Câu hỏi trắc nghiệm mặt cầu – mặt trụ – mặt nón

Một hình nón có đỉnh là S ở trên mặt cầu và đáy là đường tròn tương giao của mặt cầu đó với mặt phẳng vuông góc với đường 3a thẳng SO tại H sao cho SH .. Dựng hai đường sinh SA và SB , [r]

O B

1

A A

Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R không đổi

gọi là mặt cầu có tâm là O và bán kính bằng R

Nếu OA OB, là hai bán kính của mặt cầu sao cho A O B, , thẳng hàng thì đoạn thẳng

AB gọi là đường kính của mặt cầu

Định lí Cho hai điểm cố định , A B Tập hợp các điểm M

trong không gian sao cho AMB900 là mặt cầu đường

kính AB

●A S O R  ; OAR

●OA1 R A1 nằm trong mặt cầu

●OA2 R A2 nằm ngoài mặt cầu

II MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN

Định nghĩa: Mặt cầu đi qua mọi đỉnh của một hình đa diện  H gọi là mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện  H và khi đó  H được gọi là nội tiếp mặt cầu đó

Điều kiện cần và đủ để một hình chóp có mặt cầu ngoại

tiếp là đáy của nó là một đa giác nội tiếp một đường tròn

Mọi tứ diện đều có mặt cầu ngoại tiếp

III MẶT CẦU NỘI TIẾP HÌNH CHÓP

1 Mặt cầu nội tiếp hình chóp là mặt cầu nằm bên trong hình chóp và tiếp xúc với với tất các mặt của hình chóp

2 Tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp cách đều tất cả các mặt của hình chóp

IV VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG

Cho mặt cầu S O R ;  và mặt phẳng  P , gọi d là khoảng cách từ O đến  P và H

là hình chiếu vuông góc của O trên  P Khi đó

(P)

H (P)

(P)

H O

● Nếu d R thì mặt phẳng  P cắt mặt cầu S O R ;  theo giao tuyến là đường tròn nằm trên mặt phẳng  P có tâm là H và có bán kính r R2d2

Khi d0 thì mặt phẳng  P đi qua tâm O của mặt cầu, mặt phẳng đó gọi là mặt phẳng kính; giao tuyến của mặt phẳng kính với mặt cầu là đường tròn có tâm O và bán kính R, đường tròn đó gọi là đường tròn lớn của mặt cầu

●Nếu dR thì mặt phẳng  P và mặt cầu S O R ;  có một điểm chung duy nhất H Khi đó ta nói  P tiếp xúc với S O R ;  tại H và  P gọi là tiếp diện của mặt cầu, H

gọi là tiếp điểm

Chú ý Cho H là một điểm thuộc mặt cầu S O R ;  và mặt phẳng  P qua H Thế thì

 P tiếp xúc với S O R ; OH  P

●Nếu d R thì mặt phẳng  P và mặt cầu S O R ;  không có điểm chung

V VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG

Cho mặt cầu S O R ;  và đường thẳng  Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên

 và d OH là khoảng cách từ O đến  Khi đó

● Nếu d R thì  cắt S O R ;  tại hai điểm , A B và H là trung điểm của AB

● Nếu dR thì  và S O R ;  chỉ có một điểm chung H , trong trường hợp này  gọi là tiếp tuyến của mặt cầu S O R ;  hay  tiếp xúc với S O R ;  và H là tiếp điểm

● Nếu d R thì  và S O R ;  không có điểm chung

VI DIỆN TÍCH MẶT CẦU VÀ THỂ TÍCH KHỐI CẦU



H

O



I N

M O

 P

O

H r

V   R

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Cho đường trịn  C đường kính AB và đường thẳng  Để hình trịn xoay sinh bởi  C khi quay quanh  là một mặt cầu thì cần cĩ thêm điều kiện nào sau đây: (I)Đường kính AB thuộc 

(II) cố định và đường kính AB thuộc 

(III) cố định và hai điểm , A B cố định trên

C Chỉ (III) D Khơng cần thêm điều kiện nào

Câu 2 Cho mặt cầu  S tâm O , bán kính R và mặt phẳng  P cĩ khoảng cách đến O

bằng R Một điểm M tùy ý thuộc  S Đường thẳng OM cắt  P tại N Hình chiếu của O trên  P là I Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 4 Cho mặt cầu S O R ;  và một điểm A , biết OA2R Qua A kẻ một cát tuyến cắt  S

tại B và C sao cho BCR 3 Khi đĩ khoảng cách từ O đến BC bằng:

Câu 6 Cho mặt cầu tâm I bán kính R2,6cm Một mặt phẳng cắt mặt cầu và cách tâm

I một khoảng bằng 2,4cm Thế thì bán kính của đường tròn do mặt phẳng cắt mặt cầu tạo nên là:

Câu 8 Một hình cầu có bán kính là 2m, một mặt phẳng cắt hình cầu theo một hình tròn

có độ dài là 2,4 m Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng là:

Câu 9 Cho mặt cầu S O R ; , A là một điểm ở trên mặt cầu  S và  P là mặt phẳng qua

A sao cho góc giữa OA và  P bằng 60 0

Diện tích của đường tròn giao tuyến bằng:

Câu 10 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh bên bằng cạnh đáy bằng a Khi đó

mặt cầu nội tiếp hình chóp S ABCD có bán kính bằng:

A 1 3

.2

a 

B  6 2

.4

C  6 2

.4

D  3 1

.2

Câu 11 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA BC a  Cạnh bên SA2a và vuông góc với mặt phẳng đáy Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC là:

Câu 14 Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 21

6

a Gọi h là chiều cao của khối chóp và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp Tỉ số

Câu 15 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với mặt

đáy một góc 600 Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD là:

Câu 16 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn AD2a,

ABBCCDa Cạnh bên SA2a và vuông góc với đáy Gọi R là bán kính mặt

cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD Tỉ số R

a nhận giá trị nào sau đây?

Câu 17 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB2a, ADa Cạnh bên SA vuông góc với đáy và góc giữa SC với đáy bằng 450 Gọi N là trung điểm SA , h là chiều cao của khối chóp S ABCD và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp N ABC Biểu thức liên hệ giữa R và h là:

Câu 19 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Đường thẳng SA

vuông góc đáy ABCD Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng SB Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện HBCD có giá trị nào sau đây?

Câu 21 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, BDa Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy ABCD là trung điểm OD Đường thẳng SD tạo với mặt đáy một góc bằng 600 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD nhận giá trị nào sau đây?

Câu 22 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông

góc của đỉnh S trên mặt phẳng ABC là trung điểm H của cạnh BC Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ABC bằng 600 Gọi G là trọng tâm tam giác SAC,

R là bán kính mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với mặt phẳng SAB Đẳng thức nào sau đây sai?

ACa , góc ACB bằng 300 Góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng ABC

bằng 600 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A ABC' bằng:

Câu 30 Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy là tam giác đều cạnh a Mặt phẳng

AB C' ' tạo với mặt đáy góc 600 và điểm G là trọng tâm tam giác ABC Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp G A B C ' ' ' bằng:

Cho hai đường thẳng  và  sao cho  song song với  và d,  R Khi ta quay

 quanh trục  một góc 3600 thì  tạo thành một mặt trụ tròn xoay  T (hoặc đơn giản hơn là mặt trụ)

 T

● Hai đường trịn  C và  C' gọi là hai đường trịn đáy của hình trụ

● OO' gọi là trục của hình trụ

● Độ dài OO' gọi là chiều cao của hình trụ

● Phần giữa hai đáy gọi là mặt xung quanh

Các đuờng sinh của hình trụ đều bằng nhau và bằng với trục của hình trụ

Các thiết diện qua trục của hình trụ là các hình chữ nhật bằng nhau

Thiết diện vuơng gĩc vơi trục của hình trụ là một hình trịn bằng hình trịn đáy

Nếu một điểm M di động trong khơng gian cĩ hình chiếu vuơng gĩc M' lên một mặt phẳng   và M' di động trên mơt đường trịn  C cố định thì M thuộc một mặt trụ cố định  T chứa  C và cĩ trục vuơng gĩc  

3 Khối trụ

Định nghĩa Hình trụ cùng với phần bên trong nĩ được gọi là khối trụ

III DIỆN TÍCH HÌNH TRỤ VÀ THỂ TÍCH KHỐI TRỤ

Diện tích xung quanh của hình trụ cĩ bán kính R và chiều cao h là: S xq2 Rh Diện tích tồn phần của hình trụ bằng tổng diện tích xung quanh hình trụ với diện tích hai đáy của nĩ

Thể tích của khối trụ cĩ bán kính R và chiều cao h là: V  R h2

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 31 Xét các mệnh đề

(I) Tập hợp các đường thẳng d thay đổi nhưng luơn luơn song song và cách đường

thẳng  cố định một khoảng khơng đổi là một mặt trụ

(II) Hai điểm , A B cố định Tập hợp các điểm M trong khơng gian mà diện tích tam giác MAB khơng đổi là một mặt trụ

Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng?

