Bài giảng Điều khiển số máy điện: Chương 2 - TS. Nguyễn Thanh Sơn

Bài giảng Điều khiển số máy điện: Chương 2 Ổn định của các hệ thống điều khiển số cung cấp cho người học những kiến thức như: Ánh xạ từ mặt phẳng p vào mặt phẳng z; Tiêu chuẩn Jury; Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz; Quỹ tích gốc (Root Locus). Mời các bạn cùng tham khảo!

1  GH z  0 được gọi là phương trình đặc tính

Các giá trị của z ứng với được gọi là các

không (zeros) Các giá trị của z ứng với

được gọi là các cực (poles)

Nếu phương trình mô tả một điểm

trong mặt phẳng p thì dọc theo trục ảo ta

 Vị trí của các cực trên trục ảo của mặt phẳng p

đã được ánh xạ lên vòng tròn đơn vị trên mặt

phẳng z

 Nếu một hệ thống liên tục được xem là ổn định

nếu các cực nằm bên trái mặt p thì một hệ

thống rời rạc được xem là ổn định nếu các cực

nằm trong vòng tròn đơn vị

3

Các cực trên trục ảo của mặt phẳng p đã được

ánh xạ lên vòng tròn đơn vị của mặt phẳng z

T T

 Tuy nhiên phương pháp sử dụng mặt phẳng z

không cho chúng ta biết hệ có ổn định hay

không khi hệ bị tác động bởi các thông số khác

Khi đó chúng ta phải sử dụng các tiêu chuẩn ổn

định như Jury, Routh-Hurwitz, Root Locus

11

Để sử dụng tiêu chuẩn Jury, chúng ta cần biểu

diễn phương trình đặc tính có dạng như sau

Các phần tử của dãy được định nghĩa như sau:

 Các phần tử ở cuối hàng chẵn là các phần tử

cuối của hàng trước theo thứ tự ngược

 Các phần tử hàng lẻ được định nghĩa như sau:

0 n k k

c c d

2.2 Tiêu chuẩn Jury

Điều kiện cần và đủ để gốc của phương trình

Khi áp dụng tiêu chuẩn Jury ta thực hiện các

bước sau:

Kiểm tra ba điều kiện (2.4) và dừng nếu một

trong ba điều kiện này được thỏa mãn

Xây dựng dãy các số như bảng 2.1 và kiểm

tra các điều kiện 2.5 Dừng lại nếu một trong

các điều kiện (2.5) không được thỏa mãn

18

Chương 2 Ổn định của các hệ thống

điều khiển số

2.2 Tiêu chuẩn Jury

 Tiêu chuẩn Jury sẽ trở nên phức tạp nếu bậc

của hệ thống tăng lên Đối với các hệ thống bậc

2 và bậc 3, tiêu chuẩn Jury sẽ trở nên đơn giản

hơn rất nhiều

17

2.2 Tiêu chuẩn Jury

Đối với hệ bậc 3 ta có phương trình đặc tính

2.2 Tiêu chuẩn Jury

Áp dụng tiêu chuẩn Jury ta có:

Ổn định của một hệ thống với các dữ liệu được

lấy mẫu có thể được phân tích bằng cách biến

đổi phương trình đặc tính của hệ thống sang

mặt phẳng p rồi áp dụng tiêu chuẩn

Routh-Hurwitz

28

Chương 2 Ổn định của các hệ thống

điều khiển số

2.3 Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz

Khi đó chúng ta sử dụng phương pháp Tustin

và z được biểu diễn như sau:

/ 2 / 2

1 / 2 1

1 / 2 1

pT pT

2.3 Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz

Khi đó dãy Routh-Hurwitz được thiết lập như

sau:

29

2.3 Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz

Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz có nghĩa là gốc của

phương trình đặc tính ở bên phải mặt phẳng p

bằng số lần đổi dấu của các hệ số trong cột đầu

của dãy Do đó hệ được xem là ổn định nếu tất

cả các hệ số trong cột đầu cùng dấu

31

Ví dụ 2.5: Cho phương trình đặc tính của một

hệ thống điều khiển số có dạng như sau:

Sử dụng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz để xét xem

Ta có dãy Routh-Hurwitz có dạng như sau:

Ta thấy tất cả các hệ số cột đầu cùng dấu nên

hệ ổn định

36

Chương 2 Ổn định của các hệ thống

điều khiển số

2.3 Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz

Ví dụ 2.6: Một hệ thống điều khiển số có sơ đồ

khối như hình 2.3 Sử dụng tiêu chuẩn

Routh-Hurwitz để xác định giá trị của K để hệ ổn định

Giả thiết K>0 và T=1 giây

35

38

Chương 2 Ổn định của các hệ thống

điều khiển số

2.3 Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz

Lời giải: Phương trình đặc tính của hệ thống

2.3 Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz

Phương trình đặc tính có dạng như sau:

2.3 Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz

Dãy Routh-Hurwitz có dạng như sau :

41

Để hệ ổn định các hệ số ở cột đầu phải cùng

dấu Do đó ta có:

0   K 2,393Hay

44

Chương 2 Ổn định của các hệ thống

điều khiển số

2.4 Quỹ tích gốc (Root Locus)

Quỹ tích gốc là một trong những phương pháp

mạnh dùng để xét ổn định của các hệ thống

điều khiển vòng kín

Phương pháp này cũng được sử dụng để thiết

kế các bộ điều khiển với đặc tính thời gian theo

yêu cầu

43

 Quỹ tích gốc là hình ảnh quỹ tích của các gốc

của phương trình đặc tính khi hệ số khuyếch

đại của hệ không thay đổi

 Cho hàm truyền của một hệ thống điều khiển

kín có dạng như sau:

 

  1

Quy tắc xây dựng quỹ tích gốc được tóm tắt

như sau:

1 Quỹ tích gốc bắt đầu từ các cực (poles) và kết

thúc tại các không (zeros)

2 Quỹ tích gốc đối xứng qua trục thực

3 Quỹ tích gốc bao gồm các điểm trên trục thực

tới phần bên trái của số lẻ các cực và không

48

Chương 2 Ổn định của các hệ thống

điều khiển số

2.4 Quỹ tích gốc (Root Locus)

4 Nếu F(z) có các không ở vô cùng, quỹ tích gốc

sẽ có các tiệm cận khi Số các tiệm

Các tiệm cận giao với trục thực tại trong đó

5 Các điểm tách ra trên trục thực của quỹ tích

2.4 Quỹ tích gốc (Root Locus)

6 Nếu một điểm nằm trên quỹ tích gốc, giá trị của

k được tính như sau:

 

1  kF z  0 Hay

 

1 k

F z

 

49

2.4 Quỹ tích gốc (Root Locus)

Các quy tắc để xây dựng quỹ tích gốc:

Hệ có 2 cực và

Hệ có 2 zeros, một tại và hai tại

âm vô cùng Quỹ tích gốc sẽ bắt đầu tại hai

cực và kết thúc ở hai zeros

2 Phần trên trục thực giữa và

là trên quỹ tích Tương tự phần trên trục thực

giữa và là trên quỹ tích

điều đó không có nghĩa là tìm được giao của

các tiệm cận trên trục thực

0

180

53

5 Giá trị của tại các điểm tách rời có thể

được xác định như sau:k

55

2.4 Quỹ tích gốc (Root Locus)

Quỹ tích gốc sẽ có dạng như hình dưới

đó lại hội với trục thực tại

2.4 Quỹ tích gốc (Root Locus)

Hệ thống sẽ nằm ở biến giới ổn định nếu quỹ

tích nằm trong vòng tròn đơn vị

Giá trị của các tại các điểm này có thể xác

định theo tiêu chuẩn Jury hay Routh-Hurwitz

k

59