) trên mặt cầu (S) sao cho tứ điện ABCD có thể tích lớn nhât, khi đó a + b + c băng:
> Gia:
» Tâm /(1;0;-1), ban kinh R=2 (ABC): 2x — 2y +z + 1=02
% Vac = 5 A(D(ABD))S yx khi d6 Vagcp max khi va chi khi d (D;(ABC)) max
s* Gọi D:D; là đường kính của (5) vuông góc với (ABC) Ta thây với D là điểm bất kỳ thuộc
(5) thì 4D:(ABQ)) < max{d(Di;(ABC)), d(D2;(ABC))}
s* Dấu “=” xảy ra khi D trùng với D¡ hoặc D›
“* D,Do:5 y=—2t thay mặt (Š) ta suy ra: 2 => D, 2313 „D,|—
“* Vi 4(D1;(ABC)) > 4(D;;(ABC)) nên D[Š:-5:-3] >at+b+c= :
x=2-t
Câu 9: Cho mặt cầu (S): x” + y”+z?—2x+4z+I=0 và đường thắng đ:+4 y =r Tim m dé d cat (S)
Z=mr+t
tại hai điểm phan biét A,B sao cho mặt phăng tiếp diện của (S) tại A và tại 8 vuông góc với nhau
C m=-1 hoac m=0 D Cả A, B, C đều sai
> Giải:
Bình luận: Ta có nêu hai mặt phăng tiếp diện của (9) tại A và 8 vuông góc với nhau thì hai
vtpt cua hai mat phang này cũng vuông góc với nhau Mà hai vtpt của hai mặt phăng
này chính là 7A, 78 Với 7 (1:0;-2) là tâm của mặt câu (9)
Vậy ta có hai điều kiện sau:
1 đ cắt (S) tại hai điểm phân biệt
2 IA.IB-0.
Trang 5s* Đề thỏa mãn yéu cau dé bai thì trước tiên Z phải cắt mặt cầu, tức là phương trình
(2—f+# +ứn+£)Ẻ—2.(2—1)+4.0n+?)+1=0 có hai nghiệm phân biệt
<©3/ +20n+1)f+m” +4m~+1=0
s* Phương trình có hai nghiệm phân biệt
A”>0<>(n +1)” —3mm” —12m— 3> mm” +5m+1<0
s* Với phương trình có hai nghiệm phân biệt, áp dụng định lí Viet ta có
% Khi đó !A=(I-¡;f1;m+2+t,),IB=(1—E,:t,:m+ 2+1)
s* Vậy
.A.IB =(I—t,1—t,)+tt, +n+2+t,)Œn+2~+t,)=0 <>3it, +(m+1)Œ, +t,)+(m+2)”+1=0
om +4m+1—0m+ +ứn+2)+l[=0<> 4 (TM)
Câu 10: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;1;1), B(-1:2;0), C@:-1;2) Diém M(a;b;c) thuộc
đường thắng A: mS = T = " sao cho biểu thức P= 2A” +3A4B” -4MC? đạt giá trị nhỏ nhất
Tinh a+b+c= ?
> Giải:
s GỌI o1 D(xsy;2) la điểm thỏa 2DA+3I2B~ 4DC=( 0
“ 2DA+3DB—4DC =0 <= 2DA+3(DA+ AB)—4(DA+ AC) =0 <> DA=4AC -3AB
1-x=4.24+3.2
© l- y=-4.2-3.1<a D(-13;12;-6)
1-z=4.1+3.1
s* Khi đó:
=2(MD+ DA) +3(MD + DB) —4(MD + DC)
= MD* +2MD(2DA+3DB—4DC)+2AD* +3BD*° —4DC* = MD’ + 2AD* +3BD* —4DC’
% Do MD? +2AD’ +3BD* —4DC’ khong đổi nên P nhỏ nhất khi MD nhỏ nhất Mà M thuộc
A nên MD nhỏ nhât khi M là hình chiêu của D lên A
S.-H 2 | satbte=-
Câu I1: Trong không gian Oxyz cho ba diém A(1:1;1), „TC 1;2; 2:0), CƠ 1 -1;2) Điểm M (a;b:c) thuộc mặt phăng (2): 2x— y+2z+7=0 sao cho biêu thức P= 3MA + 5MB 7MC| đạt giá trị nhỏ nhất Tính
at+b+c=?
“ M(1+2t;t;-1-1) Tacé: DM u, =O0@at=-—
> Giải:
s* Goi F(x; y;z) la diém théa 3FA+5FB— TFC= 0 > CF = 3CA+5CB => F(—23;20;-11)
UUIE UU ULE UL UULE UIIR
% Khi đó: P=|3(MEF + FA)+5(MF + FB)— 7(MF + FC)|= M *
©
“+ Do đó P nhỏ nhất khi M là hình chiếu của F lên (ø) Điểm (23+ 2/;20—z;—11+ 2z) Vì
M thuộc (2ø) nên:
2(—23 + 2r) — (20-1) + 2(-11+ 21) +7 =O St =9=> M(-5;11;7) > atb+c=13
Trang 6Câu 12: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1I;1;1), B(-1;2;0), C@;-1;2) Điểm M(a;b;c) thuộc mặt cầu (S):(x—I+y?®+(z+1)? =861 sao cho biểu thức P= 2A? —7MB” +4MC” đạt giá trị nhỏ nhật Tinh a+b+c=?
Hướng dẫn đăng ký tai li6u(s6 Iluong co han)
XOAN TIN NHAN: “TOI MUON DANG KY TAI
LIEU DE THI FILE WORD”
ROI GUI DEN SO DIEN THOAI:
0969.912.551
D.3 Giải:
Goi K(x; y;z)la diém thỏa 2KA—7KB+4KC =0 > K(-21;16;10)
* Khi đó: P=_—MK”+2KA?— 1KB”+4KC”
*- Do đó P nhỏ nhất khi MK lớn nhất Mặt cầu (S) có tâm /(1:0:-1)— K7 =(22;—16;—11)
x=1+22t s* Phương trình đường thắng KI: 4y=-16 Thay x,y,z vao (S) ta duoc:
<=-—l-Il
K,=(23;—16;—12)
K, =(-21;16;10)
“* Vi KK, > KKy nén MK lớn nhất khi và chỉ khi M = K,(23;—16;—12) Vậy
M =(23;—16;—12)
Câu 13: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1;1;-1), B(-3;5;5) Điểm A⁄(a;b;c) thuộc mặt phẳng
(z):2x— y+2z—8=0 sao cho biêu thức P= MA+ MB đạt giá trị nhỏ nhật Tính a+b+c=?
(220” +(—16#)? +(—11)” =861<©r =+1 Suy ra KI cắt (9) tại hai điểm
> Giải:
s* Tacd f(A).f(B)>0, nén A, B 6 vé cling mét phia so véi (a) Goi A’ 1a diém đối xứng
qua A qua (@)
x=14+2t
* Phương trình đường thăng AA': : _ " 2, Tọa độ giao điểm I của AA' và (ø) là
2x-y+2z-8=0
x=l+2I
z=-l+2tf
2x-y+2z-8=0 s* Vì I là trung điểm AA' nên A’(5;-1;3) va A’, B nam khac phía so với (2) Khi đó với mọi
điểm M thuộc (2) ta luôn có: 1⁄A+ MB = A'M + MB > A'B Đăng thức xảy ra khi
M =A'Bc¬(œ)
Trang 7x=5-4
“+ A'B=(-8;6;2)>A'B:4+y=-—I+3/ Tọa độ giao điêm M của A”B và (ø) là nghiệm của
z=3+í x=5-4
.„ Jy=-l+3
z=3+í
2x-y+2z-8=0
Câu 14: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1;1:-1),C(7:-4:4) Điểm A⁄(a:b;c) thuộc mặt phẳng (z):2x— y+2z—8=0 sao cho biểu thức P=|ÄMA — MC| đạt giá trị lớn nhật.Tính a+b+c=?
