Tài liệu Đồ án tốt nghiệp Hệ mật đường cong elliptic docx

Ta gọi p là đặc số của Fq khi đó Fq khi đó Fq chứa trường nguyên tố Fp = Z/ pZ vì vậy một không gian vector không cần thiết phải có chiều hữu hạn trên trường Fp.. Bằng cách chọn cơ sở ch

MỞ ĐẦU

Ngày nay với sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin, truyền thông nói chung và Internet nói riêng đã giúp cho việc trao đổi thông tin nhanh chóng, dễ dàng, E-mail cho phép người ta nhận hay gửi thư ngay trên máy tính của mình, E-business cho phép thực hiện các giao dịch trên mạn

Do vậy một vấn đề phát sinh là thông tin có thể bị trộm cắp, có thể là sai lệch,

có thể giả mạo Điều đó có thể ảnh hưởng tới các tổ chứa, các công ty hay cả một quốc gia Những bí mật kinh doanh, tài chính là mục tiêu của các đối thủ cạnh tranh Những tin tức về an ninh quốc gia là mục tiêu của các tổ chức tình báo trong và ngoài nước

Để giải quyết tình hình trên an toàn thông tin được đặt ra cấp thiết Kỹ thuật mật mã là một trong những giải pháp của an toàn truyên thông Kỹ thuật này có từ ngàn xưa nhưng nó đơn giản, ngày nay khi có mạng máy tính người

ta dùng mật mã hiện đại Các nhà khoa học đã phát minh ra những hệ mật mã nhằm che dấu thông tin cũng như là làm rõ chúng để tránh sự giòm ngó của những kẻ cố tình phá hoại như các hệ mật: RSA, Elgamal… mặc dù cũng rất

an toàn nhưng có độ dài khoá lớn nên trong một số lĩnh vực không thể ứng dụng được

Chính vì vậy người ta đã phát minh một hệ mật đó là hệ mật trên đường cong elliptic, hệ mật này được đánh giá là hệ mật có độ bảo mật an toàn cao

và hiệu quả hơn nhiều so với hệ mật công khai khác, nó đã được ứng dụng trên nhiều lĩnh vực và được sử dụng nhiều nơi trên thế giới tuy nhiên còn

mới mẻ ở Việt Nam Trong tương lai gần Hệ mật trên đường cong Elliptic

sẽ được sử dụng một cách phổ biến và thay thế những hệ mật trước nó

Vì lý do đó, em đã chọn đề tài “Hệ mật đường cong elliptic” để nghiên cứu, tìm hiểu nhằm tiến tới khai thác hệ mật này phục vụ cho bảo mật thông tin trong thực tế

Luân văn này gồm 4 chương

ƒ Chương 1: Cơ sở toán học

ƒ Chương 2: Hệ mật mã

ƒ Chương 3: Đường cong Elliptic

ƒ Chương 4: Hệ mật đường cong Elliptic

ƒ Chương 5: Một vài ứng dụng

Nhưng trong báo cáo này em trình bày tóm tắt nội dung chính trong đề

tài:”Hệ mật đường cong elliptic”

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ TOÁN HỌC

1.1 Phương trình đồng dư bậc hai và thặng dư bậc hai

Ta xét phương trình đồng dư bậc hai có dạng như sau:

x2 ≡ a (mod n) Trong đó n là số nguyên dương, a là số nguyên với gcd(a, n) ≡ 1, và x

là ẩn số Phương trình đó không phải bao giờ cũng có nghiệm, khi nó có nghiệm thì ta gọi a là thặng dư bậc hai mod n Ngược lại thì a gọi là một bất thặng dư bậc hai mod n

Tập các số nguyên nguyên tố với n được phân hoạch thành hai tập con

Tập Q n các thặng dư bậc hai mod n, và tập các bất thặng dư bậc hai mod n

Tiêu chuẩn Euler

Khi p là số nguyên tố, số a là thặng dư bậc 2 mod p nếu và chỉ nếu a

≡ ±

⎧

⎨− ≡ ±

⎩Định lý: Gọi là luật thuận nghịch bình phương

Cho p, q là 2 số nguyên tố lẻ, khi đó:

2 = 1 p ≡ 1 mod 8 hay p ≡ 7 mod 8

-1 p ≡ 3 mod 8 hay p ≡ 5 mod 8

93

93 Theo định lý 3:

Tiếp theo ta cần tìm x: x2 ≡ 186 mod 401

Lấy n =3 rõ ràng 3 không là đồng dư toàn phương của 186 theo mod

401 (như trên ta đã chứng minh được ⎟

25 → b = nS = 18625 mod 401 = 286 mod 401

Còn r = aS2+1 mod 401 = 186 mod 401 = 103

Tính a-1 mod 401 = 186-1 mod 401 = 235 (thuật toán ơclit mở rộng) Tính a-1 r2 = 1032 235 mod 401 = 98 vì α-2 = 4-2 =2 do đó ta nâng luỹ thừa 22 = 4 = của 98 và có 984 ≡ -1 mod 401 = -1 (984 mod 401 = (982mod 401)( 982 mod 401) mod 401 = 3812 mod 401 = -1)⇒ đặt j0 = 1 tiếp theo, ta có (br)2/a = -1 ⇒ luỹ thừa bậc 2 của nó là 1 ⇒ đặt j1 =0, cứ thế j2

=1(2 = K = α) Vậy j =5 vì 1.22 +1 = 5

⇒ Căn bậc 2 của 186 là b5r mod 401 = 304

Thử lại 3042 ≡ 186 mod 401?

Ta có 3042 = 92416 vậy 3042 = 186 = 92230 ≡ 0 mod 401 ⇒ x= 304

Ký hiệu Jacobi Symbol

Bây giờ ta mở rộng ký hiệu Legendre để được ký hiệu Jacobi đối với mọi số nguyên lẻ n ≥ 1 và mọi số nguyên a ≥ 0

Giả sử a có khai triển chính tắc thành thừa số là n = pa11, pa22,……, pann thì

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠với a1, a2, … , ak ≥ 1

P1, P2, ….Pk là những số nguyên tố

Khi n = p là số nguyên tố thì giá trị của các ký hiệu Legendre và Jacobi

là như nhau Việc tính ký hiệu Legendre có thể phức tạp khi p rất lớn, trong khi việc tính ký hiệu Jacobi có thể thuận lợi hơn do có thể sử dụng các tính chất 1- 4 sau đây:

Bây giờ xét việc giải phương trình đồng dư bậc hai:

Trong một trường hợp đặc biệt khi n = p là số nguyên tố có dạng p = 4m + 3 tức là p đồng dư với 3 theo mod 4, và a là một số nguyên nguyên tố với p Theo tiêu chuẩn Euler ta biết phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi a(p-1)/2 ≡ 1 (mod p) Khi đó ta có:

2 Phần tử đồng nhất: Tồn tại e ∈G thoả mãn e * a = a *e = a với mọi a ∈

G (e được gọi là phần tử trung hoà)

3 Phần tử nghịch đảo: với mỗi a ∈ G, tồn tại một phần tử b ∈G thoả mãn

b * a = a * b = e (b là duy nhất và được gọi là phần tử nghịch đảo của a) Và người ta ký hiệu của a bởi a-1

- Ký hiệu <G,*> là nhóm nhân và G <G,+> là nhóm cộng Trong đó nhóm cộng, phần tử trung hoà là 0 và phần tử nghịch đảo của a là –a Trong nhóm nhân, phần tử trung hoà là 1 và phần tử nghịch đảo của a là a-1

<G,*> đ ươc gọi là một nhóm giao hoán (nhóm Abelian) nếu b * a = a * b với a, b ∈ G

