Phần thực và phần ảo của số phức z bằng nhau thì điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường phân giác góc phần tư thứ nhất và góc phần tư thứ ba D.. Hiệu hai số phức liên hợp là một số thuầ[r]
Trang 2MỤC LỤC
I – LÝ THUYẾT CHUNG 3
II – CÁC DẠNG BÀI TẬP 6
DẠNG 1: SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC 6
A – CÁC VÍ DỤ 6
B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 7
C - ĐÁP ÁN 14
DẠNG 2: SỐ PHỨC VÀ CÁC TÍNH CHẤT 15
A – CÁC VÍ DỤ 15
B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 16
C - ĐÁP ÁN 22
DẠNG 3: TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN 24
A – CÁC VÍ DỤ 24
B – BÀI TẬP 24
C - ĐÁP ÁN 28
DẠNG 4: SỐ PHỨC CÓ MÔĐUN NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT 29
A – CÁC VÍ DỤ 29
B - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 31
C - ĐÁP ÁN 31
DẠNG 5: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC 32
A – CÁC VÍ DỤ 32
B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 35
C - ĐÁP ÁN 39
DẠNG 6: BIỂU DIỄN HÌNH HỌC, TẬP HỢP ĐIỂM 40
A – CÁC VÍ DỤ 40
B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 42
C - ĐÁP ÁN 49
DẠNG 7: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC 50
A – CÁC VÍ DỤ 50
B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 52
C – ĐÁP ÁN 52
Trang 3z là thuần ảo phần thực của z bằng 0 (a = 0)
Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo
Hai số phức bằng nhau: a bi a’ b’i a a ' (a, b,a ', b ' R)
Soạn tin nhắn “ Tôi muốn mua tài liệu ”
Gửi đến số điện thoại
Chú ý: i4k 1; i4k 1 i; i4k 2 -1; i4k 3 -i
2 Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b R) được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi
ur (a; b)trong mp(Oxy) (mp phức)
3 Cộng và trừ số phức:
a bi a’ b’i a a’ b b’ i a bi a’ b’i a a’ b b’ i
Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi
ur biểu diễn z, u 'r biểu diễn z' thì u u 'r r biểu diễn z + z’ và u u'r r biểu diễn z – z’
4 Nhân hai số phức : Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề Toán
khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “ Tôi muốn mua tài liệu ”
Gửi đến số điện thoại
a bi a ' b 'i aa’ – bb’ ab’ ba’ i
k(abi)kakbi (kR)
Trang 48 Căn bậc hai của số phức:
z x yi là căn bậc hai của số phức w a bi 2
w 0 có đúng hai căn bậc hai đối nhau
Hai căn bậc hai của a > 0 là a
Hai căn bậc hai của a < 0 là a.i
Chú ý: Nếu z0 C là một nghiệm của (*) thì z cũng là một nghiệm của (*) 0
10 Dạng lƣợng giác của số phức (dành cho chương trình nâng cao)
a) Acgumen của số phức z ≠ 0:
Cho số phức z ≠ 0 Gọi M là điểm biểu diễn số z Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu
Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z Nếu là một acgumen của z thì mọi acgumen của z
có dạng + k2 (kZ)
b) Dạng lƣợng giác của số phức : Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề
Toán khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “ Tôi muốn mua tài liệu ”
Gửi đến số điện thoại
Dạng z = r(cos + isin) (r > 0) là dạng lượng giác của z = a + bi (a, bR) (z ≠ 0)
Trang 52 2
acos
rbsin
( là acgumen của z, = (Ox, OM)
c) Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác :
Nếu z = r(cos + isin), z’ = r’(cos’ + isin’) thì:
z.z’ = rr’[cos( + ’) + isin( +’)]
z r
cos( ') i sin( ')z' r '
d) Công thức Moa-vrơ :
Với n là số nguyên, n 1 thì : n n
r(cos i sin ) r (cos n i sin n )
Khi r = 1, ta được : n
(cosisin ) (cos nisin n )
e) Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác :
Các căn bậc hai của số phức z = r(cos + isin) (r > 0) là : r cos i sin
Trang 63 1i
Giải: Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i
(3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i
Nếu n nguyên âm, in
= (i-1)-n = 1 n n
ii
Trang 7Ví dụ 5: Tìm phần ảo của z biết: 3
Ví dụ 8: Tìm các căn bậc hai của số phức z 5 12i
Giải: Giả sử m+ni (m; nR) là căn bậc hai của z
Ta có: (1 + i)2 = 1 + 2i – 1 = 2i (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i
z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i
B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Biết rằng số phức z x iythỏa 2
z 8 6i Mệnh đề nào sau đây sai?
