ĐỒ án LẬP TRÌNH TÍNH TOÁN đề TÀI NỘI SUY ĐƯỜNG CONG b SPLINE ĐỒNG NHẤT

Hình ảnh tái tạo đường cong từ các điểm dữ liệu D Hình 2.2 Ảnh hưởng của các bậc đến hình dạng của đường cong Hình 2.3 Tính bao lồi của đường cong B-spline Hình 2.4.. Các nút trong và kh

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

DANH MỤC HÌNH VẼ 2

MỞ ĐẦU 3

1 Tổng quan đề tài 4

2 Cơ sở lý thuyết 4

2.1 Nội suy các điểm dữ liệu 4

2.2 Đường cong B-spline đồng nhất 4

2.3 Tính chất đường cong B-spline 5

2.4 Vecto nút 9

2.5 Hàm cơ sở 9

3 Tổ chức cấu trúc dữ liệu và thuật toán 12

3.1 Phát biểu bài toán 12

3.2 Cấu trúc dữ liệu 13

3.3 Thuật toán 13

3.4 Các ví dụ minh họa 14

4 Chương trình và kết quả 22

4.1 Tổ chức chương trình 22

4.2 Ngôn ngữ cài đặt 24

4.3 Kết quả 24

Ví dụ 1 : 24

Ví dụ 2: 28

4.4 Nhận xét và đánh giá 30

5 Kết luận và hướng phát triển 30

5.1 Kết luận 30

5.2 Hướng phát triển 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO 31 PHỤ LỤC 32

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 2.1 Hình ảnh tái tạo đường cong từ các điểm dữ liệu D

Hình 2.2 Ảnh hưởng của các bậc đến hình dạng của đường cong

Hình 2.3 Tính bao lồi của đường cong B-spline

Hình 2.4 Đường cong B-spline bậc p = 3 và đồ thị các hàm cơ sở

Hình 2.5 Các nút trong và khoảng tham số xác định của đường cong B-spline Hình 3.1 Hình ảnh đường cong được tái tạo của ví dụ 1

Hình 3.2 Hình ảnh đường cong được tái tạo của ví dụ 2

Hình 4.1 Giao diện chương trình trước khi nhập dữ liệu.

Hình 4.2 Giao diện chương trình khi kết thúc.

Hình 4.3 Kết quả được in ra file ouput.txt

Hình 4.4 Tọa độ các đỉnh và vector nút được nhập vào trang web

Hình 4.5 Đường cong được tái tạo 3D nhờ vào trang web

Hình 4.6 Giao diện chương trình khi kết thúc với bộ dữ liệu của ví dụ 2

Hình 4.7 Kết quả được in ra file ouput.txt với bộ dữ liệu của ví dụ 2

Hình 4.8 Tọa độ các đỉnh và vector nút được nhập vào trang web

Hình 4.9 Đường cong được tái tạo 3D nhờ vào trang web

MỞ ĐẦU

Công nghệ thông tin ngày càng phát triển mạnh mẽ và dồ họa máy tính là mộtlĩnh vực công nghệ phát triển rất nhanh Đồ họa đã được áp dụng rộng rãi trong nhiềulĩnh vực khác nhau từ khoa học, công nghệ, y tế, kỹ thuật đến giải trí… Đồ họa máytính phát triển dựa trên các kết quả của hình học khác, đặc biệt bao gồm đại số và giảitích Hiện nay, với sự phát triển của phần cứng máy tính, đồ họa cũng phát triển nhanhhơn, tuy vậy nền tảng của nó vẫn là cơ sở mô hình hóa hình học Có nhiều bài toán đặt

ra trong đồ họa máy tính Một trong những bái toán cơ bản của nó là xử lí các đườngcong và mặt cong

1 Tổng quan đề tài

Bản báo cáo trình bày phương pháp tái tạo đường và mặt cong tham số từ tậpđiểm dữ liệu cho trước với một độ chính xác cho phép, ở đây là đường cong B-splineđồng nhất Để tái tạo đường cong và mặt cong tham số, ta cần xây dựng các vectơtham số từ tập điểm dữ liệu, sau đó các vectơ nút được suy ra từ vectơ tham số vàđược sử dụng trong phương pháp tái tạo đường cong

Đối tượng nghiên cứu: Đường cong B-spline đồng nhất

Phạm vi: Tái tạo đường cong B-spline đồng nhất

Phương pháp: Nội suy đường cong

2 Cơ sở lý thuyết

Giả sử ta có (n + 1) điểm dữ liệu D = {D i } = {D0, D1, D2,…, Dn}, đường cong

B-spline C(u) được xây dựng từ các điểm dữ liệu D có thể theo cách nội suy:

2.1 Nội suy các điểm dữ liệu

Nội suy là phương pháp tái tạo đường cong sao cho toạ độ tất cả các điểm dữliệu nằm trên đường cong và thoả mãn vectơ đạo hàm tại điểm dữ liệu này

Điểm

dữ liệu Sai số

a) Xấp xỉ điểm dữ liệu b) Nội suy điểm dữ liệu

Hình 2.1 Tái tạo đường cong từ các điểm dữ liệu D

Có hai phương pháp nội suy:

 Nội suy toàn cục (Global Interpolation)

 Nội suy cục bộ (Local Interpolation)

Bắt đầu tại điểm dữ liệu D0 và lần lượt duyệt qua các điểm trung gian theo thứ

tự D1, D2,…,D n , đường cong C(u) kết thúc tại D n Ta xác định toạ độ của một số điểmban đầu thuộc đường cong, sau đó xây dựng phương trình toán học và hiệu chỉnh

để đường cong đi qua hết các điểm trên

2.2 Đường cong B-spline đồng nhất

Đường cong B-spline đồng nhất (uniform) là một trường hợp đặc biệt củađường cong B-spline không đồng nhất (non-uniform) với vector nút đồng nhất có

khoảng cách giữa tất cả các nút bằng nhau: u i+1 – ui = , với i = 0 n + p Điều này

cho phép các phép biến đổi dịch chuyển (translation), tỉ lệ (scaling) trên vector nút không ảnh hưởng đến hình dạng của hàm B-spline cơ sở N i,k(u) Đây là đường cong có

các điểm đầu và cuối không đi qua các đỉnh điều khiển đầu và cuối tương ứng

Một đường cong B-spline đồng nhất được xác định bằng tập hợp (n + 1) đỉnh điều khiển P 0 (x 0, y0, z0) đến Pn(xn, yn, zn), với p là bậc của đường cong

Phương trình biểu diễn một đường cong B-spline đồng nhất như sau:

, 0

P  i n là tập các đỉnh kiểm điều khiển của đường cong;

Vector nút U đồng nhất có (n + p + 2) phần tử là một dãy các giá trị số không

giảm

Chọn vector nút đồng nhất U 0 1 2 3, , , , , n p 1   có

ui = i

ui+k – ui = i + k – i = k

Từ hàm cơ sở của đường cong B-spline không đồng nhất ta suy ra hàm cơ sở

B- spline N i,p(u) thứ i bậc p được xác định trong các khoảng giá trị của

vector nút đồng nhất U 0 1 2 3, , , , , n p 1   được biểu diễn như sau:

,

,( )

2.3 Tính chất đường cong B-spline

Đường cong B-spline là dạng tổng quát của đường cong Bézier nên có đầy đủcác tính chất của đường cong Bézier Ngoài ra, đường cong B-spline còn có một sốtính chất mở rộng khác

Xét đường cong B-spline C(u) bậc p có (n + 1) đỉnh điều khiển và vector nút cắt U = { u 0 = u1 = = up , u p+1 , …., u n -p-1 , u n-p = un -p+1 = = um} Một đường congB-spline được biểu diễn ở dạng tham số bằng các hàm cơ sở đệ quy và các giá trị nútliên hệ với các biến tham số và các đỉnh điều khiển Các tính chất của đường cong nhưsau:

 Bậc p của đường cong: 1 p n: Khi bậc càng cao, đường cong B-spline sẽcàng xa các đỉnh điều khiển Hình 2.2 minh hoạ ảnh hưởng của bậc đếnđường cong

 Vector nút có m = n + p + 2 phần tử Việc chọn vector nút có ảnh hưởng lớnđến các hàm cơ sở Ni,p(u) và do đó sẽ ảnh hưởng đến hình dạng đường cong

 Mỗi đỉnh điều khiển cần đến một hàm cơ sở và có m = n + p + 1 hàm cơ sở

 Ảnh hưởng cục bộ: Khi dịch chuyển một đỉnh điều khiển chỉ ảnh hưởng đếnvài phân đoạn lân cận của đỉnh điều khiển đó, không ảnh hưởng đến toàn bộđường cong

Hình 2.2 Ảnh hưởng của các bậc đến hình dạng của đường cong

 Tính bao lồi mạnh: Toàn bộ đường cong B-Spline hay một đoạn cong luônnằm trong phần bao lồi của các khung điều khiển tương ứng

1

[ ,i i )

  ta có đoạn cong C(u) nằm trong phần bao lồi của các đỉnh điều

khiểnP i p , P i p 1 , , P i Chỉ có (p + 1) hàm cơ sở N i p, ( ), ,u N i p 1,p( ),u N i p p , ( ) 0u  trong

Một điểm nằm trên đường cong B-spline C(u) bậc p thì sẽ nằm trong bao lồi của p điểm lân cận

 Biến đổi cục bộ (Local Modification Scheme): Nếu vị trí đỉnh Pi thay đổi, tích

 Đường cong C(u) liên tục cấp Cp-k tại nút u bội k

Nếu tham số u không phải là các giá trị trong vector nút, điểm C(u) nằm trong đoạn cong bậc p và khả vi vô hạn lần Nếu u là một giá trị trong vector nút và bội k, thì hàm N i p, ( )u liên tục cấpC p k , và do vậy, đường cong C(u) cũng liên tục cấp C p k tại nút bội k.

 Tính giảm biến động (variation diminishing): Xét một đường cong nằm trongmột mặt phẳng, số điểm giao nhau của một đường thẳng trong mặt phẳng vớiđường cong sẽ ít hơn số lần mà đường thẳng giao nhau với khung điều khiển

u i+1

u i

Hình 2.3 Tính bao lồi của đường cong B-spline

Đường cong Bézier là một trường hợp đặc biệt của đường cong B-spline

khép: Khi p = n, vector U có 2(p + 1) nút và lặp lại tại (p + 1) nút đầu tiên và (p + 1)

nút cuối cùng, đường cong B-spline trở thành đường cong Bézier Bất biến đối với cácphép biến đổi affine (phép tịnh tiến, phép quay, phép vị tự), phép chiếu phối cảnh Khi

áp dụng một phép biến đổi affine lên đường cong, ta chỉ cần thực hiện trên các đỉnhđiều khiển, sau đó dựng đường cong B-spline dựa trên các đỉnh đã biến đổi, không cầnphải thực hiện biến đổi trên đường cong

2.4 Vecto nút

Đường cong tham số bao gồm nhiều đoạn cong liên tục nhau tại các điểm kếtnối Các điểm kết nối này nằm ngay trên các đường cong Giá trị tham số tại cácđiểm kết nối được gọi là nút Một đường cong có vector nút bao gồm tập các phần tửđược xác định bởi nút đầu và nút cuối, thường nằm trong đoạn [0, 1]

Vector nút là một thành phần quan trọng của đường cong B-spline Số nút m của một vector nút liên quan đến bậc p và số đỉnh điều khiển (n + 1) của một đường cong.

Giá trị của mỗi nút ảnh hưởng đến quá trình tham số hoá của từng đoạn cong đa thứccủa đường cong như sau:

 Xác định miền tham số của đường cong;

 Xác định hàm cơ sở, các đỉnh điều khiển liên quan đến mỗi nút;

 Điểm kết nối giữa các đoạn cong đa thức của đường cong

được định nghĩa dạng biểu thức đệ quy (theo

de Boor, Cox, Mansfield) như sau:

 

1 , 0

1

1 1

10

,

i

i k i

Để tránh trường hợp mẫu số bằng 0 khi ui k  ui

, ui k 1  ui1

, ký hiệu

0

0= 0

Mỗi hàm N u ,i k  được xác định trên k khoảng cách của vector nút.

