BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN đại SỐ TUYẾN TÍNH đề TÀI GIỚI THIỆU VỀ MÔ HÌNH LESLIE

Một trong những ứng dụng phổ biến nhất của Đại số tuyến tính phải kể đến đó là Mô hình ma trận Leslie, được sử dụng trong sinh thái học để mô hình hóa sự thay đổi của quần thể trong một

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM

KHOA KHOA HỌC & ỨNG DỤNG



BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

ĐỀ TÀI 16:

GIỚI THIỆU VỀ MÔ HÌNH LESLIE

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN:

NGUYỄN XUÂN MỸ

Nhóm thực hiện:

Nhóm 3 – Lớp L11

DANH SÁCH THÀNH VIÊN

Nhóm 3 – Lớp L11

STT HỌ VÀ TÊN MSSV GHI CHÚ

1 Nguyễn Gia Huy 2013310

2 Nguyễn Trọng Huy 2011282

3 Trần Ngọc Quang Huy 2011293

4 Võ Mai Anh Huy 2013339

5 Nguyễn Thị Lệ Huyền 2013348

6 Cao Ngân Huỳnh 2013350

7 Phạm Hoàng Khanh 2012509

8 Nguyễn Đăng Khoa 2012509

9 Trần Nguyễn Anh Khoa 2013518

10 Vương Tuấn Kiệt 2013587

11 Y Khoa Knul 2013588

12 Nguyễn Trịnh Lâm 1711899

13 Huỳnh Công Lĩnh 2013647

14 Nguyễn Thị Trúc Linh 2013637

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU.……… 1

I CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1 Giới thiệu về ma trận Leslie ……… 2

2 Cách thiết lập một ma trận Leslie ……….…………2

II ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN LESLIE 1 Ứng dụng thực tế của ma trận Leslie ……… 4

2 Một số ví dụ khác về ứng dụng của ma trận Leslie ………… 10

III CHƯƠNG TRÌNH MATLAB 1 Lập một bài toán cụ thể ……….12

2 Những lệnh cần thiết để giải bài toán ……….13

3 Kết quả của bài toán trên chương trình ……… 14

IV TÀI LIỆU THAM KHẢO………15

LỜI MỞ ĐẦU

Đại số tuyến tính là một môn học có rất nhiều ứng dụng trong đời sống và được sử dụng rộng rãi trong hầu hết các ngành khoa học và lĩnh vực kỹ thuật như: kinh tế, môi trường, công nghệ máy tính, xử lý tín hiệu, đồ họa, trí tuệ nhân tạo,… Vì Đại số tuyến tính cho phép người sử dụng mô hình hóa nhiều hiện tượng tự nhiên và tính toán hiệu quả với các mô hình

Một trong những ứng dụng phổ biến nhất của Đại số tuyến tính phải kể đến đó là

Mô hình ma trận Leslie, được sử dụng trong sinh thái học để mô hình hóa sự thay đổi của quần thể trong một khoảng thời gian

I CƠ SỞ LÝ THUYẾT:

1 Giới thiệu về Leslie:

- Trong toán học ứng dụng, ma trận Leslie là một mô hình biểu thị sự gia tăng dân

số rời rạc, có cấu trúc theo độ tuổi, rất phổ biến trong sinh thái dân số Ma trận Leslie (mô hình Leslie) được phát minh bởi Patrick H Leslie, là một trong những phương pháp phổ biến nhất để mô tả sự tăng trưởng của dân số và sự phân bố dân spps theo độ tuổi dự kiến của một quần thể nhất định Trong quần thể đó dân số không di cư, phát triển trong một môi trường không giới hạn và chỉ xét đến một giới tính trong quần thể, thường là giới tính cái

- Ma trận Leslie được sử dụng trong sinh thái học để mô hình hóa những thay đổi của quần thể sinh vật trong một khoảng thời gian Cụ thể trong mô hình Leslie, dân

số được chia thành các nhóm dựa trên độ tuổi Các nhóm theo độ tuổi được thay bằng các giai đoạn di truyền trong một mô hình tương tự đó là mô hình Lefkovitch, trong mô hình này các cá thể có thể ở chung trong một giai đoạn hoặc chuyển sang giai đoạn tiếp theo Tại mỗi khoảng thời gian, quần thể được biểu diễn bằng một

ma trận với mỗi phần tử tương ứng với mỗi độ tuổi sẽ cho biết số lượng cá thể hiện

có trong độ tuổi đó

2 Cách thiết lập một ma trận Leslie:

- Để thiết lập 1 ma trận Leslie phải cần biết thông tin sau:

