Tài liệu Bài giảng toán II: Giải tích nhiều biến docx

Một đường cong được gọi là đường mức nếu nó nằm trong miền xác định của hàm số và trên đó giá trị của hàm số không thay đổi 6.. C ỰC TRỊ TỰ DO CỦA HÀM 2 BIẾNĐặt vấn đề : Bài toán khảo

BÀI GIẢNG TOÁN II :

PGS TS NGUYỄN HỮU BẢO

Trưởng Bộ môn Toán học, phó trưởng Khoa C N T T Trường ĐẠI HỌC THUỶ LỢI

Trong hầu hết các bài toán của thực tế , đối tượng nghiên cứu thường là các hàm nhiều biến số chứ không chỉ là các hàm một biến như đã được học trong môn

TOÁN I Trong môn học TOÁN II này , chúng ta sẽ nghiên cứu các hàm nhiều biến và đặc biệt là hàm 2 biến để đơn giản cho cách trình bày mà vẫn không giảm tổng quát khi mở rộng cho nhiều hơn 2 biến Các khái niệm khả vi , liên tục , khả tích … đều có khác hàm 1 biến và đặc biệt là các tích phân 2 hoặc 3 lớp , tích phân đường , tích phân mặt …là các khái niệm hoàn toàn mới so với các kiến thức được học ở trường phổ thông Các bài toán cực trị hàm nhiều biến cùng với các vấn đề của lý thuyết trường sẽ là các kiến tức cốt lõi cho một kỹ sư trong tương lai

Tuần 1

Chương 1 : KHÔNG GIAN 3 CHIỀU VÀ HÀM 3 BIẾN

Hệ toạ độ trong không gian 3 chiều :

Không gian R3 đã được học ở chương trình phổ thông Ký hiệu P=( x,y,z ) để chỉ một điểm P có toạ độ ( x,y,z ) trong không gian này Hệ 3 véc tơ trực chuẩn i,j,k là một cơ sở đã biết ở phổ thông Khi đó , véc tơ R= OP

sẽ viết dưới dạng:

R = x.i + y.j +z.k

Các khái niệm tích vô hướng , tích hữu hướng , khoảng cách , độ dài … đều như ở phổ thông đã được học

Ví dụ 1 :Tìm cosin của góc  giữa A( 1, 2, 2 ) và B(-3, 4, 0 )

Giải : Ta có |A| = 1 4 4 3    , |B| = 5 , A.B = -3+8+0 = 5 do đó

cos = .

| | | |

A B

A B = 1/3

Ví dụ 2: Tính diện tích tam giác có đỉnh là P ( 2,-1,3 ) , Q (1,2,4 ) , R (3,1,1 )

Giải: Hai cạnh của tam giac là A=  PQ

= -i +3j +k , B =  PR = i + 2j – 2k

Vì vậy , diện tích của tam giác là độ lớn của véc tơ :

A B =

i -1 3 1

Hệ toạ độ trụ và hệ toạ độ cầu trong R3

1.Hệ toạ độ trụ : Mối liên hệ với toạ độ Đề các trong R3 như sau :

x = rcos , y = rsin , z = z , trong đó r = x2 + y2 , tan = y / x

Ví dụ 1 : Tìm toạ độ trụ của điểm P = ( 3, 3, 7 ) trong R3

Giải: Ta có r = 9 9 2 3   , tan = 1 , z = 7 nên toạ độ trụ của P là (2 3,2, 5 )

Ví dụ 2 : V ẽ măt cong cho theo toạ độ trụ r( 2cos +5sin ) +3z = 0

Giải: V ì x = rcos và y = rsin nên ta có phương trình của mặt cong nói trên trong R3 là 2x + 5y + 3z = 0 , đó là một mặt phẳng đi qua gốc toạ độ và có vec

tơ pháp tuyến là ( 2, 5, 3 )

Hệ tọa độ cầu: Mối liên hệ với toạ độ Đề các trong R3 như sau :

x =  sin cos , y =  sin sin , z =  cos ,

trong đó 2 = x2 + y2 + z2 , tan = y / x , tan = x2 y2

z



Ví dụ : Tìm phương trình trong tọa độ cầu của hình cầu x2 + y2 + z2 - 2az = 0 ( a>0)

2

 - 2a  cos =0   ( -2acos ) = 0 tức là  =0 hoặc

 -2acos = 0 Nhưng  =0 chỉ là trường hợp riêng của  -2acos = 0 nên ta có thể kết luận là phương trình cần tìm là  -2acos = 0