yx
Trang 8C Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z 1là đường tròn tâm O, bán kính R = 1
D Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau
Câu 7: Cho hai số phức z1 4 3i, z2 4 3i, z3 z z1 2 Lựa chọn phương án đúng:
Trang 9Câu 12: Đẳng thức nào đúng trong các đẳng thức sau:
A Là số ảo B Bằng 0 C Lấy mọi giá trị phức D Lấy mọi giá trị thực
Trang 10Câu 32: Cho hai số phức z1ax b, z 2cx d và các mệnh đề sau:
A Chỉ (I) và (III) B Cả (I), (II) và (III) C Chỉ (I) và (II) D Chỉ (II) và (III) Câu 33: Tìm căn bậc hai của số phức z 7 24i
A z 4 3i và z 4 3i B z 4 3i và z 4 3i
C z 4 3i và z 4 3i D z 4 3i và z 4 3i
Câu 34: Cho z 5 3i Tính 1
z z2i ta được kết quả là:
Câu 39: Tính
7
3 iz
Trang 11A 2 B - 2 C 0 D 3
Câu 42: Tìm số phức z1 2z ,2 biết rằng: z1 1 2i, z1 2 3i
A 3 4i B 3 8i C 3 i D 5 8i
Trong ba kết quả trên, kết quả nào sai
A Chỉ (3) sai B Chỉ (2) sai C Chỉ (1) và (2) sai D Cả (1), (2), (3) sai Câu 48: Tổng 2 số phức 1 i và 3 i
Trang 12Câu 59: Giá trị biểu thức (1 + i)10 bằng
A i B Kết quả khác C – 32i D 32i
Câu 60: Dạng đơn giản của biểu thức (4 3i) (2 5i) là:
Câu 66: Kết quả của phép tính (2 3i)(4 i) là:
A 6 - 14i B - 5 - 14i C 5 - 14i D 5 + 14i
Câu 74: Kết quả của phép tính (a bi)(1 i) (a, b là số thực) là:
A a b (b a)i B a b (b a)i C a b (b a)i D a b (b a)i
Câu 75: Cặp số (x; y) thõa mãn điều kiện (2x 3y 1) ( x 2y)i (3x 2y 2) (4x y 3)i là:
Trang 14A i B - i C 1 D 0
C - ĐÁP ÁN
1D, 2C, 3D, 4D, 5A, 6A, 7A, 8D, 9C, 10D, 11D, 12A, 13D, 14B, 15B, 16A, 17D, 18D, 19A, 20D, 21C, 22B, 23B, 24A, 25A, 26B, 27C, 28B, 29B, 30A, 31A, 32D, 33D, 34C, 35B, 36B, 37C, 38D, 39C, 4DC, 41C, 42B, 43D, 44C, 45D, 46A, 47D, 48D, 49D, 50C, 51D, 52A, 53C, 54A, 55D, 56D, 57C, 58C, 59D, 60B, 61D, 62C, 63C, 64D, 65D, 66C, 67D, 68D, 69B, 70B, 71C, 72B, 73B, 74B, 75B, 76C, 77C, 78D, 79D, 80B, 81D, 82D, 83A, 84A, 85C, 86A, 87C, 88B, 89D, 90A, 91B, 92D, 93D
Trang 15Ví dụ 5: Tính môđun của số phức z biết: (2z 1)(1 i) (z 1)(1 i) 2 2i (1)
Giải: (1)(2a2bi 1))(1 i) (a bi 1)(1 i) 2 2i
2a2ai 2bi 2bi 2 1 i a ai bi bi2 1 i 2 2i
Trang 16
1a
b3
Câu 2: Số nào trong các số sau là số thuần ảo ?