+ n x : Số lượng cá thể (𝐧) của mỗi lớp tuổi 𝐱

+ s x : Phần nhỏ các cá thể sống sót từ lớp tuổi x đến lớp tuổi 𝐱 + 𝟏

+ f x : Bình quân đầu người số con cái trung bình đạt được n 0 được sinh ra từ

mẹ ở độ tuổi x Chính xác hơn, nó có thể được xem như là số con cái được

tạo ra ở lớp tuổi tiếp theo bx+1 được tính theo xác suất đến lớp tuổi tiếp

theo

- Do đó f x= sxbx+1

- Từ những quan sát thấy rằng n 0 tại thời điểm t+1 chỉ đơn giản là tổng của tất cả

con cái được sinh ra từ bước thời gian trước đó và những sinh vật sống sót đến thời

điểm t+1 là những sinh vật tại thời điểm không sống sót với xác suất s x, một người

nhận được n x+1 = sxnx Khi đó, ma trận biểu diễn như sau:

n 0

n 1

⋮

n 𝛚-1

] t+1 =

[

f𝟎 f𝟏 f𝟐 ⋯ f𝛚−𝟐 f𝛚−𝟏

[

n 0

n 1

⋮

n 𝛚-1

]t

+ Trong đó ω là tuổi tối đa có thể đạt được trong quần thể

+ Còn có thể viết lại là : n t+1 = Lnt hoặc n t = L t n0

+ Với n t là vectơ tổng hợp tại thời điểm t và L

L là ma trận Leslie

+ Giá trị riêng của L được kí hiệu là λ, cho biết tốc độ tăng tiệm cận của dân

số (tốc độ tăng ở phân bố ổn định theo tuổi) Vector riêng tương ứng với λ

cung cấp sự phân bố tuổi ổn định, tỷ lệ cá thể của mỗi độ tuổi trong quần thể, không đổi tại thời điểm này của sự tăng trưởng tiệm cận trừ những thay đổi đối với tỷ lệ sống Khi đã đạt đến phân bố tuổi ổn định, dân số tăng

trưởng theo cấp số nhân với tốc độ λ

II ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN LESLIE:

1 Ứng dụng thực tế của ma trận Leslie:

* Để hình dung về ứng dụng, ta sẽ đi sâu vào phương pháp sử dụng

ma trận Leslie mô hình hóa một quần thể sinh vật cụ thể:

ỨNG DỤNG ĐẾN QUẦN THỂ GÀ TÂY HOANG DÃ TẠI IOWA

Ở khoảng nửa phía Đông của Hoa Kỳ, nơi gà tây hoang dã sinh sống Tại đây, săn gà tây mang lại hiệu quả kinh tế đáng kể ở nhiều cộng đồng nông thôn Nó mang lại doanh thu lớn vì việc săn gà tây không chỉ cung cấp thực phẩm, mà còn tăng cường sự phát triển của các ngành liên quan như chế tạo quần áo và trang thiết bị bằng những thứ mà gà tây mang lại Vì vậy, nâng cao kiến thức về quần thể, số lượng

gà tây là điều quan trọng để xây dựng các quy định về săn bắn và quản lý gà tây hiệu quả

Nhiều nghiên cứu về tỷ lệ sinh sản, tỷ lệ tử vong và tỷ lệ sống sót, và sự di chuyển của gà tây hoang dã đã được thực hiện (Tại Dickson năm 1992) Tuy nhiên,

có rất ít mô hình được thành lập để đánh giá quần thể gà tây Để có sự kết hợp cụ thể giữa tỷ lệ sống sót và tỷ lệ sinh sản, cần một mô hình có thể cho chúng ta biết liệu một quần thể gà tây hoang dã sẽ phát triển, suy giảm hay vẫn ổn định Các tỷ lệ sống rõ ràng cũng sẽ phụ thuộc vào mức độ thu hoạch Bằng cách thay đổi mức thu hoạch chúng ta có thể thấy sự ảnh hưởng đến quy mô dân số và xem xét những thay đổi đối với các quy định săn bắn và tăng cường quản lý đàn gà tây hoang dã

Mô hình Leslie được phát triển cho động thái quần thể của gà tây hoang dã miền đông ở Iowa Các thông số được sử dụng trong mô hình dựa trên các nghiên cứu về gà tây hoang dã ở Iowa (Suchy et al 1983, Dickson 1992), và đặc điểm dân

số sẽ được giải thích bằng mô hình phân tích

- Mục tiêu của nghiên cứu này hướng tới:

+ Xây dựng mô hình dự đoán quy mô dân số và cơ cấu tuổi gà tây hoang dã ở Iowa trong tương lai

+ Để thấy được ảnh hưởng của mức thu hoạch (theo phần trăm tổng dân số) đến cơ cấu tuổi dân số và tăng trưởng

+ Để tìm những mùa săn gà tây hoang dã thích hợp nhất

- Cấu trúc mô hình

+ Biểu đồ vòng đời được thể hiện như sau:

+ Độ tuổi được phân loại thành ba giai đoạn để đơn giản hóa mô hình tính toán Con non (Poults) có độ tuổi từ 0 đến 1 tuổi, con nhỏ (Yearlings) có độ tuổi từ 1 đến 2 tuổi và con trưởng thành (Adults) có độ tuổi từ 2 tuổi trở lên Sinh sản xảy ra với con nhỏ và con trưởng thành Đơn vị tính toán là 1 năm

và chỉ có con cái được xét trong mô hình này

Pi : xác suất để một con cái thuộc nhóm i tại thời điểm t sẽ sống trong nhóm

i + 1 (với i= 1, 2) hoặc sẽ sống ở nhóm i với i= 3 tại thời điểm t + 1

Fi : số con được sinh ra bởi mỗi con cái ở nhóm i từ thời điểm t đến t + 1 + Các biến trạng thái là số lượng con non, con nhỏ và con trưởng thành, được

kí hiệu là n1, n2 và n3 Sau đó có thiết lập như sau:

+ Ma trận Leslie A, một ma trận vuông bậc 3, được xác định trong mô hình 3 giai đoạn tuổi là:

+ Để đơn giản hóa hơn, nghiên cứu này ước tính các thông số hằng năm và bỏ qua một số thông tin phức tạp như tỉ lệ tử vong ở các mùa khác nhau Thông qua những nghiên cứu có kết quả tốt về tỉ lệ sống sót và quá trình sinh sản của gà tây hoàng dã, bên cạnh đó, không khó để ước tính được tham số Pi, Fi

trong mô hình này Mô hình Leslie vẫn được áp dụng bằng cách sử dụng các giá trị trung bình Ma trận Leslie ban đầu của quần thể gà tây hoang dã

Iowatrong nghiên cứu này thu được:

- Kết quả nghiên cứu

+ Tính ổn định

Wen-Ching Li đã sử dụng FORTRAN để tìm ra trị riêng và vector riêng của

ma trận Leslie A, λ 1 = 1.15; λ2,3 = -0.27±0.04i và | λ1 | = 1.15 > 1 chứng tỏ rằng quần thể không ổn định Trên thực tế, một số thông số sẽ dao động ngẫu nhiên trong tình huống thực tế Để nghiên cứu sự nhạy của mô hình đối với

các giá trị tham số riêng lẻ và quản lí quần thể gà tây, tác giả sẽ thay đổi lần lượt các giá trị tham số cho đến khi đạt được sự ổn định của quần thể

Trường hợp 1: Tỉ lệ sinh sản của con trưởng thành ở F3 giảm từ 1.86 xuống 0.8 Ma trận Leslie thay đổi thành

Khi đó trị riêng là λ1 = 0.999; λ2 = 0.05; λ3 = -0.42; | λi | < 1 Nó ổn định về mặt tiệm cận Trong trường hợp này, cần phải có một sự thay đổi lớn trong F3

để có được sự ổn định

Trường hợp 2: Tỉ lệ sống sót của P1 giảm từ 0.445 xuống 0.260 các thông số khác vẫn còn các giá trị giống như trong ma trận ban đầu

Trị riêng của mô hình: λ1 = 0.998; λ2.3 = -0.19±0.35i và | λi | < 1 Đó là quần thể ổn định

Trường hợp 3: Tỉ lệ sống sót hàng năm, P2 giảm từ 0.616 xuống 0.28 Các thông số khác giữ nguyên các giá trị như trong ma trận ban đầu Khi đó, λ1 = 0.996; λ2 = 0.02; λ3 = -0.40

Trường hợp 4: Tỉ lệ sống sót của người trưởng thành P3 giảm từ 0.61 xuống 0.15 Các thông số khác vẫn giữ nguyên như ma trận ban đầu Khi đó, λ1 = 0.997; λ2.3 = -0.42±0.52i

