Tài liệu Cơ bản về xử lý số tín hiệu ppt

Lấy ví dụ việc lọc thông thấp một tín hiệu dòng điện, giải pháp tương tự sẽ dùng một mạch lọc tích cực hay thụ động để làm suy giảm các thành phần tần số không mong muốn và giữ lại các t

Cơ bản về xử lý số tín hiệu

Giới thiệu về xử lý số tín hiệu

Trước khi nói đến việc xử lý số tín hiệu, chúng ta hãy xem xét việc xử lý tín hiệu Tín hiệu (ở đây là một dòng thông tin được chuyển tải thông qua một đại lượng vật lý nào đó, thường là điện áp hay dòng điện) có thể được xử lý theo một trong hai cách: xử lý tương

tự và xử lý số Lấy ví dụ việc lọc thông thấp một tín hiệu dòng điện, giải pháp tương tự sẽ dùng một mạch lọc (tích cực hay thụ động) để làm suy giảm các thành phần tần số không mong muốn và giữ lại các thành phần được quan tâm ở ngõ ra, trong khi giải pháp số sẽ chuyển tín hiệu dòng điện thành một chuỗi các giá trị tương ứng tại những thời điểm rời rạc, sử dụng các cơ cấu tính toán số để thực hiện việc lọc tần số, sau đó tái tạo lại tín hiệu

đã được lọc ở ngõ ra Việc chuyển đổi các giá trị tương tự thành chuỗi giá trị số được thực hiện bằng các bộ chuyển đổi tương tự-số (ADC-Analog to Digital Converter), và việc chuyển đổi ngược lại được thực hiện bằng các bộ chuyển đổi số-tương tự (DAC-Digital to Analog Converter)

Như vậy, các hệ thống xử lý tương tự tín hiệu sử dụng các cơ cấu tính toán tương tự để thực hiện việc xử lý các tín hiệu tương tự, còn các hệ thống xử lý số tín hiệu lại thực hiện việc xử lý các tín hiệu số thông qua các cơ cấu tính toán số Một điều cần nói là các thuật ngữ 'tương tự' và 'số' không thể hiện bản chất của việc xử lý, thuật ngữ chính xác hơn là 'liên tục' và 'rời rạc' (theo thời gian và phạm vi biến đổi của tín hiệu) Chúng ta có các hệ thống xử lý liên tục tín hiệu với các cơ cấu tính toán tác động lên các tín hiệu liên tục (có

độ lớn thay đổi một cách liên tục) đối lập với các hệ thống xử lý rời rạc tín hiệu sử dụng các cơ cấu tính toán tác động lên các tín hiệu rời rạc (có độ lớn thay đổi một cách rời rạc tại những thời điểm rời rạc) Nhưng kể từ đây trở đi, tôi vẫn dùng các thuật ngữ phổ thông là 'tương tự' và 'số' để thuận tiện cho người đọc

Việc xử lý số tín hiệu xem ra có vẻ phức tạp hóa vấn đề, nếu dựa vào ví dụ đơn giản trên

để đánh giá Tuy nhiên, có một số lý do khiến việc xử lý số tín hiệu vẫn được sử dụng:

 Tính linh hoạt: dữ liệu có thể được lấy mẫu và xử lý sau đó, cũng có thể áp dụng nhiều thuật toán lên cùng một dữ liệu để tìm ra thuật toán thích hợp nhất Ngoài

ra, độ phức tạp của thuật toán hầu hết chỉ bị giới hạn bởi bộ nhớ và tốc độ của bộ

xử lý, cũng như các thuật toán có thể được tạo sẵn để tự động thích nghi với môi trường Cần nhấn mạnh thêm là một số thuật toán rất hữu ích được đặc biệt tạo ra

và chỉ có trong miền thời gian rời rạc

 Tính lập trình: Nhiều bộ xử lý ngày nay có thể được cấu hình lại (bằng cách lập trình phần mềm) để thực hiện nhiều tác vụ xử lý số tín hiệu khác nhau Chỉ cần thay đổi phần mềm để thực hiện một thuật toán khác Điều này cũng có nghĩa là chỉ cần một số lượng linh kiện tối thiểu để thực hiện các thuật toán xử lý rất phức tạp

