DE VA DAP AN TOAN CHUYEN TINH BINH PHUOC NAM 2017

a CHứng minh các tứ giác AIEJ, CMJE nội tiếp và EA.EM  EC.EI b Chứng minh I, J, M thẳng hàng và JM vuông góc với HK.. c Tính độ dài cạnh BC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AB[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BÌNH PHƯỚC

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang)

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

NĂM HỌC 2017 – 2018

ĐỀ THI MÔN: TOÁN (CHUYÊN)

Ngày thi: 03/06/2017 Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức 6 1,

P

a) Rút gọn biểu thức P





Q

x x với x1, x0, x4 Chứng minh Q6

Câu 2: (1,0 điểm) Cho phương trình 2 2

x m x m (x là ẩn số, m là tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 sao cho 2

1 4 12 2 2 1 1

Câu 3: (2,0 điểm)

        

b) Giải hệ phương trình:

2







Câu 4: (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có 0

60 ,



BAC ABc , ABc ( bc Đường kính EF )

của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông góc vơi BC tại M (E thuộc cung lớn BC) Gọi I

và J là chân đường vuông góc hạ từ E xuống các đường thẳng AB và AC Gọi H và K là chân đường vuông góc hạ từ F xuống các đường thẳng AB và AC

a) CHứng minh các tứ giác AIEJ, CMJE nội tiếp và EA EM EC EI

b) Chứng minh I, J, M thẳng hàng và JM vuông góc với HK

c) Tính độ dài cạnh BC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC theo b, c

Câu 5: (1,0 điểm) Chứng minh biểu thức S n n3( 2)2  (n 1)(n35n 1) 2n1 chia hết

cho 120, với n là số nguyên

Câu 6: (1,0 điểm)

a) Cho ba số a, b, c thỏa mãn a b c  0 và a 1, b 1, c 1,

Chứng minh rằng a4  b6 c8 2

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

( 1)( 1)



T

x y với x, y là các số thực lớn hơn 1

HẾT

Giám thị coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: SBD: Chữ kí giám thị 1:

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: Cho biểu thức 6 1,

P

a) Rút gọn biểu thức P

,

P



  



x x x x





2 2



x x





Q

x x với x1, x0, x4 Chứng minh Q6

Ta có:

2

Q

Dấu “=” xảy ra khi x9

Câu 2: Cho phương trình 2 2

x m x m (x là ẩn số, m là tham số)

Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 sao cho 2

1 4 12 2 2 1 1

Phương trình có nghiệm khi

Theo hệ thức Vi-ét ta có x1 x2 2(m1) (2)

Ta có x 1 là nghiệm của phương trình nên x12 2(m1)x1m2 3 0

x  m x m   thay vào biểu thức x12 4x12x22mx1 1 ta được

2

 m x m   x  x  mx   2

1 2

 m   x x  (3)

  

 



m

m

Vì m2 nên m 2 2 thỏa

Câu 3:

a) Giải phương trình x2 7 x 2 x   1 x2 8x 7 1

Điều kiện 1 x 7

        

  x  x x  x x 

  x  x x  x x 

 x x  x  x  x 

5

1 2



 x x  x  x x thỏa mãn điều kiện

b) Giải hệ phương trình:

2







Điều kiện

2

1 0

0 0

0

 





 



x

y xy

xy

Ta có: 16(x 1) x y2 44x y2 2(xy24x4)(xy2 4) 0

2 2

4

  



 





xy

Vì 2

0



xy nên hệ phương trình có nghiệm khi 2

4



xy thế vào (2) ta được

(2) x  3 3 x  1 4 x   3 1 3( x  1 1) 0

2

x

Vì x1 nên

2

0

1 1

3 1

 

 

x

x

     

Câu 4: Cho tam giác ABC có 0

60 ,



BAC ABc , ABc ( bc Đường kính EF của đường )

tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông góc vơi BC tại M (E thuộc cung lớn BC) Gọi I và J là chân đường vuông góc hạ từ E xuống các đường thẳng AB và AC Gọi H và K là chân đường vuông góc hạ từ F xuống các đường thẳng AB và AC

a) CHứng minh các tứ giác AIEJ, CMJE nội tiếp và EA EM EC EI

b) Chứng minh I, J, M thẳng hàng và JM vuông góc với HK

c) Tính độ dài cạnh BC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC theo b, c

a) Chứng minh các tứ giác AIEJ, CMJE nội tiếp và EA EM EC EI

- Ta có: AIE AJE900 và EMCEJC900 nên AIEJ và CMJE nội tiếp

- Ta thấy BAC BEC 600 và EM vừa trung tuyến vừa trung trực nên BEC đều

Có E là điểm chính giữa cung lớn BC nên 0

60

ECM EAC

IAE BACEAC    ECM IAE

- Suy ra EMC EIA (vì ECM IAE và 0

90

EMCEIA )

EA EI

EA EM EC EI

EC EM

Vì AIEJ, CMJE nội tiếp và EJA ECM 1 0

30 2









(do F nằm chính giữa cung BC)

AJI  JAIAIJ     MJC hay MJC đối đỉnh với AJI suy

ra I, J, M thẳng hàng (ĐPCM)

Cách 2:

- Vì AIEJ, CMJE nội tiếp và EIA ECM

IJA IEA IEA MEC MJC IJA MEC MJC

 





(đối đỉnh)

suy ra I, J, M thẳng hàng (ĐPCM)

Cách 3:

- Vì AIEJ và CMJE nội tiếp và EMC EIA nên

0

180





0

180

IJE EJM

   suy ra I, J, M thẳng hàng (ĐPCM)

Chứng minh JM vuông góc với HK

Cách 1:

- Ta lại có BHFM, KCFM nội tiếp và F là trung điểm của cung nhỏ BC nên ta có

0

30

Mà FH AB và FK AC nên 0

60

AKM AHM

Suy ra

0 0

90 90





(ĐPCM)

Cách 2:

- Ta có BMFH nội tiếp nên BFM BHM 







cân nên HAK cân Mà AF là đường kính của

đường tròn ngoại tiếp và A là điểm chính giữa cung

HK AF HK (1)

Vì ECMJ nội tiếp nên JMEJCE (2)

Có AFE ACE (3)

Từ (2) và (3) suy ra JMEAFE IM / /AF (4)

Từ (1) và (4) suy ra IM HK

c) Tính độ dài cạnh BC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC theo b, c

Kẻ BN vuông góc với AC ta có

0

2

2 2

,

0

sin 30

 MC   

2 2 0

 

 EC  b c bc

bằng

2 2

 

 EF  b c bc

Câu 5: Chứng minh biểu thức 3 2 3

là số nguyên

2

 n n n n  n  n n n n n

- Ta có (n1) (n n1)(n2)(n3) là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 1; 2;

n  n  n  n  nn n n   n  n  

Chứng minh rằng a4  b6 c8 2

Vì a 1, b 1, c 1 nên 4 2

,



,



b b c8 c2 a4  b6 c8 a2 b2 c2 (1)



             

 ab bc ca      ab bc ca   (2)

             

Từ (1) và (3) suy ra 4 6 8

2

  

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

( 1)( 1)



T

x y với x, y là các số thực lớn hơn 1

Vì x1, y1 nên

2

0,

1



x y

2

0

1



y x

Ta có:

T

2 2

Dấu “=”xảy ra khi x y 2 vậy minT 8

y  x