Tai lieu boi duong hoc sinh gioi Chuyen de 2 KHAO SAT VA VE DO THI HAM SO Le Hoanh Pho

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m  3 b Tìm m để đồ thị của hàm số đã cho có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác vuông.. Đồ thị: Đồ thị hàm số nhận Oy tại trục đối xứn[r]

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ 2 - KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1 KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Tính lồi lõm của đồ thị:

Hàm số f xác định trên K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng

f gọi là lõm trên K nếu    , ,  1: f xyf x  f y ,x y, 0

f gọi là lồi trên K nếu    , ,  1: f xyf x  f y ,x y, 0

Cho hàm số y f x  liên tục và có đạo hàm cấp 2 trên K

f lõm trên K  f '' x   0, x K

f lồi trên K  f '' x   0, x K

Điểm uốn của đồ thị:

Điểm U x f x 0;  0  được gọi là điểm uốn của đường cong  C :y f x  nếu tồn tại một khoảng  a b;

chứa điểm x0 sao cho một trong 2 khoảng a x; 0 , x b0;  thì tiếp tuyến tại điểm U nằm phía trên đồ thị còn

ở khoảng kia thì tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị

Cho hàm số y f x  có đạo hàm cấp 2 một khoảng  a b; chứa điểm x0 Nếu f '' x0 0 và f '' x

đổi dấu khi x qua điểm x0 thì U x f x 0;  0  là điểm uốn của đường cong  C :y f x 

Chú ý:

1) Nếu y p x y  ''r x  thì tung độ điểm uốn tại x0 là y0 r x 0

2) Nếu f lồi trên đoạn  a b; thì GTLN maxf a   ;f b 

3) Nếu f lõm trên đoạn  a b; thì GTNN minf a   ;f b 

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm đa thức: gồm 3 bước:

Bước 1: Tập xác định

- Tập xác định D

- Tính đạo hàm cấp hai, xét dấu để chỉ ra điểm uốn của hàm đa thức

- Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục tọa độ

- Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục tọa độ

- Vẽ đúng đồ thị, lưu ý tâm đối xứng là giao điểm 2 tiệm cận

2) Bài toán về biện luận số nghiệm phương trình dạng g x m , 0

Đưa phương trình về dạng f x   h m trong đó vế trái là hàm số đang xét, đã vẽ đồ thị  C :y f x 

Số nghiệm là số giao điểm của đồ thị  C với đường thẳng yh m 

3) Điểm đặc biệt của họ đồ thị:  C m :y f x m , 

- Điểm cố định của họ là điểm mà mọi đồ thị đều đi qua:

b) D Ta có y'4x316 , '' 12x y  x216 0 x

Vậy đồ thị không có điểm uốn và hàm số lõm trên

Bài toán 2.2: Tìm điểm uốn và các khoảng lồi lõm của đồ thị:





Hướng dẫn giải

Vậy đồ thị không có điểm uốn, hàm số lồi trên khoảng ;5 và lõm trên khoảng 5;

Bài toán 2.3: Chứng minh rằng với mọi a, đồ thị hàm số 2

1

x a y

f x  có ba nghiệm phân biệt thuộc các khoảng  ; 1 , 1;0 , 0;  

Giả sử hoành độ của một trong các điểm uốn là x0 nên

Bài toán 2.4: Cho hàm số: yx36x23mx m 2, m là tham số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m3

b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực đai, cực tiểu A và B mà khoảng cách AB4 65

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m2

b) Tìm m để trên đồ thị  C m có hai điểm phân biệt có hoành độ cùng dấu và tiếp tuyến của  C m tại mỗi điểm đó vuông góc với đường thẳng d x: 3y 1 0

Hàm số đồng biến trên khoảng 1; 2 và nghịch biến trên mỗi khoảng  ; 1, 2;