 Tính lặp lại: Các chức năng của các hệ thống số dựa trên phần mềm hay phần cứng bên ngoài, do đó có thể lặp lại nhiều lần các thao tác đã được thực hiện

 Tính ổn định: Dữ liệu được lưu trữ và xử lý bằng phần cứng số do đó những ảnh hưởng của môi trường như nhiệt độ và sự lão hóa của linh kiện gặp phải trong xử

lý tương tự là không có

 Nén dữ liệu: Dữ liệu có thể được nén để truyền đi với những khoảng cách xa, tiết kiệm được chi phí truyền dữ liệu mà vẫn đảm bảo thông tin đầy đủ đến được điểm nhận

 Chi phí: Ứng dụng của các bộ xử lý số tín hiệu ngày càng trải rộng, và trong nhiều trường hợp, chi phí của việc hiện thực thuật toán số nhỏ hơn chi phí cho thuật toán tương tự

Hai thành phần cần thiết để một hệ thống xử lý số tín hiệu có thể giao tiếp với thế giới thực là DAC và ADC Các DAC có thể sử dụng nguyên lý bộ cộng với hệ điện trở có trọng số hay mạng điện trở R-2R Mạng điện trở R-2R khắc phục được một số nhược điểm của sơ đồ hệ điện trở có trọng số, do đó được dùng phổ biến nhất Hai thông số quan trọng đối với một DAC là độ phân giải (resolution) và thời gian xác lập (settling time)

Dạng đơn giản nhất của một ADC là bộ đếm và so sánh Sau mỗi xung clock, bộ đếm sẽ tăng giá trị đưa vào một DAC, ngõ ra của DAC sẽ được so sánh với tín hiệu ngõ vào Bộ đếm sẽ không tăng nữa khi ngõ ra của DAC lớn hơn tín hiệu vào Kỹ thuật xấp xỉ liên tiếp (SAR) được sử dụng rất rộng rãi trong các ADC Ở mỗi xung clock, một bit nhị phân được bật hay tắt theo cách giống như thuật toán tìm kiếm nhị phân Bắt đầu từ bit có trọng số lớn nhất, bit được bật nếu giá trị ngõ ra của DAC nhỏ hơn tín hiệu vào Ngược lại, bit đó sẽ được tắt và bit có trọng số lớn nhất kế tiếp sẽ được bật Quá trình tiếp diễn đến khi đạt được sự hội tụ Thời gian chuyển đổi của ADC dùng thuật toán xấp xỉ liên tiếp chỉ phụ thuộc vào chu kỳ xung clock và số bit (độ phân giải) Các ADC loại này cho phép thực hiện một sự thỏa hiệp giữa độ phân giải và thời gian chuyển đổi Loại ADC thứ

ba là các bộ biến đổi Flash, thực hiện trực tiếp việc so sánh điện áp ngõ vào với điện áp

có được từ các bộ phân áp Mỗi bộ phân áp xác định một mức lượng tử hóa Vì các bit ngõ ra có được một cách song song, các bộ biến đổi loại này là cực nhanh Tất nhiên chúng cũng rất đắt tiền, đặc biệt với độ phân giải cao

Lượng tử hóa và các sự phi tuyến khác

Quá trình biến đổi A/D chuyển tín hiệu tương tự thành một giá trị số tỷ lệ với tín hiệu gốc, biểu diễn bằng một số hữu hạn các bit Do đó, tín hiệu gốc chỉ có thể được rời rạc hóa với một độ phân giải hữu hạn, dẫn đến sai số giữa giá trị gốc và giá trị được lượng tử hóa, và sai số này được gọi là nhiễu lượng tử hóa (quantisation noise) Nếu các giá trị ngõ vào có xác suất xuất hiện bằng nhau, giá trị trung bình của nhiễu lượng tử hóa sẽ là 0, do

