SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTỈNH HẢI DƯƠNG TRƯỜNG THPT ĐOÀN THƯỢNG KÌ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM 2010 MÔN TOÁN, KHỐI A, B ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM * Chú ý.. Thí sinh làm bài không theo cách nêu tro
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH HẢI DƯƠNG
TRƯỜNG THPT ĐOÀN
THƯỢNG
KÌ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM 2010
MÔN TOÁN, KHỐI A, B ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
* Chú ý Thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần tương ứng.
I 1 Khảo sát hàm số y x= 3+6x2+9x+3 (C) 1,00
TXĐ: ¡ ' 3 2 12 9, ' 0 1 1
= − ⇒ = −
'' 6 12, '' 0 2 1
BBT: ghi đầy đủ
Kết luận về tính đb, nb, cực trị
Đồ thị Đồ thị là đường cong trơn thể hiện đúng tính lồi, lõm
Đồ thị đi qua 5 điểm: CĐ(-3 ; 3), CT(-1 ; -1), I(-2 ; 1), A(-4 ; -1), B(0 ; 3)
4
3
2
1
-1
4
3
2
1
-1
0,25
0,25 0,25 0,25
1 2
log x +6x +9x+ =3 m (1) 1,00
2
m
⇔ + + + = ÷ Gọi (C’) là đồ thị hs y= x3+6x2+9x+3
Pt (1) có 6 nghiệm ⇔ đt 1
2
m
y
= ÷ cắt (C’) tại 6 điểm
Ta có
( 6 9 3) khi 6 9 3 0
Gọi (C1) là phần đồ thị của (C) nắm trên Ox, (C2) là phần đồ thị của (C) nằm dưới Ox
(C3) là hình đối xứng của (C2) qua trục Ox thì (C’) = (C1) ∪ (C3)
Từ đồ thị (C’), pt (1) có 6 nghiệm ⇔ 0 1 1 0
2
m
m
< ÷ < ⇔ >
0,25
0,25 0,25
0,25
(1−m)sinx−cosx m= 1 2 cos+ x (1) có nghiệm 1,00 TXD: ¡ pt (1) ⇔sinx−cosx m= ( 1 2cos+ 2 x+sinx)
Nhận xét Hs y=sin ,x y=cosx tuần hoàn với chu kì 2π nên pt (1) có nghiệm ⇔ pt
0,25
Trang 2(1) có nghiệm thuộc nửa khoảng ;3
2 2
π π
÷
2
vô lí Vậy
2
x= −π
không là nghiệm
Vậy 1
2
m= thì pt có ít nhất một nghiệm là
2
π
− < < ⇒ > Chia hai vế cho cos x ta được
2
tan 1 tan 1 tan 3 tan
tan 3 tan
x
−
+ +
Đặt t=tan ,x t∈¡ ta được 2 1
3
t m
−
= + + Đặt 2
1 ( )
3
t
f t
−
= + +
2 2
Mặt khác lim ( ) , lim 1
2
→−∞ = −∞ →+∞= Vậy 1
2
m<
TH4 3 cos 0
π < < π ⇒ <
Chia hai vế cho cos x ta được
2
tan 1 tan 1 tan 3 tan
tan 3 tan
x
−
Đặt t=tan ,x t∈¡ ta được 2 1
3
t m
−
=
− + + Đặt 2
1 ( )
3
t
f t
−
=
2 2
− + + + Lập BBT của ( )f t
0,25
0,25
0,25
t −∞ 1− +∞
'( )
f t + 0 -
( )
f t
2
3
1
2
−∞
Trang 3Từ BBT suy ra 2
3
m≤
Kết luận Các giá trị của m để pt có nghiệm là 2
3
m≤
2 1
2x 3x 5 > x
−
2
x + x− > x− ≠ ⇔ < −x x>
TH1 5 2 1 0
2
x< − ⇒ x− < , bất phương trình đúng
TH2 x> ⇒1 2x2+3x− >5 0, 2x− >1 0
3
2
x
x
<
>
Kết hợp điều kiện ta được 1 3
2
x
< < hoặc x>2
Kết luận Tập nghiệm của bpt là S = ; 5 (1; ) (2;3 )
0,25 0,25
0,25
0,25
Ta có 2
3
x y x
= + cắt trục Ox tại điểm có hoành độ x = 0.
