b Tìm các giá trị của tham số m để tam giác ABC có diện tích bằng 2009.. c Tìm các giá trị của tham số m để diện tích của tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất.. Từ một điểm A cách O là 5cm
Trang 1ĐỀ THI HỌC KÌ 1 MÔN TOÁN LỚP 9
NĂM HỌC: 2019 – 2020
ĐỀ 11
Thời gian làm bài: 90 phút.
Họ và tên:……… Ngày tháng 12 năm 2019
Bài 1 (2 điểm) Cho A = 15 11 3 2 2 3
+ − − + với x≥0 , x≠1.
a) Rút gọn A
b) Tìm GTLN của A
c) Tìm x để A = 1
2 d) CMR: A 2
3
≤
Bài 2 (1,5 điểm) Cho đường thẳng y = – 3x + 3m (d) (Với m là tham số, m > 0)
a) Tính khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đường thẳng (d) theo m
b) Tìm các giá trị của tham số m để khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đường thẳng (d) bằng 3
Bài 3 (2 điểm) Cho hai đường thẳng (d1): y = x + m và (d2): y = 1 – 2x (m ≥ 0) Gọi A, B, C lần lượt là giao điểm của (d1) với (d2), (d1) với trục hoành Ox và (d2) với trục hoành Ox
a) Tìm toạ độ của các điểm A, B, C
b) Tìm các giá trị của tham số m để tam giác ABC có diện tích bằng 2009
c) Tìm các giá trị của tham số m để diện tích của tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 4 (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính 3cm Từ một điểm A cách O là 5cm
vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm)
a) Chứng minh AO vuông góc với BC;
b) Kẻ đường kính BD Chứng minh rằng DC song song với OA;
c) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC
d) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với BD, đường thẳng này cắt tia DC tại E Đường thẳng AE và OC cắt nhau ở I; đường thẳng OE và AC cắt nhau ở G
Chứng minh IG là trung trực của đoạn thẳng OA
Trang 2Bài 5 (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của A = x y + y x − x − y với x, y > 0
ĐÁP ÁN KIỂM TRA HỌC KÌ I ĐỀ 11 TOÁN 9
Bài 1 (2 điểm) Cho A = 15 11 3 2 2 3
+ − − + với x≥0 , x≠1.
a) A =
) 3 )(
1 (
) 5 2 )(
1 (
) 3 )(
1 (
2 7
5
+
−
−
−
= +
−
− +
−
x x
x x
x x
x x
= 2 5
3
x x
− +
b) A = 2 5
3
x x
−
2 3
17 5 3
17 5
3
17 15 5
= +
−
≤ + +
−
= +
+
−
−
x x
x
Vậy GTLN A =
3
2
khi x = 0
c) x =
121 1
d) Xét hiệu: 2 5
3
x x
− + – 3
2
3( 3)
x x
Bài 2 (1,5 điểm)
a) Kẻ OH⊥(d) (với H ∈ (d))
Gọi A, B lần lượt là giao điểm của đường thẳng (d) với
các trục toạ độ Oy và Ox
Ta có: Tam giác vuông AOB có OA = 3m và OB = m
Áp dụng định lí Pi ta go cho tam giác vuông AOB ta được:
AB2 = OA2 + OB2 = ( 3m)2 + m2 = 4m2
⇒ AB = 4m2 = 2m (Vì m > 0)
Mặt khác: Áp dụng hệ thức về đường cao và 3 cạnh của
tam giác vuông ta có:
a.h = b.c ⇒ h b c.
a
b) Để khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đường thẳng (d) bằng 3 thì OH = 3
2 m = 3 ⇔ 3m = 6 ⇔ m = 6
3 = 2 3
Vậy với m = 2 3 thì khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đường thẳng (d) bằng 3.
Bài 3 (2 điểm) Dể thấy B(1
2; 0) và C(-m; 0) Giả sử A(x0; y0)
Thay x = x0 và y = y0 vào (d1) ta được: y0 = x0 + m (1)
Thay x = x0 và y = y0 vào (d3) ta được: y0 = 1 – 2x0 (2)
Từ (1) và (2) ta được: x0 + m = 1 – 2x0
⇔ 3x0 = 1– m ⇔ x0 = 1
3
m
−
Trang 3Thay x0 = 1
3
m
− vào (2) ta được y0 = 1 2
3
m
+
⇒ A(1
3
m
−
; 1 2
3
m
+ ) b) Ta có: S∆ABC = 1
2y0.(m + 1
2) = 1
2.1 2
3
m
+ (m + 1
2) = ( )2
1 2 12
m
+
Để S∆ABC = 2009 thì ( )2
1 2 12
m
+ = 2009 ⇔ (1 + 2m)2 = 24108
⇔ (1 + 2m)2 = (14 41)2 ⇔ 1 2 14 41
m m
+ =
+ = −
14 41 1 2
14 41 1 2
m m
=
=
((TMDK Loai) )
Vậy với m = 14 41 1
2
− thì tam giác ABC có diện tích bằng 2009 c) Vì m ≥ 0 ⇒ 1 + 2m ≥ 1 ⇒ (1 + 2m)2 ≥ 1 ⇒ S∆ABC ≥ 1
12 Dấu “=” xảy ra khi m = 0
Vậy với m = 0 thì S∆ABC đạt giá trị nhỏ nhất Và giá trị nhỏ nhất đó là 1
12
Bài 4 (3,5 điểm) Vẽ hình đúng ý a)
a) Ta có OB = OC = R = 2(cm)
AB = AC (Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau)
⇒ AO là đường trung trực của BC hay OA⊥BC
b) Xét ∆BDC có OB = OD = OD =
2
1
BD (= R)
⇒ Tam giác BDC vuông tại C ⇒ DC ⊥ BC tại C
Vậy DC // OA (Vì cùng vuông góc với BC)
c) Xét ∆ABO vuông có BO⊥AB (tính chất tiếp tuyến)
⇒ AB = OA2 −OB2 = 5 2 − 3 2 = 4cm
Gọi H là giao điểm của AO và BC Vì A là trung trực của BC nên HB = HC =
2
BC
Tam giác ABO vuông tại B có đường cao BH ⇒ HB.OA = OB.AB (Hệ thức lượng) Tính được HB = 2,4cm; BC = 4,8cm Lại có AB2 = OA.AH ⇒ AH = 3,2cm
Vậy chu vi tam giác ABC là AB + AC + BC = 4 + 4 + 4,8 = 12,8 (cm)
Diện tích tam giác ABC là: 3, 2.4,8 2
7, 68( )
BC OA
cm
d) Chứng minh được hai tam giác ABO và tam giác EOD bằng nhau (g.c.g) ⇒ AB = EO Chứng minh được Tứ giác ABOE là hình chữ nhật ⇒ OE ⊥ AI
Chứng minh được tam giác AOI cân ở I
Sử dụng tính chất 3 đường cao của tam giác chỉ ra được IG là đường cao đồng thời là trung trực của đoạn thẳng OA
Bài 5 (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của A = x y + y x − x − y với x, y > 0
Trang 4Ta có: A = x y + y x − x− y = + − − =
xy
x y y x y y x x
xy
y x y y x
x( − ) − ( − )
A =
xy
y x y
=
2
( x y) ( x y)
xy
≥0 ∀x, y > 0
⇒ Amin = 0 ⇔ x − y = 0 ⇔ x = y Vậy: Amin = 0 ⇔ x = y > 0