Chuyen de Gioi han day soTNGiai chi tiet

Bạn vừa xem xong một phần nhỏ trong quyển sách: Thủ thuật giải nhanh trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 tập 2 của thầy giáo Nguyễn Quốc TuấnTổng biên tập của Xuctu.com.. Để được học toàn[r]

Trang 1

CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN CHỦ ĐỀ 1 : GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số

I Dãy số có giới hạn hữu hạn

1 Định nghĩa: Ta nói dãy số (un) có giới hạn là L hay (un) dần tới L khi n dần tới vô cực (n  ), nếu lim  n  0

 Định lí 3: Cho 3 dãy số ( ), ( ), (u n v n w n) Nếu u n v n w n,n và

limu n limw n Llimv n L

 Định lí 4: Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn Dãy số giảm

 q 1

II DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC

1 Dãy số có giới hạn : limu    n mọi số hạng của dãy số đều lớn hơn một số dương tùy ý cho trước kể từ số hạng nào đó trở đi

2 Dãy số có giới hạn : limu    n mọi số hạng của dãy số đều

Trang 2

limv n 0,v n 0Dấu của limv n lim

n n

u v

Trang 3

Loại 1: Giới hạn của dãy số hữu tỉ

Phương pháp: Xem xét bậc cao nhất của tư và mẫu Sau đó, chia tử và mẫu cho bậc cao nhất của tử và mẫu Hoặc cũng có thể đặt nhân tử cao nhất của từ và mẫu để được những giới hạn cơ bản Tính giới hạn này

Hướng dẫn giải

5lim

4lim 07

n n n n

Trang 4

Vì khi n   thì

2lim

3

2 13

2lim 01

n n n n

2

2lim

11

n

n n

lim

11

n n

Trang 5

Vì khi n   thì

n n

21

n

n n

21

Bài tập mẫu 2: Tính các giới hạn sau:

3n 2n 5lim

2n 4



Trang 6

4 4 4 4

2 2

2

8 lim

2 13

2

nn

Trang 7

a Ta có biến đổi:

2 2

4

n n n

Trích dẫn: Qua 3 bài toán ở trên dạng dãy số dạng hữu tỉ ta rút ra nhận

xét như sau

+ Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng 

+ Nếu bậc của tử bằng bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng hệ số bậc cao nhất của tử trên hệ số bậc cao nhất của mẫu

Bài tập mẫu 3: Tính các giới hạn sau:



Trang 8

+ Nếu bậc của tử bé hơn bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng 0

Điều này rất cần thiết cho tất cả chúng ta giải bài toán giới hạn dạng hữu tỉ khi giải trắc nghiệm Bởi vì một giới hạn hữu tỉ khi nhìn vào ta hoàn toàn có thể biết được kết quả ngay lập tức Thật vậy những bài toán sau các em hoàn toàn biết được kết quả một cách nhanh chóng và chính xác Thật vậy, sử dụng nhận xét đó ta thực hiện nhanh các bài tập trắc

nghiệm sau:

Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Bài tập 1: Giới hạn

Đáp án: D

Trang 9

Vì bậc cao nhất của tử là bậc hai và bậc cao nhất của mẫu là bậc ba Nên giới hạn này có giới hạn bằng 0

2 2

Đáp án: B Bậc cao nhất của tử là bậc hai có hệ số bằng -3 và bậc cao nhất của mẫu cũng là bậc

hai có hệ số bằng 2 Nên giới hạn này bằng 3

72

Trang 10

Bậc cao nhất của tử là bậc hai có hệ số bằng 2 và bậc cao nhất của mẫu cũng là bậc

hai có hệ số bằng 3 Nên giới hạn này bằng 2

3

2 1lim

Đáp án: D Bậc cao nhất của tử là bậc ba có hệ số bằng 3 và bậc cao nhất của mẫu cũng là bậc

ba có hệ số bằng 3 Nên giới hạn này bằng 3

4 2

lim( 1)(2 )( 1)

2 4

1lim

Trang 11

Sau khi biến đổi ta có bậc cao nhất của tử là bậc nhất có tổng các hệ số bằng

4 và bậc cao nhất của mẫu là bậc nhất có tổng các hệ số bằng 2 Nên giới hạn này bằng 2

Thật vậy ta cần chứng minh :

Bài tập 14: Giới hạn  

1

bằng:

Trang 12

a 0 b 1 c 2 d 4

Đáp án: B Thực hiện tương tự câu trên

Bài tập 15: Giới hạn (2 1)( 3)

Thực hiện tương tự như những bài trên

2

2 lim

n n

d -1

Đáp án: C Thực hiện tương tự như những bài trên



 bằng:

Trang 13

82 và bậc cao nhất của mẫu là bậc nhất hệ số bằng 2 Do đó, giới hạn này có giới hạn bằng 1

2 2

Trang 14

d 

Đáp án: D Thực hiện tương tự như những bài trên

Bài tập 25: Giới hạn lim n n 1

38 3 4 2lim n  n bằng:

Trang 15

Đáp án: C Thực hiện tương tự như những bài trên

Bài tập 27: Giới hạn lim 2 4

Bài tập 28: Giới hạn lim1 2 3 2

Trang 16

Loại 2: Giới hạn của dãy có căn thức

Phương pháp : Nếu dãy số có chứa căn thức mà không có dạng hữu tỉ để xét bậc, thì ta tiến hành nhân thêm lượng liên hiệp để tính giới hạn

Nhưng đồng thời các em cũng sử dụng nhận xét ở tính giới hạn hữu tỉ Lưu ý :

+ Biểu thức nhân lượng liên hiệp bậc hai :    2 2

Trang 17

3 2

Trang 19

2 2

Trang 20

Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Bài tập 1: Giới hạn

d 1

2

Trang 22

Bài tập 5: Giới hạn lim (n n 3 n2)bằng:

Trang 23

Trang 24

Dạng 3: Dãy số chứa lũy thừa – Mũ

Phương pháp: Tương tự như dãy hữu tỉ, ta tiến hành chia tử và mẫu cho mũ với cơ số lớn nhất

Một số công thức lưu ý:



1

n a a n + 1n 1

Giới hạn của lũy thừa: lima  n 0 với 0a1

a Ta có biến đổi: Chia tử và mẫu cho 5n

Ta có biến đổi: Chia tử và mẫu cho 3n ta được

Bài tập mẫu 1: Tính các giới hạn sau:





Trang 25

51

Trang 26

Lưu ý: Khi chia cho 3n vào trong căn bậc hai nghĩa là chia cho 9n

Trích dẫn: Cũng tương tự giới hạn của dãy số hữu tỉ Ta cũng hoàn toàn có thể tự nhẩm được kết quả của giới hạn dãy số dạng này Bằng cách quan sát hệ số của

những số mũ với cơ số lớn nhất ở tử và mẫu Từ đó ta hoàn toàn có thể tính nhanh để thực hiện những bài toán giới hạn dưới dạng trắc nghiệm

Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Bài tập 1: Giới hạn 1 3

lim

4 3

n n

Trang 27

Vì hệ số của sơ số cao nhất của tử là 7 và hệ số của cơ số cao nhất ở mẫu là 1 nên giới hạn đó bằng 7

Bài tập 3: Giới hạn

Đáp án: C

Trang 28

Vì hệ số của sơ số cao nhất của tử là -1 và hệ số của cơ số cao nhất ở mẫu là 2 nên giới hạn đó bằng 1

Dạng 2: Tìm giới hạn bằng chứng minh hoặc theo định nghĩa

Phương pháp 1: Dùng định lí kẹp

Phát biểu: Cho 3 dãy số ( ), ( ), (u n v n w n) Nếu u n v n w n,n và

limu n limw n Llimv n L

Một số kiến thức cũ:

1 sinu 1

+  1 cosu1

Ta có nhận xét:

Bài tập mẫu 1: Tính các giới hạn limsin(3 )n

n

Trang 29

 

1 sin 3 1

1 sin(3 ) 1

n n

Ta có: lim 2 cos 32 n lim 2 lim cos 32 n 2 lim cos 32 n

Ta có: lim ( 1) 1 lim( 1) lim1 lim( 1) 1

Trang 30

Bài tập trắc nghiệm tương tự

Bài tập 1: Giới hạn lim sin 3

Trang 31

Bài tập 3: Giới hạn 2 cos

Đáp án: A Thực hiện tương tự như những bài tập trên áp dụng định lí kẹp

2

( 1) 2lim

5



Đáp án: C Thực hiện tương tự như những bài tập trên áp dụng định lí kẹp

2

2 ( 1)cos 3

n n

n u

Đáp án: A Thực hiện tương tự như những bài tập trên áp dụng định lí kẹp

Bài tập 6: Giới hạn sin cos

Trang 32

Bạn vừa xem xong một phần nhỏ trong quyển sách: Thủ thuật giải nhanh trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 tập 2 của thầy giáo Nguyễn Quốc Tuấn(Tổng biên tập của Xuctu.com) Để được học toàn bộ quyển sách này vui lòng mua bản đầy

đủ Chúng tôi cũng cung cấp bản word cho các giáo viên muốn sở hữu để phục

vụ công việc của mình

Xem chi tiết và mua sách này tại:

http://xuctu.com/sach/toan-11

Tài liệu phù hợp với bạn:

Liên hệ bộ phận bán hàng tại: 01257.444.115

Tiêu đề	Giới hạn dãy số
Tác giả	Nguyễn Quốc Tuấn
Trường học	Xuctu.com
Chuyên ngành	Đại số và Giải tích
Thể loại	chuyên đề

Định dạng
Số trang	32
Dung lượng	802,01 KB