C Cả (I) và (II) D Khơng cĩ mệnh đề đúng

Câu 32 Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuơng cạnh

Câu 33 Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R 3 Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lần lượt có giá trị là:

A 2 3 1 R   2 và 2 3 R  2 B 2 3 R  2 và 2 3 1 R   2

C 2 3 R  2 và 2 R  2 D 2 3 R  2 và 2 3 R  2R2

Câu 34 Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh có

cạnh bằn 2R Diện tích toàn phần của khối trụ bằng:

A 4 R2 B 6 R2 C 8 R2 D 2 R2

Câu 35 Một hình trụ có bán kính đáy R70cm, chiều cao hình trụ h20cm Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục hình trụ Khi đó cạnh của hình vuông bằng bao nhiêu?

Câu 36 Bán kính đáy hình trụ bằng 4cm , chiều cao bằng 6cm Độ dài đường chéo của

thiết diện qua trục bằng:

Câu 38 Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O', bán kính bằng chiều cao và

bằng a Trên đường tròn tâm O lấy điểm A, trên đường tròn tâm 'O lấy điểm B

sao cho AB2a Thể tích của khối tứ diện OO AB' bằng:

Câu 40 (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD

có AB1 và AD2 Gọi , M N lần lượt là trung điểm của AD và BC Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN , ta được một hình trụ Diện tích toàn phần của hình trụ bằng:

Câu 41 Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a ( a là độ dài có sẵn)

Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ Nếu hình trụ được tạo thành có chu

Câu 42 Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a ( a là độ dài có sẵn)

Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ Nếu hình trụ được tạo thành có

chiều dài đường sinh bằng 2a thì bán kính đáy bằng:

Câu 43 (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích

thước 50cm 240cm , người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50cm, theo hai cách sau (xem hình minh họa sau đây):

● Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng

● Cách 2 Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm tôn bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành

mặt xung quanh của một thùng

Kí hiệu V1 là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V2 là thể tích của thùng gò được theo cách 2 Khi đó tỉ số 1

Câu 44 Một hộp sữa hình trụ có thể tích V (không đổi) được làm từ một tấm tôn có diện

tích đủ lớn Nếu hộp sữa chỉ kín một đáy thì để tốn ít vật liệu nhất, hệ thức giữa bán kính đáy R và đường cao h bằng:

A h R B h 2R C.h 3R D.h2R

Câu 45 Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn  O và  O' , chiều cao 2R và bán kính

đáy R Một mặt phẳng   đi qua trung điểm của OO' và tọa với OO' một góc 30 Hỏi   cắt đường tròn đáy theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?

Cho đường thẳng  Xét một đường thẳng d cắt 

tại O tạo thành một góc  với 0

2





  Mặt tròn xoay

sinh bởi đường thẳng d như thế khi quay quanh  gọi

là mặt nón tròn xoay (hay đơn giản hơn là mặt nón)

theo một đường tròn  C có tâm I Lại gọi  P' là

mặt phẳng vuông góc với  tại O

● Phần của mặt nón N giới hạn bởi hai mặt

phẳng  P và  P' cùng với hình tròn xác định

bởi  C được gọi là hình nón

●O gọi là đỉnh của hình nón

● Đường tròn  C gọi là đường tròn đáy của hình nón

● Với mỗi điểm M nằm trên đường tròn  C , đoạn thẳng OM gọi là đường sinh của hình nón

● Đoạn thẳng OI gọi là trục của hình nón, độ dài OI gọi là chiều cao của hình nón

(đó chính là khoảng cách từ đỉnh O đến mặt đáy.)

