Cho tứ giác ABCD nội tiếp đương trònO gọi H , K ,I, Q lần lượt là trực tâm của tam giác ABC, BCD, CDA,DAB.. Chứng minh tứ giác HKIQ nội tiếp.[r]
Trang 1Cho tứ giác ABCD nội tiếp đương tròn(O) gọi H , K ,I, Q lần lượt là trực tâm của tam giác ABC, BCD, CDA,DAB Chứng minh tứ giác HKIQ nội tiếp
1 Ta sử dụng tính chất sau:
Trong tam giác ABC, trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O,
M là trung điểm cạnh BC thi AH = 2 OM
2) Áp dụng t/c trên :
- ΔABC, trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O.
Trang 2HB = 2 d(O, AC)
ΔDAC, trực tâm I, tâm đường tròn ngoại tiếp O.
ID = 2 d(O, AC)
⇒HB=ID va HD // ID (do cùng ⊥AC).
⇒HBDI la h b hanh.
- ΔABD, trực tâmQ, tâm đường tròn ngoại tiếp O.
AQ=2×d(O,BD),
ΔBCD, trực tâm K, tâm đường tròn ngoại tiếp O.
KC=2×d(O,AC)
⇒AQ=KC va AQ//KC (do ⊥BD).
⇒AQKC la h b hanh
ΔABD, trực tâm Q, tâm đường tròn ngoại tiếp O.
BQ=2×d(O,AD)
ΔACD, trực tâm I, tâm đường tròn ngoại tiếp O.
suy ra CI=2×d(O,AD)
⇒BQ=CI va BQ//CI (do cùng ⊥BD).
3) Ta cmr ΔHBQ=ΔDIC, ΔAQB=ΔKCI
- Xét ΔHBQ va ΔDIC :
+ HB=DI
+ HBQ^=DIC^
( 2 góc tương ứng tạo bởi các cặp cạnh song song : HB//DI,BQ//CI) + BQ=IC
nên ΔHBQ=ΔDIC (cgc)
- Tương tự ΔAQB=ΔKCI (cgc)
4) Để cmr tứ giác HQIK nội tiếp, ta cmr
2 góc cùng chắn cùng QI bằng nhau : QHI^=QKI^
- QHI^=QHB^+BHI^
+ ΔHBQ=ΔDIC⇒QHB^=IDC^ (2 góc mau blue)
+ HBDI la hb hanh ⇒BHI^=BDI^ (2 góc mau nâu)
⇒QHI^=QHB^+BHI^=IDC^+BDI^=BDC^
-QKI^=QKC^+CKI^
+ ΔAQB=ΔKCI⇒CKI^=BAQ^ (2 góc mau xám)
+ AQKC la hb hanh ⇒QKC^=QAC^ (2 góc mau hồng)
⇒QKI^=QKC^+CKI^=QAC^+BAQ^=BAC^
- Ma tứ giác ABCD nội tiếp nên BDC^=BAC^
(góc n /tiếp cùng chắn cung BC)
⇒QHI^=QKI^⇒ tứ giác HQIKHQIK nội tiếp.