Tai lieu boi duong hoc sinh gioi Chuyen de 10 So phuc va ung dung Le Hoanh Pho File word

Bài toán 10.31: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau: a z là các căn bậc hai của a  i, a thay đổi b... Vậy tập hợp các điểm[r]

- Số phức (dạng đại số): z a bi a b ,   a là phần thực, b là phần ảo của z Kí hiệu Re za, lm zb

- Số phức liên hiệp của số phức: z a bi a b, ,   là z a bi

- Cho số phức: z a bi với a b,  ,z0, ta có rcosisin  với r0 là

dạng lượng giác của số phức: z a bi 2 2

 là một acgumen của z với số đo rađian

Góc lượng giác Ox OM,   k2 tức là các acgumen sai khác k2 với k

Khi z0 không có dạng lượng giác hoặc dạng lượng giác không xác định

- Nếu zrcosisin , 'z r' cos '  isin '  thì có:

Với n là số nguyên, n1 thì rcosisin  n r ncosnisinn 

Đặc biệt: cosisin n cosnisinn

Căn bậc hai, bậc n của số phức

- Số phức z là một căn bậc hai của số phức wz2 w

Ta có thể viết số phức w cần tìm thành dạng bình phương đủ, việc này thu gọn quá trình tìm căn bậc hai của w



Nếu  0 ta tìm các căn bậc hai  của  thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt 1,2

2

B z

i trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi là mặt phẳng phức Trục thực là trục

hoành và trục ảo là trục tung

- Nếu z z, ' biểu diễn bởi M M, ' thì z z' được biểu diễn bởi OM OM z', z' được biểu diễn bởi

OM OM M M

Tập điểm biểu diễn số phức:

- Gọi điểm M x y ;  biểu diễn số phức z x yi x y ,  

- Từ điều kiện cho thiết lập quan hệ giữa x và y hay quanh hệ giữa M và các điểm khác để xác định dạng loại tập

i i i i i

z

z z

Vậy có hai căn bậc hai là 52 2 , 5 2 2i   i

Bài toán 10.5: Tìm các căn bậc hai của w a bi a b ,  

0

a b a x

21

a b

12

AH OH

 2 2

2 tansin 2

thì không có dạng lượng giác

b) 1 cos isin 1 cos isin 

- Khi sin 0: nó có dạng lượng giác không xác định

- Khi sin 0: dạng lượng giác là 2sin cos sin

Bài toán 10.12: Viết số phức z dưới dạng lượng giác biết rằng z  1 z 3i và i z có một acgumen là

6



Hướng dẫn giải

Đặt zrcosisin ,r0, thì: zrcosisin 

Bài toán 10.14: Tìm các căn bậc hai của các số phức:

x yi z

và 7sin12

So sánh đồng nhất với kết quả trên, suy ra:

Bài toán 10.18: Cho a, b, c là ba số thực sao cho cos cos cosa b c0

Tìm phần ảo của số phức 1itana1itanb1itanc,

suy ra tanatanbtanctan tan tana b c   a b c k k 

Hướng dẫn giải

Từ khai triển của 1itana  1itanb  1itanc thì phần ảo của số phức

1itana1itanb1itanc bằng tanatanbtanctan tan tana b c

Vậy tanatanbtanctan tan tana b c khi và chỉ khi phần ảo của số phức đang xét bằng 0, tức là acgumen của số phức đó là một bội nguyên của 

Tương tự cho 1itan ,1b itanc

Do đó: 1 i tan a1itanb1 i tan c có acgumen là a  b c 

Vậy: tanatanbtanctan tan tana b c   a b c k k 

Bài toán 10.19: Giải các phương trình nghiệm phức:

Nên  có hai căn bậc hai là cosisin 

Vậy phương trình có 2 nghiệm: z1cos , z2 isin

Bài toán 10.20: Giải các phương trình nghiệm phức

Từ đó giải cho 2 nghiệm x 3 i x,   1 2i

Vậy phương trình cho có 3 nghiệm: x 2 i x,  3 i x,   1 2i

Bài toán 10.21: Giải phương trình nghiệm phức:

2 2

Vậy 3 nghiệm của phương trình là zi z,  2 i z,  1 i

Bài toán 10.22: Giải các phương trình nghiệm phức:

Bài toán 10.23: Giải các phương trình và biểu diễn tập nghiệm:

trình đã cho có bốn nghiệm được biểu diễn bởi 4 điểm A, B, C, D tạo thành hình thoi ở hình 2

Bài toán 10.24: Giải phương trình nghiệm phức:     *

z  z  n

Hướng dẫn giải

Phương trình tương đương: z1 n  z1n,

vì z 1 không thể là nghiệm, do đó ta có thể viết: 1

11

n

z z

(Vì m 0 0  1 z không xác định nên ta loại bỏ 0)

Vậy phương trình có n1 nghiệm: z icotm

Từ  2

1

w  và (2) suy ra z2 1 tức z bằng 1 hoặc bằng −1

Mà (1): z3w5 0 nên: z   1 w 1 và z   1 w 1

Vậy hệ có hai nghiệm z w,  là: 1; 1  và 1;1

Bài toán 10.26: Giải hệ phương trình:

312

z

z i

z i i

 chứng tỏ phần ảo của z bằng 1 Vậy z 1 i

Bài toán 10.27: Không giải phương trình 2  

z  i z  i Hãy tính: z12z z22, 14z24

Hướng dẫn giải

Theo hệ thức Viet ta có: S     z1 z2 2 i P, z z1 2  3 5i

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là trục thực Ox

Bài toán 10.30: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn từng điều kiện:

y x

2 2 2

12

 Vì với mỗi điểm  x y, của hyperbol này, tìm

a x y nên M vạch nên toàn bộ hai nhánh của hyperbol đó

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn căn bậc hai là hyperbol 1

2

y x

Bài toán 10.32: Chứng minh rằng:

a) Nếu z là một căn bậc hai của số phức w thì w  z

b) Nếu z1 khác z2: z1  z2 khi và chỉ khi 1 2

2 3

n

i z

5

2 3

n

i z

  , với l nguyên dương

Bài toán 10.34: Tính sin 4 và cos 4 theo các lũy thừa của sin và cos

sin 44cos sin4cos sin 

Bài toán 10.35: Cho zcosisin     Chứng minh rằng:

a) Tích vô hướng u u ' thỏa mãn: 1 

a) Trọng tâm của tam giác ABC biểu diễn số phức nào?

b) Giả sử z1  z2  z3 Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi:

b) Ba điểm A, B, C thuộc một đường tròn tâm O nên tam giác ABC là tam giác đều khi và chỉ khi trọng tâm G

của nó trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp, tức G0 hay z1  z2 z3 0

Bài toán 10.42: Giải hệ phương trình:

Bài toán 10.43: Phân tích thành

a) Nhân tử bậc nhất của: f x cosnarccosx

Theo định nghĩa hàm số lượng giác ngược

Bài toán 10.44: Chứng minh:

a) x3mx3n1x3p2 x2  x 1 với m, n, p nguyên dương

a) Để chứng minh đa thức f x  chia hết cho đa thức g x , ta chỉ cần chứng minh mọi nghiệm của g x đều là nghiệm của f x 

Nếu gọi w là nghiệm của x2 x 1 thì w2  w 1 0

hay w2   w 1 nên w3  w2    w w 1 w 1

Thay w vào đa thức thứ nhất ta có: w3m w3n1w3p2   1 w w2 0

Vậy w cũng là nghiệm của đa thức x2 x 1 (đpcm)

b) Gọi  là nghiệm của g x , ta có:

Vì vậy, mọi nghiệm của g x  đều là nghiệm của f x  nên f x g x    (đpcm)

Bài toán 10.45: Cho n là số nguyên dương đa và đa thức P x  với các hệ số thực như sau

1 1 1 1

11

i i

11

Bài tập 10.4: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:

a) cosisin ;cosisin

b) sinicos ;sin icos

Hướng dẫn

a) Dùng định nghĩa lượng giác và công thức lượng giác

Kết quả cos   isin   ;cos   isin 

b) Gọi z x yi x y, ,   và biến đổi tương đương Kết quả Elip

Bài tập 10.8: Chứng minh rằng:

a) Nếu phương trình a z n na n1z n1  a z2 2a z1 a0 0 với các hệ số thực có nghiệm phức là z0 thì z0

cũng là nghiệm của phương trình

b) A, B, C, D biểu diễn theo thứ tự các số:    1 i; 1 i i;2 ;2 2 i cùng nằm trên một đường tròn

Hướng dẫn

a) Dùng định nghĩa nghiệm và số phức liên hiệp

b) Lập phương trình đường tròn qua A, B, C và thử tọa độ D

Hay nhận xét AC và AD, BA và BD vuông góc nhau nên thuộc đường tròn đường kính CD

Bài tập 10.9: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện:

z z

Bài tập 10.10: Chứng minh rằng đa thức P z  là hàm số chẵn của z khi và chỉ khi tồn tại Q z  thỏa mãn: P x Q z Q   z ,z

Hướng dẫn

Chứng minh bằng quy nạp theo m là số nghiệm khác 0 của đa thức P z , tức là tồn tại Q z  thỏa mãn

P z Q z Q z