Tai lieu boi duong hoc sinh gioi Chuyen de 15 TOA DO KHONG GIAN Le Hoanh Pho

Gọi M là trung điểm của AC và N là điểm sao cho SN  SB 3 a Tính độ dài đoạn thẳng MN b Tìm sự liên hệ giữa a, b, h để MN vuông góc với SB Hướng dẫn giải Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz có g[r]

CHUYÊN ĐỀ 15: TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

x kxx

y ' z ' z ' z ' x ' y '

x.x ' y.y ' z.z 'cos u, v

Thể tích tứ diện ABCD: V 1 AB, AC AD

uuur uuur uuur

Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’: V AB, AD AA '

uuur uuur uuuur

tuyến nr và mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến n 'uur thì

cos((P),(Q)) = cos(n, n ')r uur



Khoảng cách từ một điểm đến 1 đường thẳng:

Cho M (x , y , z ) và đường thẳng d qua A và có 0 0 0 0

VTCP ur ABuuur thì 0 0

AM , ud(M , d)

Phương trình tổng quát của mặt phẳng:

Mặt phẳng qua M (x , y ) và vecto pháp tuyến n0 0 0 r (A, B, C)

Ax+By+Cz+D=0, A B C 0

hay A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0   0   0 0

Phương trình của đường thẳng: đi qua M (x , y , z )0 0 0 0 và có vecto chỉ phương

ur (a, b, c), a b c 0

Phương trình tham số:

0 0 0

Đi qua B(x , y , z ) và có vecto chỉ phương v(a ', b ', c ')B B B r

-Chéo nhau: u, v ABr r uuur 0

-Cắt nhau: u, v ABr r uuur0 và a : b : ca ' : b ' : c'

Vị trí tương đối của 1 đường thẳng và 1 mặt phẳng:

Đường thẳng d qua A và có vecto chỉ phương ur và mặt phẳng (P) qua M và có vecto 0pháp tuyến nr

- Cắt nhau: u.nr r 0

Song song: u.nr r 0và A(P)

- Đường thẳng thuộc mặt phẳng u.nr r 0và A(P)

Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng:

Cho mặt cầu S(I;R) Gọi IH = d là khoảng cách từ tâm I đến (P) thù:

a)Nếu d<R; mp (P) cắt mặt cầu theo hướng tròn giao tuyển có tâm H là hình chiếu của tâm I lên mp(P), bán kính 2 2

r R d Đặc biệt, khi d=0 thì mp(P) đi qua tâm I của mặt cầu, giao tuyến là đường tròn lớn của mặt cầu có bán kính R

b) Nếu d=R, mp(P) và mặt cầu S(I;R) có điểm chung duy nhất là H Khi đó mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu tại điểm H hoặc mp(P) là tiếp diện của mặt cầu tại tiếp điểm H c) Nếu d>R: mp(P) không có điểm chung với mặ cầu

Ứng dụng giải bài toán không gian:

Đưa tọa độ Oxyz vào bài toán hình học không gian thuần túy, bằng cách chọn hệ trục thuận lợn để giải toán

2 CÁC BÀI TOÁN

Bài toán 15.1: Cho hình bình hành ABCD với A( 3; 2;0)  , B(3; 3;1) , C(5;0; 2)

Tìm tọa độ đỉnh D và tính góc giữa hai vecto ACuuur và BDuuur

Vậy (AC, BD) 120uuur uuur  o

Bài toán 15.2: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có

A(1; 2; 1), B(2; 1;3), C( 4, 7,5)  

a) Tính diện tích và độ dài đường cao h A

b) Tính độ dài đường phân giác trong BD

 uuur uuur  uuur uuur 

Bài toán 15.4: Cho tứ diện ABCD có: A(-1;2;0), B(0;0;1), C(0;3;0), D(2;1;0)

a) Tính diện tích tam giác ABC và thể tích tứ diện ABCD

b) Tìm hình chiếu của D lên mặt phẳng (ABC)

Hướng dẫn giải

a) Ta có ABuuur (1; 1;1), ACuuur(1;1;0), ADuuur (3; 1;0)

Nên AB, AC ( 1;1; 2) SABC 1 AB, AC 6

AH(x 1; y 2; z), DH  (x 2; y 1; z) 

