Câu hỏi và đáp án môn hết môn Lý thuyết đồ thị và Toán rời rạc

- Đỉnh 1 không đi đến các đỉnh còn lại nên trọng số bằng vô cùng.. Các đỉnh còn lại giữ nguyên giá trị trước đó.. Các đỉnh còn lại giữ nguyên giá trị trước đó... - Đỉnh 1 không đi đến cá

Trang 1

Bài tập Chương 2 (Lý thuyết đồ thị)

Bài 2.1: Cho đồ thị vô hướng G = (V, E) với: V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} và E = {(1,2), (1,3),

(2,3), (2,5), (4,5), (5,6)}

a) Vẽ đồ thị G

b) Tìm ma trận kề biểu diễn đồ thị G

c) Tìm danh sách cạnh biểu diễn đồ thị G

d) Tìm danh sách kề biểu diễn đồ thị G

Giải:

1

2

3

4

5

6

[01 10 1 ∞ ∞ ∞ 1 ∞ 1 ∞

c) Tìm danh sách cạnh biểu diễn đồ thị G

d) Tìm danh sách kề biểu diễn đồ thị G

Ke(1) = {2, 3}, Ke(2) = {1, 3, 5}, Ke(3) = {1, 2}, Ke(4) = {5}, Ke(5) = {2, 4, 6}, Ke(6) =

{5}

Bài 2.3: Cho đồ thị có hướng G = (V, E) với: V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} và E = {(1,2), (2,3),

(2,4), (3,1), (3,4), (3,5), (4,6), (6,5)}

c) Tìm ma trận liên thuộc đỉnh – cạnh biểu diễn đồ thị G

Trang 2

d) Tìm danh sách cạnh biểu diễn đồ thị G

e) Tìm danh sách kề biểu diễn đồ thị G

Giải:

1

2

3

4

5

6

[∞ 00 1 ∞ ∞ ∞ ∞1 1 ∞ ∞

∞ ∞ ∞ 0 ∞ 1

∞ ∞ ∞ ∞ 0 ∞

c) Tìm ma trận liên thuộc đỉnh – cạnh biểu diễn đồ thị G

(1,2) (2,3) (2,4) (3,1) (3,4) (3,5) (4,6) (6,5)

1 1 0 0 −1 0 0 ¿ 0¿2¿−1¿1¿1¿0¿0¿0¿0¿0¿3¿0¿−1¿0¿1¿1¿1¿0¿0¿4¿0¿0¿−1¿0¿−1¿0¿1¿0¿5¿0¿0¿0¿0¿0¿−1¿0¿−1¿6¿0¿0¿0¿0¿0¿0¿−1¿1¿

d) Tìm danh sách cạnh biểu diễn đồ thị G

e) Tìm danh sách kề biểu diễn đồ thị G

Ke(1) = {2}, Ke(2) = {3, 4}, Ke(3) = {1, 4, 5}, Ke(4) = {6}, Ke(5) = {}, Ke(6) = {5}

Bài 2.4: Cho đồ thị có hướng G = (V, E) với: V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} và E = {(1,2), (1,3),

(2,5), (3,2), (3,4), (4,5), (4,6), (5,6)} trong đó các cạnh trọng số tương ứng là {18, 12, 6,

5, 10, 17, 20, 25}

b) Tìm ma trận trọng số biểu diễn đồ thị G

c) Tìm danh sách cung biểu diễn đồ thị G

Trang 3

1

2

3

4

5

6

18

12

6 10

20 25

b) Tìm ma trận trọng số biểu diễn đồ thị G

[∞ 0 18 12 ∞0 ∞ ∞ ∞6 ∞ ∞

c) Tìm danh sách cung biểu diễn đồ thị G

Trang 4

Bài tập Chương 5 (Lý thuyết đồ thị)

Bài 5.1: Cho đồ thị G có ma trận trọng số dưới đây:

[180 18 21 ∞0 5 6 ∞ ∞ ∞ ∞

b) Áp dụng thuật toán Dijkstra tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh 1 đến các đỉnh còn lại của đồ thị Chỉ ra đường đi ngắn nhất từ đỉnh 1 đến đỉnh 6

Giải:

1

2

3

4

5

6

18

21

5

17 10

6

33 14

16

Bướ

c lặp Đỉn h 1 Đỉnh 2 Đỉnh 3 Đỉnh 4 Đỉnh 5 Đỉnh 6 Ghi chú

Khởi

tạo [0,1] [18,1]* [21,1] [∞,1] [∞,1] [∞,1]

- Đỉnh 1 đi đến đỉnh 2 và 3 Lấy trọng số của cạnh 1,2 và cạnh 1,3.

- Đỉnh 1 không đi đến các đỉnh còn lại nên trọng số bằng vô cùng.

- Chọn đỉnh nhỏ nhất để đi tiếp (là đỉnh 2).

1 - - [21,1]* [24,2] [∞,1] [∞,1]

- Từ đỉnh 2 đi đến đỉnh 3 và đỉnh 4 Các đỉnh còn lại giữ nguyên giá trị trước đó.

- Đỉnh 2 đến đỉnh 3 có tổng trọng số là 18+5 =

23 Tuy nhiên, do 23 >21 (là đoạn từ đỉnh 1 đến 3) nên cập nhật giá trị nhỏ hơn là 21, giá trị là [21,1]

- Đỉnh 2 đến đỉnh 4 tổng trọng số là 18+6 = 24 nên có giá trị [24,2]

- Đỉnh 3 đến đỉnh 4 tổng trọng số là 21+10 =

- Đỉnh 3 được đi từ 5, tổng trọng số là 21+16 =

37 nên có giá trị [37,3]

3 - - - - [37,3]* [38,4] - Từ đỉnh 4 đi đến đỉnh 5 và đỉnh 6.- Đỉnh 4 đến đỉnh 5 có tổng trọng số là 24+17 =

Trang 5

'- Đỉnh 5 đến đỉnh 6 có tổng trọng số là 37+33

= 70 Tuy nhiên, do 70 >38 (là đoạn từ đỉnh 4 đến 6) nên cập nhật giá trị nhỏ hơn là 38, giá trị

là [38,4]

5

Kết luận:

a) Đường đi ngắn nhất qua các đỉnh còn lại của đồ thị:

1-1: 0 1-2: 18 1-2-3: 23 1-2-4: 24 1-3-5: 37 1-2-4-6: 38 b) Đường đi ngắn nhất từ đỉnh 1 đến đỉnh 6 có độ dài là 38 Cụ thể: 1 - 2 – 4 - 6

Bài 5.2: Cho đồ thị có hướng G = (V, E) với: V = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, E = {(1,2), (1,3),

(2,5), (3,2), (3,4), (4,5), (4,6), (5,6)} Trong đó, các cạnh có trọng số tương ứng là {18, 2,

6, 5, 10, 17, 20, 15}

Giải:

1

2

3

4

5

6

18

2

6 10

15 20

Trang 6

lặp 1 2 3

Khởi

tạo [0,1]

[18,1 ]

[2,1]

* [∞,1] [∞,1] [∞,1]

- Đỉnh 1 đi đến đỉnh 2 và 3 Lấy trọng số của cạnh 1,2 và cạnh 1,3.

- Đỉnh 1 không đi đến các đỉnh còn lại nên trọng

số bằng vô cùng.

1 - [7,3]* - [12,3] [∞,1] [∞,1]

- Đỉnh 3 đến đỉnh 2 có tổng trọng số là 5+2 = 7 nên giá trị là [7,3]

- Từ đỉnh 3 đi đến đỉnh 5 Các đỉnh còn lại giữ nguyên giá trị trước đó.

- Từ đỉnh 4 đi đến đỉnh 5 và đỉnh 6.

4 - - - - - [28,5]* - Từ đỉnh 5 đi đến đỉnh 6.- Đỉnh 5 đến đỉnh 6 có tổng trọng số là 13+15 =

5

Kết luận:

a) Đường đi ngắn nhất qua các đỉnh còn lại của đồ thị:

1-1: 0 1-3-2: 7 1-3: 2 1-3-4: 12 1-3-2-5: 13 1-3-2-5-6: 28 b) Đường đi ngắn nhất từ đỉnh 1 đến đỉnh 6 có độ dài là 28 Cụ thể: 1 - 3 – 2 - 5 - 6

Trang 7

Bài tập Chương 2 (Toán rời rạc)

Bài 2.1: Trong một giải bóng đá có 20 đội bóng thi đấu vòng tròn có lượt đi và lượt về (2

đội bất kỳ luôn đá với nhau đúng 2 trận) Hỏi phải tổ chức bao nhiêu trận đấu?

Giải:

Xét trường hợp thi đấu 1 lượt, cứ 2 đội thì có 1 trận Ngoài ra, 1 đội không thi đấu với chính đội đó Theo tổ hợp chập 2 từ 20 phần tử, suy ra số trận đấu bằng cách chọn 2 đội

từ 20 đội, nghĩa là:

C(20,2) = 20(20-1)/2 = 190

Do có 2 lượt đi và về nên sẽ có tổng cộng: 190 * 2 = 380 trận

Vậy, đáp án là: 380

Bài 2.2: Có 4 cuốn sách Toán, 3 cuốn sách Văn và 2 cuốn Tin học Hỏi có bao nhiêu

cách chọn được 2 cuốn sách khác nhau từ 9 cuốn sách trên?

Giải:

Gọi C1 là tập các cuốn sách Toán

Gọi C2 là tập các cuốn sách Văn

Gọi C3 là tập các cuốn sách Tin học

Khi đó, các cách chọn được 2 cuốn khác nhau từ các cuốn sách trên là:

N(C1 x C2) =N(C1) x N(C2) = 4 x 3 =12

N(C2 x C3) =N(C2) x N(C3) = 3 x 2 = 6

N(C3 x C1) =N(C3) x N(C1) = 2 x 4 = 8

Vậy, đáp án là: 12 + 6 + 8 = 26 cách

Bài 2.3: Mỗi chiếc ghế được đánh số XX-NNN, trong đó X là một chữ cái tiếng Anh từ

A đến Z và N là một chữ số từ 0 đến 9 Hỏi có thể đánh số khác nhau cho nhiều nhất bao nhiêu chiếc ghế?

Giải:

- Bảng chữ cái tiếng Anh từ A đến Z có 26 ký tự

Mỗi chiếc ghế có 2 ký tự X (gọi là X1 và X2), mỗi X có 26 ký tự

Do vậy, có thể đánh số XX là 26 x 26 = 676 trường hợp

- Mỗi chiếc ghế có 3 ký tự N (gọi là N1 , N2 và N3), mỗi N có 10 ký tự

Do vậy, có thể đánh số NNN là 10 x 10 x 10 = 1.000 trường hợp

Vậy, đáp án là: 676 x 1.000 = 676.000 cách

Bài 2.4: Cô dâu và chú rể mời 4 bạn đứng thành 1 hàng để chụp ảnh Hỏi có bao nhiêu

cách xếp hàng nếu:

a) Cô dâu đứng cạnh chú rể

b) Cô dâu không đứng cạnh chú rể

c) Cô dâu đứng ở phía bên phải chú rể

Giải:

Trang 8

a) Do cô dâu và chú rể đứng cạnh nhau nên có thể coi 2 người là 1 Như vậy, có 5 cách xếp hàng (4 người bạn và 1 cặp cô dâu chú rể)

Tuy nhiên, do vị trí của cô dâu và chú rể có thể đổi cho nhau nên số cách xếp là: 5 x 2

= 10 cách

Việc xếp các bạn còn lại có thể áp dụng quy tắc nhân: 4 x 3 x 2 x 1 = 24

Vậy, đáp án là: 10 x 24 = 240 cách

b) Xét trường hợp tổng quát, có tất cả 6! cách xếp, tức là 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 cách

Trừ các trường hợp cô dâu đứng cạnh chú rể (chính là trường hợp a), vậy còn: 720

-240 = 480 cách

Vậy, đáp án là: 480 cách

c) Xét trường hợp tổng quát, có tất cả 6! cách xếp, tức là 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 cách

Số trường hợp cô dâu đứng ở phía bên phải chú rể = Số trường hợp cô dâu đứng ở phía bên trái chú rể

Vậy, đáp án là: 720 : 2 = 360 cách

Bài 2.15: Có bao nhiêu xâu nhị phân độ dài bằng 8 hoặc bắt đầu bởi 000 hoặc kết thúc

bởi 111?

Giải:

Gọi A là các xâu nhị phân bắt đầu bởi 000 (độ dài còn lại = 8 – 3 = 5)

Gọi B là các xâu nhị phân kết thúc bởi 1111 (độ dài còn lại = 8 – 4 = 4)

Như vậy: N(A) = 25 = 32; N(B) = 24= 16; N(AՈB) = 21 = 2

Theo nguyên lý bù trừ, ta có:

N(AUB) = N(A) + N(B) - N(AՈB) = 32 + 16 – 2 = 46 Vậy, đáp án là: 46 xâu

Bài 2.16: Hỏi trong tập X = {1, 2, … , 1000} có bao nhiêu số hoặc chia hết cho 3 hoặc

chia hết cho 4 nhưng không chia hết cho 12?

Giải:

Gọi A là tập các số trong tập X chia hết cho 3

Gọi B là tập các số trong tập X chia hết cho 4

Khi đó, tập các số chia hết cho 3 hoặc chia hết cho 4 là N(AUB) Theo nguyên lý bù trừ,

ta có:

= [1000/3] + [1000/4] – [1000/(3.4)]

= 333 + 250 – 83 = 500 Tập các số chia hết cho 12 là: 1000/12 = 83

Vậy, số lượng các số chia hết cho 3 hoặc chia hết cho 4 nhưng không chia hết cho 12 là:

500 – 83 = 417 số

Trang 9

Bài 2.17: Mỗi sinh viên trong lớp hoặc giỏi toán hoặc giỏi tin học hoặc giỏi cả 2 môn

này Hỏi trong lớp có bao nhiêu sinh viên nếu 38 người giỏi tin (kể cả người giỏi cả 2 môn), 23 người giỏi toán (kể cả người giỏi cả 2 môn) và 7 người giỏi cả 2 môn?

Giải:

Gọi A là tập các sinh viên giỏi toán

Gọi B là tập các sinh viên giỏi tin học

Khi đó, AՈB là tập các sinh viên giỏi cả 2 môn

Vì mỗi sinh viên trong lớp hoặc gỏi toán, hoặc giỏi tin học, hoặc giỏi cả 2 môn nên ta có tổng số sinh viên trong lớp là N(AUB) Theo nguyên lý bù trừ, ta có:

= 38 + 23 – 7 = 54 Vậy, đáp án là: 54 sinh viên

Bài 2.23: Giải các công thức đệ quy sau:

a) an = 5an-1 – 6an-2 với n ≥ 2 và a0 = 1, a1 = 0

b) an = an-1 + 6an-2 với n ≥ 2 và a0 = 3, a1 = 4

Giải:

Giải phương trình đặc trưng: Δ = b2-4ac = 25-4*6=1

r1 = (-b+√1)/2a = (5+1)/2 = 3

r2 = (-b-√1)/2a = (5-1)/2 = 2

Dãy {an} là nghiệm của công thức đệ quy nếu và chỉ nếu a n = α 1 3 n + α 2 2 n với α1, α2 là các hằng số nào đó

Từ các điều kiện đầu, suy ra:

a0 = 1 = α1.30 + α2.20 = α1 + α2

a1 = 0 = α1.31 + α2.21 = 3α1 + 2α2

Giải hệ phương trình trên ta được: α1 = -2, α2 = 3

Vậy, nghiệm của công thức đệ quy là:

a n = -2.3 n + 3.2 n

Giải phương trình đặc trưng: Δ = b2-4ac = 1-4*(-6)= 25

r1 = (-b+√25)/2a = (1+5)/2 = 3

r2 = (-b-√25)/2a = (1-5)/2 = -2

Dãy {an} là nghiệm của công thức đệ quy nếu và chỉ nếu an = α1.3n + α2.(-2)n với α1, α2

là các hằng số nào đó

a0 = 3 = α1.30 + α2.(-2)0 = α1 + α2

a1 = 4 = α1.31 + α2.(-2)1 = 3α1 - 2α2

Giải hệ phương trình trên ta được: α1 = 2, α1 = 1

a n = 2.3 n + (-2) n

Trang 10

Bài 2.24: Giải các công thức đệ quy sau:

a) an = 4an-1 – 4an-2 với n ≥ 2 và a0 = 6, a1 = 8

Giải:

Giải phương trình đặc trưng: Δ = b2-4ac = 16 - 4*4 = 0

r1 = r2 = -b/2a = 4/2 = 2

Dãy {an} là nghiệm của công thức đệ quy nếu và chỉ nếu a n = α 1 2 n + α 2 n.2 n với α1, α2

a0 = 6 = α1

a1 = 8 = α1.21 + α2.21 = 2α1 + 2α2

Giải hệ phương trình trên ta được: α1 = 6, α2 = -2

a n = 6.2 n + (-2)n.2 n = (6 - 2n)2 n

có nghiệm r1 = 2; r2 = -2

Dãy {an} là nghiệm của công thức đệ quy nếu và chỉ nếu a n = α 1 2 n + α 2 (-2) n với α1, α2

a0 = 0 = α1.20 + α2.(-2)0 = α1 + α2

a1 = 4 = α1.21 + α2.(-2)1 = 2α1 - 2α2

Giải hệ phương trình trên ta được: α1 = 1, α2 = -1

a n = 1.2 n + (-1).(-2 n ) = 2 n - (-2) n

Bài tập Chương 5 (Toán rời rạc)

Trang 11

Bài 5.1: Hãy sử dụng thuật toán nhánh cận giải bài toán cái túi sau đây (mô tả quá trình

tính toán trên cây tìm kiếm):

f(x) = 9x1 + 5x2 + 3x3 + x4  max

7x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 ≤ 10

xj ≥ 0, nguyên, j = 1, 2, 3, 4

Giải:

Quá trình giải bài toán được mô tả trong cây tìm kiếm như hình dưới đây Thông tin về một phương án bộ phận trên cây được ghi trong các ô trên hình vẽ tương ứng theo các thứ tự sau:

Các thành phần phương án

σ : giá trị của các đồ vật đang chất trong túi; w : trọng lượng còn lại của túi; g : cận trên Phương pháp:

+ Tính số nhánh (x): Lần 1: b/ai, Lần 2: wtrước đó/ai hiện tại (trong đó b = 10, a1 = 7, c1 = 9)

+ Lần 1: σ = ci * xi ; Lần 2: σ = σtrước đó + ci * xi

+ Lần 1: w = b – ai * xi; Lần 2: w = wtrước đó - ai * xi

+ g = σ + w*(ci+1/ai+1)

x 1 = 1 x 1 = 0

Lấy nhánh

g max để đi tiếp

x 2 = 0

w trước đó chia

cho a hiện tại =

3/4=0,75 (lấy số

nguyên x 2 = 0)

x 3 = 1 x 3 = 0

3/3=1 (lấy số

nguyên x 3 = 1)

12>10,5 nên sẽ đi theo nhánh 12

x 4 = 0

0/2=0 (lấy số

nguyên x 4 = 0)