- Một nhóm có cấp hữu hạn được gọi là nhóm hữu hạn

Nếu <G, *> là nhóm hữu hạn thì số các phần tử của <G, *> được gọi là bậc của G và ký hiệu là |G| Nếu <G, *> là nhóm nhân hữu hạn, bậc của một phần tử a ∈ G kà số nguyên dương nhỏ nhất m thoả mãn am = 1 Trong nhóm

có cấp hữu hạn, với mọi phần tử thuộc nhóm, m luôn tồn tại

Nhóm Cylic

Là nhóm mà mọi phần tử của nó được sinh ra từ một phần tử đặc biệt g ∈G Phần tử này được gọi là phần tử sinh (nguyên thuỷ) tức là:

Với ∀x ∈ G(G là nhóm với toán tử * ): ∃n ∈N mà gn = x

Ví dụ: (Z+, *) là nhóm Cylic có phần tử sinh là 1

1.3 Trường

Giả sử F là một tập hợp khác rỗng, trên đó có hai phép toán cộng và phép nhân Khi đó F là một trường nếu và chỉ nếu:

1 (F, +) là nhóm giao hoán với phần tử đơn vị là “0”

2 (F\{0}, ) là nhóm giao hoán với phần tử đơn vị là “1”

3 Các phép toán cộng và nhân có tính chất phân bố:

a.(b.c) = (a.b) + (a.c) Trường có thể định nghĩa như là vành giao hoán với phần tử đơn vị (trừ phần tử 0) đều có phần tử nghịch đảo cùng thuộc trường

Ví dụ: Q = {

q

p p, q là số nguyên: (p, q) = 1} trên Q có 2 phép toán cộng

và nhân thông thường là một trường

Định nghĩa

Cho F là một trường Tập con K của F cũng là một trường với các toán

tử của F, được gọi là trường con của F, hay F là một trường mở rộng của K Nếu K≠ F thì K được gọi là một trường con hợp lệ của F Trường là tối giản nếu có không có trường con hợp lệ nào Với trường F bất kỳ, giao F0 của tất

cả các trường con hợp lệ là trường tối giản Trường F được gọi là có đặc số 0 nếu F0 ≅Q nghĩa là F chứa Q như một trường con Trường F được gọi là đặc

Trường K với phần tử đơn vị nhân là 1 Với p dương nhỏ nhất thoả mãn 14 24 4 34

p

1

1

1 + + + = 0 được gọi là đặc số của K

(Các trường hữu tỷ Q, số thực R, số thực C có đặc số là 0) Người ta chứng minh được rằng đặc số của trường hữu hạn là số nguyên tố

Với p là nguyên tố thì GF (pn) có đặc số p

1.4 Trường hữu hạn

Trường hữu hạn là trường có hữu hạn các phần tử ký hiệu là Fq hoặc GF(q) với q là số các phần tử

Trường hữu hạn không có đặc số 0 Ta gọi p là đặc số của Fq khi đó Fq

khi đó Fq chứa trường nguyên tố Fp = Z/ pZ vì vậy một không gian vector( không cần thiết phải có chiều hữu hạn) trên trường Fp Lấy f ký hiệu là chiều của nó coi Fp như là một không gian vector đó Bằng cách chọn cơ sở cho phép chúng ta lập nên một tương ứng 1-1 giữa không gian vector f chiều với tập hợp tất cả bộ f phần tử trong Fp nghĩa là q là luỹ thừa của đặc số p

Đối với mỗi lũy thừa nguyên tố q = pf có tồn tại một trường q phần tử và đó

là trường duy nhất (theo nghĩa đẳng cấu)

Cấp của các phần tử trong F*q theo nghĩa đối với phép nhân với F*q là tập hợp tất cả các phần tử khác không của trường Fq (q hữu hạn)

Chú ý rằng đối với mọi nhóm nhân hữu hạn, cấp của bất cứ một số phần tử khác không nào cũng là ước của số các phần tử trong nhóm Cụ thể ta có định

