Tai lieu boi duong hoc sinh gioi Chuyen de 16 PHUONG TRINH DUONG VA MAT Le Hoanh Pho

Vì vậy, để mặt phẳng P cách đều bốn đình A, B, C, D của hình tứ diện thì: - Hoặc mặt phẳng P đi qua trung điểm của ba cạnh cùng xuất phát từ một đỉnh của tứ diện.. Có bốn mặt phẳng như v[r]

Trang 1

Trang 1 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p,

đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo

Chuyên đề 16: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG VÀ MẶT

1 KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Phương trình tổng quát của mật phẳng:

Mặt phẳng qua M0x y0; 0 và vecto pháp tuyến nr A B C, , 

AxBy Cz  D A B C Hay A x x0B y y0C z z00

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

hai bộ nghiệm x;y;ztương ứng tọa độ của hai điểm thuộc giao tuyến

- Đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau:

Đường thẳng d qua 1 M và có VTCP 1 uuur1

Đường thẳng d qua 2 M2 và có VTCP uuur2

Cách 1: Đường vuông góc chung d có VTCP u u u1; 2

r ur uur

Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d và 1 d 2

Trang 2

uuur uur Đường vuông góc chung d là đường thẳng AB

Phương trình mặt cầu: Mặt cầu (S) tâm I a,b,c bán kính R  

Bài toán 16.1: Lập phương trình mặt phẳng:

a) Đi qua hai điểm A 1;1;-1 ,B 5;2;1   và song song với trục Oz

b) Chứa giao tuyến của 2 mặt phẳng x   y z 4 0,3x   y z 1 0 và đi qua

2;1; 1

Hướng dẫn giải

Trang 3

a) Mặt phẳng (P) song song với Oz nên có phương trình: A x' B y' D'0với

Ta lập được phương trình (MNK): 15x-7y+7z-16=0

Bài toán 16.2: Lập phương trình mặt phẳng

a) Đi qua điểm G 1;2;3 và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC

b) Đi qua điểm H 2;1;1 và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực  tâm của tam giác ABC

Trang 4

b) Nếu mặt phẳng đi qua H 2;1;1 và cắt các trục toạ độ tại A, B, C thì tứ diện OABC  

có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc, do đó H là trực tâm của tam giác ABC thì OHmp ABC 

Vậy mp(ABC) đi qua H và có vectơ pháp tuyến OH= 2;1;1uuur   nên có phương trình:

2 x 2 y   1 z 1 0 hay 2x   y z 6 0

Bài toán 16.3: Viết phương trình của mặt phẳng qua điểm M 5;4;3 và cắt ba trục toạ độ  

ở ba điểm khác O, cách đều gốc toạ độ

Trang 5

Gọi vectơ pháp tuyến của (P) là n= 1;a;br   Ta có MN= 3;0; 1uuuur   

Vì n.MN=3.1+0-b=0r uuuur nên b=3 Do đó n= 1;a;3r  

Mặt phẳng Oxy có vectơ pháp tuyến k= 0;0;1r  

Trang 6

Một mặt phẳng cách đều hai điểm M, N thì hoặc nó đi qua trung điểm của MN hoặc

nó song song với MN Vì vậy, để mặt phẳng (P) cách đều bốn đình A, B, C, D của hình tứ diện thì:

- Hoặc mặt phẳng (P) đi qua trung điểm của ba cạnh cùng xuất phát từ một đỉnh của tứ diện Có bốn mặt phẳng như vậy đi qua trung điểm một cạnh và song song với một mặt

- Hoặc mặt phẳng (P) chứa hai đường trung bình của tứ diện Có ba mặt phẳng như vậy

đi qua trung điểm một cạnh và song song với 2 cạnh đối chung mút Từ đó tìm được bảy mặt phẳng thoả mãn yêu cầu đầu bài là:

Trang 7

Mặt phẳng (P) đi qua M 0;0;1 nên có phương trình  

Bài toán 16.9: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng

4x3y12z 1 0 và tiếp xúc với mặt cầu có phương trình: 4x3y12y D 0

Trang 8

Bài toán 16.11: Lập phương trình mặt cầu

a) Có đường tròn lớn là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với

A 0; 2;1 ,B 1;0;1 ,C 0;0; 1

b) Ngoại tiếp tứ diện ABCD với A 1;2; 4 ,B 1; 3;1 ,C 2;2;3 ,D 1;0;4         

Hướng dẫn giải:

a) Gọi I x y z ; ; là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Ta có: uuurAB  1; 2;0 , uuurAC0; 2; 2 ,  uurAI x y; 2;z1

Trang 9

4

34

Bài toán 16.12: Cho bốn điểm A 3;2;0 ,B -1;3;2 ,C 1;0;1 ,D 0;-1;3        

Tìm tập hợp những điểm M trong không gian thoả mãn:

uuur uuur uuuur uuur uuuur uur

Do đó MA MBuuuruuurMCuuuurMDuuuur MA MBuuuruuur- 2MCuuuur

Trang 10

Các điểm A, B không thuộc hai mặt phẳng nên đó là 2 mặt cần tìm

Bài toán 16.14: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa giao tuyến d của 2 mặt phẳng:

Do đó (P): Ax  By  Bz A 2 B  0

Trang 11

Gọi H là trung điểm dây AB thì IH vuông góc với

AB Mặt phẳng (P) qua I, vuông góc với d có

phương trình:2 x  y2z9  0, suy ra giao

điểm d và d (P) là: H -3;-7;-11  

Ta có 2 2 2 2 2 2

R IA  AH IH   Vậy (S):   2  2 2

x  y  z 

Trang 12

Cách khác IH = d(l, d) = 0 .

M I u u

Bài toán 16.18: Lập phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng d:

a) Giao tuyến của hai mặt phẳng: P : 2xy  z 5 0 ;  P' : 2xz 3 0 b) Vuông góc với mp(ABC) có A1; 0; 1 ,   B 2; 3; 1 ,   C 1; 3; 1tại trực tâm H của tam giác ABC

Trang 13

Do đó d qua M 0; 8; 3 , có VTCP u= (1; 4; 2)  r nên có phương trình tham số

là giao tuyến của   và  

Đường thẳng d qua N 1; 3; 1  và có vectơ chỉ phương ur n nuur uur, 6; 2;3 nên có phương trình là:

Trang 14

Ta có MHuuuur (1 4 ;  t t 1 ; 4 )t nên MHΔ

0 4(1 4 ) 1( 1) 4(4 ) 0

u MHr uuuur    t  t  t 

5 33t = 5 t =

Cách khác: Đường thẳng d cần tìm là giao tuyến của mặt phẳng

(M, ) : 4 x4y3z 1 0 và mặt phẳng qua M, vuông góc với

Tương tự thì hình chiếu lên

mp(Oxy), mp(Oxz) có phương trình tham số:

Trang 15

b) Ta viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua d và vuông góc với mp(P)

Vectơ pháp tuyến của của (Q) vuông góc với cả urvà nrp nên ta có thể lấy

2; 1; 3 , p

Đường thẳng d' của VTCP 'ur n nr uur, p(4; 5; 1)

Từ đó suy ra phương trình của hình chiếu d'

Bài toán 16.21: Viết phương trình hình chiếu của  2 : 7 3 9

x y z

theo phương ( 1 : 3 1 1

Trang 16

Các điểm thuộc giao tuyến  2 có toạ độ thoả mãn: 7 3 0

 dạng tham số: x 1 1, y 2 2 , t z 3 2 t

Thế x, y, z vào (P) thì được t = 0 nên A 1; 2; 3  

Gọi d là đường thẳng đi qua A, nằm trong (P) và vuông góc với  Khi đó, vectơ chỉ phương 'ur của d phải vuông góc với vectơ chỉ phương u'= 1; 2; 2r  của , đồng thời vuông góc với vectơ pháp tuyến n= 2; 0; , 1r  của (P), nên ta chọn:

Trang 17

Bài toán 16.23: Viết phương trình đường thẳng đi qua A 1; -1; 1 và cắt cả hai đường  thẳng: d:

Tương tự, vì u'.nr r     3 9 2 130nên d' cắt mp(A; d), do đó d' cắt 

Vậy là đường thẳng đi qua A, cắt cả d và d'

Cách khác: Ta tìm giao điểm B của d' và (A; d), đường thẳng là đường thẳng qua A và

B Lấy điểm M 1 + 2t; t;3-1 nằm trên d và điểm   M t' '; 1 2 '; 2    t  't nằm trên d'

Ta tìm giá trị của t và t' sao cho điểm A, M, M' thẳng hàng, tức là AMuuuurvà AM 'uuuuurcùng phương

Bài toán 16.24: Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của AC và BD biết

A 4; 1; 4 , B 3; 3; 1 , C 1; 5; 5 , D 1; 1; 1

PT đường AC là  d : 1 x  4 3 , t y 1 4 , t z 4 t có VTCP ur   ( 3; 4; 1)

Trang 18

t

k 

Gọi M' đối xứng với M qua  Δ thì I là trung điểm đoạn MM' nên có 1

Trang 19

đường thẳng Ox, Oy có các vectơ chỉ phương là ri 1; 0; 0 ,  rj0; 1; 0 Theo giả thiết của bài toán thì:

0

1cos 60

b) Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với CD và tiếp xúc với mặt cầu (S)

c) Tìm bán kính các đường tròn giao tuyến của mặt cầu (S) và các mặt phẳng toạđộ

Ta có uuurAB(3; 3; 8),  uuurAC(4;0; 4),  uuuurAD (0; 3;1)

Trang 20

[uuur uuurAB AC, ]  (12; 20; 12) nên [uuur uuuurAB A C, ] uuurAD72 0

Suy ra bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng

Giả sử mặt cầu (S) có phương trình:

Trang 21

Bài toán 16.28: Trong hệ toạ độ Oxyz cho điểm M 1; 2; 3 Viết phương trình mặt phẳng  (P) đi qua M cắt các tia Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho tứ diện OABC có thể tích bé nhất

Bài toán 16.29: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng

(P): x2y2z 5 0và hai điểmA3; 0; 1 , 1; B( 1; )3 Trong các đường thẳng

đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ

B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất

Gọi A là đường thẳng cần tìm; A nằm trong mặt

phẳng (Q) qua A và song song với (P)

Phương trình (Q): x2y2z 1 0

K, H là hình chiếu của B trên , (Q)

Ta có BK BHnên AH là đường thẳng cần tìm Toạ độ H(x; y; z) thoả mãn:

Trang 22

1 22

b) Cho đường thẳng d với phương trình tham số

1 232

Chứng tỏ rằng hai đường thẳng d và  chéo nhau

c) Lập phương trình 2 mặt phẳng lần lượt chứa một đường thẳng d hoặc và chứa đường vuông góc chung của chúng

a) Phương trình các mặt phẳng (am) có thể viết thành:

Trang 23

 có VTCP n= n ,nr uur uur1 2= 4;4;-2  và đi qua B1;0;1

Vậy các mặt phẳng  m đi qua đường thăng cô định : 1 1

x  y z



b) d qua A 1; 0; -2 và có VTCP ur   2; 3; 1 

Ta có u vuur r ,  ABuuur 0nên d và  chéo nhau

c) Đường vuông góc chung IJ có VTCP ar u vr r ,     5; 8; 14

Mặt phẳng (Q) chứa  nên IJ có VTPT n = v, uurQ r ra  30; 6 ; 276  và đi qua

B -1; 0; 1 nên có phương trình: 10x  1   22y 0 9 z1   0 hay

b) Chứng minh mặt phẳng x + 5y + z + 4 = 0đi qua đường thẳng 

c) Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả  và '

a) Đường thẳng A có phương trình tham số là:

013

Trang 24

b) Mặt phẳng   đã cho có vectơ pháp tuyến n= 1; 5; 1r  

Đường thẳng  có vectơ chỉ phương ur 2; 1; 3 Ta có n u 0uur uur  nên  song song hoặc nằm trên mặt phẳng  

Vì điểm M 1; -1; 0 của A     (a) nên A nằm trên  

c) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, hình chiếu d của đường thẳng 1  có phương trình:

x + 2y + 1 = 0và hình chiếu d' của 1 'có phương trìnhx - y = 0 Giao điểm của hai

x y

Trang 25

Bài tập 16 4: Lập phương trình mặt cầu:

a) Đi qua ba điểm A 0; 8; 0 , B 4; 6; 2 , C 0; 12; 4 và có tâm nằm trên mp(Oỵz)      b) Cầu có tâm là hình chiếu H của gốc O lên đường thẳng AB và bán kính R = 3, với

Bài tập 16 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng:

Trang 26

Chứng to răng hai đường thẳng đã cho cùng nằm trong một mặt phẳng, viết phương trình mặt phẳng đó

Hường dẫn

Chứng minh 2 đường thẳng cắt nhau

Kết quả 2 x16y13z31 0.

Bài tập 16 7: Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d là giao tuyến

của 2 mặt phẳng (P): x2y5z60, ( ) Q : x y 3z30 vuông góc với mặt phẳng  R : 3x2y  z 5 0

Hướng dẫn

Đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt

 P : x+ 2y + 5z + 6 = 0, Q : x - y - 3z + 3 = 0  nên có VTPT nr n nuur uurp; QKết quả 7x4y13z240

Bài tập 16 8: Cho đường thẳng d và mp(P) có phương trình:

2311, ( ) : 3 4 1 0

Trang 27

Bài tập 16 11: Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng d và cắt 1

cả hai đường thẳng d và 2 d , biết phương trình : 3

x y

Định dạng
Số trang	27
Dung lượng	707,93 KB