Huong dan giai mot so bai tap toa do trong khong gian nang cao Pham Minh Tuan File word

 Dấu “=” xảy ra khi HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ TÀI LIỆU  Số lượng có hạn Soạn tin nhắn “Tôi muốn đăng ký tài liệu, đề thi file word môn Toán” Rồi gửi đến số điện thoại.. 0969.912.851 Sau khi nh[r]

Câu 1: Tìm m để góc giữa hai vectơ: u  (1;log 5;log 2)3 m , v  (3;log 3; 4)5 là góc nhọn Chọn

phương án đúng và đầy đủ nhất

A

1

2

m m

B.m 1 hoặc

1 0

2

m

C

1 0

2

m

D m 1

 Giải:

 Ta có

3 5

3 log 5.log 3 4log 2

cos( , )

m

u v

u v

 

 

Do mẫu số luôn lớn hơn 0 nên ta đi tìm điều kiện để tử số dương

1

3 log 5.log 3 4log 2 0m 4log 2m 4 log 2m 1 log 2 logm m

m

 Với 0<m<1 thì

2

2

m m

Kết hợp với điều kiện suy ra

1 0

2

m

 Với m>1 thì

2

2

m m

Kết hợp với điều kiện suy ra m>1.

 Vậy m>1 hoặc

1 0

2

m

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x -3y + 2z +37 = 0 các điểm

A(4;1;5) , B(3;0;1), C(-1;2;0) Điểm M (a;b;c) thuộc (P) sao cho biểu thức

P MA MB MB MC MC MA                                             

đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó a+b+c bằng:

 Giải:

 M (a;b;c)

 MP 3a 3b2c37 0  3(a 2) 3( b1) 2( c 2)44

 Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki ta có:

( 44) 3(a 2) 3( b1) 2( c 2) (3 3 2 ) ( a 2) (b1) (c 2) 

2

2 2 2

( 44)

 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi



Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x - y + 2 = 0 và đường thẳng

:

m

d





 (m là tham số) Tìm m để đường thẳng d m song song với mặt

phẳng (P)

A.

1 2

m 

1 2

m 

D m 1

 Giải:

 d m/ / P  hệ PT ẩn x, y, z sau vô nghiệm

x y









 (1)  y2x Thay vào (2) ta được: 2

x   y 

 Thay x, y vào (3) ta được:

2

1

3

m z m  m

Để PT này vô nghiệm thì 1

2

m 

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, một mặt phẳng đi qua điểm M (1;3;9) và cắt các tia Ox,

Oy, Oz lần lượt tại A(a;0;0) , B(0;b;0) , C(0;0;c) với a, b, c là các số thực dương Tìm giá trị của biểu thức P = a +b + c để thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất.

 Giải:



OABC

V  OA OB OC abc

 Phương trình mặt phẳng đi qua A, B, C: 1

x y y

a b  c 

 Vì

1 3 9

a b c

 Áp dụng BĐT Côsi:

3

a b c a b c abc

 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

1

27

a

c

a b c





Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

:

x y z





và ba điểm A(3;2;-1), B(-3;-2;3) , C(5;4;-7) Gọi tọa độ điểm M (a;b;c) nằm trên Δ sao cho MA+MB nhỏ nhất, khi đó giá trị của biểu thức P = a +b + c là:

A.

16 6 6 5

P 

B

42 6 6 5

P 

C

16 6 6 5

P 

D

16 12 6 5

P 

 Giải:

 M   nên (1 ;2 ; 1 ) M t t   t

2

AM  t t t  AM  t  t

2

BM  t t  t  BM  t  t





( )

1

3

f x

           

 Áp dụng BĐT Vectơ ta có:

f x    t t      

 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

3

t t

 Do đó:

M     P 

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có A trùng với

gốc của hệ tọa độ Cho B(a;0;0), D(0;a;0), A’(0;0;b) với a,b > 0 Gọi M là trung điểm của cạnh CC’

Xác định tỉ số

a

b để hai mặt phẳng (A’BD) và (BDM) vuông góc với nhau.

a

1 2

a

a

a

b 

- Từ giả thiết ta có: ( ; ;0)C a a ;

2

b

C a a  M a a 

- Mặt phẳng (BDM) có VTPT là:

- Mặt phẳng (A’BD) có VTPT là:

- Yêu cầu của bài toán tương đương với:

2 2 2 2

4

b

 

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

:

x y z

 và mặt phẳng (P):

2x - y + 2z -1= 0 Mặt phẳng (Q) chứa  và tạo với (P) một góc  nhỏ nhất, khi đó góc  gần với giá

trị nào nhất sau đây?

 Giải:



1 2 :

1

y t

 





  

  

 Chọn 2 điểm (1;0;-1) và (3;1;-2) với t=1



HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ

TÀI LIỆU (Số lượng có hạn)

Soạn tin nhắn

“Tôi muốn đăng ký tài liệu, đề thi file word môn Toán”

Rồi gửi đến số điện thoại

0969.912.851

Sau khi nhận được tin nhắn chúng tôi sẽ tiến hành liên lạc

lại để hỗ trợ và hướng dẫn

GDSGDSGDSGFSDFGDSGSDGSDGDS



 (Q) chứa Δ suy ra (Q): a(x-1)+by+c(z+1)=0 ax by cz a c    0

 Và (3;1;-2) ( ) Q  3a b  2c a c   0 2a b c   0 c2a b

 Vậy (Q): ax+by+(2a+b)z+a+b=0 Gọi =((P),(Q)), 0 ;90

  

 Ta có:

cos

 

 

 Nếu a = 0

1 cos

3 2



 Nếu a  , đặt 0

b t a

 thì ta có:

( )

f t



7

6

t

f t

t









 





 Từ bảng biến thiên ta có thể dễ nhận thấy:



Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;1), B(1;0;-3), C(-1;-2;-3) và mặt cầu (S):

x2 + y2 + z2 - 2x + 2z - 2 = 0 Điểm D(a;b;c) trên mặt cầu (S) sao cho tứ diện ABCD có thể tích lớn nhất, khi đó a + b + c bằng:

A

2

3



B.

2

4 3

 Giải:

 Tâm I(1;0;-1), bán kính R=2 (ABC): 2x – 2y + z + 1=0 2



1 ( ;( ))

3

V  d D ABD S

khi đó V ABCD max khi và chỉ khi d (D;(ABC)) max

 Gọi D1D2 là đường kính của (S) vuông góc với (ABC) Ta thấy với D là điểm bất kỳ thuộc

(S) thì d(D;(ABC))  max{d(D1;(ABC)), d(D2;(ABC))}

 Dấu “=” xảy ra khi D trùng với D1 hoặc D2

 D1D2:

1 2 2 1

 









  

 thay mặt (S) ta suy ra:

2

3

t

t





 



 Vì d(D1;(ABC)) > d(D2;(ABC)) nên

; ;

D    a b c  

Câu 9: Cho mặt cầu (S): x2y2z2 2x4z  và đường thẳng 1 0

2 :

d y t

z m t

 









  

 Tìm m để d cắt (S) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho mặt phẳng tiếp diện của (S) tại A và tại B vuông góc với nhau.

 Giải:

 Bình luận: Ta có nếu hai mặt phẳng tiếp diện của (S) tại A và B vuông góc với nhau thì hai

vtpt của hai mặt phẳng này cũng vuông góc với nhau Mà hai vtpt của hai mặt phẳng

này chính là IA

, IB



Với I (1;0;-2) là tâm của mặt cầu (S).

Vậy ta có hai điều kiện sau:

1 d cắt (S) tại hai điểm phân biệt.

2 IA



IB



- 0

 Để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì trước tiên d phải cắt mặt cầu, tức là phương trình

(2 t) t (m t )  2.(2 t) 4.( m t ) 1 0  có hai nghiệm phân biệt

3t 2(m 1)t m 4m 1 0

 Phương trình có hai nghiệm phân biệt Δ’>0

(m 1) 3m 12m 3 0 m 5m 1 0

 Với phương trình có hai nghiệm phân biệt, áp dụng định lí Viet ta có

2

1 2

3

t t   

;

1 2

2 ( 1) 3

t t  m

 Khi đó IA (1 t t m1 1; ;  2 t IB1),  (1 t t m2; ;2  2 t2)

 Vậy

2

IA IB  t  t t t  m t m t   t t  m t t  m  

 

4 3

m

m





Câu 10: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;1;1), B(-1;2;0), C(3;-1;2) Điểm M(a;b;c) thuộc

đường thẳng

:

x y z

 sao cho biểu thức P2MA23MB2 4MC2 đạt giá trị nhỏ nhất

Tính a+b+c= ?

A

5

11 3



16 3



 Giải:

Gọi D(x;y;z) là điểm thỏa 2DA3DB 4DC0

 2DA3DB 4DC 0 2DA3(DA AB ) 4( DA AC ) 0  DA4AC 3AB

x y z





Khi đó: P2(MD DA )23(MD DB )2 4(MD DC )2

2 2 (2 3 4 ) 2 2 3 2 4 2

=MD22AD23BD2 4DC2

Do MD22AD23BD2 4DC2không đổi nên P nhỏ nhất khi MD nhỏ nhất Mà M thuộc

Δ nên MD nhỏ nhất khi M là hình chiếu của D lên Δ

 M(1 2 ; ; 1 ) t t   t Ta có:

DM u   t  M   a b c  

 

Câu 11: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;1;1), B(-1;2;0), C(3;-1;2) Điểm M (a;b;c) thuộc mặt

phẳng (): 2x y 2z  sao cho biểu thức 7 0 P3MA5MB 7MC

đạt giá trị nhỏ nhất Tính

?

a b c  

 Giải:

Gọi ( ; ; )F x y z là điểm thỏa 3 FA5FB 7FC 0 CF 3CA5CB F( 23; 20; 11) 

Khi đó: P3(MF FA ) 5( MF FB ) 7( MF FC ) MF

Do đó P nhỏ nhất khi M là hình chiếu của F lên () Điểm M( 23 2 ; 20  t  t; 11 2 )  t Vì

M thuộc () nên:

2( 23 2 ) (20  t   t) 2( 11 2 ) 7 0   t    t 9 M( 5;11;7)  a b c  13

Câu 12: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;1;1), B(-1;2;0), C(3;-1;2) Điểm M(a;b;c) thuộc mặt

cầu ( ) : (S x1)2y2(z1)2 861sao cho biểu thức P2MA2 7MB24MC2 đạt giá trị nhỏ nhất Tính a b c  ?

 Giải:

Gọi ( ; ; )K x y z là điểm thỏa 2 KA 7KB4KC 0 K( 21;16;10)

Khi đó: PMK22KA2 7KB24KC2

Do đó P nhỏ nhất khi MK lớn nhất Mặt cầu (S) có tâm I(1;0;-1) KI (22; 16; 11) 



Phương trình đường thẳng KI:

1 22 16

1 11

 









  

 Thay x,y,z vào (S) ta được:

(22 )t  ( 16 )t  ( 11 )t 861  Suy ra KI cắt (S) tại hai điểm t 1

1 2

(23; 16; 12) ( 21;16;10)

K K





 



Vì KK1 > KK2 nên MK lớn nhất khi và chỉ khi M K1(23; 16; 12)  Vậy

(23; 16; 12)

Câu 13: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1;1;-1), B(-3;5;5) Điểm M(a;b;c) thuộc mặt phẳng

( ) : 2 x y 2z 8 0 sao cho biểu thức P MA MB  đạt giá trị nhỏ nhất Tính a b c  ?

 Giải:

Ta có ( ) ( ) 0f A f B  , nên A, B ở về cùng một phía so với () Gọi A’ là điểm đối xứng

qua A qua ()

Phương trình đường thẳng AA’:

1 2 1

1 2

x y z

 



  





 



 Tọa độ giao điểm I của AA’ và () là

nghiệm của hệ:

1 2 1

(3;0;1)

1 2

I

x y z

 



  







 





Vì I là trung điểm AA’ nên A’(5;-1;3) và A’, B nằm khác phía so với () Khi đó với mọi điểm M thuộc () ta luôn có: MA MB A M MB A B  '   ' Đẳng thức xảy ra khi

M A B 



5 4

3

 





  





Tọa độ giao điểm M của A’B và () là nghiệm của

hệ:

5 4

1 3

(1; 2; 4) 3

M

x y z

 





 







 





Câu 14: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1;1;-1),C(7;-4;4) Điểm M(a;b;c) thuộc mặt phẳng

( ) : 2 x y 2z 8 0 sao cho biểu thức P MA MC  đạt giá trị lớn nhất.Tính a b c  ?

 Giải:

 M a b c Đặt ( ) 2( ; ; ) f M  a b 2c 8

Ta có ( ) ( ) 0f A f C  nên A và C nằm về hai phía so với ()

Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua ()

Phương trình đường thẳng AA’:

1 2 1

1 2

 





 



  

 Tọa độ giao điểm I của AA’ và () là

nghiệm của hệ:

1 2 1

(3;0;1)

1 2

I

x y z

 



  







 





Vì I là trung điểm AA’ nên A’(5;-1;3) Khi đó với mọi điểm M thuộc () ta luôn có:

MA MC MA MC A C

Đẳng thức xảy ra khi M A C' ( )

 A C' (2; 3;1)  A C' :



5 2

1 3 3

 





 



  

 Tọa độ giao điểm M của A’C và () là nghiệm của

hệ

5 2

1 3

(3; 2; 2) 3

M

x y z

 



  







 





:

x y z

và mặt phẳng ( ) :P ax by cz   3 0 chứa Δ và cách O một khoảng lớn nhất Tính a b c  ?

 Giải:

Gọi K là hình chiếu vuông góc của O lên Δ, suy ra (1 ;1 2 ; 2 )K t  t t , OK  (1 ;1 2 ; 2 )t  t t



Vì OK   nên

2 1 2

; ;

3 3 3 1

; ;

K

OK









 





HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ TÀI

LIỆU (Số lượng có hạn)

Soạn tin nhắn

“Tôi muốn đăng ký tài liệu, đề thi file word môn Toán”

Rồi gửi đến số điện thoại

0969.912.851

Sau khi nhận được tin nhắn chúng tôi sẽ tiến hành liên lạc

lại để hỗ trợ và hướng dẫn

GDSGDSGDSGFSDFGDSGSDGSDGDS



Gọi H là hình chiếu của O lên (P), ta có: ( ;( ))d O P OH OK  Đẳng thức xảy ra khi1

H K Do đó (P) cách O một khoảng lớn nhất khi và chỉ khi (P) đi qua K và vuông góc với

OK Từ đó ta suy ra phương trình của (P) là: 2x y  2z 3 0  a b c  1

:

x y z

và mặt phẳng ( ) : x 2y2z 5 0 Mặt phẳng (Q): ax by cz    chứa Δ và tạo với () một góc nhỏ nhất 3 0 Tính a b c  ?

 Giải:

 Công thức giải nhanh: n( )Q n( ) ,n,n

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

 Chứng minh công thức:

A(1;1;0)  Δ, khi đó φ=ACH và sin sin

AH AK ACH

AC AC

Mà

AK

AC không đổi nên suy ra φ nhỏ nhất  H K hay (Q) là mặt phẳng đi qua Δ và vuông góc với mặt phẳng

(ACK)

Mặt phẳng (ACK) đi qua Δ và vuông góc với () nên: n(ACK) n( ) ,n

  

Do (Q) đi qua Δ và vuông góc với mặt phẳng (ACK) nên:

( )Q (ACK), ( ), ,

n n n n n n

Áp dụng công thức nên ta có n( )Q  ( 8; 20; 16)



suy ra:

( ) : 8(Q  x1) 20( y1) 16 z 0 2x 5y4z  3 0 a b c  1

Câu 16: Trong không gian Oxyz cho đường

:

x y z

và hai điểm M(1;2;1), N(-1;0;2) Mặt

phẳng (ß): ax by cz   43 0 đi qua M, N và tạo với (Δ) một góc lớn nhất Tính a b c  ?

 Giải:

 Công thức giải nhanh: n( ) n NM,n,n NM

Chứng minh tương tự câu 15: n( ) (1;10; 22)



suy ra ( ) :1( x1) 10( y 2) 22( z1) 0  x10y22z 43 0  a b c  33

Câu 17: Trong không gian Oxyz cho ba điểm (1; 2;3), ( 1;0; 3), (2; 3; 1)A B   C   Điểm M(a;b;c) thuộc

mặt phẳng (): 2x y  2z1 0 sao cho biểu thức P3MA24MB2 6MC2 đạt giá trị nhỏ nhất Tính a b c  ?

 Giải:

 M a b c( ; ; ) ( )   2a b  2c1 0



P a b c  a b c  a  b  c  a b  c  

Dấu “=” xảy ra khi: a11;b25;c 1 a b c  15

Câu 18: Trong không gian Oxyz cho ba điểm (1; 2;3), ( 1;0; 3), (2; 3; 1)A B   C   Điểm M a b c ( ; ; )

thuộc đường thẳng

:

x y z

 sao cho biểu thức PMA 7MB5MC

đạt giá trị lớn nhất Tính a b c  ?

A

31

11

12

55 7

 Giải:

 M   M(1 2 ; 1 3 ;1 ) t   t  t

 MA 7MB5MC(2t19;3 14;t  t 20)



2

P t  t   t  t   

Dấu “=” xảy ra khi:

t  a b c  

Câu 19: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;2;3), B(-1;0;-3), C(2;-3;-1) Điểm M(a;b;c) thuộc

mặt cầu

( ) : ( 2) ( 2) ( 8)

2

S x  y  z 

sao cho biểu thức P MA 2 4MB22MC2 đạt giá trị lớn nhất Tính a b c  ?

 Giải:

Gọi ( ; ; )E x y z là điểm thỏa EA 4EB2EC 0 E( 9; 4; 13) 

Khi đó: PEM2EA2 4EB22EC2

P lớn nhất khi EM nhỏ nhất Mặt cầu (S) có tâm

2 11

8 21

 





  



Thay x, y, z vào (S) ta được

1 2

t 

Suy ra

IE cắt (S) tại hai điểm

1

2

;3;

15 37

;1;

E

E









Vì EE1EE2 nên EM nhỏ nhất khi và chỉ khi 1

;3;

M E   

  , suy ra M (6;0;12)

Câu 20: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng

d

cắt đường thẳng

' :

d    

 sao cho khoảng cách từ điểm B(2;1;1) đến đường thẳng d là nhỏ nhất Tính

?

a b c  

 Giải:

Gọi

'

( 2 ; ; 2 ) (0; 1;2)

M t t t t

 





, (1 ;1; 4 2 )

(2 1; 1; )

d





 

 



2 2

t t AM

 





t

t











Câu 21: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng

d

cắt đường thẳng

' :

d    

 sao cho khoảng cách giữa d và

5 :

x y z

 là lớn nhất Tính a b c  ?

 Giải:

Gọi

'

( 1 2 ; ; 2 ) (0; 1; 2)

 





 , suy ra u d AM (2 1;t t 1; )t

 

 N(5;0;0), u (2; 2;1)  u AM,   ( 1; 4 1;6 )t t t



2 2

,

u AM







  

 



4

2

d

t

t











Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) :P x 2y2z1 0 ,

( ) :Q x y  2z   và điểm I(1;1;- 2).Mặt cầu (S) tâm I, tiếp xúc với (P) và mặt phẳng1 0

( ) : ax by cz m    vuông góc với (P), (Q) sao cho khoảng cách từ I đến (α) bằng ) bằng 29 Biết 0

rằng tổng hệ số a b c m   dương

Cho các mệnh đề sau đây:

(1) Điểm A(1;1;0) và B(-1;1;-2) thuộc mặt cầu (S).

(2) Mặt phẳng (α) bằng ) đi qua C(0;-5;-3).

(3) Mặt phẳng (α) bằng ) song song với đường thẳng (d)

2 5 3

x t

z







 



 



(4) Mặt cầu (S) có bán kính R = 2.

(5) Mặt phẳng (α) bằng ) và Mặt cầu (S) giao nhau bằng một đường tròn có bán kính lớn hơn 2

Hỏi có bao nhiêu mệnh đề sai ?

 Giải: Chọn đáp án C

 R d I P ( ,( )) 2 Phương trình mặt cầu: (x1)2(y1)2(z2)2  4

 n (2;3; 4) ( ) : 2 x4y3z m 0



( ;( ))d I   29  m 29

Vậy ( ) : 2 x4y3z29 0 chọn ( ) : 2 x4y3z29 0 do a b c m   0.

Đối chiếu:

(1) Đúng: Thay tọa độ điểm vào mặt cầu ta thấy.

(2) Đúng: Thay tọa độ điểm vào mặt phẳng

(3) Sai: Thực chất ta tưởng lầm rằng mặt phẳng phẳng (α) bằng ) song song (d) nhưng thực chất là (d)

thuộc phẳng phẳng (α) bằng ), các em kiểm tra bằng cách tính khoảng cách 2 điểm bất kỳ đến (α) bằng ) đều bằng 0

(4) Đúng

(5) Sai: Do khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng lớn hơn bán kính mặt cầu nên hai mặt

không giao nhau

Câu 23: Cho không gian Oxyz, cho các điểm A(2;3;0), B(0;- 2 ;0) và đường thẳng d có phương trình

0

2

x t

y











  

 Điểm C (a;b;c) trên đường thẳng d sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất Tính

?

a b c  

 Giải:

Vì AB không đổi nên tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất khi CA+CB nhỏ nhất

Gọi C(t;0;2-t) Ta có CA= 2(t 2)23 ,2 CB 2(1 t)222

Đặt u( 2( (t t 2);3)



v  t  u v  

Áp dụng tính chất u  v  u v

Dấu “=” xảy ra khi u



cùng hướng với v



 CA CB u v  u v  2 25 3 3 

Dấu “=” xảy ra khi

2

2( 1)

t

t







HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ TÀI

LIỆU (Số lượng có hạn)

Soạn tin nhắn

“Tôi muốn đăng ký tài liệu, đề thi file word môn Toán”

Rồi gửi đến số điện thoại

0969.912.851

Sau khi nhận được tin nhắn chúng tôi sẽ tiến hành liên lạc

lại để hỗ trợ và hướng dẫn

GDSGDSGDSGFSDFGDSGSDGSDGDS

