Tài liệu khối đa diện và thể tích khối đa diện

Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là: lần lượt tại M , N.. Tính tỉ số.[r]

ñ h

ñ

o n

ñ h

Cạnh kề Cạnh huyền

CHỦ ĐỀ 1 KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

a HÌNH HỌC PHẲNG

1 Các hệ thức lượng trong tam giác vuông:

Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao, AM là đường trung tuyến Ta có:

2 Các tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông:

c Công thức tính diện tích tam giác:

d Công thức tính độ dài đường trung tuyến:

2 2

/ /

AMN ABC

5 Diện tích đa giác:

a Diện tích tam giác vuông:

 Diện tích tam giác vuông bằng ½ tích 2 cạnh

góc vuông

b Diện tích tam giác đều:

 Diện tích tam giác đều: 3

c Diện tích hình vuông và hình chữ nhật:

 Diện tích hình vuông bằng cạnh bình phương

 Đường chéo hình vuông bằng cạnh nhân 2

 Diện tích hình chữ nhật bằng dài nhân rộng

d Diện tích hình thang:

2

 (đáy lớn + đáy bé) x chiều cao

e Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông

góc:

 Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc

nhau bằng ½ tích hai đường chéo

 Hình thoi có hai đường chéo vuông góc nhau

tại trung điểm của mỗi đường

b CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC

1 Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng :



( )

( )( )

ABC

a S

a h

(cạnh)

đều

3 Chứng minh hai đường thẳng song song: Áp dụng một trong các định lí sau

 Hai mặt phẳng ( ),   có điểm chung S và lần lượt chứa 2 đường thẳng song song a b, thì giao

tuyến của chúng đi qua điểm S cùng song song với a,B

a

b b

 Sử dụng phương pháp hình học phẳng: Đường trung bình, định lí Talét đảo, …

4 Chứng minh đường thẳngvuông góc với mặt phẳng:

 Định lý (Trang 99 SGK HH11) Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau

nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy

 

{

( )( )}

góc với đường thẳng này thì vuông góc với đường thẳng kia

 Tính chất 2a (Trang 101 SGK HH11) Cho hai mặt phẳng song song Đường thẳng nào vuông

góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia

 Định lý 2 (Trang 109 SGK HH11) Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt

phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó

 Định lý 1 (Trang 108 SGK HH11) Nếu hai mặt phẳng vuông góc thì bất cứ đường thẳng nào

nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến đều vuông góc với mặt phẳng kiA.

 Cách 2: Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì phải

vuông góc với đường kia

 Cách 4: (Sử dụng Định lý Ba đường vuông góc) Cho đường thẳng b nằm trong mặt phẳng  P

và a là đường thẳng không thuộc  P đồng thời không vuông góc với  P Gọi a’ là hình chiếu vuông góc của a trên  P Khi đó b vuông góc với a khi và chỉ khi b vuông góc với a’

A B

1 Định nghĩa: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu có đáy là một đa giác đều và có chân

đường cao trùng với tâm của đa giác đáy

Nhận xét:

 Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau

Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau

 Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng

nhau

2 Hai hình chóp đều thường gặp:

a Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S ABC Khi

đó:

 ĐáyABClà tam giác đều

 Các mặt bên là các tam giác cân tại S

 Chiều cao: SO

 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: SAO SBO SCO

 Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO

AB

Lưu ý: Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều

 Tứ diện đều có các mặt là các tam giác đều

 Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy

b Hình chóp tứ giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S ABCD

 ĐáyABCD là hình vuông

 Các mặt bên là các tam giác cân tại S

 Chiều cao: SO

 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:SAO SBO SCO SDO

 Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO

d THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

1 Thể tích khối chóp: 1

OI

B

S

O

2 Thể tích khối lăng trụ: V B h.

:

B Diện tích mặt đáy

:

h Chiều cao của khối chóp

Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cũng là

cạnh bên

3 Thể tích hình hộp chữ nhật: V a b c

Thể tích khối lập phương: V a3

4 Tỉ số thể tích: .

B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên 2 lần và độ dài

đường cao không đổi thì thể tích S ABC tăng lên bao nhiêu lần?

2

Câu 2 Có bao nhiêu khối đa diện đều?

Câu 3 Cho khối đa diện đều { }p q , chỉ số ; p là

A Số các cạnh của mỗi mặt B Số mặt của đa diện

Câu 4 Cho khối đa diện đều { }p q , chỉ số ; q là

Câu 5 Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a

Câu 12 Hình chóp S ABCD đáy hình vuông, SAvuông góc với đáy, SA=a 3,A C a= 2 Khi đó thể

tích khối chóp S ABCD là

Câu 13 Cho hình chópS ABC có đáyABC là tam giác vuông tại B Biết ∆SAB là tam giác đều và

thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC Tính thể tích khối chóp ) S ABC biết

Câu 14 Cho hình chópS ABCD có đáyABCD là hình thoi Mặt bên (SAB là tam giác vuông cân tại )

S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD Tính thể tích khối chóp ) S ABCD.biết BD a= , AC a= 3

Câu 15 Cho hình chópS ABC có đáyABC là tam giác vuông tại A Hình chiếu của S lên mặt phẳng

(ABC)là trung điểm H của BC Tính thể tích khối chóp S ABC biết AB a= , AC a= 3,

Câu 16 Cho hình chópS ABCD có đáyABCD hình vuông cạnh a Hình chiếu của S lên mặt phẳng

(ABCD)là trung điểm H của AD Tính thể tích khối chóp S ABCD biết 3

Câu 17 Hình chóp S ABCD đáy là hình vuông cạnh , 13

2

a SD

a = Hình chiếu của S lên (ABCD là )

trung điểm H của AB Thể tích khối chóp là

Câu 18 Hình chóp S ABCD đáy hình thoi, AB=2a, góc BAD bằng 1200 Hình chiếu vuông góc của

S lên (ABCD là ) I giao điểm của 2 đường chéo, biết

Câu 23 Cho lăng trụ ABCD A B C D ' ' ' ' có ABCD là hình chữ nhật, A A A B A D' = ' = ' Tính thể tích

khối lăng trụ ABCD A B C D ' ' ' ' biết AB a= , AD a= 3, AA' 2= a

A. 3a3 B a3 C a3 3 D 3a3 3

Câu 24 Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ' có ABC là tam giác vuông tại A Hình chiếu của A' lên (ABC) là

trung điểm của BC Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' biết AB a= , AC a= 3, ' 2

Câu 25 Cho lăng trụ ABCD A B C D ' ' ' ' có ABCD là hình thoi Hình chiếu của A' lên (ABCD là )

trọng tâm của tam giác ABD Tính thể tích khối lăng trụ ABCA B C' ' ' biết AB a= ,

V

Câu 28 Lăng trụ tam giácABC A B C ′ ′ ′có đáy tam giác đều cạnha , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

300 Hình chiếu A′ lên (ABC là trung điểm ) I của BC Thể tích khối lăng trụ là

Câu 29 Lăng trụ đứng ABC A B C ’ ’ ’ có đáy ABC là tam giác vuông tạiA BC, =2 , a AB a= Mặt bên

(BB C C là hình vuông Khi đó thể tích lăng trụ là ’ ’ )

Câu 33 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có chiều cao bằngh, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và

(ABCD)bằng α Tính thể tích của khối chóp S ABCD theo h và α

h

83tan

h

38tan

h

α

Câu 34 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh SB vuông góc với đáy

và mặt phẳng (SAD) tạo với đáy một góc 60° Tính thể tích khối chóp S ABCD

A V =3a34 3 B V =3a38 3 C V =8a33 3 D V =4a33 3

Câu 35 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC a= , mặt

phẳng (A BC tạo với đáy một góc ' ) 30° và tam giác A BC' có diện tích bằng a2 3 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' '

Câu 36 Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằnga Hình chiếu vuông

góc của A' trên (ABC) là trung điểm của AB Mặt phẳng (AA C C' ' ) tạo với đáy một góc bằng 45° Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC A B C ' ' '

Câu 37 Cho hình chóp đều S ABC , góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy (ABC bằng ) 600, khoảng

cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng 3

2 7a Thể tích của khối chóp S ABC theo a bằng

Câu 38 Cho hình chóp đều S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, AC=2 3a, BD=2a, hai

mặt phẳng (SAC và ) (SBD cùng vuông góc với mặt phẳng ) (ABCD Biết khoảng cách từ )

Câu 39 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD , O là giao điểm của AC và BD Biết mặt bên của hình

chóp là tam giác đều và khoảng từ O đến mặt bên là a Tính thể tích khối chóp S ABCD theo

a

A. 2a3 3 B 4a3 3 C 6a3 3 D 8a3 3

Câu 40 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có SA⊥(ABCD) ABCD là hình thang vuông tại A và B

biết AB=2a AD=3BC=3a Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a biết góc giữa

(SCD và ) (ABCD bằng ) 600

A. 2 6a 3 B 6 6a 3 C 2 3a 3 D.6 3a 3

Câu 41 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có SA⊥(ABCD), ABCD là hình thang vuông tại A và B

biết AB=2a.AD=3BC=3a Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a , biết khoảng cách từ

A đến mặt phẳng (SCD) bằng3 6

4 a

A 6 6a 3 B. 2 6a 3 C 2 3a 3 D.6 3a 3

Câu 42 Cho lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ' có BB a'= , góc giữa đường thẳng BB' và (ABC bằng )

60°, tam giác ABC vuông tại C và góc  60BAC = ° Hình chiếu vuông góc của điểm B' lên

(ABC trùng với trọng tâm của ) ∆ABC Thể tích của khối tứ diện A ABC' theo a bằng

Câu 43 Cho hình lăng trụ đứngABC A B C ' ' ', biết đáy ABC là tam giác đều cạnh a Khoảng cách từ

tâm O của tam giác ABCđến mặt phẳng (A BC bằng ' )

V

12

Câu 45 ho NS=2NC, P là điểm trên cạnh SAsao cho PA=2PS Kí hiệu V V lần lượt là thể tích 1, 2

của các khối tứ diện BMNPvà SABC Tính tỉ số 1

V

34

V

23

V

13

V

Câu 46 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng 2a, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và

(ABCD bằng ) 45°, ,M N và P lần lượt là trung điểm các cạnh , SA SB và AB Tính thể tích

V của khối tứ diện DMNP

Câu 50 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy là vuông; mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong

mặt phẳng vuông góc với đáy Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)bằng

SN = NB, ( )α là mặt phẳng qua MN và song song với SC Kí hiệu ( )H1 và ( )H là các 2

khối đa diện có được khi chia khối tứ diện S ABC bởi mặt phẳng ( )α , trong đó, ( )H chứa 1

điểm S, ( )H2 chứa điểm A; V và 1 V lần lượt là thể tích của 2 ( )H1 và ( )H2 Tính tỉ số 1

Câu 52 Cho hình chóp S ABC có chân đường cao nằm trong tam giác ABC; các mặt phẳng (SAB),

(SAC) và (SBC) cùng tạo với mặt phẳng (ABC) các góc bằng nhau Biết AB =25, BC =17, 26

AC = ; đường thẳng SB tạo với mặt đáy một góc bằng 45° Tính thể tích V của khối chóp

NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU

Câu 1 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên 2 lần và độ dài

đường cao không đổi thì thể tích S ABC tăng lên bao nhiêu lần?

2

Hướng dẫn giải:

Khi độ dài cạnh đáy tăng lên 2 lần thì diện tích đáy tăng lên 4 lần

⇒ Thể tích khối chóp tăng lên 4 lần

Câu 2 Có bao nhiêu khối đa diện đều?

Hướng dẫn giải:

Có 5 khối đa diện đều là: tứ diện đều, hình lập phương, khối 8 mặt đều, khối 12 mặt đều, khối

20 mặt đều

Câu 3 Cho khối đa diện đều { }p q , chỉ số ; p là

A Số các cạnh của mỗi mặt B Số mặt của đa diện

Câu 4 Cho khối đa diện đều { }p q , chỉ số ; q là

Câu 5 Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a

Gọi tứ diện ABCD đều cạnha

Gọi H là hình chiếu của A lên (BCD )

Gọi H là hình chiếu của S lên (ABCD )

2

H

B

A

CDS

A

B

CS

O

BC

A

Câu 10 Cho hình chóp S ABC có SA vuông góc mặt đáy, tam giácABCvuông tại , A SA=2cm,

2

3

.tan 45

2 2

Câu 12 Hình chóp S ABCD đáy hình vuông, SAvuông góc với đáy, SA=a 3,A C a= 2 Khi đó thể

tích khối chóp S ABCD là

3

.cos 45

Câu 13 Cho hình chópS ABC có đáyABC là tam giác vuông tại B Biết ∆SAB là tam giác đều và

thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Tính thể tích khối chóp S ABC biết

B

A

CDS

Câu 14 Cho hình chópS ABCD có đáyABCD là hình thoi Mặt bên (SAB là tam giác vuông cân tại )

S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD Tính thể tích khối chóp ) S ABCD.biết BD a= , AC a= 3

Câu 15 Cho hình chópS ABC có đáyABC là tam giác vuông tại A Hình chiếu của S lên mặt phẳng

(ABC là trung điểm ) H của BC Tính thể tích khối chóp S ABC biết AB a= , AC a= 3,

Câu 16 Cho hình chópS ABCD có đáyABCD hình vuông cạnh a Hình chiếu của S lên mặt phẳng

(ABCD là trung điểm ) H của AD Tính thể tích khối chóp S ABCD biết 3

a = Hình chiếu của S lên (ABCD là )

trung điểm HcủaAB Thể tích khối chóp là

Câu 18 Hình chóp S ABCD đáy hình thoi, AB=2a, góc BAD bằng 1200 Hình chiếu vuông góc của

S lên (ABCD là ) I giao điểm của 2 đường chéo, biết

S

BA

I

Câu 19 Cho hình chóp S ABC , gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA SB, Tính tỉ số .

M

Câu 23 Cho lăng trụ ABCD A B C D ' ' ' ' có ABCD là hình chữ nhật, A A A B A D' = ' = ' Tính thể tích

khối lăng trụ ABCD A B C D ' ' ' ' biết AB a= , AD a= 3, AA' 2= a

Câu 24 Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ' có ABC là tam giác vuông tại A Hình chiếu của A' lên (ABC là )

trung điểm của BC Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' biết AB a= , AC a= 3, ' 2

B C

Gọi H là trung điểm của BC

Câu 25 Cho lăng trụ ABCD A B C D ' ' ' ' có ABCD là hình thoi Hình chiếu của A' lên (ABCD là )

trọng tâm của tam giác ABD Tính thể tích khối lăng trụ ABCA B C' ' ' biết AB a= ,

Tam giác ABD cân có BAD =600

nên tam giác ABD đều

ABD là tam giác đều cạnh a 3

3

a AH

A

A B

C

A' B'

H

' ' ' ' ' ' '

Câu 28 Lăng trụ tam giácABC A B C ′ ′ ′có đáy tam giác đều cạnha , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

300 Hình chiếu A′ lên (ABC là trung điểm ) I của BC Thể tích khối lăng trụ là

3 ’ ’ ’

.tan 30

34

Câu 29 Lăng trụ đứng ABC A B C ’ ’ ’ có đáy ABC là tam giác vuông tạiA BC, =2 , a AB a= Mặt bên

(BB C C là hình vuông Khi đó thể tích lăng trụ là ’ ’ )

C

A'B'

C'

AB

C

A 'B'

A

A ABC ABC A B C

V V

Câu 33 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có chiều cao bằngh, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và

(ABCD)bằng α Tính thể tích của khối chóp S ABCD theo h và α

h

83tan

h

38tan

C

A'B'

A '

3.S ABCD. SO; B = S ABCD = AB 2 ; Tìm AB: AB = 2OM

Tam giác SOM vuông tại tại O, ta có: tanα = SO

4tan

Câu 34 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh SB vuông góc với đáy

và mặt phẳng (SAD) tạo với đáy một góc 60° Tính thể tích khối chóp S ABCD

Câu 35 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC a= , mặt

phẳng (A BC tạo với đáy một góc ' ) 30° và tam giác A BC' có diện tích bằng a2 3 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' '

Câu 36 Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằnga Hình chiếu vuông

góc của A' trên (ABC ) là trung điểm của AB Mặt phẳng (AA C C' ' ) tạo với đáy một góc bằng 45° Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC A B C ' ' '

Gọi H, M, I lần lượt là trung điểm

của các đoạn thẳng AB, AC, AM

' ' ' '

ABC A B C ABC

V =S∆ A H

2 34

Ta có IH là đường trung bình của tam giác

AMB , MB là trung tuyến của tam giác đều

Trong tam giác A HI' vuông tại H, ta có: tan 45 A H' A H IH' .tan 45o