Trường hợp 5: Thật khó để có được trạng thái ổn định nếu chỉ giảm F2 | λ1 | vẫn lớn hơn 1 khi F2 giảm xuống 0.01, quá nhỏ so với mức sinh của con nhỏ Trường hợp 6: thay đổi đồng thời F2 và F3 Sau đó, khi F2 giảm từ 0.88 xuống 0.40 và F3 được thay đổi từ 1.86 thành 1.13, λ1 = 0.999; λ2.3 = 0.19±0.41i Trường hợp này hợp lí hơn về mặt sinh học so với trường hợp 1 Có một số cách để thay đổi giá trị của F2 và F3 trong trường hợp này

Trong trường hợp l, 2,3,4 và 6, các giá trị tuyệt đối của λi nhỏ hơn 1 Hệ thống

đó là ổn định tiệm cận và vì phần tử đơn vị không phải là một trị riêng của A, điểm gốc là điểm cân bằng duy nhất của hệ Quần thể sẽ bị tuyệt chủng sau một thời gian dài.Nếu phần tử đơn vị là trị riêng của A, thay vì bị tuyệt chủng, quần thể sẽ đạt được sự phân bố tuổi ổn định, tỉ lệ với vector riêng tương ứng của phần tử đơn vị

+ Ảnh hưởng của thu hoạch

Thu hoạch (săn bắt) sẽ ảnh hưởng trực tiếp đến các thông số ở giai đoạn con nhỏ và giai đoạn trưởng thành và ở đàn con giai đoạn gián tiếp Giả định rằng chỉ có xác suất sống sót của con nhỏ và con trưởng thành là bị ảnh hưởng bởi mức thu hoạch được xác định bằng tỷ lệ phần trăm của tổng số cá thể trong quần thể Chỉ có các mùa săn bắn vào mùa thu được cân nhắc vì mô hình này dành cho các nhóm con cái và nó thường chỉ những con đực mới có thể bị săn bắt vào mùa xuân Dữ liệu từ cuốn sách có tên "Gà tây hoang dã" (Dickson 1992) cho thấy có thể giảm P2 và P3 do thu hoạch

Theo mức độ thu hoạch khác nhau P2 và P3 được thay thế bằng giá trị trong bảng Khi đó, trị riêng đặc trung chiếm ưu thế đang giảm khi mức thu hoạch tăng lên

Kết quả này cho thấy ở 20% số cá thể trong quần thể bị săn bắt, quy mô quần thể phải nhỏ hơn, nghĩa là trị riêng chi phối phải nhỏ hơn 1 Nhưng kết quả không thể hiện được điều đó Có thể do mô hình quá đơn giản hoặc

có vấn đề nằm ở bước khảo sát, ước tính các tham số của nghiên cứu này Như đã đề cập trước đây, tỉ lệ sống sót và khả năng sinh sản sẽ thay đổi theo thời gian tùy thuộc vào nhiều yếu tố, như điều kiện thời tiết Trong đó,

tỉ lệ sống sót Pi sẽ thay đổi nhiều so với các con khác Vì vậy, Pi được chọn

để điều chỉnh để thực hiện một số phân tích khác Nếu Pi thay đổi từ 0.445 thành 0.330, kết quả của mô phỏng

Kết quả này hợp lí hơn kết quả trước Trị riêng chi phối dưới 1 khi mức thu hoạch là 15%

Tổng kết

Mô hình gà tây này rất đơn giản, trong khi đó quần thể gà tây hoang dã ở Iowa

là một hệ thống phức tạp Có quá ít tham số trong mô hình để mô tả đứng mức độ

phức tạp của quần thể gà tây hoang dã Ma trận có thể mở rộng và nhiều tham số hơn có thể thêm vào mô hình Leslie Tương tác giữa các tham số có thể được khảo sát hoặc toàn bộ tổng thể có thể chia thành nhiều giai đoạn hơn

2 Một số ví dụ khác về ứng dụng của ma trận Leslie:

VD1: Tìm số lượng cá thể chuột cái ở mỗi nhóm tuổi sau M năm, chúng ta đã biết

số lượng chuột cái hiện tại, tỉ lệ sinh và tỉ lệ sống sót của chúng qua bảng sau:

Độ tuổi 0 đến 1 tuổi 1 đến 2 tuổi Từ 2 đến 3 tuổi

Giải:

- Ma trận Leslie:

L = [

0.7 0.6 0.8

]

- Số lượng chuột cái ở mỗi nhóm tuổi vào thời điểm ban đầu:

N0 = [

80

40

60

]