đó người ta thường biểu diễn nhiễu này bằng giá trị trung bình bình phương

Gọi q là bước lượng tử hóa, nhiễu lượng tử hóa sẽ nằm trong biên ±q/2, hàm mật độ xác suất của nhiễu lượng tử hóa sẽ là P(eq) = 1/q (vì xác suất phân bố đều, và tổng xác suất phải là 1) Giá trị trung bình bình phương sẽ là:

Giá trị hiệu dụng (rms) của nhiễu lượng tử hóa là:

Xét tín hiệu vào tương tự hình sin có biên độ là A Nếu sóng sin phủ vừa đủ phạm vi lượng tử hóa, mỗi bước lượng tử hóa sẽ là:

với n là số bit của bộ ADC Giá trị công suất trung bình bình phương cho bởi:

Tỷ số (công suất) giữa tín hiệu và nhiễu lượng tử hóa SQNR do đó sẽ là:

Trong thực tế SQNR thường được biểu diễn bằng dB (với công suất thì dB được tính bằng 10log()), giá trị của SQNR tính bằng dB như vậy sẽ là SQNRdB = 1.76 + 6.02n dB Điều này có nghĩa là với mỗi bit thêm vào độ phân giải của bộ ADC, chúng ta có thể tăng

6 dB trong SQNR

Quá trình biến đổi A/D trong thực tế thường gặp một số sự phi tuyến: mất mã (một số mã nhị phân không thể xuất hiện), phi tuyến sai phân (chuyển tiếp lượng tử hóa có thể là một hàm phi tuyến của tín hiệu vào, thường được biểu diễn theo LSB), sai số độ lợi (sự thay đổi của độ dốc hàm truyền), sai số offset (toàn bộ mã bị dịch lên hay xuống cùng một lượng)

Biến đổi A/D dùng over-sampling

Nhiều nhà sản xuất ADC và DAC hiện đại đang tự hào về sự phát triển của các linh kiện 1-bit (thực chất là một bộ lượng tử hóa kiểu rơle), trong khi chúng ta hiểu rằng cần có một số nhất định để đạt được SNQR như yêu cầu Dưới đây là lý do của việc phát triển các linh kiện 1-bit đó

Chúng ta bắt đầu với giá trị trung bình bình phương của nhiễu lượng tử hóa:

Cho rằng bộ ADC lấy mẫu tín hiệu ngõ vào ở tần số Fs Theo định lý lấy mẫu thì tần số cực đại của tín hiệu ngõ vào, gọi là Fb, phải thỏa mãn < Fs/2 Chú ý là trung bình bình phương của nhiễu lượng tử hóa là tương đương với phương sai và công suất trung bình bình phương, và độc lập với tần số, nghĩa là có phổ bằng phẳng Mật độ nhiễu, nghĩa là công suất trung bình bình phương nhiễu trên một đơn vị băng thông (trong phạm vi 0 đến

< Fs/2), do đó sẽ là:

Bây giờ chúng ta tính công suất trung bình bình phương nhiễu trong băng thông của tín hiệu ngõ vào Vì mật độ phổ công suất là phẳng, lượng nhiễu trong băng thông của tín hiệu sẽ tỷ lệ với tỷ số của Fb và Fs/2, nghĩa là:

với (Fs/2)/Fb được gọi là tỷ số over-sampling (OSR) Chúng ta hãy so sánh giá trị công suất nhiễu trên với công suất nhiễu của một tín hiệu được lấy mẫu ở tần số Nyquist, nghĩa

là Fs/2 = /Fb, bằng một bộ ADC m-bit Nếu cả hai tín hiệu cách lấy mẫu có cùng công suất nhiễu, chúng ta có quan hệ sau:

Từ đó chúng ta có được quan hệ sau: m − n = (1/2)log2(OSR) Điều này có nghĩa là nếu chúng ta lấy mẫu nhanh hơn 4 lần, chúng ta sẽ tăng số bit hiệu dụng của bộ ADC lên 1 Nói cách khác, chúng ta có thể tăng OSR để giảm số bit cần có trong bộ ADC thực mà vẫn có được công suất nhiễu trong băng thông được quan tâm giống như của một bộ ADC được lấy mẫu ở tần số Nyquist Như vậy chúng ta có thể tăng OSR đến khi chỉ cần 1-bit để hiện thực bộ ADC, chẳng hạn, có thể dùng OSR là 16384 để có được độ phân giải 8-bit với bộ ADC 1-bit

Các định nghĩa cơ bản

Một tín hiệu liên tục theo thời gian là một hàm của thời gian, và gán một giá trị thực cho mỗi giá trị thời gian Một tín hiệu rời rạc theo thời gian là một chuỗi được định nghĩa theo các số nguyên Nếu một tín hiệu liên tục theo thời gian x(t) được lấy mẫu mỗi T giây, kết quả là chuỗi rời rạc theo thời gian x[n] = {x(nT)}

Một chuỗi rời rạc theo thời gian x[n] là tuần hoàn nếu có một số nguyên N sao cho x[n+N] = x[n] Số nguyên dương N nhỏ nhất thỏa mãn x[n+N] = x[n] được gọi là chu kỳ của x[n] Cần cẩn thận khi định nghĩa chu kỳ của một tín hiệu rời rạc theo thời gian Ánh

xạ này thường chỉ là một chiều, nghĩa là không thể thay nT bằng t để chuyển một tín hiệu rời rạc theo thời gian thành tín hiệu liên tục theo thời gian tương đương

Các tín hiệu rời rạc điển hình gồm có tín hiệu bước nhảy (step), tín hiệu sin, tín hiệu mũ

và tín hiệu ngẫu nhiên rời rạc Ngoài ra còn có tín hiệu xung rời rạc δ[n], chỉ mang giá trị

1 tại n = 0 và bằng 0 với mọi n khác Tất cả các tín hiệu rời rạc đều có thể được tạo thành

từ các xung rời rạc được dịch và thu phóng thích hợp

Hàm sin và mũ rời rạc

Các hàm sin và mũ rời rạc là nền tảng cho xử lý số tín hiệu Xét một hàm sin liên tục theo thời gian:

x(t) = Acos(ωct)

A là biên độ, ωc là tần số góc tính bằng rad/s Tần số cũng có thể tính bằng Hz: ωc = 2πFFc, với Fc tính bằng Hz

Một tín hiệu sin liên tục theo thời gian là tuần hoàn, vì x(t + Tp) = x(t), tất nhiên với Tp = 1/Fc

Xét hàm mũ phức trong miền thời gian liên tục:

cùng với các phần tử:

Rõ ràng các hàm mũ phức bao gồm cả lớp hàm sin thực lẫn ảo Tính chất tổng quát này của các hàm mũ phức khiến chúng rất có ích cho việc phân tích tín hiệu cả trong miền

thời gian liên tục lẫn rời rạc Từ các biểu thức trên, chúng ta giới thiệu các tần số âm, (chỉ) để thuận tiện về mặt toán học:

Với hàm mũ phức:

chúng ta có thể biểu diễn thành phần ảo theo thành phần thực thành và có được một vectơ quay ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ ωc rad/s Các hàm mũ có tần số âm là các vectơ tương tự nhưng quay cùng chiều kim đồng hồ Do đó tổng của một hàm mữ tần số dương

và một hàm mũ tần số âm (với cùng biên độ và tần số) sẽ tạo ra một vectơ nằm trên trục hoành, tức là có thể tạo thành các tín hiệu hình sin thực từ tổng các hàm mũ phức

Với các hàm sin và mũ rời rạc theo thời gian, có các khác biệt cơ bản với các hàm liên tục theo thời gian Xét tín hiệu sin đơn giản:

x(t) = cos(ωct)

Nếu chúng ta lấy mẫu tại những khoảng thời gian rời rạc T giây, chúng ta có được chuỗi rời rạc theo thời gian:

x[n] = cos(ωcnT) = cos(ωdn) Tần số rời rạc ωd có đơn vị là rad/mẫu Theo cách tương tự, chúng ta có thể định nghĩa biến tần số:

Fd = ωd/(2πF) Một sóng sin rời rạc là tuần hoàn khi và chỉ khi x[n + N] = x[n] Giá trị nguyên N nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện này được gọi là chu kỳ cơ bản Bây giờ là một trong những khác biệt cơ bản nhất giữa sóng sin liên tục và rời rạc theo thời gian Xét một sóng côsin rời rạc: cos(ωdn) Chúng ta sẽ cộng thêm 2πF vào tần số của sóng côsin rời rạc đó:

cos((ωd+2πF)n) = cos(ωdn + 2πFn) = cos(ωdn)

Điều này cho thấy chúng ta không thể phân biệt giữa các tần số trong khoảng 0 ≤ ωd ≤ 2πF

và các tần số cao hơn Vì chúng ta cũng quan tâm đến tần số âm, chúng ta sẽ dùng phạm

vi tần số sau: −πF ≤ ωd ≤ πF, và −½ ≤ Fd ≤ ½ Điều này cũng áp dụng cho các hàm mũ (phức) rời rạc

Quan hệ cơ bản giữa tần số liên tục và tần số rời rạc là:

Do đó, để chuyển phạm vi tần số rời rạc trở về phạm vi tần số liên tục, chúng ta chia phạm vi tần số rời rạc cho chu kỳ lấy mẫu T Như vậy, chúng ta không thể nói đến tần số của một tín hiệu liên tục theo thời gian từ dữ liệu rời rạc theo thời gian mà không biết về chu kỳ lấy mẫu Hệ quả, khi một sóng sin liên tục theo thời gian được lấy mẫu, nó phải nằm trong khoảng:

−Fs/2 ≤ Fc ≤ Fs/2

Lấy mẫu lý tưởng và tự nhiên

Xét một tín hiệu liên tục theo thời gian, x(t), được lấy mẫu mỗi T giây Tín hiệu lấy mẫu được, x*(t), có thể được biểu diễn:

Sử dụng phép biến đổi Fourier, có thể cho thấy các thành phần tần số của tín hiệu lấy mẫu được, x*(t), như sau:

với X(•ω) biểu diễn biến đổi Fourier của tín hiệu gốc x(t) Với n = 0, X*(•ω) trùng với X(•ω), tuy nhiên với n ≠ 0, chúng ta có các thành phần tần số khác, với hình dạng tương

tự như X(•ω), nhưng bị dịch bởi một số nguyên lần tần số lấy mẫu ωs theo cả chiều dương lẫn chiều âm Những thành phần này được gọi là alias

Nếu tần số cao nhất của tín hiệu gốc là nhỏ hơn một nửa tần số lấy mẫu, nghĩa là ωb < ωs/

2, khi đó tín hiệu gốc có thể được tái tạo từ tín hiệu lấy mẫu được bằng cách dùng một bộ lọc thông thấp lý tưởng (tức là loại bỏ các alias)

Định lý lấy mẫu: Để lấy mẫu và tái tạo đúng một tín hiệu, cần phải lấy mẫu ở tần số ít nhất là gấp 2 lần tần số cao nhất có mặt trong tín hiệu gốc

Trong thực tế, để thực hiện điều này người ta cho tín hiệu gốc qua một bộ lọc thông thấp

để loại bỏ các nhiễu tần số cao làm sai lệch tín hiệu tần số thấp được lấy mẫu Các bộ lọc

đó được gọi là các bộ lọc anti-aliasing

Một bộ lọc thông thấp lý tưởng là phi thực tế, do đó người ta thường lấy mẫu ở tần số ít nhất là gấp 10 lần tần số cao nhất có mặt trong tín hiệu gốc

Phương pháp lấy mẫu thực tế sử dụng một chuỗi xung, với mỗi xung có độ rộng là q giây Chuỗi xung có thể được biểu diễn bằng hàm bước nhảy (step):

