Nghiên cứu cấu trúc và tính chất của một số phức chất platinum(II) chứa phối tử eugenol và dẫn xuất acid carboxylic của pyridine bằng phương pháp hóa học tính toán

ành lþ chuy”n cì sð phflng... Cho M l mºt R-mæ un Noether câ chi•u d÷ìng... Chóng ta s‡ ch¿ ra r‹ng nhœng kh¡i ni»m n y tròngkhîp nhau khi khi x†t tr¶n v nh àa ph÷ìng Buchsbaum... Cho M

Ch֓ng 1

Mºt sŁ ki‚n thøc chu'n bà

Nºi dung cıa ti‚t n y ÷æc tr…nh b y theo [1].

Cho R l mºt v nh giao ho¡n câ ìn và T“p S R ÷æc gåi l mºt t“p nh¥n

âng n‚u 1 2 S v vîi måi x; y 2 S th… xy 2 S

Chóng ta câ th” ki”m tra (RS; +; :) l mºt v nh giao ho¡n câ ìn và1

1

4

ành ngh¾a 1.1.1 V nh RS ÷æc gåi l v nh c¡c th÷ìng cıa v nh R

t÷ìng øng vîi t“p nh¥n âng S

Chó þ r‹ng, vîi mØi p 2 Spec(R), S = R n p l mºt t“p nh¥n âng.

Khi â, v nh RS cÆn ÷æc k‰ hi»u l R p :

m(s; m) 2 S M, ta k‰ hi»u lîp t÷ìng ÷ìng (s; m) l s v t“p th÷ìng(S M)= l S 1M hay MS

Chóng ta câ th” ki”m tra MS l mºt RS-mæ un.

ành ngh¾a 1.1.3 Mæ un MS tr¶n v nh RS ÷æc gåi l mæ un àaph÷ìng hâa cıa M t÷ìng øng vîi t“p nh¥n âng S

Chó þ r‹ng, vîi mØi p 2 Spec(R), S = R n p l mºt t“p nh¥n âng.

Khi â, ta k‰ hi»u MS = Mp:

1.2 Sü ph¥n t‰ch nguy¶n sì

Nºi dung cıa ch÷ìng n y ÷æc tr…nh b y theo [5].

Cho R l mºt v nh Noether giao ho¡n v M l mºt R-mæ un

ành ngh¾a 1.2.1 Mºt i ¶an nguy¶n tŁ p cıa R ÷æc gåi l mºt i ¶annguy¶n tŁ li¶n k‚t cıa M n‚u tçn t⁄i mºt phƒn tß x 2 M sao cho Ann(x)

ành lþ 1.2.5 Cho R l mºt v nh Noether giao ho¡n v M l mºt R-mæ

un Khi â Ass(M) Supp(M) v måi phƒn tß cüc ti”u cıa Supp(M) thuºcv• Ass(M):

M»nh • 1.2.6 Cho R l mºt v nh Noether v M l mºt R-mæ un hœu h⁄nsinh Khi â Ass(M) l mºt t“p hœu h⁄n

ành ngh¾a 1.2.7 Mºt R-mæ un ÷æc gåi l Łi nguy¶n sì n‚u nâ câduy nh§t mºt i ¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t Mºt mæ un con N cıa M ÷æcgåi l mºt mæ un con nguy¶n sì cıa M n‚u M=N l Łi nguy¶n sì N‚uAss(M=N) = fpg, ta nâi N l p-nguy¶n sì hay N li¶n k‚t vîi p

Cho N l mºt mæ un con cıa M Mºt ph¥n t‰ch nguy¶n sì cıa N lmºt bi”u di„n d⁄ng N = Q1 \ Q2 \ : : : \ Qr vîi måi Qi l nguy¶n sì trong

M Hìn nœa, mºt ph¥n t‰ch nguy¶n sì ÷æc gåi l rót gån n‚u khængth” bä mºt Qi n o v nhœng i ¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t cıa M=Qi l nhœngphƒn tß kh¡c nhau vîi 1 6 i 6 r

Hi”n nhi¶n, mºt ph¥n t‰ch nguy¶n sì cıa N câ th” ÷a v• mºt ph¥n t

1.3 Chi•u Krull

Nºi dung cıa ch÷ìng n y ÷æc tr…nh b y theo [5].

