Trong d ng này, ta gặp các bài toán biểu diễn hình học của số phức hay còn gọi là tìm tập hợp điểm biểu diễn một số phức z trong đó số phức z thỏa mãn một hệ thức nào đó thường là hệ thứ[r]
Trang 1Zz'= qa — bb + (ab — a`b)i
* Phép chia số phức khác 0
Cho số phức z= a + ð¡ #0 (ức là a“+bŸ > 0)
Ta định nghĩa số nghịch đảo z” của số phức z # 0 là số
LIÊN HỆ MUA FILE WORD TOÁN CHẤT LƯỢNG CAO
Trang 2Ví dụ 3: Tìm phân ảo của số phức z biết z= (2+ i) (1 — ND)
Trang 3Bài 4 Cho hai số phức: z¿ =2+5¿; z„ = 3— 4i Xác định phân thực, phần ảo của số phức z¡.z;
Bài 5 Tìm phản thực, phần ảo và mô đun của số phức:
c) z = 2i(3 + i)(2 + 4i)
Trang 4Bài II Cho sô phức z thỏa mãn (I — 2i) Z-—— = (3 — i) z.Tìm tọa độ điêm biêu diễn của z trong
LIÊN HỆ MUA FILE WORD TOÁN CHẤT LƯỢNG CAO
Trang 5a) Tacé: (1 +i) =14+2i-1=2i5 1 +i" = (i)! = 128.1 = -128.i
nén z = (I+j'Ÿ = (1+0 ''(1+j = -128i (1+) = -128 (-1 + i) = 128 — 128i
Bài 2 Tim phan thuc va phan 4o cua s6 phire z thoa mãn: (z +2— 3i)(1 — i) =(+Ð"
Bài 3 Tìm phản thực, phần ảo của số phức z =(1+?)”
2.3 Dạng 3: Tìm số phức dựa vào Dạng đại số của số phức
Nếu trong hệ thức tìm số phức z xuất hiện 2 hay nhiều đại lượng sau: Z.Z, z| ta sẽ sử dụng Dạng đại số của z là Z=x+yï Với x,y€#
Trang 6z—(2+3i)z=1-91 S at bi-(2+3i)(a—bi) =1-9i
-a-3b=1 {a=2 4-38-34 38)/= 1-91} <>
3a— 3b =9 b=-1 Vậy z= 2-i
Goiz=x+t ty (x, yER), tac6 z=x-iy;3|z| =|s =zg=x+y
lef + 22.2 +z] =8 SA + y2)=8 SO (xX? +y’) =2 (I)
Giải
Đặt z= x† yI(x,y € R)
Trang 8> Bai tap tư luyện
Bài 1 Tìm số phức z thoa man: |z—2+ i] = 2 Biết phần ảo nhỏ hơn phản thực 3 đơn vị
Bài 2 Tìm số phức z thỏa mãn: | z| - iz = 1 —2i
Bài 3 Tìm số phức z thỏa mãn: |: — (2+ ¡)| =A10 và z.z= 25
Bài 4 Tìm số phức z thỏa mãn |: — (I + 2i)| =/26 va z.z=25
Bài 5 Tìm số phức z thỏa mãn từng trường hợp:
a) H =2 vàz là số thuầnảo b) H = 5 và phân thực của z bằng hai lần phần ảo của nó
Trang 9Bai 6 Tìm số phức z thoả mãn lz| = 42 và zˆ là số thuần ảo
Bài 7 Giải phương trình:
2.4 Dạng 4: Biểu diễn hình học một số phức Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z
LIEN HE MUA FILE WORD TOÁN CIIẤT LƯỢNG CAO
© (x-I) + (y + L” =4.— Tập hợp các điểm MŒz) trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức
z thỏa mãn (1) là đường tròn có tâm tai I(1;-1) va ban kinh R = 2
b) Xét hệ thức |2+z|=|z—i|_ © |&+2) +yil = |-x+(1-y)i
Trang 10
Vậy tập hợp các điểm M là đường thắng 4x + 2y + 3 = 0
Trang 11Tập hop cac diém biéu dién ctia z la duong thang d: x-y-4=0, M(x;y) là điểm biểu diễn của z thì mô đun
của z nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dai OM nho nhat <> OM L đ Tìm được M(-2;2) suy ra z=-2+2i
Trang 12Goi M (x:y) là điểm biểu diễn của z trong mặt phắng tọa độ Oxy = M e (C) là đường tròn có tâm
26
ICL:>)và bán kính ®=—— 2'2 4
Gọi d là đường thăng đi qua O và [ > d:y=5x
Gọi M¡, M; là hai giao điểm của d va (C) > M, as) vaM, Co)
u là số thuần ảo khi và chi Ẫ S (x+1) +(y +1)
x +(y-1) >0 (x; y) # (051) Vay tap hop cac diém biéu dién ctia z là đường tròn tâm I(-1:-1), bán kính V5 trừ điểm (0:1)
> Bài (tâp tự luyện
Bài 1 Giả sử M(2) là điểm trên mặt phăng tọa đô biểu diễn số phức z Tìm tập hợp những điểm M2)
thỏa mãn điêu kiện sau
a) |e+(=30|=|e+3—2j| — b 2|z-j|=|z-z+2j| ©)|z=(3-42|=2
Bài 2 Trong các sô phức thỏa mãn lz —2+ 3i = 5 Tìm sô phức z có médun nho nhat
Trang 13Bài 3 Trong mặt phăng tọa độ Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:
|z —I | = E — 3i- 2 Trong các số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có môdun nhỏ nhất Bài 4 Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện |z —2— il = |z — 2i| Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất
Bài 5 Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện |z +ÌT— 5i| = E +3- Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất
Bài 6 Trong các số phức z thỏa mãn lz —2— i = V52, tìm số phức z mà |z —4+2iJ là nhỏ nhật
Bài 7 Tìm số phức Z có mô đun lớn nhất và thỏa mãn điều kiện Trong tất cả các số phức z thỏa mãn
+) Nếu w = 0 > w có một căn bậc hai là 0
+) Nếu w=a>0(a € R) > wo hai can bac hai la Va va-Va
+) Néu w=a<0(a € R) > wc hai căn bậc hai là J—ai va -J—ai
Để tìm căn bậc hai của w ta cần giải hệ này để tìm x, y Mỗi cặp (x y) nghiệm đúng phương trình
đó cho ta một căn bậc hai của w
Nhận xét: Môi sô phức khác 0 có hai căn bậc hai là hai sô đôi nhau
Ví dụ: Tìm các căn bậc hai của mỗi sô phức sau:
Trang 14
Vậy số phức w =4 + 6^/5 ¡ có hai căn bậc hai là: zr=3+ 5i và z2 = -3 -^|5ï
2) Giả sit z = x +yi (x, y thuộc R) là một căn bậc hai của w = -1-2 V6 i
LIÊN HỆ MUA FILE WORD TOÁN CHẤT LƯỢNG CAO
MR HIỆP : 096.79.79.369
Vậy số phức w =4 + 64/5 ¡ có hai căn bậc hai là: z¡ = 42 -^3/3i và Zo = -/2 +3 i
2.5.2 Vẫn đề 2: Giải phương trình bậc hai
Cho phuong trinh bac hai: Az* +Bz +C = 0 (1) (A, B, C e C, A¥0)
*) Néu A # 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt z¡ = “Bro ,Z2= — 0
(trong đó õ là một căn bậc hai cua A)
*) Néu A = 0 thì phương trình (1) có nghiệm kép: z¡ = Z2 = ¬
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau trên tập sô phức
Giải:
Trang 15a) z’—-z+1=0
vA=l-4=-3=3/7
vx căn bậc hai của A là +iJf3
1+iV3 =—†_——I Z;=————I 1 43 1 43
¥ Can bac hai cua A 1a +47
Vv Phuong trinh co nghiém: x, =—1-—2i, x, =—1+2i
Trang 16Phương trình đã cho tương đương với zˆ — (4 + 3i ) z+14+7i=0
Phương trình có biệt thức A =(4+3/} —4(1+7i)=3-4i =(2-i)
Phương trình có hai nghiệm là: z = Ï+ 2¡ và z=3+¡
Trang 17q + i) 2009 q _— iy*
Bai2 Giai phuong trinh: z* — 2 z+2¡ =0 trên tập số phức (Tham khảo)
Bài 3 Gọi z,:z, là các nghiệm phức của phương trình: zZ”“—4z+5=0.Tính:
(— ĐẾ” +(
2.5.3 Vấn đề 3: Phương trình quy về bậc hai
- Đối với dang nay ta thường øặp phương trình bậc 3 hoặc phương trình bậc 4 dạng đặc biệt có thể
quy được về bậc hai
- Đối với phương trình bậc 3 (hoặc cao hơn), về nguyên tặc ta cô găng phân tích về trái thành nhân
tử ( để đưa về phương trình tích) từ đó dẫn đến việc giải phương trình bậc nhật và bậc hai
- Đối với một số phương trình khác, ta có thê đặt ân phụ để quy về phương trình bậc hai mà ta đã biệt cách giải
q Plhurơng pháp phân tích thành nhân từ
Phương trình đã cho tương đương với (z — 2)(z + )(£ + 8) =0
Giải ra ta được bốn nghiệm: z=-—Ï; z= 2; z= +24/2i
Ví dụ 3: Cho phương trình sau: z + (2— 20z” + (5 — 4i)z — 10i = 0 (1)biết răng phương trình có nghiệm
thuân ảo (Tham khảo)
Trang 18© -iy` — 2y” + 2iy” + 5iy + 4y— 10i=0=0+0i
đồng nhất hoá hai về ta được:
—y'+2y*+5y-10=0
Suy ra phương trình (1) có nghiệm thuần ảo z = 2i
* Vì phương trình (1) nhận nghiệm 21
= vé trái của (1) có thể phân tích dưới dạng:
z”+(2—202Z”+(5—4jz— I0i =(z—20ŒŸ +az+b) (a,be R)
đồng nhất hoá hai về ta giải được a= 2 và b = 5
Vậy phương trình (1) có 3 nghiệm
TÊN HỆ MUA FILE WGRD TOÁN CHẤT LƯƯỢNG CAO
MR HIEP : 096.79.79.369
eee
Khi đó ta có phương trình (z+2)(z ~(5-i)z+8-i) =0
Tìm được các nghiệm của phương trình là z= -2; z= 2+ 1; z= 3- 21
Ví dụ 5: Giải phương trình zÌ— (2 — 3i)z + 3“ — 2i)z + 9i =O biét rang phuong trinh co một nghiệm
thuan ảo (tham khảo)
Trang 19(bi) —(2-3i)(bi) +3(1-2i)(bi) +91 =0
~b3—3b?+3b+9 =0
>z=-3i
Phương trình có thê phân tích thanh (z+ 3i)(z? -2z+3)=0
Các nghiệm của phương trình là z= -31; z = l+ V2i
Trang 20Vi du 3: Giai phuong trinh: (z* — z)(z+3)(z+ 2) =10,z€C
Ví dụ 4: Giải phương trình sau trên tập số phức z” — z` + > +z+l=0_ (tham khảo)
LIÊN HỆ MUA FILE WORD TOÁN CHẤT LƯỢNG CAO
MR, HIỆP : 096.79,79.369
5 Phương trình (2) có dạng: =0 @)
Trang 21C6 A=(1-3i) +16 =8-6i =9-6i4+7° =(3-i)”
_(q-3)+(3~j " (1-3i)-(3-i) _ -i—I
ij —] —i-1 Vay PT da cho co 4 nghiém: z=1+1; z=1-1 ; z= > Z= 5
PT(%) có 2 nghiệm: z
> Bai tap tw luyén
Bail Gidi phuong trinh z° + (1 — 2i)z’ + (1 —i)z — 2i = 0., biết rằng phương trình có một nghiệm thuan ao.(tham khao)
Bai 2 Cho phuong trinh: 2’ — (4 + i)z’ + (3 + 8i)z— 151 = 0 Biét phuong trinh co mét nghiém thuc GọI Z¡, Z2, Z2 là các nghiệm của phương trình Hãy tính lz + | z[ + | zs)
Bai3 Gọi z,z;.z;,z„ là bốn nghiệm của phương trình z — z” — 2z” +6z—4=0 trên tập số