- Số lượng chuột cái ở mỗi nhóm tuổi sau 1 năm là:

N1 = L.N0

 N1 = [

0.7 0.6 0.8

] x [

80 40 60 ]

 N1 = [

128

40 32 ]

- Số lượng chuột cái ở mỗi nhóm tuổi sau 2 năm là:

N2 = L.N1= L2.N0

- Số lượng chuột cái ở mỗi nhóm tuổi sau M năm là:

NM = L M N0

VD2: Nếu chúng ta chia một quần thể bò rừng (xét các cá thể cái) thành các loại

bê, nghé, con trưởng thành(hai tuổi trở lên) chúng ta có thể phát triển mô hình

ma trận Leslie cho dân số sử dụng:

+ Những con trưởng thành đạt 2 tuổi sống sót thêm một năm với

xác suất 0.95 và tái sản xuất với xác suất 0.42

+ Có 0.6 cơ hội để một con bê sống sót trở thành một con nghé

+ Con nghé có 0.7 cơ hội sống sót đến tuổi trưởng thành

+ Đàn bò bắt đầu với 100 con trưởng thành

Giải:

- Ma trận Leslie:

(

0 0.7 0.95

)

- Vì vậy, nếu một đàn bắt đầu với 100 con trưởng thành, thì đàn bò của 1 năm sau sẽ có cấu trúc:

X1 = L.X0 = (

0 0.7 0.95

) (

0 0 100 ) = (

42 0 95 )

III CHƯƠNG TRÌNH MATLAB:

1 Lập một bài toán cụ thể:

- Người ta chia tôm sú ra làm ba loại :

+ Loại 3 là loại nhỏ từ 0 đến 1 tuổi,

+ Loại 2 là loại vừa 1 đến 2 tuổi và loại 1 là loại to từ 2 tuổi trở lên

- Tỉ lệ sống sót của các loại 1,2 và 3 qua các năm lần lượt là 0.8, 0.7 và 0.5

- Tỉ lệ sinh con cái của loại 1 và loại 2 lần lượt là 0.4 và 0.5

Khảo sát số lượng cá thể cái của một đàn tôm nuôi ở một vuông nuôi tôm tại Cà

Mau Giả sử năm 2019 , đàn tôm có 10.000 con mỗi loại

(nhỏ từ 0 đến 1 tuổi)

Loại 2 (vừa từ 1 đến 2 tuổi)

Loại 1 (to từ 2 tuổi trở lên)

Số lượng

ban đầu

Tỷ lệ sống

sót

Tỷ lệ sinh

sản

2 Những lệnh cần thiết để giải bài toán:

clc;

clear all;

%Thiet lap ma tran leslei:

L=zeros(3,3); ( MA TRẬN HÀNG 3 CỘT 3)

L(1,1)=input('Nhap ti le sinh san cua loai I:');

(NHẬP SỐ LIỆU )

L(1,2)=input('Nhap ti le sinh san cua loai II:');

L(1,3)=input('Nhap ti le sinh san cua loai III:');

L(2,1)=input('Nhap ti le song sot cua loai I sang loai II:');

L(3,2)=input('Nhap ti le song sot cua loai II sang loai III:');

L(3,3)=input('Nhap ti le song sot cua loai III:');

fprintf('Ma tran Leslei la: \n');

disp(L);

(HIỂN THỊ MA TRẬN )

( NHẬP SỐ LIỆU BAN ĐẦU CỦA TỪNG CÁ THỂ)

X0=zeros(3,1);

X0(1,1)=input('Nhap so luong con cai o loai I tai thoi diem ban dau:');

X0(2,1)=input('Nhap so luong con cai o loai II tai thoi diem ban dau:');

X0(3,1)=input('Nhap so luong con cai o loai I tai thoi diem ban dau:');

fprintf('Ma tran gia tri dau la: \n');

disp(X0)

%Tinh toan:

a=input('Nhap chu ky cua bai toan (so nam de ca the chuyen loai):'); (CHU KỲ

ĐỂ LOÀI NÀY CHUYỂN SANG LOÀI KHÁC ,vd : khoảng thời gian từ loài

1 sang loài 2 , ĐƠN VỊ LÀ NĂM )

b=input('Nhap so nam muon tinh:'); ( TÍNH SỐ NĂM THỨ T KỂ TỪ BAN

ĐẦU)

n=b/a;

X=(L^n)*X0; (CÔNG THỨC MA TRẬN LESLIE)

fprintf('Ket qua la:\n');

disp(X); (HIỂN THỊ KẾT QUẢ)