A ( 23i)( 23i) B (2 2i) 2 C 2 3i
C Tập hợp tất cả các số phức không phải là số ảo D Tập hợp các số thực không âm
Câu 7: Cho z là số phức khác 0 thỏa mãn z 1
Câu 9: Cho z = m + 3i, z’ = 2 – (m +1)i Giá trị nào của m sau đây để z.z’ là số thực ?
A m = -2 hoặc m = 3 B m = -1 hoặc m = 6 C m = 2 hoặc m = -3 D m = 1 hoặc m = 6 Câu 10: Số phức liên hợp của số phức
(2 i) (2 i)z
Trang 17Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 i)(z i) 2z 2i Mô đun của số phức
Câu 24: Tìm phần ảo của số phức z thỏa mãn: 4 3i 2
1 z z 3 i 8 13i2i 1
Trang 18Câu 26: Cho w z2 z 1 tìm phần thực của số phức nghịch đảo của w biết: z (4 3i)(2 i)
41
Câu 27: Cho các nhận định sau (giả sử các biểu thức đều có nghĩa):
1) Số phức và số phức liên hợp của nó có mô đun bằng nhau
2) Với z 2 3i thì mô đun của z là: z 2 3i
3) Số phức z là số thuần ảo khi và chỉ khi z z
4) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z z 1 2là một đường tròn
Câu 30: Nhận xét nào sau đây là sai ?
A Mọi phương trình bậc hai đếu giải được trên tập số phức
B Cho số phức z a bi Nếu a, b càng nhỏ thì mô đun của z càng nhỏ
C Mọi biểu thức có dạng A2B2 đều phân tích được ra thừa số phức
D Mọi số phức z 1 và có mô đun bằng 1, có thể đặt dưới dạng: z 1 ti
1 ti
, với t¡
Câu 31: Phát biểu nào sau đây là đúng:
A Mọi số phức zvà số phức liên hợp z của nó có bình phương bằng nhau
B Mọi số phức zvà số phức liên hợp z của nó có căn bậc hai bằng nhau
C Mọi số phức zvà số phức liên hợp z của nó có phần ảo bằng nhau
D Mọi số phức zvà số phức liên hợp z của nó có mô đun bằng nhau
Câu 32: Mô đun của 2izbằng
Trang 19Câu 38: Với mọi số ảo z, số z2 z2 là
A Số 0 B Số thực âm C Số thực dương D Số ảo khác 0
Câu 39: Cho số phức z thỏa mãn 2
(2 3i).z (4 i).z (1 3i) 0 Gọi a, b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức z Khi đó 2a 3b
Câu 40: Cho số phức z thỏa mãn z i 3 2z Mô đun của số phức 2i 1 iz bằng:
Câu 41: Cho z m 3i, z ' 1 m 1 i. Giá trị nào của m đây để z.z ' là số thực ?