Biễu diễn p(t) bằng một chuỗi Fourier, chúng ta có thể biễu diễn tín hiệu lấy mẫu được như sau:

Thực hiện phép biến đổi Fourier và áp dụng định lý dịch tần số, chúng ta có:

Các hệ số Cn được tính bởi:

Lấy mẫu thực với dạng sóng phẳng đầu

Kỹ thuật này được coi là điều chế biên độ xung (PAM) Trong trường hợp này, sóng xung p(t) và tín hiệu x(t) không được nhân với nhau, thay vào đó x(t) được lấy mẫu ở cạnh trước của mỗi xung p(t) và được lưu ở mức này trong q giây

Kỹ thuật này làm méo dạng cả tín hiệu gốc lẫn các alias, và không cho phép phân tích Fourier trực tiếp Hiện tượng méo dạng biên độ các thành phần tần số của tín hiệu gốc được gọi là hiệu ứng aperture

Các hệ rời rạc theo thời gian

Chúng ta thường dùng các phương trình vi phân để biểu diễn phản ứng động học của hệ trong miền thời gian liên tục Với các hệ trong miền thời gian rời rạc, chúng ta có công cụ tương tự là các phương trình sai phân Phương trình sai phân liên hệ (chuỗi) đầu ra của một hệ rời rạc, y[n], với một (chuỗi) đầu vào rời rạc, x[n]

Ngày nay, các hệ rời rạc có thể được hiện thực hoàn toàn trong máy tính; có thể thực hiện một bộ lọc số chẳng hạn Tín hiệu vào, x[n], sẽ là dữ liệu đã được lấy mẫu (và thực tế là một số nhị phân), và y[n] sẽ là kết quả của việc lọc, sẵn sàng được xuất ra thế giới thực thông qua một DAC

Bất chấp bản chất của hệ rời rạc, chúng ta muốn biểu diễn mối quan hệ vào/ra bằng toán học, để hiểu tính chất của hệ hay để thiết kế các bộ lọc mới đáp ứng các chỉ tiêu kỹ thuật riêng bằng các phương pháp toán học hợp lý Các phương trình sai phân chính là một công cụ như vậy

Xét một hệ được biểu diễn toán học bằng một phương trình sai phân:

y[n] = a.y[n−1] + b.y[n−2] + c.x[n] + d.x[n−1]

Ngõ ra hiện tại, y[n], là một hàm của các ngõ ra trước đó (y[n−1], y[n−2]), giá trị ngõ vào hiện tại, x[n], và giá trị ngõ vào ngay trước đó, x[n−1] Chức năng của hệ phụ thuộc vào các hệ số a, b, c, d

Như với hệ liên tục, có một số tính chất chung cần phải làm quen Các tính chất này bao gồm:

 Tính tuyến tính Giả thiết x[n] là tổng của một số tín hiệu, x[n] = x1[n] + x2[n] Gọi y[n] là ngõ ra của hệ khi ngõ vào là x[n] Giả sử y1[n] là ngõ ra khi ngõ vào là

x1[n], và y2[n] là ngõ ra khi ngõ vào là x2[n] Hệ là tuyến tính nếu y[n] = y1[n] +

y2[n] Nghĩa là, hệ là tuyến tính nếu đáp ứng với x[n] = (x1[n] + x2[n]) bằng với tổng của các đáp ứng khi x1[n] và x2[n] được áp đặt độc lập

 Tính nhân quả Các tín hiệu/hệ được gọi là nhân quả nếu 'các sự kiện hiện tại' chỉ

phụ thuộc vào 'các sự kiện' hiện tại và quá khứ Phương trình sai phân sau là một

ví dụ của hệ không nhân quả:

y[n] = y[n−1] + x[n] + x[n+1]

 Tính bất biến theo thời gian Một hệ là bất biến theo thời gian nếu đáp ứng của

hệ, y[n], đối với một ngõ vào cụ thể, x[n], là không phụ thuộc vào thời điểm áp đặt ngõ vào

