TÌM HỌ NGUYÊN HÀM BẰNG PHƢƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN Phƣơng pháp lấy nguyên hàm từng phần Cho hai hàm số u và v liên tục trên đoạn a; b và có đạo hàm liên tục trên đoạn a; b.. Để tính[r]
Trang 1GIẢI TÍCH LỚP 12-CHƯƠNG III
Bai 1 NGUYEN HAM
1 Dinh nghia
Cho hàm sô f x xác định trên khoảng K Hàm sô # x được gọi là nguyên hàm của hàm sô f x néu F'x =f x VỚI MỌI xeK
Nhân xét Nếu z x là một nguyên hàm của f x thi F x +C, CER cũng là nguyên hàm của ƒ z
Ký hiệu: [ ƒ x đx=# x +C
2 Tính chất
s fafxde=af fx dx acRa-0 s [ifxtgxlde= | fix det |g x de
3 Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gap
Bảng nguyên hàm Jdx=kx+C, £ là hăng số
fetdx=e' +e fede =e 40
a
J cosxdx =sinx +C J cos ax +b dx — sin ax +b +C
a
J sin xdx =—cosx +C sin ax+b de =—1eos ax +b +C
a
dx — tan ax +b tC
J
an luan
J L dx = tan x + Œ cos’ x
J Z dx =—cotx+C dx —— cot ax +b +C
a
sin? ax =
=-S——————:€ azl
fae oh x° (a—Dx*! man a (a—l)\(ax +b)" :
Câu 1 Cac khang dinh nao sau day 1a sai?
A [ fxde=rx +0 [frdr=rr+c
/
B | ff x dx —fx
C ffxde=rx +0> [fude=Fu +c,
D la x de =k [ f x dx (k la hang sé).
Trang 2Câu 2 Trong các khăng định sau, khắng định nào sai?
A x =x" là một nguyên hàm của ƒ x =2z
B r xz =x là một nguyên hàm của ƒ x =2\*z
C.Néu F x và ớ x đều là nguyên hàm của hàm số ƒ x thì x -G x =C (hằng số)
D [[/4 + + x]dx= [/ x det ff x de
Câu 3 (TRÍCH ĐÈ THPT QG 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số ƒ (x) = cos3x
in3
A [cos3xdx = 3sin 3x + C B [cos3xdx = “ TC
in3
C [cos 3xdx == “CC, D [cos3xdx = sin3x+ C
Câu 4 Hàm số ƒ z = | có nguyên hàm trên:
COS
AL On B [-5:3]} 22 C 2m 25), 2 2
Câu 5 (TRÍCH ĐÈ THPT QG 2017) Tìm nguyên hàm cia ham sé f(x) = 2sin x
A [2sin xdx = 2cosx+C B [ 2sin xdx = sin? x+C
C, [ 2sin xdx = sin 2x+C D [ 2sin xdx =-2cosx+C
3
CAu 6 Mot nguyén ham ciahams6 y= f x = = la két qua nao sau day?
Xx
Á.FƑx =T——-“~+I x 1 5 thnlx|+5— — B F x = x PP
x 3x 1 1 nt 1A › ,
C F x =—-—-—- D Mot két qua khac
Cau 7 Tinh J e*.e* dx ta duoc két qua nao sau day?
Câu 8 Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số ƒ x = x-3?
C F x =~ +2017 D F x =———-1
Câu 9 (TRÍCH ĐÈ THPT QG 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số ƒ(x) = 7'
x
A [7'dx=T7'In7+C B [Tax =— +C
ln7
x+l
x+1
Câu 10 (TRÍCH DE THPT QG 2017) Cho F(+) là một nguyên hàm của hàm sé f(x) =e* + 2x thoa man
F(0)= - Tim F(x)
l
Trang 3Câu 11 (TRÍCH ĐÈ THPT QG 2017) Cho hàm số ƒ(x) thỏa mãn f'(x) =3—Ssinx va ƒ(0) =10 Mệnh
đề nào dưới đây là đúng ?
C f(x) =3x-—S5cosx+2 D f(x) =3x—-5cosx+15
Câu 12 (TRÍCH ĐÈ THPT QG 2017) Tìm nguyên hàm F(+x) của hàm số f(x) =sinx+cosx théda man
(= A F(x) =cosx—-sinx+3 B Ƒ(x)=_—cos x + sin x+3
€ F(+x) =—cos x+sinx— D F(x)=_—cos x +sin x+Ï
Câu 13 Tìm số thực ø để hàm số # x =ø#`+ 3z+2 x”—4x+3 là một nguyên hàm của hàm số
f *« =3xˆ+10x—4
TIM HO NGUYEN HAM BANG PHUONG PHAP DOI BIEN SO
Phương pháp đối biến số
Néu ff x dx=F x +C thi [flu x |u' x de=Flu x |+C
Gia str ta can tim ho nguyên hàm J = J f x dx, trong do ta có thé phân tích ƒ x =g zx ø'x thì ta thực
hién phép doi bién s6 t=u x , suyra dt=u' x dx
Khi đó ta được nguyên hàm: fg tdt=Grt+C=Glu x |+C
Chu y: Sau khi tim dugc ho nguyén ham theo ¢ thita phaithay t=u x
ent
Câu 14 Để tính J áx theo phương pháp đổi biến số, ta dat:
x
A t=e™’ B t=Inx C t=x D r=1,
xX
Câu 15 # x là nguyên hàm của hàm sô y=sin* xcosx
F x là hàm sô nào sau đây?