Đường cong B-spline được xác định trong đoạn tham số [ , u up n]

và bao gồmnhiều đoạn cong, các đoạn cong này gặp nhau tại các điểm được xác định tương ứngvới các giá trị của vector nút: C u C u ( ), (p p1), , ( ) C un

Chú ý các phần tử    P i , u i,N i p, ( )u 

luôn có chỉ số i bắt đầu cùng một giá trị

(ví dụ bắt đầu i 0)

Hàm cơ sở B-spline bậc p,N ui p, ( )

chỉ phụ thuộc vào bậc p và vector nút U,

được biểu diễn bằng cách kết hợp tuyến tính các hàm cơ sở B-spline có bậc thấp hơn

, , , 1 1, 1, 1

1,0,

Trong hệ toạ độ Cartesian, một điểm trên đường cong B-spline tương ứng với

tham số u có toạ độ như sau:

, 0

, 0

, 0

n

y

i p i i

n

z

i p i i

Hình 2.4 Đường cong B-spline bậc p = 3 và đồ thị các hàm cơ sở

Có thể xem các đỉnh điều khiển của đường cong giống như các nam châm hútđường cong Lực hút của các đỉnh điều khiển được mô tả toán học bằng hàm cơ sở B-

spline Khoảng tham số u của đường cong được xác định trên vector nút U như sau:

u 0 = u 1 = u 2 = … = u p+1 u p+2 … u n-1 u n u n+1 = … = u n+p = u n+p+1

Các nút trong Khoảng tham số của đường cong

Hình 2.5 Các nút trong và khoảng tham số xác định của đường cong

tại mỗi nút đơn.

3 Tổ chức cấu trúc dữ liệu và thuật toán

3.1 Phát biểu bài toán

Đầu vào là tập hợp các điểm được nhập từ bàn phím, hoặc được lấy từ fileinput.txt có sẵn

Đầu ra là tọa độ các đỉnh của đường cong B-spline do chương trình tính toánxuất ra màn hình và được lưu vào file output.txt

B3: Xây dựng véctơ nút U cho đường cong B-spline nội suy

Để cho điểm đầu và cuối P0 D P0, n2 D n , ta xây dựng vectơ nút lặp (p + 1)

giá trị tại đầu và cuối

Với số đỉnh n và bậc p = 3 đã xác định, véctơ nút U có (n + 7) phần tử: U =

u0 , ,u1  ,u n6 được xây dựng theo dạng mở đồng nhất

Ta cần tìm các đỉnh điều khiển: P P1, 2,, P n1 dựa vào phương trình đường

cong, vectơ nút U và các điểm dữ liệu D.

Để đường cong nội suy, toạ độ các điểm dữ liệu {D i} phải thuộc đường cong C(u) tại tham số tương ứng

 Ma trận N là giá trị hàm cơ sở tính được khi truyền các tham số u vào.

 Ma trận nghịch đảo của N là ma trận dùng phương pháp Gauss để tính toán

 Ma trận nhân là kết quả sau khi nhân ma trận nghịch đảo của N với ma trậnchứa tập điểm dữ liệu

Bước 5: Kiểm tra và đánh giá đường cong tái tạo.

Xây dựng một đường cong B-spline bâ ̣c p = 3 (cubic) đồng nhất nô ̣i suy các

điểm dữ liê ̣u này

Bước 1: Thiết lập các tham số cho đường cong B-Spline nội suy các điểm

dữ liệu {D i}

Để nô ̣i suy (n + 1) điểm dữ liê ̣u, đường cong B-spline bâ ̣c ba nội suy cần có:

 Bậc p = 3

 n = 7 đỉnh điều khiển P0,P1,P2,… ,P7 với (n + 1) điểm dữ liệu ta phải nội suy(n + 3) đỉnh điều khiển

Tiếp theo cần đi tính vectơ nút U.

Bước 2: Xây dựng véctơ tham số T

Do yêu cầu xây dựng đường cong B-spline bậc p = 3 nên phần này ta khôngphải xây dựng bộ vectơ tham số T = {t0, t1, …, tn}

Bước 3: Xây dựng véctơ nút U cho đường cong B-spline nội suy

Để cho điểm đầu và cuối P0 = D0 , Pn+2 = Dn, ta xây dựng vectơ nút lặp (p + 1)giá trị tại đầu và cuối

Với 10 đỉnh điều khiển và bậc p=3 đã xác định, véctơ nút U có (n + 7) phần tửđược xây dựng theo dạng mở đồng nhất:

U = u0 , u1 , … , un+6  = {0, 0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 7}

Bước 4: Xây dựng hệ phương trình xác định các đỉnh điều khiển {Pi}

Ta cần tìm các đỉnh điều khiển: P P1, 2,, P n1 dựa vào phương trình đường

cong, vectơ nút U và các điểm dữ liệu D.

Để đường cong nội suy, toạ độ các điểm dữ liệu {D i} phải thuộc đường cong C(u) tại tham số tương ứng

Tập N tính được từ vector nút và hàm cơ sở N i,p(u):

Kết hợp với các phương trình trên, ta có hệ (n + 1) phương trình có (n + 1) ẩn:

Bac cua duong cong : 3

So dinh dieu khien : 10

Chieu cua diem du lieu : 2

Tap dinh dieu khien P co gia tri la:

Hình 3.1 Hình ảnh đường cong được tái tạo của ví dụ 1

Ví dụ 2: Tái tạo đường cong B-spline đồng nhất khép bậc 3 bằng phương pháp

Xây dựng một đường cong B-spline bâ ̣c p = 3 (cubic) đồng nhất nô ̣i suy các

điểm dữ liê ̣u này

Bước 1: Thiết lập các tham số cho đường cong B-Spline nội suy các điểm

Tiếp theo cần đi tính vectơ nút U.

Bước 2: Xây dựng véctơ tham số T

Do yêu cầu xây dựng đường cong B-spline bậc p = 3 nên phần này ta khôngphải xây dựng bộ vectơ tham số T = {t0, t1, …, tn}

Bước 3: Xây dựng véctơ nút U cho đường cong B-spline nội suy

Để cho điểm đầu và cuối P0 = D0 , Pn+2 = Dn, ta xây dựng vectơ nút lặp (p + 1)giá trị tại đầu và cuối

Với 8 đỉnh điều khiển và bậc p = 3 đã xác định, véctơ nút U có (n + 7) phần tửđược xây dựng theo dạng mở đồng nhất:

U = u0 , u1 , … , un+6  = {0, 0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5}

Bước 4: Xây dựng hệ phương trình xác định các đỉnh điều khiển {Pi}

Ta cần tìm các đỉnh điều khiển: P P1, 2,, P n1 dựa vào phương trình đường

cong, vectơ nút U và các điểm dữ liệu D.

Để đường cong nội suy, toạ độ các điểm dữ liệu {D i} phải thuộc đường cong C(u) tại tham số tương ứng

Bước 4: Xây dựng hệ phương trình xác định các đỉnh điều khiển {Pi}

Ta cần tìm các đỉnh điều khiển: P P1, 2,, P n1 dựa vào phương trình đường

cong, vectơ nút U và các điểm dữ liệu D.

Để đường cong nội suy, toạ độ các điểm dữ liệu {D i} phải thuộc đường cong C(u) tại tham số tương ứng

Tập N tính được từ vector nút và hàm cơ sở N i,p(u):

Kết hợp với các phương trình trên, ta có hệ (n + 1) phương trình có (n + 1) ẩn:

Bac cua duong cong : 3

So dinh dieu khien : 8

Chieu cua diem du lieu : 3

Tap dinh dieu khien P co gia tri la:

Hình 3.2 Hình ảnh đường cong được tái tạo của ví dụ 2

Xây dựng một đường cong B-spline bâ ̣c p = 3 (cubic) đồng nhất nô ̣i suy các

điểm dữ liê ̣u này

Input: Nhập từ file bậc p = 3,số điểm dữ liệu n = 7, số chiều d = 2 và giá trị

của các điểm dữ liệu ứng với số chiều tương ứng{ D0 D7}

Output: Xuất ra màn hình console kết quả của (n+3=10) đỉnh điều khiển

zi 2 5 6 4 1 12

Xây dựng một đường cong B-spline bâ ̣c p = 3 (cubic) đồng nhất nô ̣i suy các

điểm dữ liê ̣u này

Input: Nhập từ file bậc p = 3,số điểm dữ liệu n = 5, số chiều d = 3 và giá trị

của các điểm dữ liệu ứng với số chiều tương ứng{ D0 D5}

Output: Xuất ra màn hình console kết quả của (n+3=10) đỉnh điều khiển

Hình 4.1 Giao diện chương trình trước khi nhập dữ liệu.

Hình 4.2 Giao diện chương trình khi kết thúc với bộ dữ liệu của ví dụ 1

Hình 4.3 Kết quả được in ra file ouput.txt với bộ dữ liệu của ví dụ 1

Sử dụng trang web NURBS demo để tái tạo đường cong

Hình 4.4 Tọa độ các đỉnh và vector nút được nhập vào trang web