> Giải:
“* M(a;b;c) Dat f(M) =2a—b+2c-8
Tacd f(A).f(C) <0 nén A và C năm về hai phía so với (ø)
Gọi A' là điểm đối xứng của A qua (ø)
i» %
x=l+2/
s* Phương trình đường thắng AA': 4 y=1—r Tọa độ giao điểm I của AA' và (ø) là
z=-l+2/
x=l+2/
` „ _, |y=l-t
z=-l+2/
2x-y+2z-8=0
Vì [là trung điểm AA' nên A*(5:-1;3) Khi đó với mọi điểm M thuộc (2) ta luôn có:
|MA— MC| =|MA — MC|< A'C Đăng thức xảy ra khi M = A'C¬(#)
x=5+2/
s A'C = (2;-3;1) > A'C: 4 y=-1-3r Tọa độ giao điểm M của A°C và (ø) là nghiệm của
z=3+t x=5+2/
„ Jy=-l-3¡
z=3+t
2x—y+2z-8=0
Câu 1S: Trong không gian Oxyz cho đường thăng A: T272 và mặt phăng
(P):ax+by+cz—3=0 chứa A và cách O một khoảng lớn nhất Tính a+b+=?
> Giai:
s* Gọi K la hinh chiéu vuông sóc của © lên A, suy ra K(+f;1+2/;2/), ÓK =(1+f;1+2f;2/)
x(2.1._2
“* Vi OK LA nén OR uy =0G1=-2
Trang 8* Gọi H là hình chiêu của O lên (P), ta có: đ(O;(P))= OH <OK =1 Đăng thức xảy ra khi
H =K Do đó (P) cách O một khoảng lớn nhất khi và chỉ khi (P) đi qua K và vuông góc với
OK Từ đó ta suy ra phương trình của (P) là: 2x+ y—2z—=3=0—>z+b+c=l
Câu 15: Trong không gian Oxyz cho đường thắng A: a = " = 5 va mat phang
(z):x—2y+2z—5=0 Mặt phăng (Ó): ax+by+cz+3=0 chứa A và tạo với (2) một góc nhỏ nhất
Tinh a+b+c=?
> Giai:
UUT UT UM Uw
> Công thức giải nhanh: Noy = INAN |
> Chứng mỉnh công thức:
A(1;1;0) € A, khi d6 g=ACH va sing =sin ACH = —— > —— Ma — khong đổi nên suy
ra ø nhỏ nhất © H =K hay (Q) 1a mat phang di qua A va vudng goéc voi mat phang (ACK)
UUUULE UU UL s* Mặt phẳng (ACK) đi qua A và vuông góc với (ø) nên: Nac) ~ |, , n, |
s* Do (Ó) đi qua A và vuông góc với mặt phăng (ACK) nên:
UIT HT ỨM ur UT Ul
No) = LM scey>Ms | = | mays | ms)
* Áp dụng công thức nên ta có Họ, =(-8;20;—16) suy ra:
(G):-8Œ~1+20(y—1)—16z=0>2x~5y+4z4+3=0<a+b+e=1
Câu 16: Trong không gian Oxyz cho đường A: a = " = 5 và hai điểm M(1:2:1), N(-1;0:2) Mặt
phăng (): ax+by+cz— 43=0 đi qua M,N và tạo với (A) một góc lớn nhất Tính ø+b+ =?
> Giai:
UU UW UT Un
> Công thức giải nhanh: 1,,) = [mem | me, |
s* Chứng minh tương tự câu 15: Noy = (1;10;22) suy ra
(Ø):1(x—])+10(y—2)+ 22(z— ]) =0<>x+10y+22z- 43=0>a+b+c=33
Câu 17: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A@;2;3), B(—1;0;—3),C(2;—3;—I) Điểm M(a;b;c) thuộc
mặt phăng (ø): 2x+ y—2z—1=0 sao cho biểu thức P= 3Ä⁄A? +4MB” —6ÄMMC” đạt giá trị nhỏ nhất
Tính a+b+c=?
> Giai:
“+ M(a;b;c) €(a@) => 2a+b-—2c-1=0
“% P=a’ +b’ +c’ +26a—48b—6c—2 =(a411)’ +(b- 25) +(c—1)“+2(2a+b—2c—1)— 747 >~—747
Trang 9“ Dau “=” xay rakhi: a=—11;b =25;c =1>a+b+c=15
Câu 18: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(;2;3), 8(—1;0;—3),C(2;—3;—1) Điểm M (a;b;c)
thuộc đường thăng A: 5 = 3 = 7 sao cho biêu thức P=|MA-—7MB+5MC)| dat gia tri lon nhat Tinh a+b+c=?
> Giải:
® NđcA=>M(1+2/—1+3f;1—f)
$* MA—7MB+5MC =(2f+19;3;—14;—r +20)
$ pa ferro aa HaO— = fr) OU, (ea
“ Dau “=” xay ra khi: t= l2 >a+bt+c= >>
Câu 19: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1:2:3), 8(-1:0:-3), C(2:-3;-1) Điểm A⁄(;b;c) thuộc
mặt câu (S):(x—2)” +(y—2)+(z—-8)“= ` sao cho biêu thức P = MA* —4MB* +2MC? dat gia tri
lon nhat Tinh a+b+c=?
Giải:
Gọi E(z;y;z) là điểm thỏa ZA—4EB+2EC =0— E(-9:4;—13)
* Khi đó: P=—EM + EA”—4EB”+2EC”
P lớn nhất khi EM nhỏ nhất Mặt cầu (S) có tâm
1(2;2;8) > JE =(-11;2;-21) > JE: y=2+2t Thay x, y, z vào (S) ta được t = +5 Suy ra
z=8-2lt
© se
> %
(im)
IE cat (S) tại hai điểm
Vì LH < EE, nên EM nhỏ nhất khi và chỉ khi Ä⁄ = E, = -3) suy ra M =(6;0;12)
Câu 20: Trong không gian Oxyz cho đường thăng d:— = >= cắt đường thắng
a
d': > = 1 =——— sao cho khoảng cách từ điêm B(2;1;1) dén duong thang d la nho nhat Tinh
at+b+c=?
> Gia:
UU UU
Gọi [M =ảo4' MC x22 | AB, AM |=(1—1;1;4—21)
Trang 10[45.AM | 5/2 —18i +18 —l8r +18
d(B,đ) “TRỤ - Ta =4)
Hướng dẫn đăng ley tài liêu(sỗ lương có han)
XOẠN TIN NHÁN: “TÔI MUÓN ĐĂNG KÝ TÀI
LIEU DE THI FILE WORD”
ROI GUI DEN SO DIEN THOAI:
0969.912.851
©
~
ae Ƒ0=0el „= min ƒ0)= ƒ(Ö)=-y =>, (83:72) => ø+b+c=4
Câu 21: Trong không gian Oxyz cho đường thăng diễ=*—=S—^ cắt đường thắng
d 5 TT TT sao cho khoảng cách giữa d và AIT la lon nhat Tinh a+b+c=?
> Gia:
“ Goi => M (-1+ 2t;t;2—1), suy ra u, = AM =(2t—-1;t+1;-1)
A(O;—1;2) Ed
Ul Uw UU
N(5:0;0), u, = (2;-2;1) =>| uy, AM |= (t-1;4t-1,61)
* /0)=0©| a 37 >min f()= /l§ Jail E0941) asd re=-8 37 37
Câu 22: Trong khong gian voi hé toa d6 Oxyz, cho hai mat phang (P):x—2y+2z-1=0,
(OQ): x+ y—2z+1=0 và diém /(1;1;- 2).Mat cau (S) tam 7, tiếp xúc với (P) và mặt phăng
(#):ax+ by+cz+r=0 vuông góc với (P), (Ó) sao cho khoảng cách từ 7 đến (ơ) bang 429 Biết
rằng tổng hệ số a+b+c+m duong
Cho các mệnh đề sau đây:
(1) Diém A(1;1;0) va B(-1;1;-2) thuộc mặt cau (5)
(2) Mặt phăng (ơ) đi qua C(0:-5:-3)
x= 2t
(3) Mặt phăng (0) song song với đường thăng (đ)4 y=—5—r
z=-3
(4) Mặt câu (9) có bán kính R = 2
(5) Mat phang (a) va Mat cau (S$) giao nhau bằng một đường tròn có bán kính lớn hơn 2