Tìm vị trí của I để diện tích tứ giác ABDC có giá trị lớn nhất... Cộng theo vế hai BĐT trên ta được..[r]
Trang 1PHÒNG GD&ĐT THẠCH HÀ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2017 – 2018 Môn thi: Toán 9
(Thời gian làm bài: 150 phút)
Bài 1 a) Tính giá trị biểu thức T 4 10 2 5 4 10 2 5 5
b) Cho A 2016 2017 2018 và B 2014 2015 2022
Hãy so sánh A với B
Bài 2 Cho biểu thức:
M
a) Rút gọn biểu thức M.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của M.
Bài 3 a) Giải phương trình 2 2
b) Tìm tất cả các số nguyên dương a và b sao cho ab = 3(a - b)
c) Tồn tại hay không số nguyên n thỏa mãn n3 2018.n 2017 2018 1
Bài 4 a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n,
2 1 3 2 4 3 ( n 1) n
b) Cho 2 số x, y thỏa mãn: x2y2 1, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức S (2 x )(2 y )
Bài 5 Cho đoạn thẳng AB và điểm I nằm giữa 2 điểm A, B Trên cùng một nửa
mặt phẳng bờ AB, kẻ 2 tia Ax, By vuông góc với AB Trên Ax lấy điểm C, tia vuông góc với IC tại I cắt By tại D Gọi IH là đường cao của tam giác ICD
a) Chứng minh: BD.AC=AI.BI
b) Tính CD, IH biết: AC = 3 cm; BD = 9cm; AI =
3
4 IB
c) Khi 3 điểm A, B, C cố định Tìm vị trí của I để diện tích tứ giác ABDC có
giá trị lớn nhất.
-Hết -Họ và tên thí sinh:………SBD:…………
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm, học sinh không dùng máy tính bỏ túi )
SƠ LƯỢC GIẢI
Đề thi chọn HSG cấp huyện năm học 2017 – 2018
Môn: TOÁN 9
Bài 1 a)
P2 = 8 + 2 6 2 5 = 8 + 2( 5 1) = 6 + 2 5 = ( 5 1) 2
Vì P > 0 nên P = 5 1 Vậy T = 1
b)
Ta có:
2017 2015
2017 2015 2022 2018
Cộng theo vế hai BĐT trên ta được
4
Suy ra A > B
Bài 2 a) ĐKXĐ: a 0;a 9
M
2
a a 3 2( a 3) ( a 3)( a 1)
( a 1)( a 3)
a a 3 2a 12 a 18 a 4 a 3
( a 1)( a 3)
a a 24 3a 8 a ( a 1)( a 3)
a( a 3) 8(3 a ) ( a 1)( a 3)
a 8
a 1
b)
Ta có:
Áp dụng BĐT CôSi cho 2 số a 1 và
9
a 1 ta có:
9
a 1
Dấu “=” xẩy ra khi
9
a 1
Trang 3Vậy: Min M = 4 khi a 4
Bài 3 a)
Ta có
x x x x x x x x
Dể thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1),
khi đó
(1)
Đặt
1
2
(1)
2
5t 3 14 0(t t1;t1) (t 2)(5t7) 0 suy ra t =2 hoặc
7 5
t
(loại) Với t = 2
2 1
x
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x =1
b) ab = 3(a-b) (1)
Ta có (1) 3a 3b ab 0 (3a 9) (3b ab) 9 0 (a 3)(3 b) 9 (2)
Do a, b nguyên dương nên a+ 3 là ước của 9 và a+3>3 a 3 9 a 6
Thay a = 6 vào (2) ta được b = 2 Vậy tồn tại duy nhất bộ số nguyên dương (a ; b) thỏa mãn (1) là (6; 2)
(Cách 2: Từ gt a,b nguyên dương nên a > a-b nên từ (1) suy ra b < 3 nên
b =1,2 thay vào tính được a) (Cách 3:Có thể viết (1)
= =1- <1 b<3
nên b =1,2 thay vào tính được a)
c)
Ta có n32018n n 3 n 2019n (n 1)n(n 1) 3.673.n
Vì n-1; n; n+1 là 3 số nguyên liên tiếp nên(n 1)n(n 1) chia hết cho 3
3
n 2018.n
Mặt khác20172018 1 (2016 1) 2018 , mà 2016 chia hết cho 3, suy ra1
2018
(2016 1) chia 3 dư 2 (2)1
Từ (1) và (2) suy ra không thể tồn tại số nguyên n thỏa mãn
Trang 4Bài 4 a)
Ta có
n
(n 1) n
n
A=
=
b)
Ta có
2
Hơn nữa (x y )2 0với mọi x, y suy ra
2xy x y (x y ) 2(x y ) 2
Suy ra
2
S
Đẳng thức xẩy ra khi
2 2
x y
Suy ra
2
S
Đẳng thức xẩy ra khi
2 2
x y
Vậy Max S =
9 4 2 2
; Min S =
9 4 2 2
Bài 5
x
C
4
y D
I H
Trang 5a) Chứng minh: AC BD = IA IB
vuông AIC và vuông BDI có:
Ta có I 1 D (cùng phụ với I2)
Nên vuông AIC đồng dạng với vuông BDI
BD.AC AI.BI
BDBI (1)
b)
Từ (1) và giải thiết ta có: AI.BI BD.AC 9.3 27 (2)
Thay
BI 6cm AI 4,5cm
Áp dụng đinh lí Pitago ta có
CD CI ID (CA AI ) (IB BD 146, 25
CD 146, 25
Áp dung hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông AID ta có
CI.DI (CA AI )(IB BD IH.CD CI.DI IH
Thay số tính được
3422, 25 IH
146, 25
(cm)
ABDC
AC BD
2
Do A, B, C cố định nên AB, AC không đổi
SABDC lớn nhất BD lớn nhất
Mặt khác ta có (1) suy ra
AI.BI BD
AC
Áp dụng BĐT Cosy cho 2 số AI và IB ta có
(AI IB) AB AI.IB
2 AB BD 4AC
Đẳng thức xẩy ra khi IA IB I là trung điểm AB Vậy khi I là trung điểm của AB thì SABDC lớn nhất
Tổng
Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.