Từ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt đã cho trong bảng và tính chất trên, ta có thể suy ra giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt khác.. thì ta nói rằng.[r]
Trang 1Khi đó ta có định nghĩa:
sin của góc là y0, kí hiệu sin y0;
cosin của góc là x0, kí hiệu cos x0;
0 0
0 ,
y x
0 ,
x y
1
Trang 2cot 3 1 13 0
Trong bảng kí hiệu " " để chỉ giá trị lượng giác không xác định
Chú ý Từ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt đã cho trong bảng
và tính chất trên, ta có thể suy ra giá trị lượng giác của một số góc
2 2
2
4 Góc giữa hai vectơ
a) Định nghĩa
giữa hai vectơ a và b. Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ a và b là a b,
a b hoặc b a.
b) Chú ý Từ định nghĩa ta có a b, b a,
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
Câu 1 Giá trị cos 45 0 sin 45 0 bằng bao nhiêu?
Trang 3Câu 6 Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
Câu 7 Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
2
Câu 8 Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?
Vấn đề 2 HAI GÓC BÙ NHAU – HAI GÓC PHỤ NHAU
Câu 11 Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
Câu 12 Cho và là hai góc khác nhau và bù nhau Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai?
Trang 4Vấn đề 3 SO SÁNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
Câu 21 Cho là góc tù Khẳng định nào sau đây là đúng?
đây là sai?
Câu 23 Khẳng định nào sau đây sai?
C tan 45 tan 60 D cos30 sin 60
Câu 24 Khẳng định nào sau đây đúng?
Câu 25 Khẳng định nào sau đây đúng?
Trang 5Câu 27 Cho biết sin 3.
Vấn đề 5 GÓC GIỮA HAI VECTƠ
Trang 6A MN NP, B MO ON, C MN OP, D MN MP,
Trang 7 Bài 02
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
1 Định nghĩa
là một số, kí hiệu là a b , được xác định bởi cơng thức sau:
2 2
0
2 Các tính chất của tích vơ hướng
Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vơ hướng:
Với ba vectơ a b c, , bất kì và mọi số k ta cĩ:
3 Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng
Trên mặt phẳng tọa độ O i j; ; , cho hai vectơ a a a1 ; 2 , b b b1 ; 2 Khi
Trang 84 Ứng dụng
a) Độ dài của vectơ
2 2
1 2
b) Góc giữa hai vectơ
c) Khoảng cách giữa hai điểm
Khoảng cách giữa hai điểm A x y A; A và B x y B; B được tính theo công thức:
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
Mệnh đề nào sau đây đúng?
a và b khi a b. a b .
Trang 9đề nào sau đây là sai?
Mệnh đề nào sau đây là sai?
Câu 14 Cho tam giác ABC có BC a CA, b AB, c. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính AM BC .
Trang 10Câu 16 Cho M N P Q, , , là bốn điểm tùy ý Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai?
A MN NP PQ MN NP. MN PQ. B MP MN. MN MP.
C MN PQ. PQ MN. D MN PQ MN PQ MN2 PQ2 Câu 17 Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính AB AC .
trung điểm của cạnh AD. Tính BK AC .
Trang 11Câu 27 Tìm tập các hợp điểm M thỏa mãn MB MA MB MC 0 với
, ,
A B C là ba đỉnh của tam giác
A một điểm B đường thẳng C đoạn thẳng D đường tròn
là:
A một điểm B đường thẳng C đoạn thẳng D đường tròn
các điểm N thỏa mãn AN AB 2a2 là:
A một điểm B đường thẳng C đoạn thẳng D đường tròn
A một điểm B đường thẳng C đoạn thẳng D đường tròn
Vấn đề 3 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG HAI VECTƠ
Trang 12Câu 31 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm
Trang 13Câu 41 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ a 9;3 Vectơ nào
góc nhọn
C cos AB AD, cos CB CD, D Hai góc BAD và BCD bù nhau
và c ka mb với k m, Biết rằng vectơ c vuông góc với vectơ
Trang 14Câu 50 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u 4;1 và
1;1 , 0;2 , 3;1
B Tứ giác ABCD là hình thoi
Trang 15Câu 58 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có
1;1 , 1;3
C Tam giác ABC cân tại B
10;5 , 3;2
2; 1 , 1; 1
Vấn đề 5 TÌM ĐIỂM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
.