CHƯƠNG 2 ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC

2.1 Mở đầu và đặt bài toán

Lý thuyết đường cong Elliptic được xác định trên trường số hữu hạn đã

có địa chỉ ứng dụng trong lĩnh vực mật mã đáng lưu ý Lý do cơ bản của nó là đường cong Elliptic trên trường hữu hạn đã cung cấp cho chúng ta một cơ sở xây dựng thuật toán không thể dùng thuật toán vét cạn để thám mã của nhóm Abelian ngay cả khi nhóm đó có cấp không lớn lắm

Đường cong elliptic là tập hợp các điểm có toạ độ (x, y) thoả mãn phương trình có dạng sau đây:

y 2 + a1xy + a3y = x 3 + a2x 2 +a4x + a6.

Trên trường F biểu diễn bằng phương trình Weiretrass:

y 2 + a1xy + a3y = x 3 + a2x 2 +a4x + a6 2 (*)

Xét đường cong E trên trườngnguyên tố hữu hạn Fp (p nguyên tố, p>3 ) với công thức biến đổi như sau:

hợp tất cả các điểm (x, y) với x, y ∈K sao cho (1) không có các nghiệm bội

tức là 4a3 + 27b2 ≠ 0 mod p cùng với phần tử O - điểm O này được gọi là

điểm vô hạn

Tức là đường cong Elliptic là tập hợp S:

S = { (x, y) : y2 = x3 + ax +b, x, y∈K } ∪ {O}

Với a, b ∈ K cho trước sao cho 4a3 + 27b2 ≠ 0 theo mod p

Nếu K là trường đặc số 2 thì ta định nghĩa:

S = { (x, y) : y-2 + y= x3 + ax +b } ∪ {O} (2)

ƒ Nếu K là trường đặc số 3 thì ta định nghĩa:

S = { (x, y) : y2 = x3 + ax +bx + c } ∪ {O} (3)

* Tính chất của đường cong elliptic:

• Nếu hai điểm P1 (x1, y1 ) và P2 (x2, y2) với x1 ≠ x2 nằm trên đường cùng một đường cong elliptic E, thì đường thẳng qua hai điểm P1 và P2 sẽ cắt một điểm duy nhất P3 ( x3, y3) có thể xác định thông qua P1 và P2 nằm

trên đường cong E

• Tiếp tuyến của đường cong tại điểm bất kỳ P(x, y) trên đường cong E

cũng cắt đường cong elliptic E tại một điểm duy nhất nằm trên đường

E, điểm này cũng có thể xác định được thông qua P

Dựa vào những tính chất đó người ta đã nghiên cứu và phát hiện ra một khả năng mới cho kỹ thuật mã hoá nói chung và chứng thực nói riêng, kỹ thuật mã hoá dựa trên đường cong elliptic

Người ta đã chỉ ra rằng các hệ mã hoá bằng đường cong elliptic có độ bảo mật cao hơn nhiều so với các hệ mã hoá công khai khác như RSA, Elgamal Độ bảo mật dựa trên độ khó phân tích số nguyên thành các thừa số nguyên tố cũng như bài toán logarit rời rạc, độ dài khoá giảm đi nhiều lần và

do đó tốc độ thực hiện cũng sẽ nhanh hơn rất nhiều Chính vì vậy ta áp dụng

kỹ thuật mã hoá bằng đường cong elliptic vào nhiều lĩnh vực khác nhau

Các kỹ thuật mã hoá bằng phương pháp đường cong elliptic được sử dụng hiệu quả nhất trong việc xây dựng các giải pháp bảo mật thông tin cho

các thẻ thông minh(Smart Card), các thiết bị điện tử có khả năng tính toán và không gian bộ nhớ hạn chế

2.2 Đường cong elliptic trên trường hữu hạn

Xét trường hữu hạn F q của q = pr phần tử trên trường hữu hạn K Giả sử

E là đường cong elliptic được định nghĩa trên F q Nếu đặc số của trường p=2

hoặc p=3 thì E được cho bởi phương trình ở (2) và (3)