Chú ý : Đây chính là phương trình của một mặt cầu có bán kính a , tiếp xúc với mặt

phẳng xoy tại gốc tọa độ

Tuần 2

Đạo hàm riêng của hàm nhiều biến

1 Hàm n biến y = f( x1,x2, …xn ) : là một ánh xạ từ không gian Rn vào R

2 Miền xác định của y = f( x1,x2, …xn ) : T ât c ả c ác điêm trong Rn sao cho

x ác định 1 giá tri y thuộc R Để đơn giản cho cách trình bay mà không làm giảm tổng quát , ta sẽ chi xét hàm 2 biến z = f (x,y)

3 Giới hạn bội trong R2 : 0

4 Tính liên tục : Hàm 2 biến f(x,y) đuợc gọi là liên tục tại điểm (x0, y0)

thuộc miền xác định của nó giá trị của hàm f (x,y) đ ủ gần giá trị f(x0, y0) khi (x,y) đ ủ gần điểm ( x0, y0)

Vi dụ : Hàm z = xy liên tục tại mọi điểm (x,y) trong R2

5 Đường mức : Cho một giá trị c bất kỳ , với 1 hàm số z = f(x,y) , phương

trình f(x,y) = c cho ta x ác đ ịnh một đường cong trong mặt phẳng xoy Một đường cong được gọi là đường mức nếu nó nằm trong miền xác định của hàm số

và trên đó giá trị của hàm số không thay đổi

6 Mặt mức : Mở rộng khai niệm trên cho hàm 3 biến , mặt mưc là mặt cong

trong miền xác định của hàm số f (x,y,z) sao cho trên nó hàm số nhận giá trị không thay đổi

7 Đạo hàm riêng : Cho hàm 2 biến z = f(x,y) Xét giới hạn

 , f’x(x,y) Hoàn toàn tương tự với đạo hàm riêng theo biến y

8 Đạo hàm riêng cấp 2 và cấp cao hơn 2 : Vì f

Ví dụ : Cho f(x,y) = x3e5y + y sin2x Tìm các đạo hàm riêng tới cấp 2 của nó

Giai: fx = 3x 2e5y + 2ycos2x , fy = 5x3e5y + sin2x,

fxy= 15x2e5y + 2cos2x , fyx= 15x2e5y + 2cos2x

Chú ý : Nếu tồn tại các đạo hàm riêng cấp hai tồn tại v à li ên t ục trong lân cận điểm (x0,y0) thì trong lân cận này , đạo hàm cấp 2 không phụ thuộc thứ tự lấy đạo hàm

9 Vi phân toàn phần cấp 1 và cấp 2 của hàm 2 biến

f y



 dy2

Các ví dụ luyện tập:

Tuần 3 Đạo hàm hàm hợp , hàm ẩn

Quy tắc dây chuyền tính đạo hàm riêng :

dt = ( 6x + 2y)(-sint) + ( 2x – 2y)( cost) =

= ( 6cost + 2sint )( -sint) +(2cost – 2sint )(cost) = 2cos2t – 4sin2t

2 Cho w = f( x,y ) , trong đó x = r cos , y = r sin Chứng minh rằng :

1 F( x,y ) = 0 ( Không giải ra được y = f(x) )

2 F ( x,y, z ) = c ( Không giải ra được z = f( x,y ) )

Xét trường hợp 1

Định lý về hàm ẩn : Cho F(x,y) liên tục , có các đạo hàm riêng tong lân cận của điểm

(x0,y0) và giả sử F(x0,y0) = c , Fy(x0,y0) 0 thì tồn tại một hàm ẩn y = f(x) xác định và khả

vi trong một lân cận của điểm x0 sao cho y0 = f(x0)thỏa mãn ;

F[x, f(x)] = c Hơn nữa , cách tính đạo hàm của hàm ẩn này trong lân cận điểm

(x0,y0) như sau :

x

y

F dy

Tìm các đạo hàm riêng của z theo các biến x và y

Tuần 4 ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG & GRADIENT

CỦA HÀM 3 BIẾN

Cho f(x,y,z) là một hàm 3 biến xác định trong 1 miền nào đó cua R 3 và P là 1

điểm trong miền này Tại đó tốc độ biến thiên của hàm f sẽ như thế nào nếu ta di chuyển điểm P theo một hướng nhất định ? Theo hướng dương của các trục