A m1 hay m6 B m 2 hay m3 C m2 hay m 3 D Đáp án khác
Câu 42: Cho số phức z thỏa mãn 3iz 2 3i z 2 4i Mô đun của số phức 2iz bằng:
Câu 43: Mô đun của số phức
2 2
x y i 2xyz
2) Mô đun của một số phức z bằng khoảng cách OM, với M là điểm biểu diễn z
3) Mô đun của một số phức z bằng số z.z
Trong 3 câu trên:
A Cả ba câu đều đúng B Chỉ có 1 câu đúng C Cả ba câu đều sai D Chỉ có 2 câu đúng Câu 51: Mô đun của số phức z thỏa mãn phương trình(2z 1)(1 i) (z 1)(1 i) 2 2ilà:
2
3 D Đáp án khác
Trang 20Câu 52: Cho số phức z thỏa: 3
1 3iz
Câu 53: Mệnh đề nào sau đây là sai
A Trong tập hợp số phức, mọi số đều có số nghịch đảo
B Căn bậc hai của mọi số thực âm là số phức
C Phần thực và phần ảo của số phức z bằng nhau thì điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường
phân giác góc phần tư thứ nhất và góc phần tư thứ ba
D Hiệu hai số phức liên hợp là một số thuần ảo
Câu 54: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sau đây là không đúng
A Tập hợp số thực là tập con của số phức
B Nếu tổng của hai số phức là số thực thì cả hai số ấy đều là số thực
C Hai số phức đối nhau có hình biểu diễn là hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ O
D Hai số phức liên hợp có hình biểu diễn là hai điểm đối xứng nhau qua Ox
Câu 58: Phần ảo của số phức z (1 2i).(2 i) 2 là:
Câu 59: Cho số phức z thỏa 2
(1 2i) z z 4i 20 Mô đun số z là:
Câu 68: Cho số phức z 5 12i Mệnh đề nào sau đây là sai:
A Số phức liên hợp của z là z 5 12i B w 2 3i là một căn bậc hai của z
Trang 21Câu 70: Trong các kết luận sau, kết luận nào sai ?
A Mô đun của số phức z là một số thực
B Mô đun của số phức z là một số thực dương
C Mô đun của số phức z là một số phức
D Mô đun của số phức z là một số thực không âm
Câu 71: Mô đun của số phức 3
Câu 77: Số phức liên hợp của số phức z (1 i)15 là:
A z 128 128i B z i C z128 128i D z128 128i
Câu 83: Cho các số phức z1 1 i, z2 3 4i, z3 1 i Xét các phát biểu sau
1) Mô đun của số phức z bằng 1 2
2) Số phức z có phần ảo bằng 3 1
3) Mô đun của số phức z bằng 5 2
Trang 224) Mô đun của số phức z bằng mô đun của số phức 1 z 3
5) Trong mặt phẳng Oxy , số phức z được biểu diễn bởi điểm M(1;1) 3
Câu 86: Trong các kết luận sau, kết luận nào là sai ?
A Mô đun của số phức z là một số thực âm B Mô đun của số phức z là một số phức
C Mô đun của số phức z là một số thực D Mô đun của số phức z là một số thực dương
Câu 87: Cho số phức z thỏa mãn: (3 2i)z (2 i) 2 4 i Hiệu phần thực và phần ảo của số phức z là:
Câu 88: Cho số phức z thỏa mãn
2(1 3i)z
Câu 90: Cho số phức z thỏa mãn 2
z 3 2i 1 i Mô đun của số phức w iz z là:
Câu 93: Cho số phức z a bi Để 3
z là một số thực, điều kiện của a và b là:
Trang 2356A, 57A, 58A, 59C, 60B, 61C, 62C, 63C, 64D, 65A, 66A, 67A, 68A, 69D, 70B, 71A, 72B, 73C, 74D, 75C, 76C, 77C, 78A, 79B, 80C, 81C, 82D, 83D, 84A, 85C, 86A, 87C, 88C, 89D, 90A, 91D, 92B, 93A
Trang 24DẠNG 3: TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN
A – CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tìm các số nguyên x, y sao cho số phức z x iy thỏa mãn z3 18 26i
Giải: Ta có
3 2 3
a ; b
2 22b a 0
(1) a bi 2(a bi) (233.2 i 3.2i2 2i )(1 i)3
a bi 2a 2bi (8 12i 6 i)(1 i) (11i 2)(1 i)
là số thuần ảo với
A z 2 i B z 2 i C Cả A và B đều đúng D Cả A và B đều sai Câu 3: Cho các nhận định sau (giả sử các biểu thức đều có nghĩa):
