Chuong I 1 Su dong bien nghich bien cua ham so

Bài tập tương tự: Giải các bất phương trình sau:.[r]

PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

A PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

I PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC

1 Phương pháp:

· Đưa chúng về dạng sau:

+) ( )f x =g x( ) mà

( ) ( )

ìï ³ ïí

ï £

ïî hay

( ) ( )

ìï £ ïí

ï ³

ïî với a là hằng sô

Nghiệm của phương trình là các giá trị x thoả mãn

( ) ( )

ìï = ïí

ïî

+) ( )h x =m (m là hằng sô) mà ta luôn có

( ) ( )

é ³ ê

ê £

ê thì nghiệm của phương trình là các giá trị x làm cho dấu của đẳng thức xảy ra

· Một sô bất đẳng thức thường hay sử dụng:

+) Bất đẳng thức AM-GM (Cauchy):

Đôi với a a1, , ,2 a n là các sô không âm Ta có: 1 2 1 2

n

a a a n

+ + +

³

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a1=a2= =a n

+) Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz (BCS, Bunhiacopski):

Đôi với 2 cặp sô thực (a,b) và (x y,

) Ta có: ( )2 ( 2 2) ( 2 2)

ax by+ £ a +b x +y

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi

b=y hoặc

x =y.

2 Ví dụ:

1) Giải phương trình: 13 x- 1 9+ x+ =1 16x

Giải:

Điều kiện: x ³ 1

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski Ta có:

( 13 13x- 13 3 3 3+ x+3)2£ (13 27 13+ )( x- 13 3+ x+3) =40(16x- 10)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:40 16( 10) 4.10 16( 10) 4 10 16 102 ( )16 2

2

x

® Vế trái của phương trình đã cho £ 256x2

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi:

10 16 10

x

ïí

-ïïî Û x= 54 (thoả mãn)

Vậy

5

4

x =

là nghiệm của phương trình

2) Giải phương trình: x2+4x+ =5 2 2x+3

Giải:

Điều kiện:

3 2

x ³

-Từ phương trình, áp dụng bất đẳng thức Cauchy Ta có:

(2x+3) + ³1 2 2x+ =3 x2+4x+5Þ 2x+ ³4 x2+4x+5

2 1 0

Û + + £ ( )2

1 0

x

Û + £ Û x= - (chọn)1 Vậy x = - là nghiệm của phương trình.1

3) Giải phương trình: x2+ -x 1+ - x2+ + =x 1 x2- x+2

Giải:

Điều kiện:

2 2

1 0

1 0

ìï + - ³

ïïí

ï - + + ³

ïïî

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: VT £ 2(x2+ -x 1- x2+ +x 1) =2 x

Mặt khác, ta có:

VP- 2 2=x2- x+ -2 2 x ( )2 ( )2

= - + - ³ Þ VP ³ 2 x ³ VT

Đẳng thức xảy ra

( )

2

1

x x

ìï + - = - + + ïï

ïï

Û íïï - =

= ïï

ïî Û x= (thoả mãn điều kiện)1 Vậy x = là nghiệm của phương trình.1

4) Giải phương trình:

1

-Giải:

Điều kiện: x ³ 1

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

( )

æ ö÷

- + - = çç - ÷÷ +

-çè ø

£ çç - + + - + ÷=

÷

Vậy phương trình đã cho tương đương với hệ sau:

1 1 1 1

x x x

x

ìïï - = ïïï

íï

ï - = ïïïî

Kết hợp với điều kiện ta tìm được

1 5 2

Vậy

1 5

2

là nghiệm của phương trình

5) Giải phương trình: 41- x2 +41+ +x 41- x =3

Giải:

Điều kiện: 1- £ x£ 1

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Ta có

( )( )

4

4

2

1 1

2

1 1

2

x x

x x

ïï

ïï + £ íï

ïï

-ï - £ ïï

ïïî Cộng theo vế (1), (2), (3) ta có: 41- x2+41+ +x 41- x£ +1 1+ +x 1- x

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski Ta có

1+ +x 1- x£ 2(1+ + -x 1 x)=2Þ VT £ + = =1 2 3 VP

Đẳng thức xảy ra

x x

ìï - = + ïï

ï

Û íïï + =

- = ïïî Û x= (thoả mãn)0 Vậy x = là nghiệm của phương trình.0

6) Giải phương trình: 527x10- 5x6+5864=0

Giải:

Dễ thấy x = không phải là nghiệm của phương trình, chia 2 vế của phương trình cho 0 6

x , viết lại phương

trình dưới dạng:

5

5 4

6

2 27

x

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Ta có

5

5

Đẳng thức xảy ra

5 4 5

6

3

x

x

3

x

Û = ± Vậy x = ±103 là nghiệm của phương trình.

7) Giải phương trình: ( ) (2 )2 ( )2

13éêx - 3x+6 + x - 2x+7 ùú= 5x - 12x+33

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có

2 x 3x 6 3 x 2x 7

³ êë - + + - + úû

( )2

2

5x 12x 33 VP

Đẳng thức xảy ra 2 2

( )( )

2(x 2x 7) 3(x 3x 6) x 5x 4 0 x 1 x 4 0

1 4

x x

é = ê

Û ê =ê Vậy phương trình có tập nghiệm S ={ }1;4

8) Giải phương trình: x3000+500x3+1500x+1999=0

Giải:

Với x > , 0 VT > =0 VP (vô lý) Þ x£ Þ0 x = - x

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

3000

3000 2999 3000 1 1 1 3000 3000.1.1 1

x + =x + + + + ³ x =3000x = - 3000x (1)

1000

3000 999 3000 1 1 1 1000 3000.1.1 1

x + =x + + + + ³ x =1000x3 = - 1000x3 (2)

Lấy (1) +(2) ta có: 2x3000+3998³ - (1000x3+3000 )x

3000 500 3 1500 1999 0

Đẳng thức xảy ra

3000 1

1 0

x

x x

ìï = ïï

Û íï £ïïî Û = -Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = - 1

9) Giải phương trình:

32 (4 1)

27

Giải:

Ta chứng minh bất đẳng thức phụ sau: 4 4 4 1 ( )4

27

x +y +z ³ x y z+ +

4 4 4 1 2 2 2

3

( )4

27

Áp dụng ta có: 4 ( )4 ( ) ( ) (4 4 )4

32x + 4x- 1 = 2x + 2x + -1 4x 1(2 2 1 4 ) 1

Do đó phương trình trên tương đương

1

2 1 4

6

x= - xÛ x=

Vậy phương trình có nghiệm

1 6

x =

10) Giải phương trình:

2 2

1

+

Giải:

Điều kiện: 0£ x£ 1

Để dễ dàng hơn trong việc đánh giá ta viết lại phương trình: 2

1 1 1 2 1

1

x

= +

+

Nhận thấy

1 2

x =

là 1 nghiệm của phương trình Ta chứng minh nghiệm này là duy nhất

Nếu

1 0

2

x

£ <

, khi đó

1 1

VT VP

ìï >

ïí

ï <

ïî , phương trình vô nghiệm.

Nếu

2< £x , khi đó

1 1

VT VP

ìï <

ïí

ï >

ïî , phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình có nghiệm

1 2

x =

3 Bài tập tương tự:

1) Giải phương trình: 13 x2- x4+9 x2+x4 =16

Gợi ý: Điều kiện: 1- £ x£ 1

Phương trình đã cho tương đương với phương trình: 13 13(x2- x4) +3 3 3(x2+x4) =16 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, sau đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy

Xét dấu “ = ” xảy ra Ta tìm được nghiệm

2 5

x = ±

Đáp sô:

2 5

x = ±

2) Giải phương trình:

( )

4 2

8 1

x

= +

Gợi ý: Ta chứng minh bất đẳng thức phụ sau:

4 4

Dấu “ = ” xảy ra Û ( )2

x+ = - x Û x= - +2 3

Đáp sô: x = - +2 3.

3) Giải phương trình: x+4x x(2 - 1) ( x+ 2x- 1) =1

Gợi ý: Ta đi chứng minh bất đẳng thức sau:

1 3 1 3 1 3

4 4 4 4 4 4

a b c+ + ³ a b +b c +c a

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

4) Giải phương trình: 4(x- 2 4)( - x) +4x- 2+44- x+6 3x x =x3+30

Gợi ý: Để ý ta thấy ngay phải áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 4(x- 2 4)( - x)

và bất đẳng thức

Bunhiacopski cho (4x- 2+44- x)

Ở đây việc khó khăn chỉ là phải dùng Cauchy để 6 3x x nhỏ hơn

hoặc bằng biểu thức dạng x3+a sao cho phù hợp nhất.

Đáp sô: x = 3

II SỬ DỤNG HÌNH HỌC, VECTƠ, TỌA ĐỘ

1 Các bất đẳng thức vectơ

a abr r £ a br r

Dấu “=” xảy ra Û a

r

cùng chiều với b

r

b a br + £r ar +br

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a =r 0r hay b =r 0r hoặc ar cùng chiều với br

c Với 3 điểm A, B, C bất kỳ, luôn có: AB+BC ³ AC ( : , ,= A B Cuuuuuur).

d Với 3 điểm A, B, C bất kỳ, luôn có: AB+BC ³ AC (=: , ,A B Cuuuuuur và C nằm ngoài đoạn AB)

Chú ý: Từ bất đẳng thức trên ta rút ra các bất đẳng thức sau:

e ar - br £ a br- r

f AB- AC <BC

2 Cách giải

Bước 1: Từ phương trình ta biến đổi về các biểu thức có dạng a2+b2

Bước 2: Chọn các vectơ

Bước 3: Sử dụng các bất đẳng thức trên Sau đó xét dấu “ = ” xảy ra

3 Các ví dụ:

1) Giải phương trình: x2- 2x+ +5 x2+2x+10= 29 (1)

Giải:

(1) Û (x- 1)2+22 + (x+1)2+32 = 29

Xét các vectơ sau:

( 1;2)

a x -r Þ a = (x- 1)2+22 = x2- 2x+5

r

( 1 ;3)

br - - x Þ b = ( 1- - x)2+32 = x2+2x+10

r

( 2;5)

a br + = -r ( )2 2

a b

Þ r + =r - + =

Ta có: ar + ³br a br+r Þ (x- 1)2+22+ (x+1)2+32 ³ 29

Dấu “ = ” xảy ra Û a

r

và b

r cùng chiều

1 2

1 3

x x

-1 3( 1) 2( 1)

5

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất:

1 5

x =

2) Giải phương trình: 2x2- 2x+ +1 2x2- ( 3 1)- x+ +1 2x2+( 3 1)+ x+ =1 3 (2)

Giải:

Nhân 2 vế của phương trình (1) với 2 ta được phương trình mới tương đương:

4x - 4x+ +2 4x - 2( 3 1)- x+ +2 4x +2( 3 1)+ x+ =2 3 2

( )2 ( )2 ( )2 ( )2 ( )2

Xét các vectơ sau:

( 2 1;1)

ar - x+ Þ a = (1 2 )- x2+ =1 4x2- 4x+2

r

( 1;1 3 )

( 1; 3 1)

2 2

a b cr + + =r r Þ a b cr + + =r r + =

Ta có bất đẳng thức: ar + +br cr ³ a b cr+ +r r

Þ 4x2- 4x+ +2 4x2- 2( 3 1)- x+ +2 4x2+2( 3 1)+ x+ ³2 3 2

Þ dấu “ = ” xảy ra Û ar, b

r

và c

r cùng phương, cùng chiều

0 1

1

1 3

x

x

x x

Vậy x = là nghiệm duy nhất của phương trình.0

3) Giải phương trình:

Giải:

2 2 5 2 6 10 5

Xét các vectơ sau:

( 1,2)

a x -r

( )2

1 4

Þ r = - + ( 3,1)

b x -r

( )2

Þ r = - + ( )2,1 5

a br- r= Þ a br- r =

Áp dụng bất đẳng thức:

ar - br £ a br- r Þ x - x+ - x - x+ £

Þ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ar và b

r cùng chiều

1 2

3 1

x x

- Û x- 1 2= (x- 3) Û x=5 Vậy x = là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.5

4 Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:

1) x2- x+ +1 x2+ + =x 1 2

Gợi ý: x2- x+ +1 x2+ + = x 1 2

Û ççç - ÷÷+ + ççç + ÷÷+ =

Xét các vectơ sau:

1 3 ,

2 2

a xæçç -ç ö÷÷÷÷

a æçx ö÷÷

Þ = çç - ÷÷+

çè ø r

1, 3

2 2

b xæçç- -ç ö÷÷÷÷

b æçx ö÷÷

Þ = çç + ÷+

÷

çè ø

r

Þ r + = -r Þ r+ =r

Ta có:

a + ³b a b+ Þ æçççx- ö÷÷÷+ + æçççx+ ö÷÷÷+ ³

r r r r

Þ Dấu “ = ” xảy ra Û ar và b

r cùng chiều

x x

Û - = - - Û = Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x =0

2) Giải phương trình: x3+ + -x (1 x) 1- x = 2x2- 2x+2

(1) Gợi ý: Điều kiện: 0£ x£ 1

(1) Û x x2+ + -1 (1 x) 1- x= 2x2- 2x+2

Xét các vectơ a xr( , 1- x)

,b xr( 2+1,1- x)

Áp dụng bất đẳng thức: abr r £ a br r.

Xét dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi + Hoặc có 1 trong 2 vectơ là vectơ 0

r :

Dễ thấy chỉ có thể a

r là vectơ 0

r

0

x x

ìï = ïï

Û íï

- = ïïî (vô nghiệm)

+ Hoặc hai vectơ a

r

và b

r cùng chiều:

1

x

-+ Û x(1- x) =x2+1 Û 2x2- x+ =1 0

Đáp sô: Phương trình vô nghiệm

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

I Sử dụng bất đẳng thức

BT 1 Giải phương trình:

3x +6x+ +7 5x +10x+14= -4 2x x-

(*)

Hd: Ta có (*) Û 3(x2+2x) + +7 5(x2+2x) +14= -4 2x x- 2

Ta có

5 5

VT

VP

ìï ³

ïí

ï £

ïî Vậy nghiệm của phương trình là x = - 1

BT 2 Giải phương trình:

2

2

(*)

HD: Điều kiện: x" Î ¡

+) Phương trình (*) (2 2 1)( 2 3) 2 3 2

2

2

VT ( 2 ) ( 2 ) (2 2 1) ( 2 3)

2

VP Vậy nghiệm của phương trình là x = - 1 và x = 2

BT 3 Giải phương trình:

x+ + = + (*)

HD: Điều kiện: x ³ 0.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai cặp sô (2 2; x +1)

và

1 ;

x

Vậy nghiệm của phương trình là

1 7

x =

BT 4 Giải phương trình:

13 x - x +9 x +x =16

(*)

HD: Điều kiện: x2- x4³ 0Û x2(1- x2) ³ 0Û - £1 x£1

Phương trình (*) Û x(13 1- x2 +9 1+x2) =16 ( )2

2 13 1 2 9 1 2 256

+) Áp dụng bắt đẳng thức Bunhiacopxki cho hai cặp sô ( 13;3 3)

và ( 13 1- x2; 3 1+x2)

, ta được:

(13 1- x2+9 1+x2)2£ éê( ) ( )132+ 3 3 2ùúéê( 13 1- x2) (2+ 3 1+x2)2ùú=40 16 10( - x2)

+) Với - £1 x£ Þ1 16 10- x2> 0

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai sô không âm 10x và 2 (16 10x- 2)

, ta được:

2

x - x £ æççç + + ö÷÷÷=

÷

Do ta có: VT =x2(13 1- x2 +9 1+x2)2£ 4.10x2(16 10- x2)

4.64 256 VP

Vậy nghiệm của phương trình là

2 5 5

x = ±

BT 5 Giải phương trình: 2x2- 1+ x2- 3x+ =2 2x2+2x+ +3 x2- x+ (*)6

HD: Ta có đánh giá sau đây:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

0 0 0

f x

h x

ìï ³ ïï ïï

= ïïî

Với ,a b là những sô thực dương.

Vậy nghiệm của phương trình là x = - 2

Bài tập Giải các phương trình sau:

1) x2+ + +x 1 x3+ + =x 1 3x2+ -x 1+ x3- 3x2+ +x 4

2) - 2x2+12x- 10- x3- 1= x2+ -2 x3+x2- 4x + 3

3) x- 2+ 4- x=x2- 6x+11. 4)

( )

2 19 7 2 8 13 13 2 17 7 3 3 2

.

5)

2

6)

2

2

x x

æ ö÷

- + - = - çç + ÷÷

çè ø

II Sử dụng phương pháp hình học

+) a br+ £r ar +br

Dấu “=” xảy ra Û a br r, cùng hướng, hoặc một trong hai véc tơi là véc tơ 0r. +) abrur £ a br r

Dấu “=” xảy ra Û a br r, cùng phương hoặc một trong hai vectơ là véc tơ 0r. +) abr r £ a br r

Dấu “=” xảy ra Û a br r, cùng hướng hoặc một trong hai vectơ là véc tơ 0r

BT 1 Giải phương trình:

2

(*)

HD: Điều kiện: 1- £ x£ 3

Trong hệ trục tọa độ xét hai vectơ: ar =( x+1; 3- x b);r=( )x;1

Khi đó ta có abr r=x x+ +1 3- x a = x+ + -1 3 x =2

r

2 1

br = x +

Phương trình (*) trở thành abr r = a br r

Vậy nghiệm của phương trình là x = và 1 x = ±1 2.

BT 2 Giải phương trình:

2 4 20 2 4 29 97

(*)

* Û x- 2 +16+ x+2 +25= 97

Vậy nghiệm của phương trình là

2 9

x =

Bài tập Giải các phương trình sau:

1) x2- 2x+ +5 x2+2x+10= 29 2)

3) 2x2- 2x+ +1 2x2- ( 3 1- )x+ +1 2x2+( 3 1+ )x+ =1 3

.

4) x2+4x+13+ x2- 2x+ =2 5

B BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

BT 1 Giải bất phương trình:

3

(*)

Lời giải Điều kiện:

1 0

2 0

x

x

ìï - ³ ïï

ï - ³ Û £ £ íï

ï ³ ïïî

Ta có: ( )* Û (x3- 4 2x x+8) (+ -2 x- 1- 3- x) ³ 0

x - x x+ = x x- ³ " Î -êx éë ùúû (1)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai cặp sô ( )1;1

và ( x- 1; 3- x)

, ta được:

( )

é ù

Þ - - - - ³ " Î -êë úû

Từ (1) và (2), ta suy ra: (x3- 4 2x x+8) (+ -2 x- 1- 3- x) ³ 0, " Î -êx éë 1;3 ùúû

Vậy nghiệm của bất phương trình là 1£ x£ 3

BT 2 Giải bất phương trình: 1 2- x+ 1 2+ x³ 2- x2 (*)

Lời giải Điều kiện:

1 1.

2 x 2

- £ £

Ta có( )* Þ 2 2 1 4+ - x2 ³ 4 4- x2+x4 Û x4- 2 1 4- x2- 4x2+ £2 0

2 2

x x

ïî Với x = thỏa mãn điều kiện 0

1 1.

2 x 2

- £ £ Vậy nghiệm của bất phương trình là x = 0

BT 3 Giải bất phương trình: x- x2- 1+ x+ x2- 1£ 2

Lời giải Điều kiện:

2 2 2

1 0

1 0

x

ìï - ³ ïï

ïï - - ³ Û ³ íï

ïï + - ³ ïïî

+) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai sô không âm x- x2- 1 và x+ x2- 1, ta được:

Dâu “=” xẩy ra Û x- x2- 1= x+ x2- 1 Û 2 x2- 1= Û0 x= ±1.

So sánh với điều kiện x ³ 1, ta có nghiệm của bất phương trình là x =1.

Vậy nghiệm của bất phương trình là x =1

Bài tập tương tự: Giải các bất phương trình sau:

1 x- 1- 2x - 10x+16³ 3- x ) ( )2

2 2x - 3x+1 - 4x - 20x +25x <2x+1