Hàm số đạt cực tiểu tại x 1 và y CT  4, đạt cực đại tại x2 và y C Ð 5

0

33

y x  x  x Tìm m để hai điểm A, B thuộc đồ thị  C có tung độ m

và gốc O tạo thành tam giác OAB cân tại O

Hướng dẫn giải

Hai điểm A, B thuộc đồ thị  C có tung độ m nên thuộc đường thẳng d y: m

Hoành độ giao điểm của d và đồ thị  C là nghiệm của phương trình 1 3 1 2 3

2

6x 2x 2x m Phương trình 3 2

có nghiệm x1,x x1, 2 (trong đó x1,x1 là hoành độ của A, B)

Khi đó x x1, 2 là nghiệm của phương trình  2 2  

1 2

39

12 6

x x

Trang 11

Bài toán 2.9: Cho hàm số: yx42mx22m1, với m là tham số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m3

b) Tìm m để đồ thị của hàm số đã cho có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác vuông

Hàm số có 3 điểm cực trị  y'0 có 3 nghiệm phân biệt  m 0

Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

 2     2 

A  m m  m B m C m m  m

Vì hàm số chẵn nên tam giác ABC cân tại BOy , A và C đối xứng nhau qua Oy

ABC là tam giác vuông  tam giác ABC vuông cân tại B

Bài toán 2.10: Cho hàm số: y x4mx22m1, với m là tham số Tìm m để đồ thị hàm số cho có 3 điểm

cực trị sao cho 3 điểm cực trị cùng với gốc tọa độ là 4 đỉnh của một hình thoi

Bài toán 2.11: Cho hàm số: y  x4 2mx2m2m , với m là tham số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 2

b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành Ox tại 4 điểm phân biệt A, B, C, D sao cho ABBOOCCD

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  ; 2 và 0; 2; nghịch biến trên mỗi khoảng  2;0 và

 2; Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0, giá trị cực tiểu y CT 2; hàm số đạt cực đại tại các điểm

b) Tìm m để phương trình x48x2 6 m có 8 nghiệm phân biệt

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 2;0 ; 2;  , hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng  ; 2;

 0; 2 Hàm số đạt cực đại tại x0;y C Ð 3, đạt cực tiểu tại x 2,y CT  1

 Đồ thị: Đồ thị  C hàm số nhận Oy là trục đối xứng

y x  x  được suy ra từ đồ thị  C bằng cách giữ nguyên phần nằm

phía trên Ox, còn phần nằm phía dưới Ox thì lấy đối xứng qua Ox

Số nghiệm của phương trình 1 4 2

Vì hàm số chẵn nên tam giác ABC cân tại A thuộc trục Oy, B, C đối xứng nhau qua Oy

O là trọng tâm của tam giác ABC  y Ay B y C 0

Hàm số đồng biến trên khoảng ;0 và nghịch biến trên khoảng 0;

Hàm số đạt cực đại tại điểm x0 :y C Ð 5

y  x   x nên đồ thị không có điểm uốn

Giao điểm với trục tung 0; 3

2

 , giao điểm với trục hoành 1;0 và  1;0

Bài toán 2.15: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau:

a)

3

2

22

mx y

1

x

x mx x

x y x

a) Tìm m để tiệm cận xiên của  C m đi qua A 1;1

b) Tìm m để giao điểm của hai tiệm cận nằm trên   2

Suy ra phương trình tiệm cận xiên là y2x 1 m

TCX đi qua A 1;1 khi và chỉ khi: 12.1 1   m m 2

b) Đồ thị có tiệm cận đứng là x m Từ đó suy ra giao điểm của hai tiệm cận là Im;1 3 m

Giao điểm này nằm trên đường cong 2

 Tìm m để tiệm cận xiên của  C m tạo với các trục tọa

độ thành một tam giác có diện tích bằng 18

khi khi

x x

nên đồ thị  C' giữ nguyên phần bên phải tiệm cận đứng x1

của đồ thị  C , còn phần bên trái tiệm cận đứng x1 của đồ thị  C thì lấy đối xứng qua trục hoành

Bài toán 2.21: Cho hàm số: 2 2

1

x y x





a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số

b) Lập phương trình tiếp tuyến của  C , biết tiếp tuyến cắt đường tiệm cận đứng tại A, cắt đường tiệm cận ngang tại B mà OB2OA

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  ; 1 ;  1; 

 Đồ thị: Đồ thị  C cắt Ox tại  1;0 , cắt Oy tại 0; 2 , và nhận giao điểm I1; 2 của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng

b) Phương trình tiếp tuyến tại M x y 0; 0   C ,x0  1

 2 0 0

0 0

4:

11

x

x x





x x

  Thế vào d thì có tiếp tuyến cần tìm

Bài toán 2.22: Cho hàm số: 2

1

x y x

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ;1 , 1;  

 Đồ thị: Đồ thị  C cắt Ox tại  2;0 , cắt Oy tại    0;2 , C nhận giao điểm I 1;1 của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng

b) Vì x1 không là nghiệm nên phương trình

1

khi khi

x x

Xét       1 m 5 0 4 m 5 thì phương trình vô nghiệm

Bài toán 2.23: Cho hàm số:

2

m x y

x





 , với m là tham số Tìm m để đường thẳng d: 2x2y 1 0 cắt đồ thị

tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB có diện tích là 3

 



 Tìm trên  H các điểm A, B sao cho độ dài AB4 và đường thẳng

AB vuông góc với đường thẳng yx

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số

b) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt:

Tâm đối xứng là giao điểm 2 tiệm cận I1;0

b) Vì x 1 không là nghiệm nên phương trình đã cho tương đương với:

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số

b) Tìm các điểm trên  C có tọa độ là số nguyên và chứng minh đồ thị  C có tâm đối xứng

Trang 29

Do đó  C có 4 điểm có tọa độ nguyên:     1;4 , 3;0 , 1;0 và  5; 4

Giao điểm 2 tiệm cận I 2;2 chuyển trục bằng phép tịnh tiến vectơ 2

:

2

x X OI

  là hàm số lẻ nên đồ thị  C nhận gốc I 2; 2 làm tâm đối xứng

Bài toán 2.27: Cho hàm số

2

1

x y x



a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Tính góc giữa 2 tiệm cận

b) Biện luận theo m số nghiệm của PT:

 Đồ thị: Đối xứng nhau qua gốc O

TCĐ: x0, TCX: yx nên hai tiệm cận hợp nhau góc 45°

Nếu

2

12

hoặc m1 thì PT có 1 nghiệm

Còn khi m0 thì PT vô nghiệm

Bài toán 2.28: Cho hàm số 2 1  

11

11

 là hàm số chẵn nên đồ thị  C' đối xứng nhau qua Oy

Khi x0 thì lấy phần đồ thị  C , sau đó lấy đối xứng phần đó qua Oy thì được đồ thị  C'

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m1

b) Tìm m để đồ thị hàm số đã cho đạt cực trị tại x x1, 2 sao cho x1x2 2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m2

b) Tìm m để đồ thị của hàm số đã cho có hai điểm cực trị sao cho điểm I 3;1 nằm trên đường thẳng đi qua 2 cực trị

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số

b) Tìm số m dương để đường thẳng ym cắt  C tai hai điểm A, B sao cho tam giác OAB vuông tại gốc tọa

độ O

Hướng dẫn

a) Tập xác định D y'4x34 ; '' 12x y  x24

b) Kết quả TCX: y2x (khi x ); TCN: y0 (khi x )

Bài tập 2.7: Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị:

2

11







a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số đã cho

b) Tìm điểm M trên đồ thị  C sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng 1: 2x  y 4 0 và

1

y x







a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số đã cho

b) Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết khoảng cách từ tâm đối xứng của  C đến tiếp tuyến bằng 2 2

Hướng dẫn

a) Tập xác định D \ 1

 2

4'

1

y x







a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số

b) Với giá trị nào của m, đường thẳng d y:   x m cắt  C tại hai điểm A, B thỏa mãn AB 10

Hướng dẫn

a) Tập xác định D \ 1 

 2

3'

1

y x



a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số

b) Tìm m sao cho đường thẳng ym x  2 4 cắt đường cong  C tại hai điểm thuộc hai nhánh của nó

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên khi m2

b) Xác định m để hàm số đạt cực trị tại x x1, 2 sao cho x x1 2  3

Hướng dẫn

a) Khi m2 thì

2

21