 Tính ổn định Một hệ được gọi là ổn định nếu và chỉ nếu với mọi ngõ vào bị chặn,

x[n], ngõ ra, y[n], là bị chặn Định nghĩa cụ thể này về tính ổn định được gọi là tính ổn định ngõ vào bị chặn ngõ ra bị chặn (BIBO)

Người ta thường chỉ xét đến các hệ tuyến tính, bất biến theo thời gian (LTI) trong các giáo trình về Xử lý số tín hiệu (DSP)

Chập tín hiệu-Convolution

Chập tín hiệu là quá trình nền tảng cho việc phân tích và xử lý tín hiệu Nó có quan hệ rất gần gũi với phép biến đổi Fourier, hay tổng quát hơn là phép biến đổi Laplace, trong miền tần số và với phép biến đổi Z trong miền thời gian rời rạc Việc nhân các thành phần trong miền tần số, tức là nhân hàm truyền trong miền tần số của một hệ với biểu diễn trong miền tần số của một tín hiệu vào, là tương đương với việc chập đáp ứng xung trong miền thời gian của hệ với tín hiệu ngõ vào trong miền thời gian Nhớ lại rằng phép biến đổi Laplace ngược của một hàm truyền của một hệ cho ta đáp ứng xung của hệ Phép chập chỉ đơn thuần là một phép toán trong miền thời gian, không giống như phép nhân các biến đổi Laplace xảy ra trong một miền tần số giả

Phép chập thường được ký hiệu bằng dấu sao (*) Bằng cách này, chúng ta có thể biểu diễn phép chập của h[n] và x[n] bởi y[n] = h[n]*x[n] Khi mô tả bằng đồ thị, chúng ta thường đảo ngược một tín hiệu, và tính tổng của tích các thành phần chồng lên nhau cho mỗi một phép dịch thời gian Với những tín hiệu có nhiều thành phần khác 0, đây là một quá trình rất tốn công sức và thời gian May mắn là chúng ta có một công thức toán học ngắn gọn cho phép chập:

Tổng chập có ích trong nhiều phương diện phân tích và xử lý tín hiệu, tuy nhiên ứng dụng cơ bản nhất là lấy đáp ứng rời rạc của các hệ, các bộ lọc đối với tín hiệu vào rời rạc mong muốn

Đối với miền thời gian liên tục, có thể dễ dàng chứng minh hàm truyền của một hệ cho biết đáp ứng xung của hệ đó Trong miền thời gian rời rạc, chúng ta cũng có quan hệ tương tự Xét một hệ với ngõ vào là một xung rời rạc δ[n], và để ý ngõ ra rời rạc y[n] của

hệ, với hàm truyền là h[n] Vì ngõ vào chỉ là một xung rời rạc, kết quả của phép chập sau mỗi phép dịch thời gian chỉ là thành phần tương ứng trong h[n] nhân với 1 (của ngõ vào), nghĩa là ngõ ra y[n] chính là h[n] Nói cách khác, h[n] chính là đáp ứng xung rời rạc của

hệ

Nhân nói về phép chập, 2 loại bộ lọc cũng được giới thiệu ở đây, vì chúng được phân loại dựa vào đáp ứng xung Trước tiên, xét phương trình sai phân bậc nhất liên hệ ngõ ra y[n]

và ngõ vào x[n] của bộ lọc:

y[n] = x[n] + 0.5y[n−1]

Hàm truyền của hệ có thể tìm được bằng cách cho x[n] = δ[n] Tại n = 0, ta có x[0] = 1,

do đó y[0] = 1 Vì tác dụng hồi tiếp (feedback) của thành phần y[n−1], ngõ ra sẽ không bao giờ đạt đến giá trị 0, dù ngõ vào chỉ là một xung rời rạc Chúng ta gọi đáp ứng xung này là đáp ứng xung vô hạn (IIR-Infinite Impulse Response), và bộ lọc tương ứng với loại hàm truyền này được gọi là bộ lọc đáp ứng xung vô hạn Xét một phương trình sai phân khác liên hệ ngõ ra y[n] và ngõ vào x[n] như sau: