HOC SINH GIOI TOAN QUANG NAM NAM 20122013

Đường trung trực của đoạn thẳng AH cắt AB, AC lần lượt tại D và E.. Tam giác AOC đồng dạng với tam giác ADH.[r]

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

NĂM HỌC 2012 – 2013

Môn thi : TOÁN

Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 03/4/2013

Câu 1 (3,0 điểm).

a Rút gọn biểu thức A  3  5  7 3 5   21 6 6   21 6 6  

b Tính giá trị biểu thức Bx5 10x3 15x22x1, biết rằng x  2 3

Câu 2 (4,0 điểm).

a Giải phương trình x 2 x 1 x3 x6 12x2

b Giải hệ phương trình:

20 32







Câu 3 (4,0 điểm).

a Chứng minh rằng phương trình x 2 2y 2013 không có nghiệm nguyên

b Cho s, t, x, y, z là các số nguyên và tổng s + t + x + y + z chia hết cho 5 Chứng minh rằng tổng s5 + t5 + x5 + y5 + z5 chia hết cho 5

Câu 4 (7,0 điểm).

1 Cho tam giác ABC Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho AB = 3AM, AC = 3AN Biết diện tích tứ giác MNCB bằng 48 cm2

a Tính diện tích tam giác AMN

b Gọi O là giao điểm của BN và CM Tính diện tích tam giác BMO

2 Cho tam giác nhọn ABC, có trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp là O Đường trung trực của đoạn thẳng AH cắt AB, AC lần lượt tại D và E Chứng minh rằng:

a Tam giác AOC đồng dạng với tam giác ADH

b Điểm A là tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác DOE

Câu 5 (2,0 điểm).

Cho ba số thực dương a, b, c

Chứng minh rằng

+ + ab+bc+ca

Đẳng thức xảy ra khi nào?

===== Hết =====

ĐỀ CHÍNH THỨC

BÀI GIẢI SƠ LƯỢC:

Câu 1:

a) A  3  5  7 3 5   21 6 6   21 6 6  

A√2=(√6+2√5+√14 −6√5) (√21+6√6+√21− 6√6)

¿(√5+1+3 −√5)(3√2+√3+3√2−√3)

¿ 4 6√2=24√2

=> A=24

b) Trước hết làm bài toán quen thuộc (TSLOP 10 CHUYÊN BẾN TRE):

Cho x2-x-1=0

Tính A= x

6

− 3 x5+3 x4− x3+2014

x6− x3− 3 x2−3 x+2014

Cách tính: Tính x2; x3; x4 theo x

x2-x-1=0 => x2=x+1

x3=x2x=(x+1)x=x2+x=x+1+x=2x+1

x4=x3x=(2x+1)x=2x2+x=2(x+1)+x=3x+2

Tương tự x5=5x+3; x6=8x+5

Thế vào A ta được A=1

Đây là bài tương tự:

x=2 −√3⇔ x2 =7 − 4√3=8 − 4√3 −1=4(2 −√3)−1=4 x −1

x3=x2x=(4x-1)x=4x2-x=4(4x-1)-x=15x-4

x4=x3x=(15x-4)x=15x2-4x=15(4x-1)-4x=56x-15

x5=x4x=(56x-15)x=56x2-15x=56(4x-1)-15x=209x-56

 B=209x-56-10(15x-4)-15(4x-1)+2x+1

=x=2- √3

Câu 2:

a) Giải phương trình (x-2)(x-1)(x+3)(x+6)=12x2

b)

20 32







a) Ta có (x2+x-6)(x2+5x-6)=12x2

Xét x=0 không là nghiệm

Xét x ≠0 chia hai vế cho x2,đặt ẩn phụ ta giải được bốn nghiệm

b) Nhân hai vế phương trình (1) cho 2 rồi trừ phương trình (2) ta có (x-y)3=8

 x-y=2

Từ (1) ta có x2+y2=10 Thế y=x-2 vao giải ra x=-1 hoặc x=3=> y

Chú ý:

Có thể khử số hạng tự do của hệ phương trình đưa về phương trình đẳng cấp bậc hai 3x2+3y2-10xy=0(chú ý x-y≠0)

Đặt x/y=t giải ra t=3; t=1/3  x=3y; 3x=y

Từ đó giải ra x;y

Câu 3:

a) Ta có: x2 = 2y + 2013

Chứng minh A = 2y + 2013 không phải là số chính phương

*Nếu y < 0 thì A không thể là số nguyên

Một số chính phương khi chia cho 3 hoặc 4 có số dư là 0 hoặc 1

y = 0 được A = 2014 chia cho 4 dư 2

y = 1 được A = 2015 chia cho 3 dư 2

y = 2 được A = 2017 không là số chính phương

=> y 2 thì A không là số chính phương

* y > 2 thì 2y chia hết cho 8 => A chia cho 8 dư 5

Mà số chính phương lẻ chia cho 8 chỉ có thể có số dư là 1

=> y > 2 thì A không là số chính phương

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên

b) Đây là một ý từ một bài toán quen thuộc, với a1; a2; an và b1; b2; bn là các số nguyên

Chứng minh rằng a1+a2+…+an chia hết cho 30 khi và chỉ khi b15+ b25+ + bn5

chia hết cho 30

Chứng minh n5-n chia hết cho 30 với mọi n nguyên

Câu 4: 1a) Tính SAMN

AM

AB ¿

2

= 1 9

¿

¿

Δ AMN ~ Δ ABC ⇒ SAMN

SABC=¿

1b) Đặt SOMN=S1; SONC=S2; SOBC=S3; SOMB=S4

Dễ thấy S3=9S1; S2=S4;

S1/S2=S4/S3=>S1S3=S2S4=>9S12=S42S4=3S1

S1+S2+S3+S4=48  S4/3+S4+3S4+S4=48

16S4/3=48 S4=9

2a) Chứng minh tam giác AOC đồng dạng tam giác ADH

Đây là hai tam giác cân

DÂH=900-B;

2OÂC=2OCA=1800-AÔC=1800-2B=>OÂC=900-B

=>DÂH =OÂC=>AOC~ADH

2b) Chứng minh A là tâm đường tròn bàng tiếpDOE.

+ Chứng minh DB là phân giác góc GDO

GDB=ABC (slt) do DE và BC cùng vuông góc AH BDO=DAO+DOA=HAC+HCA

=(900-ACB)+(900-BAC)

=1800-(ACB+BAC)=ABC

=>GDB=BDO

Tương tự EC là phân giác OEx

A là tâm đường tròn bang tiếp DOE

Câu 5:

Cho ba số thực dương a, b, c

Chứng minh rằng

+ + ab+bc+ca

Ta có (a+b)(a-b)2≥0 mọi a,b≥0  (a+b)(a2-2ab+b2)≥0

 (a+b)(a2-ab+b2)≥ab(a+b) a3+b3≥a2b+ab2  a b3+b2≥ a2

+ ab

Tương tự b3

c +c

2

≥ b2+bc ; c3

a +a

2

≥ c2+ ca Cộng từng vế ta có đpcm Dấu bằng khi a=b=c

+ Nếu dùng Bunhiacopxki thì đơn giản hơn;

Từ Bunhiacopxki => a2

x+

b2

y+

c2

z ≥

(a+b+ c )2

x + y +z

a3

b +

b3

c +

c3

a=

a4

ab+

b4

bc+

c4

ca≥

(a2+b2+c2)2

ab+bc+ca ≥

(ab+ bc+ca )2 ab+bc+ca =ab+bc+ca

……… //……….