Ox, Oy, Oz ,tốc đọ biến thiên của hàm f được xác định bởi các đạo hàm riêng của

Gỉa sử điểm P = (x,y,z) và gọi R là véc tơ OP = xi + yj + zk

còn Q = ( x+x,y +y, z +z) Gỉa sử khi Q dần đến P thì f thay đổi 1 lượng là f và khoảng cách s= |R| của P và Q và dần tới 0 Gọi u là véc tơ đơn vị của PQ Khi đó lim0

Tính chất của đạo hàm theo hướng:

Tính chất 1: Đạo hàm theo 1 hướng đã cho là tích vô hướng của véc tơ gradf với véc tơ

đơn vị của hướng lấy đạo hàm

Tính chất 2:Hướng của véc tơ trùng với hướng mà theo đó hàm f tăng nhanh nhất

Tính chất 3: Độ dài của gradf chính là tốc độ tăng nhanh nhất của f

Tính chất 4: Gradient của hàm f (x,y,z ) tại điểm P0 chính là véc tơ pháp của mặt mức của f tại điểm P0 Từ đó phương trình mặt phẳng tiếp diện tại điểm P0 là:

Ví dụ ứng dụng các tính chất trên:

Ví dụ 1: Cho f( x,y,z ) = x2 – y + z Tính đạo hàm theo hướng véc tơ 4i – 2j + 4k tại điểm ( 1,2,1 )

Giải: Tại điểm ( 1,2,1 ) ta tìm được véc tơ gradf là 2i – j + 2k véc tơ đơn vị của véc tơ

4i – 2j + 4k là 2/3i + 1/3j + 2/3k và vì vậy đạo hàm cần tìm là :

df (gradf u).

ds  = ( 2i – j + 2k )(2/3i – 1/3j + 2/3k) = 3

( chú ý là ở đây hương của gradf trùng với hướng của u nên df (gradf u).

ds  =| gradf| và lúc này df

ds đạt giá trị lớn nhất và cũng là tăng lớn nhất , thêm 3 đơn vị độ dài của nó )

Ví dụ 2: Tìm phương trình tiếp diện cua mặt cong xy2z3 = 12 taị điểm ( 3,-2,1 )

Giải: Ta tìm được gradf = 4(I – 3j + 9k ) Từ đó , phương trình tiếp diện cần tìm là :

( x-3) – 3( y + 2 ) + 9( z - 1) = x – 3y + 9z = 18

1 C ỰC TRỊ TỰ DO CỦA HÀM 2 BIẾN

Đặt vấn đề :

Bài toán khảo sát cực trị hàm nhiều biến là một trong các bài toán quan trong nhất trong các nhiên cứu kỹ thuật và vì vậy , đây là kiến thức cơ bản nhất mà một

kỹ sư tương lai cần phải có Để gọn nhẹ cho các trình bày , chúng tôi chỉ xét tới hàm

2 biến , việc mở rộng cho hàm nhiều biến hơn là không có gì khó khăn và hoàn toàn

có thể tự tìm hiểu.

Giả sử z = f(x,y) xác định trong một miền D nào đó Điểm ( x 0 ,y 0 ) được gọi là điểm cực đại nểu f(x,y) đạt giá trị cực đại tại điểm đó , tức là f(x,y) f ( x 0 ,y 0 ), với mọi điểm (x,y)thuộc miền D Cách định nghĩa hoàn toàn tương tự với điểm cực tiểu Sau đây chúng ta sẽ đưa ra qui trình tìm các điểm cực trị của một hàm 2 biến z = f(x,y) đã cho Lý giải về mặt toán học của cách làm , các bạn hãy tìm hiểu trong giáo trinh giải tích nhiều biến số

Quy tắc tìm cực trị tự do của hàm 2 biến :

Nếu : B 2 – AC < 0 thì * Nếu A < 0 , điểm (x 0 ,y 0 ) là điểm cực đại

* Nếu A > 0 , điểm (x 0 ,y 0 ) là điểm cực tiểu Nếu B 2 – AC > 0 thì (x 0 ,y 0 ) không phải là điểm cực trị , tức là tại

đó hàm z = f(x,y) không có cực trị Nếu B 2 – AC = 0 thì phải xét tiếp , chưa thể có kết luận gì

Ví dụ áp dụng :

Tìm kích thước của một hình hộp chữ nhật có thể tích bằng 4 đơn vị sao cho diện tích mặt ngoài ( không có mặt trên ) là nhỏ nhất

Giải: Nếu gọi các cạnh đáy là x và y , chiều cao là z thì diện tích mặt ngoài không kể mặt

trên của khôi hộp sẽ là :

Một số ví dụ luyện tập tại lớp

Tuần 6

2 Cực trị trên miền đóng ( cực trị tuyệt đối )

Chú ý là cực trị tự do chỉ là cực trị tương đối , tức là trong miền D hàm z = f(x,y)

có thể có một vài điểm cực tiểu và một vài điểm cực đại Tuy nhiên , bài toán tìm cực trị của hàm z = f(x,y) trên một miền D là một miền đóng thì kết quả là trên miền D chí có duy nhất một điểm cực đại và một điểm cực tiểu mà ta gọi giá trị của hàm z tại đó là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của nó Đây còn được gọi là các giá trị cực trị tuyệt đối của hàm 2 biến z = f(x,y)

Quy tắc tìm cực trị tuyệt đối của hàm 2 biến

2 Tìm các điểm dừng trên biên D

3 So sánh các giá trị của hàm z = f(x,y) tại các điểm dừng trong miền D và trên biên D để từ đó tìm được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của nó

Các ví dụ luyện tập tại lớp

3 Cực trị có điều kiện

Trong phần này chúng ta sẽ xét tính cực trị của hàm z = f(x,y) nhưng chỉ với các biến (x,y) thỏa mãn điều kiện nào đó , ví dụ (x,y) phải thỏa mãn một phương trình g(x,y) = 0 chẳng hạn

Đây mới là bài toán cực trị thông dụng nhất trong các ứng dụng kỹ thuật Hàm g(x,y) được gọi là hàm ràng buộc và hàm z = f(x,y) được gọi là hàm mục tiêu (nếu ta muốn nó đạt cực đại) hoặc gọi là hàm giá (nếu ta muốn nó đạt cức tiểu)

Bài toán tối ưu kinh điển của kỹ thuật là : Hãy tìm điểm ( x * ,y * ) sao cho f( x * ,y * ) đạt cực trị và thỏa mãn điều kiện g( x * ,y * ) = 0 Điểm ( x * ,y * ) được gọi là điêm tối ưu

và f( x * ,y * ) được gọi là giá trị tối ưu

Qui tắc tìm cực trị có điều kiện cho phép ta tìm được điểm tối ưu ( x * ,y * ) nói trên

Quy tắc tìm cực trị có điều kiện với phương pháp nhân tử

Lagrange

Trường hợp 1 : Nếu từ hàm ràng buộc g(x,y) = 0 có thể giải được ra y = y(x) thì

ta sẽ thay y = y(x) vào hàm z và ta được z = f(x,y(x)) = z(x) tức là z là hàm của 1 biến

x Từ đó cách tìm cực trị của hàm 1 biến đã được học ở Toán I

Trường hợp 2 : Nếu từ hàm ràng buộc g(x,y) = 0 không thể giải được ra y = y(x) thì ta sẽ tìm cực trị tự do của phiến hàm Lagrange :

L(x,y,) = f(x,y) - g(x,y) (Ở đây  được gọi là nhân tử Lagrange )

Giải hệ L x (x,y,  ) = 0

L y (x,y, ) = 0

g(x,y) = 0 ta tìm được  ,x,y nhưng ta chỉ quan tâm tới các (x,y) tìm được Đó là các điểm dừng và từ đó tìm được cực trị của hàm z = f(x,y)

Ví dụ ứng dụng: Tìm các cạnh của một hình chữ nhật nội tiêp trong nửa hình tròn

có bán kinh a sao cho nó có diện tích lớn nhất

Giải: Nếu gọi các cạnh của hình chữ nhật cần tìm là 2x và y và diện tích của nó là

A thì ta có : A = 2xy Bài toán cực trị ở đây là : Tìm x , y sao cho A cực đại với điều kiện x2 + y2 = a2 Phiến hàm Lagrange có dang :

L(x,y, ) = f(x,y) - g(x,y) = 2xy - ( x2 + y2 - a2 )

Giải hệ tìm điểm dừng : L

x



 = 2y - 2x = 0 L

y



 = 2x - 2y = 0

x2 + y2 - a2 = 0

Giaỉ ra  = 1 nhưng nếu = -1 thì kéo theo y = -x , bị loại nếu = 1 thì x=y tức

là hình chữ nhật cần tìm có một chiều gấp đôi chiều kia Thay vào điều kiện x2 + y2 = a2