Vậy V =
( )
2
2
2
3
x
x
+
Đặt 3 tan , ; 3(1 tan )2
2 2
x= t t∈ − π π ⇒dx= + t dt
0 3 tan 0, 1 3 tan 6
π
3(1 tan ) sin
π
0 0
3 1 cos 2 3 sin 2 3
∫
* Chú ý Học sinh có thể sử dụng công thức tích phân từng phần như sau
1
2( 3) 3
x
x x
−
+
1
2
1
3
x
0,25 0,25
0,25 0,25
Gọi H là hình chiếu của S trên mp(ABCD)
Do SB = SC = SD nên HB = HC = HD suy ra
H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD
O
C D
S
H
Trang 4Tam giác BCD cân tại C nên H thuộc CO, O là
giao của AC và BD
∆ = ∆ = ∆
⇒ = = ⇒ ∆ vuông tại S
2 1
1
x SH
SH = SA +SC2 ⇒ = x
+
3 2
ABCD
S = AC BD= x + −x ⇒ =V x −x
áp dụng BĐT Côsi ta có
2
Đẳng thức xảy ra 6
2
x
⇔ = Vậy V lớn nhất khi 6
2
x=
0,25
0,25
0,25
0,25 V
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 22 22 23
1,00
Đặt a=tan ,x b=tan ,y c=tanz , , 0 , , 0;
2
a b c> ⇒x y z π
∈ ÷
tan tan
y x z kπ
2
x y z∈ π ⇒ =k
Vậy ⇔ = +y x z
P = 2cos2x−2cos2 y+3cos2z= +1 cos 2x− +(1 cos 2 ) 3cosy + 2z
2sin(x y)sin(x y) 3cos z 2sin(x y)sinz 3(1 sin )z
2
3sin 2sin( )sin 3 3 sin sin( ) 3 sin ( )
1
P 0 3
3
Đẳng thức xảy ra 1 , 2, 1
⇔ = = = Vậy max 10
3
P=
0,25
0,25
0,25
0,25
( ; ) ( ; )
S = S = ⇔ AB d G AB = ⇔d G AB =
3 3 ( ;3 3)
G y∈ = x− ⇒G t t− Đt AB có pt x y− − =8 0
(3 3) 8
t t
2 2; 9 13;18
3 3; 12 16; 27
0,25 0,25 0,25 0,25
2 Tìm tọa độ điểm C thuộc mặt phẳng (P) sao cho tam giác ABC đều 1,00
( ; ; ) ( ) 3 8 7 6 0
C a b c ∈ P ⇔ a− +b c− = (1) Tam giác ABC đều ⇔ AC2 =BC2 =AB2 0,25
Trang 52 2 2
2 2 6 3 0 (3)
a c
+ =
Từ (1) và (2) suy ra 2 3, 2 3
thế vào (3) ta được 18b2+52b+39 0= Phương trình này vô nghiệm Vậy không có
điểm C nào thỏa mãn
0,25 0,25
0,25
Tam giác OAB đều ⇔OA OB AB= = ⇔ z1 = z2 = −z1 z2
Ta có z13+ =z32 (z1+z2)(z12+ −z22 z z1 2) 0= ⇒z13 = − ⇒z23 z1 = z2
Mặt khác z12+ −z22 z z1 2= ⇔0 (z1−z2)2 = −z z1 2⇒ (z1−z2)2 = −z z1 2
2
0,25 0,25 0,25 0,25
1 ( ; ) 1 ( ; )
S = S = ⇔ AB d I AB = ⇔d I AB =
Đt AB có pt x−4y+ =6 0 I∈ −x 3y+ = ⇒2 0 I t(3 −2; )t
3 2 4 6
2 (4; 2) (6; 2), (10;3)
6 (16;6) (30;10), (34;11)
0,25 0,25 0,25
0,25
d có ptts x= −1 ,t y= − +3 2 ,t z= +3 t ∆ cắt d tại I ⇒I(1 , 3 2 ,3− − +t t +t)
4
2 2
2 3
t t
d I P
t
=
−
2 3; 7;1 :
−
0,25 0,25 0,25
0,25 VII.b
Giải hệ phương trình
=
−
= +
1 log log
27 2
3 3
log
x y
y
Đk: x>0,y>0 log3 y−log3x= ⇔ =1 y 3x
Lôgarit cơ số 3 hai vế ta được log log3 y 3x=log 93 ⇔ +(1 log ) log3x 3x=2
3 3
log 1
log 2
x
= ⇒ =
=
(thỏa mãn đk) Vậy hệ pt có 2 nghiệm là
0,25 0,25 0,25
0,25