Tai lieu boi duong hoc sinh gioi Chuyen de 1 Tinh don dieu va cuc tri Le Hoanh Pho

Bài toán 1.17: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đai, cực tiểu của đồ thị.... có 3 cực trị và chứng minh 3 cực trị này thuộc một parabol cố.[r]

CHUYÊN ĐỀ 1 - TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng  a b; khi đó:

- Nếu f đồng biến trên  a b; thì f ' x 0 với mọi x a b;

- Nếu f nghịch biến trên  a b; thì f ' x 0 với mọi x a b;

- Nếu f ' x 0 với mọi x a b; và f ' x 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của  a b; thì hàm số đồng biến trên khoảng  a b;

- Nếu f ' x 0 với mọi x a b; và f ' x 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của  a b; thì hàm số nghịch biến trên khoảng  a b;

- Nếu f đồng biến trên khoảng  a b; và liên tục trên a b;  thì đồng biến trên a b; ; và liên tục trên a b;  thì đồng biến trên a b; ; liên tục trên  a b; thì đồng biến trên  a b;

- Nếu f nghịch biến trên  a b; và liên tục trên a b;  thì nghịch biến trên a b; ; liên tục trên a b;  thì nghịch biến trên a b; ; liên tục trên  a b; thì nghịch biến trên  a b;

- Nếu f ' x 0 với mọi xD thì hàm số f không đổi trên D

Bổ đề Fermat: Giả sử hàm số có đạo hàm trên  a b; Nếu f đạt cực trị tại điểm x0 a b; thì f ' x0 0

- Cho y f x  liên tục trên khoảng  a b; chứa x0 có đạo hàm trên các khoảng a x; 0 và x b0; :

Nếu f ' x đổi dấu từ âm sang dương thì f đạt cực tiểu tại x0

Nếu f ' x đổi dấu từ dương sang âm thì f đạt cực đại tại x0

- Cho y f x  có đạo hàm cấp hai trên khoảng  a b; chứa x0

Nếu f ' x0 0 và f '' x0 0 thì f đạt cực tiểu tại x0

Nếu f ' x0 0 và f '' x0 0 thì f đạt cực đại tại x0

Ứng dụng vào phương trình

- Nếu hàm số f đơn điệu trên K thì phương trình f x 0 có tối đa 1 nghiệm Nếu f a 0, a thuộc K thì

xa là nghiệm duy nhất của phương trình f x 0

- Nếu f có đạo hàm cấp 2 không đổi dấu trên K thì f ' là hàm đơn điệu nên phương trình f x 0 có tối đa 2

nghiệm trên K Nếu f a 0 và f b 0 với ab thì phương trình f x 0 chỉ có 2 nghiệm là xa

và xb

- Nếu f là một hàm liên tục trên  a b; , có đạo hàm trên  a b; thì phương trình f ' x f b  f a 

Đặc biệt, nếu f a  f b 0 thì phương trình f ' x 0 có ít nhất một nghiệm c a b; hay giữa hai

nghiệm của f thì có ít nhất một nghiệm của đạo hàm f '

2) Số nghiệm của phương trình bậc 3: ax3bx2cx d 0,a0

Nếu f ' x  0, x hay f ' x  0, x thì f x 0 chỉ có 1 nghiệm

Nếu f ' x 0 có 2 nghiệm phân biệt và:

Với y C Ð.y CT 0: phương trình f x 0 chỉ có 1 nghiệm

Với y C Ð.y CT 0: phương trình f x 0 có 2 nghiệm (1 đơn, 1 kép)

Với y C Ð.y CT 0: phương trình f x 0 có 3 nghiệm phân biệt

sin 2 2cos 2 sin

Ta có    

2 2 2

2 2

2 21

khi khi

x x

y x

4

y x

y  trên khoảng ; 4 nên y đồng biến trên khoảng ; 4

Bài toán 1.7: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số

a)

3 2

6

x y

x



11

x y

Vì hàm số liên tục trên đoạn 0; 2  nên hàm số đồng biến trên đoạn 0; 2 

Bài toán 1.9: Chứng minh các hàm số

a) ycos 2x2x5 nghịch biến trên

b)  

sin

;sin

a) x x1, 2 ,x1x2 Lấy hai số a, b sao cho a x1 x2 b

Ta có: f ' x  2 sin 2 x 1 0 với mọi x a b;

Vì f ' x 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của khoảng  a b; nên hàm số f nghịch biến trên khoảng  a b;