Ta có:

18x11

M (2; 2;3) có vecto chỉ phương uuur2 ( 1;1;0)

Vì uuur1 và uuur2cùng phương nhưng uuur1, uuur2 không cùng phương với M Muuuuuur1 2  (1; 1; 2) nên hai đường thẳng đó song song

Bài toán 15.7: Cho hai điểm A(2;0;-1), B(0;-2;3)

a) Tìm tọa độ điểm COy để tam giác ABC có diện tích bằng 11 và thỏa mãn OC 1 b) Tìm điểm D(Oxz) để ABCD là hình thang có cạnh đáy AB

b) Gọi D(x;0; z)(Oxz)uuurDC   ( z; 1; z)

ABCD là hình thang khi và chỉ khi AB, DCuuur uuur cùng hướng

Bài toán 15.8: Tìm tọa độ điểm H là hình chếu của

a) A( 2;1;0) trên đường thẳng BC với B(0;3; 1), C( 1;0; 2) 

b) D(1;1;1) lên mặt phẳng (ABC) với A(4;1; 4), B(3;3;1), C(1;5;5)

Hướng dẫn giải

a) H(x; y; z) thuộc BC nên BHuuur tBCuuur

Cách khác: lập mp(P) qua A vuông góc với BC rồi tìm giao điểm H

b) Ta có ABuuur ( 1; 2;3), ACuuur ( 3; 4;1) nên mp (ABC) có VTCP:

nr AB, ACuuur uuur(14;10; 2) hay (7;5;1)

Theo giả thiết VABCD 5 1 AB, AC AD 5

  uuur uuur uuur 

       

Vậy có 2 điểm D trên trục Oy: (0;-7;0) và (0;8;0)

b) Ta có ACuuur(3; 3; 3), BC  uuur(2;1; 3) nên lập được phương trình mặt phẳng (ABC): 3xx+y+2z-6=0

Gọi H(x; y; z) là trực tâm tam giác ABC

AH (x; y 4; z 1), BH (x 1; y; z 1)

uuur    uuur    , ta có:

25x19

Bài toán 15.10: Cho hai điểm A(0;0;-3), B(2;0;-1) và mặt phẳng (P): 3x 8y 7z 1 0   

a) Tìm giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng (P)

b) Tìm điểm C nằm trên mp (P) sao cho ABC là tam giác đều

Hướng dẫn giải

a) Gọi Ix; y;zABuuur(2;0; 2), AIuur(x; y;z 1 ) 3

Vì AIuur và ABuuur cùng phương nên có một số k sao cho AIuur kABuuurhay

11x

Đường thẳng ( ) đi qua KB là:

Bài toán 15.13: Cho điểm A(1;0;-1), B(2;3;-1), C(1;3;1) và đường thẳng d là giao tuyến của

hai mặt phẳng có phương trình: x  y 1 0, x   y z 4 0 Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng d sao cho thể tích của khối tứ diện ABCD bằng 1

Hướng dẫn giải

Ta có ABuuur (1;3;0), ACuuur (0;3; 2) nên d có VTCP ur AB, ACuuur uuur(6; 2;3)

Phương trình của đường thẳng d là:

Do đó VABCD 1 2 t 1 t 1

3



      hoặc t5 Vậy có hai điểm D thỏa mãn bài toán là D( 1;0;5) và D(5;6; 7)

Bài toán 15.15: Cho hai đường thẳng:d :1 x 1 y 1 z 2

vàd2 là giao tuyến của hai mặt phẳng có phương trình: 5x 6y 6z 13   0, x 6y 6z 7   0

a) Chứng minh rằng d và 1 d cắt nhau tại điểm I 1

b) Tìm tọa độ các điểm A,B lần lượt thuộc d ,1 d sao cho tam giác IAB cân tại I và có độ 1

b) Vecto chỉ phương của d là 1 uuur1(2; 2;1)

Vecto chỉ phương của d2 là uuur2n, n 'r uur ( 72; 18; 12)  hay (6;3; 2)

Khi đó hai mặt phẳng có phương trình là:

2x y 3z 5 0 và 4x2y 6z 10  0 nên chúng trùng nhau Vậy:

Không có giá trị m nào để hai mặt phẳng đó song song

Khim1 , hai mặt phẳng đó trùng nhau

Khi m1, hai mặt phẳng đó cắt nhau

Hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau khi và chỉ khi n nuur uur1 2 0

92(m 3) 2m 3(5m 1) 0 19m 9 0 m

Các điểm chung trên 2 mặt phẳng 3x 7y z 3   0 và x 9y 2z 5   0 có tọa độ thỏa

Ba mặt phẳng cùng đi qua một đường thẳng khi mặt phẳng:

5xpy4z m 0 đi qua hai điểm A và B

Bài toán 15.19:Cho bốn điểm A( 3;5;15), B(0;0;7), C(2; 1; 4), D(4; 3;0)  

Chứng minh hai đường thẳng AB và CD cắt nhau, tìm tọa độ giao điểm

không cùng phương, do đó 2 đường thẳng AB và CD cắt nhau

Gọi M(x ; y ; z )M M M là giao điểm của AB và CD

Đặt MAuuuurkMB, MCuuur uuur kMDuuuur Ta có:

2 2

    và (d )4 (P)F(4; 2;0)

Đường thẳng (d) qua E,F là

Bài toán 15.21: Cho sáu điểm A(a;0;0), B(0; b;0), C(0;0;c); A '(a '0;0), B'(0; b ';0), C'(0;0;c ')với aa 'bb 'cc '0, aa ', bb ', cc '

a) Chứng minh có một mặt cầu đi qua sáu điểm nói trên

b) Chứng minh đường thảng đi qua gốc tọa độ O và trọng tâm tam giác ABC, vuông góc với mặt phẳng (A’B’C’)

Hướng dẫn giải

Ta xác định tâm và bán kính R của mặt cầu qua 4 điểm A, A’, B, C

Gọi I(x;y;z) là tâm mặt cầu đó, ta có: IA2 IA '2IB2 IC2

IC IC' IB Vậy B’, C’ cũng thuộc mặt cầu

c) Gọi G là trọng tâm ABC OG a b c; ;

Bài toán 15.22: Chứng minh các mặt phẳng (P ) : (2 m)x (1 m)y (1 m)z m 1 0m        

luôn đi qua một đường thẳng cố định

Bài toán 15.23: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D có A trùng

với gốc O, B(a;0;0), D(0;a;0), A '(0;0; b), (a0, b0) Gọi M là trung điểm cạnh CC’ a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M

b) Mặt phẳng (BDM) có vecto pháp tuyến là:

2 1

Vậy (SMN) tiếp xúc với mặt cầu tâm A, bán knhs R=1

Bài toán 15.25: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp S.ABCD có đáyABCD là hình thoi,

AC cắt BD tại gốc O Biết A(2;0;0), B(0;1;0),S(0;0; 2 2) Gọi M là trung điểm của cạnh

a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BM

b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N Tính thể tích khối chóp S.ABMN

Ta có: SA.BMuuur uuuur ( 2 2;0; 2), AB uuur  ( 2;1;0)

Nên d SA  SA, BM AB 2 6

 uuur uuur uur   uuur uuur uuur 

Vậy: VS.ABMN VS.ABMVS.AMN 2

Bài toán 15.26: Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD

Chứng minh rằng đường thẳng đi qua G và một đỉnh của tứ diện cũng đi qua trọng tâm của

mặt đối diện với đỉnh đó Gọi A’ là trọng tâm tam giác BCD Chứng minnh rằng GA 3

GA '

Hướng dẫn giải

Ta giải bằng phương pháp tọa độ Trong không gian tọa độ Oxyz,

giả sử A(x ; y ; z ), B(x ; y ; z ), C(x ; y ; z ), D(x ; y ; z )1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 thì trọng tâm A’ của tam giác BCD, trọng tâm tứ diện G:

Bài toán 15.27: Cho tứ diện nội tiếp trong mặt cầu tâm O và có AB=AC=AD Gọi G là trọng

tâm ACD, E, F là trung điểm BG, AE Chứng minh OFBGODAC

Hướng dẫn giải

AB=AC=AD và OB=OC=OD

OA (BCD)

  tại chân đường cao H với HB=HC=HD

Chọn H làm gốc tọa độ, với hệ trục Hx, Hy, Hz sao cho

HA là trục Hz, HB là trục Hy, HD là trục Hx

1 2A(0;0;a), B(0; b;0), C(c ;c ;0)