Các nhánh bị loại vì cận trên ≤ kỷ lục

Kết thúc thuật toán, ta thu được:

f(x) = 16x1 + 5x2 + 7x3 + 9x4  max

6x1 + 2x2 + 3x3 + 6x4 ≤ 10

Gốc: ´f = - 1

(1): σ = c 1 * x 1 = 9*1=9;

w= 10-7*1=3

g = 9 + 3*(5/4)=12,75

(0): σ = 9 * 0 = 0;

w= 10-7*0=10

g = 0 + 10*(5/4) = 12,5

(1,0): σ = 9+5*0=9;

w = 10-7*1 + 4*0 = 3

g = 9 + 3*(3/3) = 12

(1,0,1): σ = 9+3*1=12;

w = 3-3*1= 0

g = 12 + 0*(1/2) = 12

(1,0,0): σ = 9+3*0=9;

w = 3-3*0 = 3

g = 9 + 3*(1/2) = 10,5

(1,0,1,0): σ = 12+0*2=12;

w = 0-3*0= 0

g = 12 + 0*(1/2) = 12

P/án (1,0,1,0); f=12 Đặt kỷ lục: : ´f = 12;

´

x = (1,0,1,0)

Trang 12

xj ≥ 0, nguyên, j = 1, 2, 3, 4

Giải:

Quá trình giải bài toán được mô tả trong cây tìm kiếm như hình dưới đây Thông tin về một phương án bộ phận trên cây được ghi trong các ô trên hình vẽ tương ứng theo các thứ tự sau:

Các thành phần phương án

σ : giá trị của các đồ vật đang chất trong túi; w : trọng lượng còn lại của túi; g : cận trên Phương pháp:

+ Tính số nhánh (x): Lần 1: b/ai, Lần 2: wtrước đó/ai hiện tại (trong đó b= 10, a1 = 6, c1 =

16)

+ Lần 1: σ = ci * xi ; Lần 2: σ = σtrước đó + ci * xi

+ Lần 1: w = b – ai * xi; Lần 2: w = wtrước đó - ai * xi

+ g = σ + w*(ci+1/ai+1)

x 1 = 1 x 1 = 0

Lấy nhánh

g max để đi tiếp

26>25 nên

sẽ đi theo nhánh 26

x 2 = 2 x 2 = 1 x 2 = 0

4/2=2 (lấy số

nguyên x 2 = 2)

26 lớn nhất nên

sẽ đi theo nhánh 26

x 3 = 0

0/3=0 (lấy số

nguyên x 3 = 0)

x 4 = 0

0/6=0 (lấy số

nguyên x 4 = 0)

Các nhánh bị loại vì cận trên ≤ kỷ lục

Kết thúc thuật toán, ta thu được: Phương án tối ưu: x* = (1,2,0,0), Giá trị tối ưu: f* = 26

f(x) = 15x1 + 6x2 + 3x3 + x4  max

10x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 ≤ 15

xj ≥ 0, nguyên, j = 1, 2, 3, 4

Giải:

Gốc: ´f = - 1

(1): σ = c 1 * x 1 = 16*1=16;

w= 10 - 6*1=4

g = 16 + 4*(5/2)=26

(0): σ = 16 * 0 = 0;

w= 10 - 6*0=10

g = 0 + 10*(5/2) = 25

(1,2): σ = 16 + 5*2=26;

w = 4 - 2*2 = 0

g = 26 + 0*(7/3) = 26

(1,1): σ = 16 + 5*1=21;

w = 4 - 2*1 = 2

g = 21 + 2*(7/3) = 25,6

(1,0): σ = 16 + 5*0=16;

w = 4 - 2*0 = 4

g = 16 + 4*(7/3) = 25,3

(1,2,0): σ = 26+7*0=26;

w = 0 - 3*0= 0

g = 26 + 0*(9/6) = 26

(1,2,0,0): σ = 26+9*0=26;

w = 0 - 6*0= 0

g = 26

P/án (1,2,0,0); f=26 Đặt kỷ lục: : ´f = 26;

´

x = (1,2,0,0)

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	357,34 KB