Ta tìm được x = y = a /2 Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật cần tìm là a / 2

Chú ý : Phương pháp nhân tử Lagrange để tìm cực trị hàm 2 biến hoàn toàn có thể

mở rộng cho bài toán tìm cực trị của hàm 3 hoặc nhiều hơn 3 biến

Tuần 7 TÍCH PHÂN BỘI ( TÍCH PHÂN 2 -3 LỚP )

1 TÍCH PHÂN 2 LỚP ( TÍCH PHÂN BỘI 2 )

Một hàm liên tục 2 biến f(x,y) có thể được lấy tích phân 2 lớp trên một miền D thuộc R 2 bằng việc tính thể tích hình trụ cong có đáy là miền D và chiều cao là

z = f(x,y) tương tự như lấy tích phân 1 lớp của 1 hàm liên tục 1 biến f(x) khi muốn tính diện tích hình thang cong có cạnh trên là y = f(x) và x thuộc đoạn [a,b] Tích phân 2 lớp được ký hiệu là :

x x d

  Với mọi hàm f(x)  g(x) với mọi x trên miền D

3 Nếu D = D 1D 2 trong đó D 1 và D 2 là 2 miền không giao nhau thì

Tuần 8 TÍNH TÍCH PHÂN 2 LỚP

1.TÍNH TÍCH PHÂN 2 LỚP BẰNG CÁCH ĐƯA VỀ TÍCH PHÂN LẶP

Dựa vào kết quả đã có của truần trước , ta sẽ tính tích phân 2 lớp bằng một trong 2 công thức sau :

x x d

dy f x y dx

a/ Dựa vào công thức 1

b/ Dựa vào công thức 2

x x d

 Trong đó D là miền tạo bởi y = x-4 , y2 = 2x

Đổi biến sang tọa độ cực trong tính tích phân 2 lớp

1 Nhắc lại về tọa độ cực

Tọa độ cực trên mặt phẳng R 2 gồm chỉ có 1 cực ( vì vậy còn gọi là tọa độ độc cực ) Mỗi biến điểm M gồm 2 tọa độ  và trong đó  là khoảng cách từ M tới gốc cực còn  là góc hợp bởi véc tơ OM với chiều dương của trục cực.

2 Mối quan hệ giữa tọa độ Đề các và tọa độ độc cực của cùng 1 biến điểm :

x =  cos , y = sin ,  2 = x 2 + y 2 ,  = arctan x/y

3 Phép đổi biến sang tọa độ cực : x =  cos , y = sin Đổi biến sang tọa độ cực không làm thay đổi hình dạng đường cong

- Khi hàm dưới dấu tích phân là hàm đẳng cấp của x và y

- Khi miền lấy tích phân là hình tròn hoăc có liên quan đến hình tròn

- Khi miền lấy tích phân được tạo bởi các đường cong chỉ có trong tọa độ cực.

Ví dụ : Tính tích phân 2 lớp :

2 2

D

y dxdy x

 Trong đó D = { 1 x 2 + y 2  2x }

Giải: Đổi biến sang tọa độ cực , miền D được tạo bởi 2 đương tròn có cung bán kính

= 1 , có phương trình là  = 1 và  = 2cos nên giao điểm của nó là nghiệm phương trình cos = ½ tức là  = -

os sin

1 Tính thể tích hình trụ cong : Từ ý nghĩa của tích phân 2 lớp , tích phân 2 lớp trên miền D của hàm z = f(x,y) chính là thể tích hình trụ cong có đáy là miền D và mặt trên là mặt cong z = f(x,y)

2 Tính khối lượng : Nếu  (x,y) là tỷ trọng của một bản mỏng thì  (x,y)dA là khối lượng của yếu tố diện tích và khi đó , khối lương toàn phần của bản là

Tích phân 3 lớp xuất phát từ việc tính thể tích của một vật thể V trong R 3 , có mặt đáy là một miền D trong mặt phẳng xoy (a  x  b , y 1 (x)  y  y 2 (x) ) và mặt trên

là z 2 (x,y) , mặt dưới là z 1 (x,y)

Ví dụ : Dùng tích phân 3 lớp để tính thể tích vật thể V là một hình cầu

x 2 + y 2 + z 2 = a 2

Giaỉ: Vì tể tích hình cầu đã cho là 8 lần thể tích phần nằm trong góc phần tư thứ