1) Số phức và số phức liên hợp của nó có môđun bằng nhau
2) Với z 2 3i thì môđun của z là: z 2 3i
Trang 253) Số phức z là số thuần ảo khi và chỉ khi z z
4) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z z 1 2là một đường tròn
5) Phương trình: z33zi 1 0 có tối đa 3 nghiệm
A 18 75.i B 18 74.i C 18 75.i D 18 74.i
Câu 12: Với mọi số ảo z, số z2 z2 là
A Số 0 B Số thực âm C Số ảo khác D Số thực dương Câu 13: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z.z2z19 4i
Trang 27Câu 35: Số phức z thõa mãn điều kiện z 5 i 3 1 0
Câu 40: Cho số phức z thoả mãn z 4 i
43
Câu 47: Cho số phức z thỏa mãn z z 2
Trang 28Câu 52: Tính môđun của số phức z biết rằng: 2z 1 1 i z 1 1 i 2 2i
Câu 53: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z (2 i)z 13 3i Phần ảo của số phức z bằng
Câu 54: Cho số phức z thỏa (1 i)(z i) 2z 2i Môđun của số phức
2
1 z zw
Trang 29Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn:z 3 4i 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của z
Giải: Giả sử z=a+bi, ta có: 2 2
Ngoài ra để tìm GTNN, GTLN của z ta có thể sử dụng phương pháp hình học
Ví dụ 4: Cho hai số phức z , z thỏa mãn 1 2 z1 5 5, z2 1 3i z2 3 6i Tìm giá trị nhỏ nhất của
Vậy N thuộc đường thẳng : 8x 6y 35
Dễ thấy đường thẳng không cắt (C) và z1z2 MN
Trang 30Bài toán trở thành: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) :(x 5) 2y225 và đường thẳng : 8x 6y 35
Tìm giá trị nhỏ nhất của MN, biết M chạy trên (C) , N chạy trên đường thẳng
M L
H
0
d
Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với PT đường thẳng d là 6x-8y=-30
Gọi H là giao điểm của d và Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ
x 1
H(1; )9
x 9; y 36x 8y 30
Trang 31Câu 4: Tìm số phức z thoả mãn (z – 1)( z + 2i) là số thực và môđun của z nhỏ nhất ?
C z 2 3 78 9 13i
2613
Trang 32DẠNG 5: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC
Giải: (3i 8) 24(11i 13) 4i 3
Giả sử m+ni (m; nR) là căn bậc hai của
Vậy có hai căn bậc hai là 2+i và -2-i
Do đó nghiệm của phương trình là
3i 8 i 2
23i 8 i 2
Giải: ' 22 7 3 3i2 các căn bậc hai của ' là i 3
Vậy nghiệm của phương trình là: z 2 3i, z 2 3i
Trang 33Giải: Nhận xét z=0 không là nghiệm của phương trình (1) vậy z0
Chia hai vế PT (1) cho z2
Trang 34Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm
2) Ta có: (x + yi)3 = x3 – 3xy2 + (3x2y – y3)i = 18 + 26i
Theo định nghĩa hai số phức bằng nhau, ta được:
1 23iz
Trang 35A 1;1;i B i;i; 1 C 1 D i;i;1
Câu 7: Tính z122 z22 biết z , z là nghiệm của phương trình 1 2 z22z 17 0
Câu 8: Cho phương trình 2
z mz 2m 1 0 trong đó m là tham số phức; giá trị m để phương trình
có hai nghiệm z ;z thỏa mãn 1 2 2 2
1 2
z z 10
A m 2 3i; m 2 3i B m 2 2 2i; m 2 2 2i
C m 1 3i; m 2 3i D m 1 3i; m 1 3i.
Câu 9: Cho phương trình 2
z mz m 2 0 1 , trên trường phức và m là tham số thực Giá trị m để (1) có hai nghiệm ảo z ;z trong đó z1 2 1 có phần ảo âm và phần thực của số phức z1 i z2 bằng 1
2
A Không có m B m 2 C m1 D m 5
Câu 10: Cho hệ phương trình
1 2
Câu 11: Trong tập số phức £ , phương trình 3
z 1 0 có bao nhiêu nghiệm?
z z
là:
Trang 36A 8 B 2
29
Câu 14: Với mọi số phức z, ta có | z 1| 2 bằng
A i; 0 B Tập hợp mọi số ảo C i; 0;i D 0
Câu 21: Giá trị của các số thực b, c để phương trình z2 + bz + c = 0 nhận số phức z = 1 + i làm 1 nghiệm là: