Phuong trinh duong thang song song

Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d’ .Ta tìm VTCP của d và d’ Tìm điểm chung của d và d’ bằng cách giải hệ phương trình :... Dựa vào bảng sau .Ta có kết luận tương ứng..[r]

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Mọi vectơ có giá (phương) songsong

hoặc trùng với đường thẳng d gọi là véctơ chỉ

phương của đường thẳng đó

Mỗi đường thẳng có vô số véctơ chỉ phương.

d

a                              o

d

d

a



Véctơ chỉ phương của đường thẳng

0 1  ( ; ; ) ;

M M t t t 0 2  (2 ;2 ;2 )



M M t t t

0 2 2 0 1 (  )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M M M M t R

Vậy

Suy ra ba điểm M0,M1,M2 luôn thẳng hàng

Ta có:

Bài toán:

Giải

Trong không gian Oxyz, cho điểm và hai điểm

và , di động với tham số

t Chứng tỏ ba điểm M0,M1,M2 luôn thẳng hàng

0(1;2;3)

M

1(1+ t ;2+ t ;3+ t)

M M2(1 2t ;2+2t ;3+2t)

0 1

0 2

0 3

( )

 







  



x x a t

y y a t t R

z z a t

I PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG

1 Định lý:

Trong không gian Oxyz cho đường thẳngd đi qua M(x 0 ,y 0 ,z 0 )

nhận làm vectơ chỉ phương

Điều kiện cần và đủ để điểm M(x; y; z) nằm trên d là có một số

thực t sao cho

1 2 3

( ; ; )



a a a a

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua

điểm

M(x0 ,y0 ,z0 ) và có vectơ chỉ phương có

( ; ; )





a a a a

0 1

0 2

0 3







  



Chú ý: Nếu a1,a2,a3 đều khác 0

Đường thẳng d đi qua điểm M(x0 ,y0 ,z0 ) và có vectơ

chỉ phương có thể viết dưới dạng phương trình chính tắc

( ; ; )





Ví dụ 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng

đi qua M(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương a  (2 ; 4 ; 5)  

Giải

Phương trình tham số của đường thẳng là:

1 2

2 4

3 5

 

 

 













t R

Ví dụ 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng AB

Với A(1;-2;3) và B(3;0;0).

Đường thẳng AB có VTCP A B  ( 2 ; 2 ;3 )

Phương trình tham số của đường thẳng AB là:

t R

x 1 2t

z 3 3t













 

 

 

Ví dụ 3: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng

(d) đi qua hai điểm A(1; -2; 3) và B(3; 0; 0)

Giải

Phương trình chính tắc của đường

thẳng là:

Vectơ chỉ phương của đường thẳng :   (2;2; 3) 

AB



Ví dụ 4: Viết phương trình tham số của đường thẳng (d)

đi

qua A(1; -2; 3) và vuông góc với mặt phẳng (P): 2x + 4y

+ 6z + 9 = 0

Giải

Ta có: d (P)                 d                P  ( 2 ; 4 ; 6)

a n

Phương trình tham số của đường

thẳng (d) là: 1 2

-2 4

3 6

 





  



  



x t

y t t R

z t

0 1 0 1

x ta x' t'a' (I) y ta y' t'a'





II ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG

SONG SONG, CẮT NHAU,CHÉO NHAU.

Cho hai đường thẳng d và d’ có phương trình lần lượt sau:

Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d’ Ta tìm

VTCP của d và d’

Tìm điểm chung của d và d’ bằng cách giải hệ phương trình :

Dựa vào bảng sau Ta có kết luận tương ứng.

Hệ phương trình (I) Vị trí giữa d và d’

Có nghiệm

Vô nghiệm

Có nghiệm

Vô nghiệm

d cắt d’

d và d’chéo nhau

a ka

   

Cùng phương

a ka

   

Không cùng phương

và Quan hệ giữa a d a d'

d d' 

d / /d'

d d'

a (1;2; 1);a  (2;4; 2) ad 1a(*d' )

2

1 t 2 2t' (1) 2t 3 4t' (2)

3 t 5 2t' (3)

   



 



   



Ví dụ 1: Chứng minh hai đường thẳng sau đây song song

x 2 2t' d': y 3 4t'

z 5 2t'

  



 



  



x 1 t

d : y 2t

z 3 t

  







  



và

Ta có :

Hệ phương trình sau :

Từ (*) và (**) ta suy ra: d//d’

vô nghiệm (**)

x 1 t

d : y 2 3t

z 3 t

  



 



  



x 2 2t'

z 1 3t'

  



 



  



a (1;3; 1);a   ( 2;1;3)

1 t 2 2t' (1)

2 3t 2 t' (2)(**)

3 t 1 3t' (3)







Ví dụ 2 : Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

Tìm giao điểm của hai đường thẳng sau (nếu có)

và

Ta có :

.Hai bộ số không tỉ lệ nên

d d'

a ,a  không cùng phương.(*)

Từ (*) và (**) suy ra t = -1 và t’= 1

Thay vào phương trình (3) ta thấy thoả Nên hệ pt có

nghiệm là :t=-1 ;t’=1,

Thay t vào ptts của d ta có toạ độ giao điểm M(0;-1;4)

Xét hệ phương trình

d d'

a (2;3;1);a (3;2;2)

1 2t 1 3t ' (1)





t ;t'

5 5

 

 

Ví dụ 3 : Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

x 1 2t

z 5 t

  



 



  



x 1 3t'

  



 



  



và

Ta có : Hai bộ số không tỉ lệ nên

d d'

a ,a   không cùng phương.

Từ (1) và (2) suy ra

Thay vào phương trình (3) ta thấy không thoả , suy ra hệ

Xét hệ phương trình

d d'

a    ( 1;2;4);a   (2;3; 1) 

d d'

a a    0

d d'

Ví dụ 4: Chứng minh hai đường thẳng sau vuông góc

x 5 t

d: y 3 2t

z 4t

  



 



 



x 9 2t' d': y 13 3t'

z 1 t'

  



 



  



và

Ta có :

.Suy ra

x 2 t a) y 3 t

z 1

  



 



 



x 1 2t b) y 1 t

z 1 t

  



 



  



x 1 5t c) y 1 4t

z 1 3t

  



 



  



Đáp Án: a)Vô nghiệm

b) d nằm trong (P)

c) d cắt (P) tại 1 điểm duy nhất

Ví dụ 5:

Tìm giao điểm của mp(P) : x+y+z-3=0 với đt d trong

các trường hợp :

CHÚC CÁC EM KHOẺ,CHUYÊN CẦN,HỌC TỐT

Cũng Cố:

Làm các bài tập trang 89,90,91SGK Hình Học cơ bản