Dễ dàng thấy rằng một đường cong như vậy có thể có nhiều nhất là 2p+1

điểm trong F q, nghĩa là điểm vô cùng với 2q cặp (x, y) trong đó x, y ∈F q thoả mãn (1) (2) (3) (nếu p=2 hoặc 3), tức là với mỗi q giá trị x có thể có tồn tại

nhiều nhất 2 giá trị y thoả mãn (1) Nhưng vì chỉ có một nửa các phần của F * q

có căn bậc 2 người ta kỳ vọng (nếu x3+ ax +b là các phần tử ngẫu nhiên của trường ) chỉ có khoảng một nửa số các điểm của Fq Chính xác hơn, giả sử λ

đặc trưng toàn phương của F q (lấy λ(0) = 0)

Ví dụ: Nếu q = p là 1 số nguyên tố thì λ(x) =(

p

x ) là ký hiệu Legedre Symbol) Do đó trong tất cả mọi trường hợp số các nghiệm y ∈F q thoả mãn phương trình y2 = u là bằng 1 + λ(u) Vì vậy số các nghiệm ở phương trình 1

2.3 Các phép toán trên đường cong Elliptic

Giả sử p là một số nguyên tố >3 Người ta chứng minh được rằng bằng

phép biến đổi tuyến tính, ta có thể quy phương trình đường cong elliptic về

dạng Weierstrass như sau:

Y2 = X3 + aX + b

Đường cong elliptic Y2 = X3 + aX + b trên Zp được định nghĩa là tập hợp tất

cả các điểm (x, y) ∈Z p×Z p thoả mãn phương trình:

1 2

y y

1 2

x x

y

y ( x1 – x3) - y1

N ếu P =Q

Hình 2.6.1 Phép cộng trên đường cong Elliptic

Chú ý rằng các điểm (x3, y3), (x3, -y3) cũng nằm trên đường cong E và xét về mặt hình học, thì các điểm (x1, y1), (x2, y2), (x3, -y3) cũng nằm trên một đường thẳng

Ngoài ra ta định nghĩa thêm: P + O = O + P = P

-1

-2

2

1

¾ Tính chất giao hoán Nếu P, Q ∈E thì P + Q = Q + P

Ví dụ: Xét đường cong elliptic y2 = x3 – 36x

Lấy P =(-3, 9), Q = (-2, 8) Hãy tìm P + Q và 2P?

Với x1 = -3, y1 = 9, x2 = -2 , y2 = 8 Do đó áp dụng công thức(*) ta có: x3 =

3 2

) 9

−

− 3 2

Phép nhân một số nguyên k với một điểm P thuộc đường cong elliptic

E là điểm Q được xác định bằng cách cộng k lần điểm P và dĩ nhiên Q ∈ E: k

× P = P + P + P……+ P ( k phép cộng điểm P)

Vì vậy nếu G là một điểm thuộc đường cong elliptic E thì với mỗi số nguyên dương k luôn dễ dàng xác định được điểm Q = k ×G

2.4 Đếm số điểm trên đường cong elliptic trên trường Fq

Việc xây dựng các hệ mật mã trên đường cong elliptic bao gồm việc lựa chọn đường cong E thích hợp và một điểm G trên E gọi là điểm cơ sở Xét trường K là Fq

Định lý Hasse

N là số điểm của E trên trường Fq (trường hữu hạn q phần tử) Khi đó:

|N – (q +1)| ≤ 2 q.Từ định lý Hasse suy ra #E(Fq) = q +1 – t trong đó |t| ≤ 2

q

Định nghĩa

Bậc của điểm G thuộc E là số k dương bé nhất sao cho kG = O; khi k =

#E(Fq) thì G là điểm cơ sở của E

2.5 Phương pháp chọn đường cong Elliptic phù hợp và điểm cơ sở

Việc chọn một đường cong elliptic thế nào ảnh hưởng đến tốc độ, tính hiệu quả, độ dài khoá và tính an toàn của hệ mật mã trên đường cong này Dù