Bài toán 1.10: Tìm các giá trị của tham số để hàm số:

a) ym3 x 2m1 cos x nghịch biến trên

b) y x33x2mxm chỉ nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 3

Bài toán 1.12: Tìm cực trị của hàm số

6

x y

Bài toán 1.13: Tìm cực trị của hàm số

 không có đạo hàm tại x0 nhưng đạt cực trị tại điểm đó

b) y f x   x a x b x c a , c luôn có cực đại và cực tiểu

cos

x a x y

m m y

Vậy nghiệm duy nhất x2

Ta có hệ:

3 3

3 3 3

b)      2  2

2  y1  xy   1 x y  y1 1

Với y1: 3   x 1: không thỏa (1)

Với x y 0 3     y 1 x 1; không thỏa (1)

f t   t t t thì f'  t 2 t1 nên f đồng biến trên 1; và nghịch biến trên  0;1

Đặt g t 2 ,t t0 thì g t'  2 0 nên g đồng biến trên 0; Ta có hệ

x y z

y z x

f t   t nên f đồng biến trên 0;

Hệ phương trình được viết lại

2 2 2 2 2 2

x y z

y z x

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là   5 5 5

t

f x

t t

 nên f đồng biến trên 1;3

Do đó BPT  f x  1 f3x     x 1 3 x x 2

Vậy nghiệm của bất phương trình S 2;3

Bài toán 1.24: Giải các bất phương trình

Nên f x 0 có nghiệm duy nhất x0

Vậy phương trình cho có nghiệm duy nhất

Bài toán 1.26: Chứng minh hệ phương trình có nghiệm duy nhất:

Nếu z  a lí luận như trên ta dẫn đến mâu thuẫn

Vậy hệ có nghiệm duy nhất x  y z t0 ở đó t0 là nghiệm duy nhất của phương trình: t3   t2 t a 0

Bài toán 1.27: Chứng minh hệ

2 3

2 3

11

Bài toán 1.29: Tìm m để phương trình

t t y

2

t t y

t

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất khi m y 1  m 2

Bài toán 1.30: Tìm tham số để phương trình

t t m

b) Đặt tsinxcosx, t  2 và t2  1 2sin cosx xsin 2x t2 1

Lập BBT suy ra điều kiện có nghiệm là: m    3 0 m 3

Bài toán 1.32: Tìm điều kiện của m để hệ bất phương trình có nghiệm

Vậy điều kiện có nghiệm là   16 m 1

Bài toán 1.33: Cho 3 số a, b, c thỏa mãn abc0 và 0

a  b c

Chứng minh phương trình: ax4bx2 c 0 có nghiệm

Hướng dẫn giải

Bài toán 1.34: Cho hàm số f có đạo hàm trên  0;1 và thỏa mãn f 0 0;f 1 1 Chứng minh tồn tại 2 số

phân biệt a; b thuộc  0;1 sao cho f '   a f ' b 1

Hướng dẫn giải

Xét hàm số g x  f x  x 1, khi đó thì g x  liên tục và có đạo hàm trên  0;1

Ta có: g 0   1 0 và g 1  1 0 nên tồn tại số c thuộc  0;1 sao cho g c 0

Do đó f c   c 1 0 hay f c  1 c

Áp dụng định lý Lagrange cho f trên các đoạn  0;c và  c;1 thì:

tồn tại a 0;c sao cho:    0  

'0

f c f

f a c

f f c

f b c

Vậy tồn tại 2 số phân biệt a; b thuộc  0;1 sao cho f '   a f ' b 1

Bài toán 1.35: Cho hàm số f x  có đạo hàm trên  0;1 và nhận giá trị dương Chứng minh bất phương trình:

Theo định lý Cauchy thì tồn tại c 0;1 sao cho:

Bài toán 1.36: Giả sử f là một hàm xác định trên  a b; , có đạo hàm đến cấp n1 trên  a b; và x0 a b;

Chứng minh tồn tại c nằm giữa x và x0 để có:

trong đó c là một điểm nằm giữa x và x0

Công thức trên được gọi là công thức khai triển Taylor của hàm f tại điểm xx0

x



11

x y

9

x y

x y

Kết quả CĐ tại x 3;y C Ð  9 3,CT tại x3;y CT 9 3

b) Kết quả CĐ tại x0,y C Ð 0 và CT tại x2;y CT  3 43

Bài toán 1.6: Chứng minh hàm số

Kết quả nghiệm duy nhất x3

b) Hàm đơn điệu Kết quả x3

Bài toán 1.9: Giải các hệ phương trình:

a)

3 4

Hướng dẫn

Chứng minh hàm VT đồng biến trên khoảng 0;, còn khi x0 thì vô nghiệm