2 1 1 2 2

(2)a c d c d  0 OD.ACuuur uuur0 (dpcm)

Bài toán 15.28: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a Gọi I, J lần lượt là

trung điểm của A’D’ và B’B

a) Chứng minh rằng IJAC' Tính độ dài đoạn IJ

b) Chứng minh rằng D' Bmp(A 'C' D), mp(ACB') Tính góc giữa hai đường thẳng IJ và A’D

Hướng dẫn giải

a) Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho

A(0;0;0), D(a;0;0), B(0;a;0), A '(0;0;a)

Ta có C'(a;a;a), B'(0;a;0), D'(a;0;a) nên:

Ta có D' Buuuur  ( a;a; a), A 'C' uuuuur(a;a;0), A ' Duuuur (a;0; a)

Do đó D' B.A 'C'uuuur uuuuur0, D' B.A ' Duuuur uuuur0 Tương twjj D ' Buuuur mp(ACB')

A ' D(a;0; a)

uuuur

Gọi  là góc giữa hai đường thẳng IJ và A’D thì:

a a.a a.0 ( a)IJ.A ' D

IJ.A ' D a 6

.a 22

  lớn nhất khi x=1 tức M trung điểm AB

Bài toán 15.31: Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA=h, đáy là tam giác ABC vuông tại

C ACb, BCa Gọi M là trung điểm của AC và N là điểm sao cho SN 1SB

3



uuur uur

a) Tính độ dài đoạn thẳng MN

b) Tìm sự liên hệ giữa a, b, h để MN vuông góc với SB

Hướng dẫn giải

Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gôc O trùng với A, tia

Ox trùng với tia AC, tia Oz trùng với tia AS sao cho

điểm B nằm trong góc xOy Khi đó:

bA(0;0;0), C(b;0;0), B(b;a;0),S(0;0; h), M( ;0;0)

a) Tính độ dài đoạn MN Tìm giá trị t để MN ngắn nhất

b) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung của BC và SA

Hướng dẫn giải

a) Ta chọn hê trục Oxyz sao cho gốc tọa độ OA Trục

Ox chứa AC, trục Oy chứa AB và trục Oz(ABC) Khi

đó cạnh SC song song với rục Oz và ta có:

A(0;0;0), B(0;a 2;0), C(a 2;0;0),S(a 2;0;a 2)

Chọn hệ trục Oxyz có O là tâm đáy ABCD, tia Ox chứa

A, tia Oy chứa B, tia Oz chứa S Ta có:

Bài toán 15.34: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ Gọi M, N,P lần lượt là các điểm

chia đoạn thẳng AB, D’D và B’C’ theo cùng tỉ số k0,1 Chứng minh rằng mp(MNP) luôn luôn song song với mp(AB’D’)

   và M, N, P(AB' D') do k nên: mp(MNP) mp(AB' D')P

Bài toán 15.35: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h

Gọi I là trung điểm cạnh bên SC Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABI)

Hướng dẫn giải

Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ là tâm O

của đáy, trục Ox chứa OA, trục Oy chứa OB, trục Oz

chứa SO Khi đó:

Bài toán 15.36: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABa, ADa 2,SAa,

SA vuông góc (ABCD) Gọi M, N là trung điểm AD, SC, gọi I là giao điểm BM và AC Chứng minh (SAC)(SBM) và tính thể tích khối ANIB

uur uuur uuur

Vì n nuur uur1 2 0 nên 2 mặt phẳng (SAC), (SMB) vuông góc

V AI, AN AB (dvtt)

 uur uuur uuur 

Bài toán 15.37: Cho tứ diện đều (T) có các đỉnh có tọa độ (x ; y ; z )i i i với 1 i 4 , nội tiếp

trong một mặt cầu đơn vị Chứng minh:

Bây giờ ta chứng minh khẳng dịnhđúng cho một tứ diện ABCD có các đỉnh (x ; y ; z )i i i bất

kỳ Đầu tiên, ta quay (T) quanh trục z cho đến khi một đỉnh của nó nằm trong mặt phẳng (Oyz) Tiếp theo, ta quay nó quanh trục Ox cho đến khi đỉnh này trùng với điểm A (0;0;1)o Sau đó, lại quanh quanh trục Oz cho đến khi (T) trùng với tứ diện A B C Do o o ođã nói ở trêndpcm

Bài toán 15.38: Cho hai điểm A(3;1;0), B( 9; 4;9), và mp( ) : 2x    y z 1 0 Tìm tọa độ điểm M trên ( ) sao cho MA MB đạt giá trị lớn nhất

Bài toán 15.39: Cho 4 điểm A(1;0;3), B( 3;1;3), C(1;5;1) và M(x;y;0) Tìm giá trị nhỏ nhất

T2 MAuuuur  MA MCuuuuruuur

Hướng dẫn giải

Gọi I là trung điểm của BC

I( 1;3; 2) MB MC 2MI T 2(MA MI)

  uuuruuur uuur  

BM bé nhất khi t=1, khi đó M là hình chiếu B’(-1;3;0)

Trên mp(A,d) lấy điểm B1 sao cho B1à A khác phía đối với d, B B'1 d

Với mọi M thuộc d: MA MB MA MB 1AB1 : không đổi, do đó MA + MB bé nhất khi

M là giao điểm của AB với d 1

Ta có AA ' B B'P 1 nên M chia đoạn A’B’ theo tỉ số:

Giá trị bé nhất của f (x; y) 66 khi M là giao điểm của đoạn AB với mặt phẳng Oxy

Bài toán 15.42: Cho 9 số thức bất kì a ; b ;c ;a ; b ;c ;a ; b ;c1 1 1 2 2 2 3 3 3 thỏa mãn:

Bài tập 15.1: Cho ur 2, vr 5 , góc giữa hai vecto u

Điều kiện tích vô hướng bằng 0 Kết quả k = 40

Bài tập 15.2: Cho tam giác ABC có A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1) Tính chu vi, diện tích và độ dài đường cao H

Hướng dẫn

Dùng công thức Kết quả 2 3 5; 6; AH 30

Bài tập 15.3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các điểm

A(1;0;1), B(2;1; 2), D(1; 1;1), C'(4;5; 5)  Tìm các điểm còn lại

Hướng dẫn

Vì hình hộp ABCD.A’B’C’D’ nên ABCD là hình bình hành

Kết quả C(2;0; 2), A '(3;5; 6), B'(4;6;5), D'(3; 4; 6) 

Bài tập 15.4: Cho tứ diện ABCD có A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D( 2;1; 2) 

a) Tính góc giữa các đường thẳng chứa các cạnh đối của tứ diện đó

b) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao AH của tứ diện đó

Bài tập 15.6: Chứng tỏ rằng các mặt phẳng ( ), ( , ( ), ( )    sau đây là các mặt phẳng chứ bốn mặt của một hình hộp chữ nhật:

Bài tập 15.8: Tìm điểm M trên trục Oz trong mỗi trường hợp sau:

a) M cách đều điểm A(2;3; 4) và mặt phẳng 2x 3y z 17   0

b) M cách đều hai mặt phẳng x   y z 1 0 và x   y z 5 0

Hướng dẫn

a) Điểm M trên trục Oz nên M 0;0; z Kết quả   M 0;0;3  

b) Điểm M trên trục Oz nên M 0;0; z Kết quả   M 0;0; 2  

Bài tập 15.9: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a

Trên các cạnh BB’, CD, AD’ lần lượt lấy các điểm M,N,P sao cho:

B' MCNDPka(0 k 1)

a) Tính diện tích tam giác MNR theo k và a

b) Xác định vị trí M trên BB’ để diện tích MNP có giá trị bé nhất

Hướng dẫn

a) Chọn hệ trục tọa độ Axyz Kết quả

2 2 MNP

Bài tập 15.10: Cho hình lập phương ABCD.A B C D Gọi M là trung điểm của AD, N là 1 1 1 1tâm hình vuông CC D D1 1 Tìm bán kính mặt cầu đi qua các đểm B, C , M, N 1

a) Dùng trọng tâm G của tam giác ABC Kết quả M(4; 1;0)

b) Dùng tâm tỉ cự I của hệ điểm: IA 1975IB 2015ICuur uur uur0