ành ngh¾a 1.3.1 Chi•u cıa R ÷æc ành ngh¾a l ch°n tr¶n nhä nh§t cıa t§t c£ º cao cıa t§t c£ i ¶an nguy¶n tŁ cıa R, tøc l

dim(R) = supfht(p) j p 2 Spec(R)g:

Nâ cÆn ÷æc gåi l chi•u Krull cıa R

V‰ dö 1.3.2

1) Cho K l mºt tr÷íng Khi â dim K = 0

2) dim(Z) = 1

Nh“n x†t 1.3.3

(i) Vîi mØi p 2 Spec(R); ht(p) = dim(Rp):

(ii) Vîi mØi i ¶an I cıa R, dim(R=I) + ht(I) 6 dim R:

ành ngh¾a 1.3.4 Cho M 6= 0l mºt R-mæ un Chi•u Krull cıa Ml

dim(M) = dim(R= Ann(M)):

Trong tr÷íng hæp M = 0, ta qui ÷îc dim(M) = 1:

M»nh • 1.3.5 Gi£ sß R l mºt v nh giao ho¡n Noether v M 6= 0l mºt R-mæ un hœu h⁄n sinh Khi â c¡c m»nh • sau l t÷ìng ÷ìng

(i) M l mºt R-mæ un câ º d i hœu h⁄n

(ii) V nh R= Ann(M) l Artin

(iii) dim M = 0:

Cho R l mºt v nh Noether giao ho¡n àa ph÷ìng vîi i ¶an cüc ⁄i m.Mºt i ¶an I ÷æc gåi l mºt i ¶an ành ngh¾a cıa R n‚u mk I m vîi mºt k > 1.i•u n y t÷ìng ÷ìng vîi I m v R=I l Artin.

Cho I l mºt i ¶an ành ngh¾a cıa R v M l mºt R-mæ un hœu h⁄nsinh °t

R = grI (R) = n>0In=In+1

v

M = grI (M) = n >0InM=In+1M:

Gi£ sß I = Rx1 + +Rxr Khi â v nh ph¥n b“c R l £nh çng c§u cıa

B = (R=I)[x1; : : : ; xr], v M l R -mæ un ph¥n b“c hœu h⁄n sinh Khi

â FM (n) = ‘(InM=In+1M) l mºt a thøc theo n vîi deg FM (n) 6 r 1 khi n

l mºt a thøc theo n vîi b“c khæng qu¡ r khi n 0 a thøc (M; I; n) khi n 0

÷æc gåi l a thøc Hilbert cıa M t÷ìng øng vîi I: a thøc

n y khæng phö thuºc v o i ¶an ành ngh¾a I B“c cıa a thøc n y ÷æc k‰ hi»u l d(M):

M»nh • 1.3.6 Cho (R; m) l mºt R-mæ un Noether giao ho¡n àa

ph÷ìng, I l mºt i ¶an ành ngh¾a cıa R v

0! M0! M ! M00! 0

l d¢y khîp c¡c R-mæ un hœu h⁄n sinh Khi â

d(M) = maxfd(M0); d(M00)g:

BŒ • 1.3.7 Cho (R; m) l mºt v nh giao ho¡n Noether àa ph÷ìng Khi â d(R) > dim(R):

BŒ • 1.3.8 Cho (R; m) l mºt v nh giao ho¡n Noether àa ph÷ìng v M 6= 0l mºt R-mæ un hœu h⁄n sinh v x 2 m Khi â

d(M) > dim(M=xM) > d(M) 1:

BŒ • 1.3.9 Cho (R; m) l mºt v nh giao ho¡n Noether àa ph÷ìng v M6= 0l mºt R-mæ un hœu h⁄n sinh, v °t dim(M) = r Khi â tçn t⁄i r phƒn

tß x1; : : : ; xr 2 m sao cho ‘(M=(x1; : : : ; xr)M) < 1

ành lþ 1.3.10 Cho (R; m) l mºt v nh giao ho¡n Noether àa ph÷ìng

v M 6= 0l mºt R-mæ un hœu h⁄n sinh Khi â d(M) = dim(M) = (M)trong â (M) l sŁ tü nhi¶n nhä nh§t r sao cho tçn t⁄i x1; : : : ; xr 2 m

” ‘(M=(x1; : : : ; xr)M) < 1

Chó þ r‹ng, n‚u d = dim(M) v

‘(M=(x1; : : : ; xd)M) < 1 ÷æc gåi l

h» phƒn tß x1; : : : ; xd 2 m sao cho mºt h» tham sŁ cıa M

M»nh • 1.3.11 Cho (R; m) l mºt v nh giao ho¡n Noether àa ph÷ìng

v M 6= 0l mºt R-mæ un hœu h⁄n sinh Khi â

(i) dimR(M) = dimRb(Mc):

(ii) dim M = maxfdim(R=p) j p 2 Ass(M)g:

ành lþ 1.4.1 (T‰nh ºc l“p cıa v nh cì sð) Cho R0 l R- ⁄i sŁ v

N0 l R0-mæ un Cho I l mºt i ¶an cıa R Khi â vîi måi i > 0, ta câ

flng c§u Hi (N0) = Hi(N0) c¡c R-mæ un.

IR0 I

Khi R0 l R- ⁄i sŁ phflng, ta câ ành lþ sau (xem [4], ành lþ 4.3.2)

ành lþ 1.4.2 ( ành lþ chuy”n cì sð phflng) Cho R0 l R- ⁄i sŁ phflng.Khi â câ R0- flng c§u Hi(N)

Cho p l i ¶an nguy¶n tŁ b§t k… cıa R Khi â Rp l R- ⁄i sŁ phflng.

Tł ành lþ 1.4.2 ta luæn câ Rp- flng c§u

Ch֓ng 2

°c tr÷ng cıa mæ un Buchsbaum

2.1 °c tr÷ng cıa mæ un Buchsbaum qua h» tham sŁ

Trong ch÷ìng 2, chóng tæi tr…nh b y mŁt sŁ °c tr÷ng cıa mæ un Buchsbaum, mæ un ph¥n b“c theo [6]

K‰ hi»u R l mºt v nh giao ho¡n Noether àa ph÷ìng vîi i ¶an cüc ⁄i

m v M l mºt R-mæ un Noether

Cho q l i ¶an cıa R sao cho ‘(M=qM) < 1 Khi â, ta câ h m Samuel Pq(n) = ‘(M=qn+1M) v tçn t⁄i c¡c sŁ nguy¶n e0(q; M) > 0; e1(q;M); :::; ed(q; M) sao cho vîi n ı lîn, ta câ

Hilbert-P q (n) = e 0 ( q ; M) d !+ e 1 (q; M) d 1 1!

+ + e n ( q ; M)

H» sŁ e0(q; M) gåi l sŁ bºi cıa M øng vîi i ¶an q

N«m 1965, D A Buchsbaum ¢ °t ra gi£ thi‚t: Tçn t⁄i mºt sŁ tünhi¶n I(M) sao cho hi»u ‘A(M=qM) e0(q; M) = I(M) l h‹ng sŁ vîi måi i

¶an tham sŁ q cıa M Tuy nhi¶n, gi£ thi‚t tr¶n khæng óng V möc

‰ch cıa phƒn n y l tr…nh b y t‰nh ch§t ƒu ti¶n cıa R-mæ un Mthäa m¢n gi£ thi‚t tr¶n

