Hệ đối xứng loại (kiểu) I

Hệ đối xứng loại kiểu I:a.. Phương pháp giải chung: - Bước 1: Đặt điều kiện nếu có.. Chú ý: Ngoài phương pháp chung ta có thể sử dụng các phương pháp khác như: - Phương pháp thế.. - Phươ

1 Hệ đối xứng loại (kiểu) I:

a Là hệ có dạng : ìïïf(x, y) = 0 g(x, y) = 0

íï

ïî , trong đó

f(x, y) = f(y, x) g(x, y) = g(y, x)

ìïï íï ïî

b Phương pháp giải chung:

- Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)

- Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện S 2 ³ 4P

- Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình Sau khi tìm được S, P thì x, y là nghiệm của phương trình t2 – St + P = 0

c Một số biểu diễn biểu thức đối xứng qua S và P:

x2 + y2 = (x + y) 2 – 2xy = S2 – 2P

x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = S3 – 3PS

x2y + xy2 = xy(x + y) = S.P

x4 + y4 = (x2 + y 2) 2 – 2x 2 y 2 = (S2 – 2P) 2 – 2P 2

d Chú ý: Ngoài phương pháp chung ta có thể sử dụng các phương pháp khác như:

- Phương pháp thế

- Phương pháp hàm số

- Phương pháp điều kiện cần và đủ

- Phương pháp đánh giá

e Các ví dụ:

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình

ïí

GIẢI

Đặt ì = + ïïSP xxy y

íï =

ïî điều kiện

2

S ³ 4P Hệ phương trình (1) trở thành:

3

3

30 P

30

S

ìïï =

ïïî

ì = ïï

Û íï =

=> x, y là nghiệm của phương trình t2 – 5t + 6 = 0 é =êtt 23

Û ê =ê

Vậy hệ (1) có 2 nghiệm (2;3); (3;2)

* Lưu ý một số trường hợp đặc biệt:

i) Có những hệ phương trình trở thành loại I sau khi đặt ẩn phụ:

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình

ïí

GIẢI

Nhận xét: Hệ trên vốn không đối xứng

Đặt t= - y ta được hệ đối xứng:

ïí

ïî

Đặt ì = + ïïSP xxt t

íï =

ïî , điều kiện

2

S ³ 4Pta được: S 3P 1 2

íï + = ïî

2

(loai vì không thoa mãn S 4P)

Û íï =ïî Û êì ïê ï =

íêï = êïëî

Với ì = ïï SP 21

íï =

ïî ta có:

ì + = ïï

ïî

=> x, t là nghiệm của phương trình u2 – 2u + 1 = 0 => u = 1

Vậy x= t =1 t = 1 => y = -1

Vậy hệ (1) có nghiệm duy nhất (1; -1)

ii) Trong một số trường hợp ta đặt ẩn phụ u = u(x); v = v(x) và sau đó đặt

ì = +

ïï

íï =

ïî thì ta sẽ được hệ phương trình đơn giản hơn so với việc đặt

ì = + ïï

íï = ïî

ïï

íï + + + =

GIẢI

Đặt ìïïuv= +xy 11

íï = +

ïî thì (3) trở thành 3 3

ïï

íï + =

Đặt ì = + ïïSP uuv v

íï =

ïî , hệ (3’) trở thành 3

î

=> u, v là nghiệm của phương trình t2 – 5t + 6 = 0 Û íì = ïï tt 23

ï = ïî

=> (3’) có nghiệm (2;3) hoặc (3;2) => Hệ phương trình (2) có 2 nghiệm (1;2); (2;1)

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình

ïí

Nhận xét: Nếu đặt ì = + ïïSP xxy y

íï =

ïî ta thu được hệ

2

ïí

ïî (-> phức tạp)

Đặt ìïïuv= x(xy(y+1)1)

ïî thì (4) trở thành

ì + = ïï

ïî

=> u, v là nghiệm của phương trình t2 – 8t + 12 = 0 é =êtt 62

ê = ê

Vậy

éì = ïïêíêï =

ïêî

êì = ïêï

íêï =

êïëî

Do đó ta có

2 2

ïí

2 2

ïí

ïî

Vậy (4) có 8 nghiệm (1; 2); (1:-3); (-2;2); (-2;-3) và (2; 1); (-3:1); (2;-2); (-3;-2)

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình

ìïï + + + = ïïï

íï

ïïïî

(5)

GIẢI

Nhận xét: Nếu đặt ì = + ïïSP xxy y

íï =

ïî như thông thường thì sẽ dẫn tới 1 hệ phương trình

phức tạp

Điều kiện: x ¹ 0,y ¹ 0

Đặt

1

x 1

y

ìïï = +

ïïï

íï

ïïïî

thì (5) trở thành 2 2

ì + = ïï

íï + =

Đặt ì = + ïïSP uuv v

íï =

ïî điều kiện

2

S ³ 4P Hệ phương trình (5’) trở thành:

2

î

=> u, v là nghiệm của phương trình t2 – 4t + 4 = 0 Û t = 2

Vậy

1

1

y

ìïï + =

Vậy hệ phương trình (5) có nghiệm duy nhất là (1;1)

iii) Có những hệ phương trình đối xứng loại I không giải được theo cách giải quen thuộc Ta phải dùng ẩn phụ để đưa về hệ phương trình đối xứng giải được theo phương pháp quen thuộc.

Ví dụ 6: Giải hệ phương trình x y y x 30

ïïí

GIẢI

Điều kiện x, y ³ 0

Nhận xét: Đây là hệ đối xứng loại I không giải được theo phương pháp quen thuộc.

Đặt u = x; v = y thì hệ (6) trở thành

ïí

Giải như ví dụ 1 ta được kết quả nghiệm của (6’) là (2;3) ; (3;2)

=> (6) có nghiệm: (4;9); (9; 4)

Ví dụ 7: Giải hệ phương trình 3x 3y 9

ïïí

GIẢI

Điều kiện x, y ³ 0

Đặt

6

6

ìï =

ïïí

ïïî thì hệ (7) trở thành

ïí

Giải theo phương pháp thông thường 1 ta được kết quả nghiệm của (7’) là (2;1) ; (1;2)

=> nghiệm của hệ (7): (64; 1); (1; 64)

Ví dụ 8: Giải hệ phương trình

ïí

GIẢI Nhận xét: Đây là hệ phương trình đối xứng loại I đối với 2 ẩn x, y và không giải được

theo cách giải quen thuộc

Dùng ẩn phụ đặt u = x + y ; v = x - y đưa hệ (8) về dạng

ïí

Hệ (8’) giải được theo phương pháp quen thuộc Ta thu được kết quả nghiệm của (8)

là 1 3;

2 2

æ ö÷

çè ø; 3 1;

2 2

æ ö÷

çè ø; 1; 3

çè ø; 3; 1

ç - ÷

çè ø; 1 3;

2 2

çè ø; 3 1;

2 2

çè ø; 1; 3

ç - ÷

* Nhiều hệ ở dang ban đầu chưa thấy sự xuất hiện ẩn phụ, trong trường hợp này ta cần sử dụng một vài phép biến đổi phù hợp

Ví dụ 9: Giải hệ phương trình x y 4

ïïí

GIẢI

Điều kiện x, y >0

ïï

Û íï

ïïï

Û íï

ïî

ïï

Û íï

ïïî

Đặt u x 5 x(u,v 0)

íï = + +

ì + = ïï

íï + = ïî

=> u, v là nghiệm của phương trình t2 – 10t + 25 = 0 Û t = 5 vậy

hay

ì

Giải hệ (9’) ta được nghiệm là (4;4)

=> Vậy hệ (9) có nghiệm duy nhất (4;4)

iv) Trong một số trường hợp khi gặp hệ phương trình dối xứng loại I ta không thể giải được theo cách giải quen thuộc và cũng không chọn được ẩn phụ nào thích hợp

để đưa về cách giải “quen thuộc” khi đó ta sẽ dùng phương pháp đánh giá, hay sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải quyết

Ví dụ 10: Giải hệ phương trình

ïí

GIẢI

Điều kiện x, y >13

-ïï

ïï + = ïïî

(10’)

Ta nhận thấy 3y 1y x3x 1 3y 1 3x 1

=

3y 1 - + 3x 1 - >0

-<

+ + suy ra (x; y) : x= y không thỏa hệ

Với x = y thì (10) 3 3

î

Vậy hệ phương trình (10) có nghiệm duy nhất (2; 2)