C
A C 6;0 B C 0;0 , C 6;0 C C 0;0 D C 1;0
hàng
Trang 16Câu 65 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm điểm M thuộc trục hoành
A M 1;0 B M 1;0 , M 3;0 C M 3;0 D M 1;0 , M 3;0 Câu 66 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A 1;3 và B 4;2
tam giác đã cho
của tam giác đã cho
Trang 17Câu 76 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A 2;4 và B 1;1
A C 4;0 B C 2;2 C C 4;0 , C 2;2 D C 2;0
và B 3;0 Tìm tọa độ điểm D, biết D có tung độ âm
A D 0; 1 B D 2; 3 C D 2; 3 , D 0;1 D D 2; 3
1;2 , 1;3 , 2; 1
4;2
tam giác OAB.
Trang 18Khi đó ta có định nghĩa:
sin của góc là y0, kí hiệu sin y0;
cosin của góc là x0, kí hiệu cos x0;
0 0
0 ,
y x
0 ,
x y
1
Trang 192 2
2
4 Góc giữa hai vectơ
a) Định nghĩa
giữa hai vectơ a và b. Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ a và b là a b,
a b hoặc b a.
b) Chú ý Từ định nghĩa ta có a b, b a,
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
Câu 1 Giá trị cos 45 0 sin 45 0 bằng bao nhiêu?
2 sin 45
2
Chọn B Câu 2 Giá trị của tan30 0 cot 30 0 bằng bao nhiêu?
Trang 20Lời giải Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
Câu 6 Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
Lời giải Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
3 sin120
2
Chọn D
Câu 7 Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
Trang 21Câu 8 Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?
C cos30 O sin120 O D sin 60 O cos120 O
Lời giải Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ta được
0
0
1 cos120
2 3 sin 60
Lời giải Từ giả thiết suy ra C 60 0
Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng
2 30
3 cos
2
BAH BAH
Vấn đề 2 HAI GÓC BÙ NHAU – HAI GÓC PHỤ NHAU
Câu 11 Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
nhau
Chọn C
Câu 12 Cho và là hai góc khác nhau và bù nhau Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai?
A sin sin B cos cos C tan tan D cot cot
Lời giải Hai góc bù nhau và thì cho có giá trị của sin bằng nhau, các giá trị còn lại thì đối nhau Do đó D sai Chọn D
Trang 22Lời giải Hai góc 30 0 và 150 0 bù nhau nên sin30 sin150 ;
Chọn B
cos cos sin sin
C
sin cos cos sin
cos cos sin sin
C
Câu 17 Cho hai góc nhọn và phụ nhau Hệ thức nào sau đây là sai?
A sin cos B cos sin C tan cot D cot tan
sin cos ; cos sin ; tan cot ; cot tan Chọn A
Câu 18 Tính giá trị biểu thức S sin 15 2 cos 20 2 sin 75 2 cos 110 2
Do đó, S sin 15 2 cos 20 2 sin 75 2 cos 110 2
2
sin 15 cos 20 cos 15 sin 20 sin 15 cos 15 sin 20 cos 20 2 Chọn C
Trang 23Câu 19 Cho hai góc và với 90 Tính giá trị của biểu thức
sin cos sin cos
cos cos sin sin
Vấn đề 3 SO SÁNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
Câu 21 Cho là góc tù Khẳng định nào sau đây là đúng?
Câu 23 Khẳng định nào sau đây sai?
C tan 45 tan 60 D cos30 sin 60
thì giá trị cos tương ứng của góc đó giảm
Câu 24 Khẳng định nào sau đây đúng?
- Giá trị sin tương ứng của góc đó giảm
- Giá trị cos tương ứng của góc đó giảm
Chọn B
Câu 25 Khẳng định nào sau đây đúng?
Trang 24C cos90 30 cos100 D cos150 cos120
- Giá trị sin tương ứng của góc đó giảm
- Giá trị cos tương ứng của góc đó giảm
cos
9
Trang 26Câu 34 Cho biết cos sin 1.
Vấn đề 5 GÓC GIỮA HAI VECTƠ
Trang 27E
C
B
A
Trang 29Lời giải Ta có AB DC, cùng hướng nên AB DC, 0 0
Trang 30 Bài 02
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
1 Định nghĩa
là một số, kí hiệu là a b , được xác định bởi cơng thức sau:
2 2
0
2 Các tính chất của tích vơ hướng
Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vơ hướng:
Với ba vectơ a b c, , bất kì và mọi số k ta cĩ:
3 Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng
Trên mặt phẳng tọa độ O i j; ; , cho hai vectơ a a a1 ; 2 , b b b1 ; 2 Khi
Trang 314 Ứng dụng
a) Độ dài của vectơ
2 2
1 2
b) Góc giữa hai vectơ
c) Khoảng cách giữa hai điểm
Khoảng cách giữa hai điểm A x y A; A và B x y B; B được tính theo công thức:
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Lời giải Ta có a b. a b .cos ,a b
Vậy a b. a b. Chọn A
a và b khi a b. a b .