12

ành ngh¾a 2.1.1 Cho M l R-mæ un Noether Mºt h» c¡c phƒn tß

x1; : : : ; xr 2 m ÷æc gåi l mºt M-d¢y y‚u, n‚u vîi mØi i = 1; : : : ; r

l mºt v nh Buchsbaum n‚u nâ l mºt mæ un Buchsbaum

BŒ • 2.1.4 Gi£ sß r‹ng R l £nh to n c§u cıa v nh àa ph÷ìng B Mºt R-mæ un M l mºt mæ un Buchsbaum tr¶n R n‚u v ch¿ n‚u nâ

l mºt mæ un Buchsbaum ÷æc coi l mºt B-mæ un b‹ng h⁄n ch‚ væ h÷îng

ành ngh¾a 2.1.5 Cho a R l mºt i ¶an v M l mºt R-mæ un Noethervîi dim M = d v dim M=aM = 0 Mºt h» c¡c phƒn tß x1; : : : ; xt cıa R

÷æc gåi l M-cì sð cıa a n‚u c¡c i•u ki»n sau thäa m¢n:

(i) x1; : : : ; xt t⁄o th nh mºt cì sð tŁi ti”u cıa a

(ii) Vîi mØi h» i1; : : : ; id c¡c sŁ nguy¶n vîi 1 i1 < < id t th… c¡c

phƒn tß xi 1 ; : : : ; xi d l“p th nh mºt h» tham sŁ cıa M

M»nh • 2.1.6 Cho a R l mºt i ¶an v M1; : : : ; Mn l c¡c R-mæ unNoether vîi dimR Mi=aMi = 0 vîi måi i = 1; : : : ; n Khi â a1; : : : ; at 2 a

t⁄o th nh mºt Mi-cì sð cıa a vîi måi i = 1; : : : ; n

H» qu£ 2.1.7 Cho M l mºt mæ un Buchsbaum Gi£ sß x1; : : : ; xr lmºt phƒn cıa h» tham sŁ cıa M vîi r < dim M Khi â M=(x1; : : : ; xr)M

v M=U((x1; : : : ; xr)M) l c¡c mæ un Buchsbaum Hìn nœa, Mp l mæ

un Cohen-Macaulay vîi måi i ¶an nguy¶n tŁ p 6=m v p 2 SuppM.M»nh • 2.1.8 Gåi M l mæ- un Noether R vîi d := dim M > 0 C¡c i•u ki»n sau l t÷ìng ÷ìng:

(i) M l mºt mæ- un Buchsbaum, tøc l , mØi h» tham sŁ l mºt chuØi

(x1; : : : ; xi) M : xi+1 = (x1; : : : ; xi) M : xvîi måi x 2 m

sao cho x1; : : : ; xi; x t⁄o th nh mºt phƒn cıa h» tham sŁ cıa M.(ii)’ Vîi mØi h» tham sŁ x1; : : : ; xd cıa M chóng ta câ

(x1; : : : ; xd 1) M : xd = (x1; : : : ; xd 1) M : xvîi måix 2 m

sao cho x1; : : : ; xd 1; x l⁄i t⁄o th nh mºt h» tham sŁ cıa M

(iii) Vîi mØi h» tham sŁ x1; : : : ; xd cıa M chóng ta câ vîi måi i =

0; : : : ; d 1:

(x1; : : : ; xi) M : xi+1 = (x1; : : : ; xi) M : x2i+1:

(iii)’ Vîi mØi h» tham sŁ x1; : : : ; xd cıa M chóng ta câ

(x1; : : : ; xd 1) M : xd = (x1; : : : ; xd 1) M : x2d:

(iv) Vîi mØi phƒn cıa h» tham sŁ x1; : : : ; xi cıa M vîi i < d chóng ta

câ

U ((x1; : : : ; xi) M) = (x1; : : : ; xi) M : m:ành lþ 2.1.9 Cho M l mºt R-mæ un Noether vîi dim M = d Khi â M

l mºt mæ un Buchsbaum n‚u v ch¿ n‚u câ mºt sŁ nguy¶n I(M) 0 saocho

l(M=qM) e0(q; M) = I(M) vîi måi i ¶an tham sŁ q cıa M :

BŒ • 2.1.10 Cho M l mºt R-mæ un Noether câ chi•u d÷ìng M l mºt

mæ un Buchsbaum n‚u v ch¿ n‚u bao ƒy ı m-adic Mc cıa M l mºt

mæ un Buchsbaum tr¶n Rb Trong tr÷íng hæp n y I(M) = I(Mc)

BŒ • 2.1.11 Cho M l mºt R-mæ un Noether v a R l mºt i ¶an saocho M=aM l mæ un Buchsbaum câ chi•u d÷ìng Khi â, vîi mØi phƒncıa h» tham sŁ x1; : : : ; xr cıa M=aM v b := (x1; : : : ; xr)R th…

°c tr÷ng cıa v nh àa ph÷ìng Buchsbaum R d¤n ‚n kh¡i ni»m v•c¡c R-d¢y y‚u Mºt sŁ t¡c gi£ ¢ nghi¶n cøu tŒng qu¡t hìn v• d¢y ch

‰nh quy nh÷ M Fiorentini [1], C Huneke [1], N V Trung [10] hay

P Schen-zel [3] Chóng ta s‡ ch¿ ra r‹ng nhœng kh¡i ni»m n y tròngkhîp nhau khi khi x†t tr¶n v nh àa ph÷ìng Buchsbaum

ành ngh¾a 2.1.13 Cho R l mºt v nh àa ph÷ìng câ º d i n > 0 Gi£

sß r‹ng x1; : : : ; xn l mºt h» tham sŁ cıa R Khi â

1 x1; : : : ; xn l mºt R-d¢y y‚u n‚u

(x1; : : : ; xi) R : xi+1 = (x1; : : : ; xi) R : m vîi måi i = 0; : : : ; n 1:

2 x1; : : : ; xn ÷æc cho l mºt d-d¢y n‚u vîi mØi t“p con fi1; : : : ; ijg(câ th” l t“p ;) cıa t“p f1; : : : ; ng v vîi måi k; m 2 f1; : : : ; ng n

4 Mºt phƒn tß x trong i ¶an m-nguy¶n sì q l mºt phƒn tß ngo i tuy»t

Łi cho q trong R n‚u

(qk+1 : x) \ q = qkvîi måi sŁ nguy¶n k 1;

x1; : : : ; xn ÷æc gåi l mºt h» ngo i tuy»t Łi cıa tham sŁ n‚u xi

l mºt phƒn tß ngo i tuy»t Łi cho £nh cıa (x1; : : : ; xn) R trongR=(x1; : : : ; xi 1) R vîi måi sŁ nguy¶n i = 1; : : : ; n

5 x1; : : : ; xn câ thuºc t‰nh (F ) n‚u

(xi; : : : ; xij ) R : xi \ (x1; : : : ; xn) R = (x1; : : : ; xi 1) R:vîi måi sŁ nguy¶n 1 i n

N‚u i = 1 ta ÷æc (O : x1) \ (x1; : : : ; xn) R = 0:

M»nh • 2.1.14 R l mºt v nh Buchsbaum n‚u v ch¿ n‚u n«m i•u ki»ncıa ành ngh¾a 2.1.13 thäa m¢n vîi måi h» tham sŁ cıa R Trongtr÷íng hæp n y c£ n«m i•u ki»n tr¶n l t÷ìng ÷ìng

2.2 °c tr÷ng cıa mæ un Buchsbaum qua Łi çng i•u àa

ph֓ng

Cho R l mºt v nh àa ph÷ìng vîi i ¶an cüc ⁄i m v tr÷íng k := R=m Tabi‚t r‹ng, mºt mæ un Noether R l mæ un Cohen-Macaulay n‚u vch¿ n‚u Hmi(M) = 0 vîi måi 0 i < dim M(xem [6])

K‚t qu£ sau cho ta th§y Łi çng i•u àa ph÷ìng l mºt cæng cö ”nghi¶n cøu c¡c mæ un Buchsbaum

M»nh • 2.2.1 Cho M l mºt R-mæ un Noether vîi chi•u d÷ìng C¡c i•uki»n theo sau l t÷ìng ÷ìng:

(i) Tçn t⁄i mºt h» tham sŁ cıa M trong m2 l mºt M-d¢y y‚u

(ii) MØi h» tham sŁ cıa M trong m2 l mºt M-d¢y y‚u

(iii) m:Hmi(M) = 0 vîi måi 0 i < dimM

Hìn nœa, n‚u mºt trong sŁ c¡c i•u ki»n l thäa m¢n th… ta câ(iv) l(M=q:M) e0(q; M) l ºc l“p cıa q vîi måi i ¶an tham sŁ q m2

M»nh • 2.2.2 Cho M l mºt mæ- un Buchsbaum vîi d := dim M 0 Khi

â mØi tham sŁ ideal q cıa M

H» qu£ 2.2.3 N‚u M l mæ un Buchsbaum th… m Hmi(M) = 0 vîi måi

i 6= dimM °c bi»t, c¡c mæ un Łi çng i•u àa ph÷ìng l c¡c mæ un câ º

d i hœu h⁄n

H» qu£ 2.2.4 Cho M l mºt mæ un Buchsbaum chi•u d > 0 Khi â, vîi

mØi t 0 câ mºt sŁ tü nhi¶n It(M) sao cho vîi måi i ¶an tham sŁ q cıa

M, ta câ

l(M=qt+1 M)

t + d

e0(q; M) = It(M):d

ành lþ 2.2.5 Cho M l mºt R-mæ un Noether vîi d := dim M 1 N‚u

’iM : ExtiA(k; M) ! Hmi(M)

l to n ¡nh vîi måi i 6=d th… M l mºt mæ un Buchsbaum

M»nh • 2.2.6 Cho M l mºt R-mæ un Noether vîi r := depth M < dim

M =: d v Hmi(M) = 0 vîi måi i 6=r; d C¡c m»nh • sau ¥y l t÷ìng ÷ìng:

1 a l thuºc ki”u (1; d) n‚u a = (X1; : : : ; Xd)Rd \ (Y1; : : : ; Yd)Rd;

2 a l thuºc ki”u (r + 1; d) vîi r + 1 < d, n‚u a = a1 \ a2 v

a) Rd=a1 l v nh Cohen-Macaulay vîi dim Rd=a1 = d,

b) tü flng c§u cıa Rd x¡c ành bði ph†p Œi bi‚n (Xi $ Yi) bi‚n a1 th

nh a2,

c) a1 + a2 = (Xd; Yd) Rd + b Rd, trong â bRd 1 l i ¶an thuºc ki”u (r; d 1)

BŒ • 2.2.8 Cho a Rd l mºt i ¶an ki”u (r; d) vîi 1 r < d Khi â

ành lþ 2.2.9 Gåi M l mºt R-mæ un Noether câ chi•u d÷ìng d

C¡c ph¡t bi”u sau ¥y l t÷ìng ÷ìng:

(iii) Cho x1; : : : ; xi l mºt M-cì sð M cıa i ¶an cüc ⁄i m cıa A

Vîi mØi h» i1; : : : ; id c¡c sŁ nguy¶n thäa 1 i1 < < id t,d¢y xr1 ; : : : ; xrd l mºt M-d¢y y‚u vîi måi r1; : : : ; rd 2 f1; 2g

M»nh • 2.2.10 Gåi M l mºt R-mæ un Noether vîi depth M >

0 Khi â c¡c i•u ki»n sau l t÷ìng ÷ìng:

a) M=x M l mæ un Buchsbaum.

b) x Hmi(M) = 0 vîi måi i < dim M

(iii’) Łi vîi t§t c£ c¡c ÷îc kh¡c khæng x 2 m cıa M a) v b) cıa

(iv) Câ mºt ÷îc kh¡c khæng x 2 m cıa M sao cho:

c) M=x M l mæ un Buchsbaum.

d) x Hmi(M=x2 M) = 0 vîi måi i < dim M 1

(iv’) Łi vîi t§t c£ c¡c ÷îc kh¡c khæng x 2 m cıa M, c¡c i•u ki»n c) v d) cıa (iv) l óng

M»nh • 2.2.11 Gi£ sß P 2 V \Fu v º d i cıa (f1; : : : ; fr) R > 1 N‚u

P l mºt i”m Buchsbaum cıa V =k th… P l i”m Buchsbaum cıa V \

Fu=k(u)

i•u ng÷æc l⁄i ch¿ óng n‚u grade(f1; : : : ; fr) R > 1 v (f1; : : : ; fr)

R p2 R:

K‚t qu£ ti‚p theo ÷æc chøng minh bði N V Trung, (xem [2]), ành

lþ 4 Nâ cung c§p thæng tin v• thuºc t‰nh n¥ng trong tr÷ínghæp depth M = 0

M»nh • 2.2.12 Cho M l mºt R-mæ un Noether chi•u d÷ìng d

v depth M = 0 Khi â M l mºt mæ un Buchsbaum n‚u v ch¿ n‚u c¡c i•u ki»n sau ¥y ÷æc thäa:

(i) m Hm0(M) = 0

(ii) M=Hm0(M) l mºt mæ un Buchsbaum

(iii) Câ mºt M-cì sð x1; : : : ; xt cıa m sao cho

Hm0(M) \ (xi1 : : : xxid ) M = 0 vîi måi 1 i1 < < id t.H» qu£ 2.2.13 Cho M l R-mæ un Noether vîi d := dim M 3

v depth M > 0 Gi£ sß th¶m r‹ng R l £nh to n c§u cıa mºt

v nh Gorenstein hay Hm1(M) l mºt mæ un Noether Khi â, M l mºt mæ un Buchsbaum n‚u v ch¿ n‚u M=xM : hmi l mºt mæ un

Buchsbaum vîi måi x 2 m vîi dim M=xM = d 1

M»nh • 2.2.14 Cho R l mºt v nh àa ph÷ìng vîi d := dim R 2 v c¡c

i ¶an a, b cıa A vîi a \ b = 0, dim R=a + b < d Gi£ sß A=a v R=b lc¡c v nh Cohen-Macaulay câ chi•u d Khi â, R l mºt v nhBuchsbaum n‚u v ch¿ n‚u a +b = m ho°c B := R=(a +b) l mºt v nhBuchsbaum k‰ch th÷îc d 1

BŒ • 2.2.15 Cho M l mºt R-mæ un Noether câ chi•u d÷ìng Khi

â M l mºt mæ un Buchsbaum tr¶n R n‚u v ch¿ n‚u M l mæ unBuchsbaum tr¶n R Ngo i ra, I(M ) = I(M)

(iii) m Him = 0 vîi måi i 6=d.

ành lþ 2.3.4 Cho M l mºt R-mæ un Noether ph¥n b“c vîi dim

M > 0 N‚u ¡nh x⁄ tü nhi¶n (k = R=m)

’iM : ExtiR(k; M) ! Him(M)

l to n ¡nh vîi måi i < dim M th… M l mºt mæ un Buchsbaum

H» qu£ 2.3.5 Cho mæ un M nh÷ trong ành lþ 2.3.4 Gi£ sßth¶m r‹ng r := depth M < dim M =: d v Him(M) = 0 vîi måi i 6=r; d.Khi â c¡c i•u ki»n sau l t÷ìng ÷ìng:

(i) M l mºt mæ un Buchsbaum

(ii) M l mºt mæ un h-Buchsbaum

(iii) m Hrm(M) = 0

(iii) L§y mºt M-cì sð thuƒn nh§t x1; : : : ; xt cıa m Khi â, vîi mØi

h» i1; : : : ; id c¡c sŁ nguy¶n vîi 1 i1 << id t, d¢y

mØi c°p sŁ nguy¶n i; j vîi 0 i < j < d v måi p 2 g(Him(M)),

q 2 g(Hjm(M)),

(i + p) (j + q) 6= 1th… M l mºt mæ un Buchsbaum

[4] Goto, S.(1983) On the associated graded Rings of the ter in ideal in Buchsbaum Rings, J.Algebra 85 490-534.

parame-[5] Matsamura, H (1986), H (1986) The Theory Commutative Rings, Cambridge University Press

[6] Stiickrad, J and W Vogel (1986), Buchsbaum Rings and plications, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg- New York

Ap-26