Cau 16 F x la mot nguyên hàm của hàm số ;= xe” Hàm số nào sau đây khong phai la F x :
A F x a1 4 B.F x " ev +5
C.F x —-l ic D F x 1 2-e
Cau 17 (TRICH DE THPT QG 2017) Cho F(x) la nguyén ham của hàm số ƒ(+)= nx Tinh F(e)— F()
Xx
Cau 18 F x là một nguyên hàm của hàm sô y = —
x
Néu F £# =4 thì [ax bang:
x
Trang 42
AF, 1 TiC BF, 2 * +2,
2
Cry 2 *_2 Dr, 2 * Lxư+C
Câu 19 r x là một nguyên hàm của hàm số y= e”* coszx
Nếu F x =5 thi J ¿*"*cosxđx bằng:
A.F x =e"*+4, B 7 x =e”"*+C
C, " x =e°*“+4 D Ƒ x =c“°+C
TIM HO NGUYEN HAM BANG PHUONG PHAP NGUYEN HAM TUNG PHAN
Phương pháp lay nguyên hàm từng phần
Cho hai hàm sô uw và z liên tục trên đoạn z;ø và có đạo hàm liên tục trên đoạn a;d
Khi đó: [ sdy=„— [ vảu *
Đề tính nguyên hàm J f x dx bằng từng phân ta làm như sau:
Bước 1 Chọn ø, » sao cho ƒ x dx=udv (chi y dv=v' x dx)
Sau đó tính y= [dy va du=w'de
Bước 2 Thay vào công thức * và tính J vdu
Chú ý Cần phải lựa chọn u va dv hop li sao cho ta dé dang tim được v va tich phan J vdu dé tinh hơn
J udy Ta thường gặp các dạng sau
u=—Px sin x
e Dang 1 7 = J P x |coszldx, trong đó P x là đa thức Với dạng này, ta đặt sin x
dv =|cosx|dx
ete
ete
u=In mx-+n
e Dang 2 1=[P x In m+n dx, trong do P x ladathuc Với dạng này, ta đặt
dv=P x dx
e Dang 3 r=f[ cede Với dang nay, ta dat cos x|
COS X
dv = e*dx
Câu 20 Dé tinh J xIn 2+x dx theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta đặt:
° lđt=In 2+x dx’ ‘ldy=xde |
C z = xÏn 2+1 D u=In 2
dv = dx dv = dx
Câu 21 Dé tinh J x? cosxdx theo phương pháp tính nguyên hàm từng phan, ta dat:
A.J“ 7 dv = x cos xdx | BaF, [BT OS* pp, uma cose dv = cos xdx dv = x*dx dv = dx
Câu 22 Kết quả của 7 = J xe*dx là:
A IT=e* +xe* +C B =e +C.
Trang 52
ŒC 7—=xe'—-e'+C D I=S tr,
Câu 23 (TRÍCH ĐÈ THPT QG 2017) Cho F(z) =(x—1)e` là một nguyên hàm của hàm số ƒ(+)e”* Tim nguyên hàm của hàm số ƒ(x)e””
2—x
A [ƒ'(œ)£” dy=(4—2x)£` +C B | f' (oe dx = e+e
C Ỉ #')e?'dx =(2—x)e`+C D Ỉ f' (oe dx =(x—-2e* +C
Câu 24 Một nguyên hàm của f « =xInx 1a két qua nao sau day, biét nguyén ham nay triệt tiêu khi x=1?
A Fx =x Ine 2 x +1 B F x = Fe Inet tet
C.F x =SxInx+5 x2 +1, D Một kết quả khác
Cau 25 (TRICH DE THPT QG 2017) Cho F(x) = mm là một nguyên hàm của hàm sô Le) Tìm nguyên
hàm của hàm số ƒ(+)lnx
I 1
A frooinade=—[ 22 +4] +c x 2x B [ f*@)insdv = 72+ 4 x x
C froomar=-[22 +4] +c D [fon xd = 2* ++
In Inx
Cau 26 Tinh nguyén ham J = J dx duoc két qua nao sau day?
x
A IT=Inx.In Inx +C B 7=Inx.ln lnx +lnx-+C
Œ 7—=lInx.In Inx —Inx+C D 7—=lIn Inx +Inx+C
Câu 27 (TRÍCH ĐÈ THPT QG 2017) Cho F(x) =x? là một nguyên hàm của hàm số ƒ'(x)e?* Tìm nguyên
hàm của hàm số ƒ '(x)e”*
A |7 @0e”4x =—x+2x+C B |Z œ0” =-x +x+C
C | fede = 2x? —2x+C D [ f'(e*dx = -2x° +2x+C
Câu 28 Tính nguyên hàm J = J sin x.e*dx , ta dugc:
A IS ¿” sinx—e”€Osx +Œ B => e' siny +e" cos +C
Cau 29 (TRICH DE THPT QG 2017) Cho F(x) = “32 là một nguyên hàm của hàm sô LO) Tim nguyén
hàm của hàm số ƒ'(x)Inx
A |7 (x) In xd =~ FEC B [f (x) In xd =~ eC
Câu 30 Để tìm nguyên hàm của / x =sin‘ xcos‘ x thì nên:
A Dùng phương pháp đổi biến số, đặt ¿ =sin z
B Dùng phương pháp đôi biến số, đặt z =cosx
sin “2x l—cos4x 4° 8
D Dùng phương pháp lây nguyên hàm từng phan, dat uv =sin‘ x, dv =cos* xdx
C Biến đồi lượng giác sin? x cos” x = rồi tinh