2 Khối nón

Một hình nón chia không gian thành hai phần: phần bên trong và phần bên ngoài của

nó Hình nón cùng với phần bên trong của nó gọi là khối nón

III KHÁI NIỆM VỀ DIỆN TÍCH HÌNH NÓN VÀ THỂ TÍCH KHỐI NÓN

Một hình chóp gọi là nội tiếp một hình nón nếu:

● Đáy của hình chóp là đa giác nội tiếp đáy của hình nón

● Đỉnh của hình chóp là đỉnh của hình nón

1 Định nghĩa

Diện tích xung quanh của hình nón là giới hạn của diện tích xung quanh của một hình chóp đều nội tiếp hình nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn

Thể tích của khối nĩn là giới hạn của thể tích của khối chĩp đều nội tiếp khối nĩn đĩ khi số cạnh tăng lên vơ hạn

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 46 Hình nĩn cĩ đường sinh 2a và hợp với đáy gĩc  600 Diện tích tồn phần của hình nĩn bằng:

A 4 a2 B 3 a2 C 2 a2 D  a2

Câu 47 Cho hình nĩn đỉnh S cĩ bán kính đáy Ra 2, gĩc ở đỉnh bằng 600 Diện tích xung quanh của hình nĩn bằng:

A 4 a2 B 3 a2 C 2 a2 D  a2

Câu 48 (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Trong khơng gian, cho tam giác ABC

vuơng tại A, ABa và ACa 3 Độ dài đường sinh  của hình nĩn nhận được

khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB bằng:

Câu 50 Cạnh bên của một hình nĩn bằng 2a Thiết diện qua trục của nĩ là một tam giác

cân cĩ gĩc ở đỉnh bằng 120 Diện tích tồn phần của hình nĩn là:

A.23 3 B 2 a23 3 C 6 a  2 D. a23 2 3 

Câu 51 Cho mặt cầu tâm O , bán kính R a Một hình nĩn cĩ đỉnh là S ở trên mặt cầu

và đáy là đường trịn tương giao của mặt cầu đĩ với mặt phẳng vuơng gĩc với đường thẳng SO tại H sao cho 3

2

a

SH  Độ dài đường sinh  của hình nĩn bằng:

A a B a 2 C a 3 D 2 a

Câu 52 Cho hình nĩn đỉnh S cĩ đáy là hình trịn tâm O , bán kính R Dựng hai đường

sinh SA và SB, biết AB chắn trên đường trịn đáy một cung cĩ số đo bằng 600, khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng SAB bằng

2

R

Đường cao h của hình nón bằng:

Câu 53 Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O Dựng hai đường sinh SA và

SB, biết tam giác SAB vuông và có diện tích bằng 4a2 Góc tạo bởi giữa trục SO và mặt phẳng SAB bằng 300 Đường cao h của hình nón bằng:

Câu 56 Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng 2a, khoảng cách từ tâm

O của đường tròn ngoại tiếp của đáy ABC đến một mặt bên là

2

a Thể tích của khối nón ngoại tiếp hình chóp S ABC bằng:

Câu 57 Cho hình nón có đỉnh S , đường cao SO h , đường sinh SA Nội tiếp hình nón

là một hình chóp đỉnh S, đáy là hình vuông ABCD cạnh a Nửa góc ở đỉnh của hình

A 2 B 2 C 3 D 3

Câu 59 Một hình nón có đường cao bằng 9cm nội tiếp trong một hình cầu bán kính bằng 5cm

Tỉ số giữa thể tích khối nón và khối cầu là:

Tam giác OIN vuông tại I nên ON R 2IN R Chọn D

Câu 3 Vì AB tiếp xúc với  S tại B nên ABOB

Suy ra AB OA2OB2  4R2R2 R 3. Chọn D

Câu 4 Gọi H là hình chiếu của O lên BC

Ta có OB OC R, suy ra H là trung điểm của BC nên 3

Câu 8 Gọi khoảng cách từ tâm cầu đến mặt phẳng là d , ta có d2 R2r2

Theo giả thiết R2m và 2 2,4 2,4 1,2m

Câu 9 Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên  P thì

● H là tâm của đường tròn giao tuyến của  P và  S

● OA P, OA AH, 60 0

O B

D

C

A S

Bán kính của đường tròn giao tuyến: cos 600

2

R

rHA OA  Suy ra diện tích đường tròn giao tuyến: 2 2 2

Gọi H là tâm của hình vuông ABCD

Ta có SH là trục đường tròn ngoại tiếp đáy

Gọi M là trung điểm của CD và I là chân

đường phân giác trong của góc SMH I SH (  )

Suy ra I là tâm của mặt cầu nội tiếp hình chóp,

bán kính rIH

Ta có 2 2 2;

23

Hơn nữa, tam giác SAC vuông tại A có I là

trung điểm SC nên IS IC IA   2

Câu 12 Gọi O AC BD  , suy ra O là tâm đường

tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD

Gọi I là trung điểm SC, suy ra

IO SA IOABCD

Do đó IO là trục của hình vuông ABCD , suy ra

IAIBICID. 1