E, K và điểm cơ sở B ∈E cố định và công khai nhưng việc chọn các tham số

này phù hợp là bước quan trọng nhất

2.5.1 Trường K

Trước hết chúng ta xem xét sự ảnh hưởng của trường K đến cấu trúc nhóm của E(K) và các hệ mật mã trên E (K)

Một đường cong elliptic trên một trường hữu hạn tạo thành nhóm

Abelian được sử dụng trong mật mã học Một ví dụ là việc chọn trường F 2 r

giúp thực hiện các phép tính nhanh và dễ dàng triển khai được trên các thiết bị

cứng Tuy nhiên, các đường cong trên trường F 2 r có thể bị tấn công bởi

MOV, trong khi các đường cong trên trường F p (p là số nguyên tố lớn) lại chống lại được kiểu tấn công này Rõ ràng, các đường cong elliptic trên

trường số nguyên tố F p và trên trường F q n có các tính chất giúp chúng có thể thực thi được trên các thiết bị mà vẫn đảm bảo an toàn

Một chú ý nữa là việc tính số điểm trên # E (K) Với # E (K) thích hợp

có thể là điều kiện cho phép thực hiện tấn công Pohlig – Hellman Có thể dùng thuật toán đơn định thời gian đa thức Shoof để tính trên trường hữu hạn

Fq với đặc số khác 2 hoặc 3 Tốc độ của thuật toán Shoof phụ thuộc vào kích

thước và đặc số của trường K Ví dụ với r nhỏ, tính # E (F 2 r ) có thể nhanh hơn

một chút so với tính # E(Fp), trong đó p lớn hơn đáng kể so với 2r, nhưng khi r

tăng thì tính # E (F 2 r ) mất nhiều thời gian hơn tính # E (F p )

2.5.2 Dạng của đường cong elliptic

Trước hết, chúng ta cần xem các dạng đường cong elliptic Trên trường

Fq có hai lớp đường cong elliptic được dùng trong các hệ mã hoá là supersinggular Xét Fq có đặc số là 2 (g = 2m) Khi đó:

ƒ Tập tất cả các cặp nghiệm (x, y) của phương trình y2 +ax = x3 + bx + c với a, b, c ∈Fq và a = 0 (mod q) cùng với điểm trung hoà O tạo thành

một đường cong elliptic dạng supersingular

ƒ Tập tất cả các cặp nghiệm (x, y) của phương trình y2 + ax = x3 + bx + c với a, b, c ∈ Fq và b = 0 (mod q) cùng với điểm trung hoà O tạo thành

một đường cong elliptic dạng non-supersingular

Supersingular Curve: Menezes và Vanstone đã tìm ra các ưu điểm của

các đường cong elliptic supersingular cho các hệ mật mã, đặc biệt trên trường

F2r Tuy nhiên, các đường cong supersingular có thể bị tấn công bằng MOV

Nonsupersingular Curve: Ưu điểm của các đường cong nonsupersingular

là nó cung cấp độ bảo mật tương đương như các đường cong supersingular nhưng với các trường nhỏ hơn Độ dài khoá ngắn giúp chúng có thể triển khai trên các thiết bị như smart card Hơn nữa, các đường cong nonsupersingular

có thể chống lại tấn công MOV, ví dụ nhóm con cylic cỡ 2160

2.5.3 Phương pháp lựa chọn

Có nhiều cách chọn các đường cong elliptic và điểm cơ sở B thuộc đường cong đó Một cách chọn điển hình là:

Phương pháp- Phương pháp chọn ngẫu nhiên Kobliz:

Sơ đồ 3.8 Phương pháp chọn ngẫu nhiên Kobliz

1 Chọn ngẫu nhiên 3 phần tử từ Fq là x, y, a

2 Tính b = y2 – (x3 + ax)