LUONG GIAC PHUONG TRINH LUONG GIAC Ly thuyet Bai tap van dung File word

Phƣơng pháp loại nghiệm khi giải phƣơng trình lƣợng giác có điều kiện Phƣơng pháp 1: Biểu diễn các nghiệm và điều kiện lên đưòng tròn lượng giáC.. Ta loại đi những điểm biểu diễn của ngh[r]

Dạng 2 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Là phương trình có dạng: sina x b cosx c (1) ; với , ,a b c¡ và a2b2 0

Cách giải: Chia hai vế cho a2 b2 và đặt

Hướng dẫn đăng ký tài liệu(số lượng có hạn)

XOẠN TIN NHẮN: “TÔI MUỐN ĐĂNG KÝ TÀI

LIỆU ĐỀ THI FILE WORD”

RỒI GỬI ĐẾN SỐ ĐIỆN THOẠI:

 sin cos 2 1 sin 1 cos 2 sin( )

0tan ( ) tan ( )

u x

u x t

Dạng 5 Phương trình đối xứng (phản đối xứng) đối với sinx và cosx

Là phương trình có dạng: (sina xcos )x bsin cosx x c 0 (3)

Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ

2 1sin cos2

sin cos 2 sin

Ngoài ra chúng ta còn gặp phương trình phản đối xứng có dạng

a x x b x x c  (3’)

Để giải phương trình này ta cũng đặt 2

2; 2sin cos 2 sin

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Vấn đề 1 Giải các phương trình lượng giác cơ bản Các ví dụ

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau:

1 sinxcos 2 x 0 2 cos2xsin 2 0x 

3 2 sin(2x35 )0  3 4 sin(2x 1) cos(3x 1) 0

2 sin cos tan

2

x x

155

.1802

2 2

22

sin 2xcos 2xcos 3x 4 sin 2 cos 3x xsin 5 cos6x x

5 sinxsin 2xsin 3xcosxcos 2xcos 3x

6 sin 32 xcos 42 xsin 52 xcos 62 x 7 cos 3 cos 22 x xcos2x0

Lời giải:

1 Phương trình cosx4sin cosx x 0 cos (1 4sin ) 0x  x 

cos 0

21

5 Phương trình (sinxsin 3 ) sin 2x  x(cosxcos 3 ) cos 2x  x

2sin 2 cosx x sin 2x 2cos 2 cosx x cos 2x

Hướng dẫn đăng ký tài liệu(số lượng có hạn)

XOẠN TIN NHẮN: “TÔI MUỐN ĐĂNG KÝ TÀI

LIỆU ĐỀ THI FILE WORD”

RỒI GỬI ĐẾN SỐ ĐIỆN THOẠI:

* Ở cos6 cos 2x x 1 0 ta có thể sử dụng công thức nhân ba, thay

3cos6x4cos 2x3cos 2x và chuyển về phương trình trùng phương đối với hàm số

lượng giác cos 2x

* Ta cũng có thể sử dụng các công thức nhân ngay từ đầu, chuyển phương trình đã cho về phương trình chỉ chứa cosx và đặt tcos2x

Tuy nhiên cách được trình bày ở trên là đẹp hơn cả vì chúng ta chỉ sử dụng công thức hạ bậc và công thức biến đổi tích thành tổng

Ví dụ 3 Giải các phương trình sau:

1 3 sinx 4 cosx 0 2 sin 2x 3 cos 2x 1

3 2 sin 3x 5 cos 3x 5 4 3 cosx 3 sinx1

5 sin 7x cos 2x 3(sin 2x cos 7 )x 6 sin 3x 3 cos 3x2 sin 2x

7 sinxcos sin 2x x 3 cos 3x2(cos 4xsin3x)

2  5  9 5 phương trình vô nghiệm

Ví dụ 4 Giải các phương trình sau:

1 cos( sin ) cos(3 sin ) x   x 2 tan sin 1 1

2

x k n x

2 Phương trình sin 1

    sinx 1 1 4k sinx 4k

      sinx   0 x m , m¢

Ví dụ 5 Giải các phương trình sau:

1  3 1 sin  x 3 1 cos  x2 2 sin 2x

2 3sin2x5cos2x2cos 2x4sin 2x

3 5sinx 2 3 1 sin  xtan2x 4 sin2 tan2 cos2 0

22sin x 3sinx 2 0

5

26

Hướng dẫn đăng ký tài liệu(số lượng có hạn)

XOẠN TIN NHẮN: “TÔI MUỐN ĐĂNG KÝ TÀI

LIỆU ĐỀ THI FILE WORD”

RỒI GỬI ĐẾN SỐ ĐIỆN THOẠI:

2(1 cos x) (1 cos )(1 sin ) 0x x

2cos 1

(1 cos )(cos sin ) 0

tan 1

4

x k x

Ví dụ 6 Giải các phương trình sau:

1.sin3xcos3xsinxcosx 2 2cos3xsin 3x

3 sin2x3 tanxcosx4 sinxcosx

      (Do sin2xsin cosx x2cos2x0  x ¡ )

2 Phương trình 2cos3x3sinx4sin3x

3 Điều kiện: cosx0

Phương trình tan2x3tan (1 tanx  2x) 4 tan x1

Ví dụ 7 Giải các phương trình sau:

1.sin2x5sin cosx x6cos2x0 2 sin2x3sin cosx x 1

3.3sin2x5cos2x2cos 2x4sin 2x 4 sin3xcos3xsinxcosx

2 Phương trình sin2x3sin cosx x (sin2xcos2x)

tan 1

4

1tan

arctan2

Ví dụ 8 Giải các phương trình sau:

1.cos 3xcos 2xcosx 1 0 2 3cos 4x8cos6x2cos2x 3 0

Phương trình 4cos3x3cosx(2cos2x 1) cosx 1 0

Hướng dẫn đăng ký tài liệu(số lượng có hạn)

XOẠN TIN NHẮN: “TÔI MUỐN ĐĂNG KÝ TÀI

LIỆU ĐỀ THI FILE WORD”

RỒI GỬI ĐẾN SỐ ĐIỆN THOẠI:

0969.912.851

Chú ý: Ta có thể giải bài toán trên theo cách sau

phương trình cos 3xcosx (1 cos 2 ) 0x 

2cos

32

x k x

2 Vì trong phương trình chứa các cung ,4x x hơn nữa còn chứa hàm số côsin lũy thừa

chẵn nên ta nghĩ tới cách chuyển về cung 2x

Phương trình 3(2cos 22 x  1) (1 cos 2 )x 3 1 cos 2x3

4 Ta chuyển cung 2x về cung x

Phương trình 4sin cosx 2x2sin cosx x 1 2cosx

2sin cos (2cosx x x 1) 2cosx 1

4(2 cos 1)(sin 2 1) 0

223

Ví dụ 8 Giải các phương trình sau:

1.4 cos 3 cos x 3xsin 3 sinx 3x 3 sin 6x 1 3 cos 4xsin4x

2 4 sin 4 xcos4 xsin 4x 3 1 tan 2 tan  x x3

4 sin xcos x  4 2 sin 2x 3 cos 4x

Suy ra (1 3 33) tan 3 2x14 tanx3 33 5 0 3    x ¡

Suy ra điều phải chứng minh

1 Theo định lí Viét ta có: tan tan 6, tan tan   2

Suy ra tan( ) tan tan 2

2 Theo định lí Viét ta có: tan tan  b,tan tan  c

Suy ra tan( ) tan tan

b c

   

    

    .

Hướng dẫn đăng ký tài liệu(số lượng có hạn)

XOẠN TIN NHẮN: “TÔI MUỐN ĐĂNG KÝ TÀI

LIỆU ĐỀ THI FILE WORD”

RỒI GỬI ĐẾN SỐ ĐIỆN THOẠI:

0969.912.851

2(1 tan ( ))

cos ( )

P

P     

  

1(1 )

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP (có đáp án chi tiết)

Bài 1 Giải phương trình sin 2 1

k x

3 2

22

Bài 8 Giải phương trình cot(4 20 )0 1

Phương trình cot(4x20 ) cot 600  0

Hướng dẫn đăng ký tài liệu(số lượng có hạn)

XOẠN TIN NHẮN: “TÔI MUỐN ĐĂNG KÝ TÀI

LIỆU ĐỀ THI FILE WORD”

RỒI GỬI ĐẾN SỐ ĐIỆN THOẠI:

2 sin cos tan

2

x x

k x

k k x

k k x

k k x

k k x

k k x

k k x

k k x

Lời giải:

Phương trình cos 8 cos 2 3

5

k x

k x

Hướng dẫn đăng ký tài liệu(số lượng có hạn)

XOẠN TIN NHẮN: “TÔI MUỐN ĐĂNG KÝ TÀI

LIỆU ĐỀ THI FILE WORD”

RỒI GỬI ĐẾN SỐ ĐIỆN THOẠI:

k k x

k k x

k k x

k x

   là nghiệm của phương trình

Bài 21 Giải phương trình cot 2 sin 3x x0

k k

Điều kiện: sin 2 0

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình x m 

Bài 23 Giải phương trình cot 5 cot 8x x1

sin 2 0

2

x x

Kết hợp điều kiện ta thấy phương trình vô nghiệm

Bài 26 Giải phương trình tan2 cot2 1 cos (32 )

    là nghiệm của phương trình đã cho

Bài 27 Giải phương trình cos(2 sin 2 ) 1

   

Hướng dẫn đăng ký tài liệu(số lượng có hạn)

XOẠN TIN NHẮN: “TÔI MUỐN ĐĂNG KÝ TÀI

LIỆU ĐỀ THI FILE WORD”

RỒI GỬI ĐẾN SỐ ĐIỆN THOẠI:

k x

k x

k x

Bài 31 Cho phương trình sin (sinx x2cos ) 2x  khẳng định nào sao đây là đúng?

A Có 1 nghiệm B Vô nghiệm C Có 4 nghiệm D Có 2 họ nghiệm

Phương trình vô nghiệm

Bài 32 Giải phương trình 3(sin 2xcos7 ) sin7x  xcos 2x

k k x

k k x

k k x

k k x

k x

Hướng dẫn đăng ký tài liệu(số lượng có hạn)

XOẠN TIN NHẮN: “TÔI MUỐN ĐĂNG KÝ TÀI

LIỆU ĐỀ THI FILE WORD”

RỒI GỬI ĐẾN SỐ ĐIỆN THOẠI:

Điều kiện: 2cos2xsinx 1 0

Phương trình cosxsin 2x 3 cos 2x 3 sinx

Bài 36 Khẳng định nào đúng về phương trình 2 2 sin xcosxcosx 3 cos 2x

A Có 1 họ nghiệm B Có 2 họ nghiệm C Vô nghiệm D Có 1 nghiệm duy

Bài 37 Giải phương trình 3cos 4xsin 22 xcos 2x 2 0

     hoặc x arc cot( 2)  k

Bài 39 Giải phương trình 3 tanxcotx 3 1 0 

x    k k

23

x    k k

¢

Lời giải:

Phương trình 2cos2x 1 3cosx2(1 cos ) x

Phương trình sinxcosxsin cosx x 1 0

Hướng dẫn đăng ký tài liệu(số lượng có hạn)

XOẠN TIN NHẮN: “TÔI MUỐN ĐĂNG KÝ TÀI

LIỆU ĐỀ THI FILE WORD”

RỒI GỬI ĐẾN SỐ ĐIỆN THOẠI:

Phương trình (cosxsin )(1 sin cos ) 1 0x  x x  

1arctan

Lời giải:

Phương trình cos2x5sin cosx x5sin2x0

Hướng dẫn đăng ký tài liệu(số lượng có hạn)

XOẠN TIN NHẮN: “TÔI MUỐN ĐĂNG KÝ TÀI

LIỆU ĐỀ THI FILE WORD”

RỒI GỬI ĐẾN SỐ ĐIỆN THOẠI:

2 2 sinxcosx cosx 3 2 cos x, Khẳng định nào sau đây đúng?

A Có 1 nghiệm B Có 2 họ nghiệm C Vô nghiệm D Vô số nghiệm

31

52arcsin

Điều kiện: 2cos2xsinx  1 0 cos 2xsinx0

Phương trình cosxsin 2x 3 cos 2x 3 sinx

Kết hợp điều kiện ta có 2

Bài 65 Giải phương trình  4 4 

4 sin xcos x  3 sin 4x2

k x

k x

k x

k x

x

k x

Hướng dẫn đăng ký tài liệu(số lượng có hạn)

XOẠN TIN NHẮN: “TÔI MUỐN ĐĂNG KÝ TÀI

LIỆU ĐỀ THI FILE WORD”

RỒI GỬI ĐẾN SỐ ĐIỆN THOẠI:

Điều kiên: cosx0

Phương trình sinxcosx 2 sin 2x

Bài 70 Giải phương trình cosxsinx 2 sin 2x1

Phương trình (sinxcos )(1 sin cos ) (sinx  x x  xcos )(cosx xsin )x

sinx cosx1 sin cosx x cosx sinx 0

Phương trình 5sin2x6sin cosx xcos2x0

Giải ra ta được ; arctan 1

Bài 77 Giải phương trình tanxcotx2 sin 2 xcos 2x

Điều kiện: sin 2x0

Hướng dẫn đăng ký tài liệu(số lượng có hạn)

XOẠN TIN NHẮN: “TÔI MUỐN ĐĂNG KÝ TÀI

LIỆU ĐỀ THI FILE WORD”

RỒI GỬI ĐẾN SỐ ĐIỆN THOẠI:

21

32

Ta thấy cosx0 không là nghiệm của phương trình

Nên phương trình 4 tan3x 3 3tan (1 tanx  2x) tan 2x0

sin x tanx 1 3sinx cosxsinx 3

A

2423

cos 2 cos 1 sin 2 sin 1 cos 2 cos sin

sin x3 tanxcosx 4 sinxcosx

24

41arcsin( )

1arcsin( ) 2

41arcsin( ) 2

Phương trình  4sin2x3sinx 1 0

22

Hướng dẫn đăng ký tài liệu(số lượng có hạn)

XOẠN TIN NHẮN: “TÔI MUỐN ĐĂNG KÝ TÀI

LIỆU ĐỀ THI FILE WORD”

RỒI GỬI ĐẾN SỐ ĐIỆN THOẠI:

0969.912.851

Bài 86 Giải phương trình 3cos 4xsin 22 xcos 2x 2 0

A 2

6arccos

6arccos 2

Bài 87 Giải phương trình 4cos cos 2x x 1 0

A

23

16(sin xcos x) 17 cos 2 x

Phương trình 1 1sin 22 sin 2 1

526

26

5,

 2  2cos 4 sin 8 sin 3 0

Bài 100 Giải phương trình cos4x c os 32 x

Hướng dẫn đăng ký tài liệu(số lượng có hạn)

XOẠN TIN NHẮN: “TÔI MUỐN ĐĂNG KÝ TÀI

LIỆU ĐỀ THI FILE WORD”

RỒI GỬI ĐẾN SỐ ĐIỆN THOẠI:

0969.912.851

A

2

5,

BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( ĐÁP ÁN KHÔNG CHI TIẾT)

Câu 1 Phương trình sin 1

2

x  chỉ có các nghiệm là

A cosx 1 B cosx1 C tanx0 D cotx1

Câu 10 Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình

Câu 13 Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình

Câu 16 Phương trình 2sin2x7 sinx 3 0

x x

2cos 0

x x

Câu 21 Phương trình tanx5cotx6có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương

trình nào sau đây?

A cotx1 B tanx5 C tan 1

tan 5

x x

tan 2tan 3

x x

x x

2

x x

2

x x

2

x x

Câu 27 Phương trình 3sinx(m1)cosx m 2 (với m là tham số) có nghiệm khi và chỉ

A sinx0 B sinxsin 8x C sinxsin16x D sinxsin 32x

Câu 30 Phương trình 2n1cos cos 2 cos 4 cos8 cos 2x x x x n x1có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?

A sinx0 B sinxsin 2n x C sinxsin 2n1x D sinxsin 2n2x

Câu 31 Phương trình sin 3xsin 2xsinxcó tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?

A sinx0 B cosx 1 C cos 1

2

sin 0

1cos

2

x x

A sinxcosx B cosx0 C cos8xcos6x D sin 8xcos6x

Câu 33 Phương trình sin4xcos4x1có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?

A sinx 1 B sinx1 C cosx 1 D sin 0

cos 0

x x

Câu 35 Phương trình sinxsin 2xsin 3xcosxcos 2xcos 3x có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?

2cos 2 sin 2

A cos 2xsin 3x B cos 2x sin 3x C cos 2xsin 2x D cos 2x sin 2x

Câu 37 Phương trình sin2xsin 22 xsin 32 xsin 42 x2 có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?

A sin 5x1 B cos 3x cosx C cos 3xcosx D cos 3x cosx

Câu 38 Phương trình tanxtan 2xsin 3 cosx x có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?

A sin 3x0 B cos 2x0 C cos 2x 2 D sin 3 0

cos 2 0

x x

A tsinx B tcosx C ttanx D tcotx

Câu 40 Phương trình 3cos2x4sinx10 có thể chuyển về phương trình bậc hai với ẩn phụ được đặt như sau

A tsinx B tcosx C ttanx D tcotx

C chỉ có các nghiệm

2

26

cosxsinx 3sin 2x

512

x x

cosxsinx  1 cos 3x

2

x x

A

13

236

7212

Câu 60 Số nghiệm thuộc  0;  của phương trình sin 2 0

23

BÀI TẬP TỰ LUYỆN KHÔNG CÓ ĐÁP ÁN

Câu 1 Nghiệm của phương trình sinx = 1 là:

Câu 4 Nghiệm của phương trình cosx = 1 là:

Câu 12 Nghiệm của phương trình cos3x = cosx là:

Câu 20 Nghiệm của phương trình 2sin2x – 3sinx + 1 = 0 thỏa điều kiện: 0  x <

Câu 36 Xét các phương trình lượng giác:

(I ) sinx + cosx = 3 , (II ) 2.sinx + 3.cosx = 12 , (III ) cos2x + cos22x = 2

Trong các phương trình trên , phương trình nào vô nghiệm?

A Chỉ (III ) B Chỉ (I ) C (I ) và (III ) D Chỉ (II )

Câu 37 Nghiệm của pt sinx = –1

Câu 40 Cho pt : cosx.cos7x = cos3x.cos5x (1) Pt nào sau đây tương đương với pt (1)

A sin4x = 0 B cos3x = 0 C cos4x = 0 D sin5x = 0 Câu 41 Nghiệm của pt cosx – sinx = 0 là:

Câu 63 Trong các phương trình sau phương trình nào vô nghiệm:

(I) cosx = 5 3 (II) sinx = 1– 2 (III) sinx + cosx = 2

Ví dụ 2 Tìm nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của các phương trình sau:

1 sin 22 xcos 52 x1 2 (sinxcos )x 2 2 cos 32 x

k x

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình đã cho là:

k k

7( 2), 31 ( 10)

Ví dụ 5 Tính tổng các nghiệm nằm trong khoảng (0; 2 ) của phương trình sau:

 3 1 sin  x 3 1 cos  x2 2 sin 2x

Chú ý: Ta có thể giải theo cách khác như sau

Phương trình  3 sinxcosx 3 cosxsinx2 2 sin 2x

Tiếp tục giải ta được kết quả như trên

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Tìm tổng các nghiệm của phương trình:2 cos( ) 1

Lời giải:

Phương trình

21

3

x k x

k x k x k

Bài 4 Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình: cos (3  3 2 x x 2) 1

Bài 5 Tìm số nghiệm x 0;14 nghiệm đúng phương trình :

cos 3x4cos 2x3cosx 4 0

Điều kiện: cos 2x 1 2xk2   x k

Phương trình 2 cos 2 sin 2 cos 2

4

2 sin

x x

  

 

Ta thấy x  không là nghiệm của phương trình

 Nếu x 0; thì phương trình 2 cos 2 sin 2 cos 2

4

2 sin

x x

x x

những điểm biểu diễn của nghiệm mà trùng với điểm biểu diễn của điều kiện

Với cách này chúng ta cần ghi nhớ

 Điểm biểu diễn cung  và   k2 , k¢ trùng nhau

 Để biểu diễn cung 2k

n



  lên đường tròn lượng giác ta cho k nhận n giá trị (thường

chọn k0,1,2, ,n1) nên ta có được n điểm phân biệt cách đều nhau trên đường tròn

tạo thành một đa giác đều n cạnh nội tiếp đường tròn

Phương pháp 2: Sử dụng phương trình nghiệm nguyên

Giả sử ta cần đối chiếu hai họ nghiệm k

Để giải phương trình (1) ta cần chú ý kết quả sau:

 Phương trình (1) có nghiệm  d ( , )a b là ước của c

 Nếu phương trình (1) có nghiệm ( ;x y0 0) thì (1) có vô số nghiệm

0,

b

x x t

d t a

Phương pháp 4: Biểu diễn điều kiện và nghiệm thông qua một hàm số lượng giác:

Giả sử ta có điều kiện là ( ) 0u x  ( ( ) 0, ( ) 0u x  u x  ), ta biến đổi phương trình đã cho về phương trình chứa u x( ) và giải phương trình để tìm u x( )

Các ví dụ

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau:

Loại nghiệm: Để loại nghiệm của phương trình ta có các cách sau

Cách 1: Biểu diễn các điểm cuối của cung

Vì 22n14m là số chẵn còn 7 là số lẻ nên phương trình này vô nghiệm

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

sin6x sin 4x sin14x sin 4x sin14x sin6x

ta thấy cả hai phương trình này vô nghiệm

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: Giải phương trình : sinx cos 2x

(1)

2 (2)2

k x

Dễ thấy nghiệm (2) không thỏa (*)

Biểu diễn nghiệm (1) lên đường tròn lượng giác ta được các điểm A A1, 2, A3 Trong đó chỉ

có hai điểm A A1, 2 nằm phía trên Ox

x y

2 (4)

k x

Dễ thấy (3) không thỏa (**)

Biểu diễn (4) trên đường tròn lượng giác ta được các điểm B , 1 B B 2, 3

Trong đó chỉ có hai điểm B B2, 3 nằm dưới Ox (sinx0)

x y

Điều kiện: cos 4x0

Phương trình sin 4 cos 3x xsin 5 cos 4x x

sin7x sinx sin9x sinx sin9x sin7x