Lời giải Ta có a b. a b .cos ,a b
Mà theo giả thiết a b. a b. , suy ra cos ,a b 1 a b, 180 0 Chọn A
Trang 33đề nào sau đây là sai?
Mệnh đề nào sau đây là sai?
Trang 35A tam giác OAB đều B tam giác OAB cân tại O.
Đáp án C đúng theo tính chất giao hoán
Đáp án D đúng theo tính chất phân phối Chọn B
Câu 17 Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính AB AC .
Trang 36Lời giải Ta có C là trung điểm của DE nên
Lời giải Giả thiết không cho góc, ta phân tích các vectơ MB MN,
theo các vectơ có giá vuông góc với nhau
các vectơ có giá vuông góc với nhau
D
Câu 23 Cho hình thoi ABCD có AC 8 và BD 6. Tính AB AC .
A AB AC 24. B AB AC 26. C AB AC 28. D AB AC 32.
Lời giải Gọi O AC BD, giả thiết không cho góc, ta phân tích các
Trang 37Lời giải Ta có S ABCD 2.S ABC 54 S ABC 27cm 2
trung điểm của cạnh AD. Tính BK AC .
A BK AC 0. B BK AC. a2 2. C BK AC. a2 2. D BK AC 2 a2
Ta có
1 2
BK BA AK BA AD
AC AB AD
1
2
BK AC BA AD AB AD
2 2
Trang 38Vấn đề 2 QUỸ TÍCH
0
MA MB MC là:
A một điểm B đường thẳng C đoạn thẳng D đường tròn
D
, ,
A B C là ba đỉnh của tam giác
A một điểm B đường thẳng C đoạn thẳng D đường tròn
Trang 39A một điểm B đường thẳng C đoạn thẳng D đường tròn
Vấn đề 3 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG HAI VECTƠ
Trang 40Câu 32 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A 3; 1 và B 2;10
Trang 41Lời giải Ta có cos , . 2.4 1 3 5.
5
4 1 16 9
a b
A v1 1; 3 B v2 2; 6 C v3 1;3 D v4 1;3
Lời giải Kiểm tra tích vô hướng a v. , nếu đáp án nào cho kết quả
Câu 42 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A 1;2 , B 1;1 và
Trang 42Suy ra 3 4 1 2 2 O
2
9 1 16 4
cos AB AD, cos CB CD, 0 BAD BCD 180 Chọn D
và c ka mb với k m, Biết rằng vectơ c vuông góc với vectơ
A 2k 2 m B 3k 2 m C 2k 3m 0. D 3k 2m 0.
Trang 44Lời giải Ta có MN 4;6 suy ra MN 42 6 2 42 2 13. Chọn D
1;4 , 3;2 , 5;4
A P 4 2 2. B P 4 4 2. C P 8 8 2. D P 2 2 2. Lời giải Ta có
2 2
7; 3 , 8;4 , 1;5
Trang 451;1 , 0;2 , 3;1
B Tứ giác ABCD là hình thoi
1;1 , 1;3
C Tam giác ABC cân tại B
Suy ra
2 2
AB AC
10;5 , 3;2
Trang 46Câu 60 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có
2; 1 , 1; 1
Vấn đề 5 TÌM ĐIỂM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
c c
Trang 47Câu 66 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A 1;3 và B 4;2
Trang 48Lời giải Ta có M Ox nên M m;0 và 2; 2.
Chọn D
4;1 , 2;4 ,
tam giác đã cho
Trang 49Lời giải Gọi I x y; Ta có
của tam giác đã cho
Trang 50Gọi D x y; , do I cũng là trung điểm của
Câu 76 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A 2;4 và B 1;1
và B 3;0 Tìm tọa độ điểm D, biết D có tung độ âm
Trang 51Vì ABCD là hình vuông nên ta có AB BC
Chọn B
1;2 , 1;3 , 2; 1
Lời giải Ta có
2;1 1; 4
tam giác OAB.
Trang 52Lời giải Để tứ giác ABCD là hình thang cân, ta cần có một cặp cạnh đối song song không bằng nhau và cặp cạnh còn lại có độ dài bằng nhau Gọi D x y;
