TAP CHI TOAN UNG DUNG CONG NGHE VA GIAO DUC SO THU 2 THANG 72017

Aims and research questions The intention was to make a study of the use of TI-Nspire CAS technology, as software for laptops Figure 2 and as software combined with handheld calculators,[r]

TẠP CHÍ TOÁN ỨNG DỤNG, CÔNG NGHỆ VÀ GIÁO DỤC

Hè 2017 đã về, mùa chín đỏ của những quả Cherry (Anh Đào) vùng Bắc Mỹ, và ở nơi cách xa nửa vòng trái đất, phía bên kia bờ đại dương là nước Việt thân yêu cũng đang

có mùa Phượng vỹ, mùa của tuổi học trò, mùa của sự chia tay để tiếp tục những hành trình mới của đời người Tạp chí AMTJ cũng vậy, sẽ tiếp tục hành trình của mình, đó là chính thức thêm tên thành AMTEJ - Applied Mathematics, Technology and

Education Journal-Tạp chí Toán ứng dụng, Công nghệ và Giáo dục kể từ số thứ

2 tháng 7/2017

Số báo ra đầu tiên ngày 4/5/2017 là một sự trùng hợp về ngày và cũng mang đến cho

số báo tiếp theo một ý nghĩa nào đó trong ngày July, 04 (4/7/2017)- Quốc khánh Mỹ - Một cường quốc có nhiều ứng dụng nhất trong Toán học và Công nghệ, và xa hơn là số thứ 3 của tạp chí cũng ra đời đúng dịp Quốc khánh Việt Nam (2/9/2017)-Đất nước của những tài năng Toán học và là mỏ vàng tiềm năng về Toán

Tạp chí tạp chí tiếp tục nhận được sự quan tâm của bạn đọc từ khắp nơi trên thế giới,

từ các chuyên ngành khác nhau nhưng đều chung ý, chung lòng là khích lệ học sinh sinh viên, đặc biệt là bạn đọc từ Việt Nam và Mỹ Các bài báo trong tạp chí sẽ tiếp tục được trình bày bằng tiếng Việt và tiếng Anh, trong đó, phần một là các bài báo bằng tiếng Việt sẽ có một vài đoạn trình bày bằng tiếng Anh với mục đích để các bạn HSSV làm quen với tiếng Anh, phần hai là các bài báo tiếng Anh của tạp chí eJMT sẽ được trình bày nguyên bản

Thay mặt Ban biên tập tạp chí AMTEJ, kính chúc bạn đọc một mùa hè với nhiều niềm vui và có nhiều đóng góp thiết thực

Trân trọng

Henry Tran

M ỤC LỤC

Lê Phúc Lữ - FPT Software, TP.HCM, Vietnam.

Tính xác suất trong trò chơi Bầu Cua Tôm Cá 4

Mai Xuân Việt - Trung tâm luyện thi Thủ Khoa,TP.HCM, Vietnam

Lập trình trên máy tính khoa học cầm tay thông qua phương pháp lặp 13

Henry Trần - Wayne State University, Michigan, USA.

Các phương pháp sai phân hữu hạn cho phương trình đạo hàm riêng dạng Hyperbolic với

lập trình MATLAB 21

J Brian Conrey, The American Institute of Mathematics, USA

Giả thiết Riemann (The Riemann Hypothesis) - Bài toán thiên niên kỉ chưa có lời giải và

giải thưởng một triệu USD 34

Minh Tran - Bowling Green State University, Ohio, USA

Một vài ví dụ để thấy rằng các vật thể được biểu diễn bằng các phương trình toán học 47

Trần Việt Tuấn Tú - Temple University, Pennsylvania, USA.

Titanic Survival Prediction - Dự đoán sự sống sót của con tàu Titanic with Data Science

and Machine Learning 62

Alasdair McAndrew, College of Engineering and Science, Victoria University,

Melbourne, Australia

Exploring Runge-Kutta formulas with a computer algebra system 86

Wei-Chi Yang - University Radford, Virginia, USA; Alasdair McAndrew, Victoria

University, Australia

Locus and Optimization Problems in Lower and Higher Dimensions 103

Yasuyuki Nakamura, Science Nagoya University Japan; Tetsuya Taniguchi,

Ki-tasato University,Japan; Takahiro Nakahara,Sangensha LLC, Japan

Item Bank System for the Mathematics e-Learning System STACK 118

Per-Eskil Persson Malm¨ o University, Sweden

How teachers can use TI-Nspire CAS with laptops in an upper secondary course 126

Vladimir V Shelomovskii, Russia; Wei–Chi Yang, Radford University Radford,

Virginia, USA; Skip Thompson, Radford University Radford, Virginia, USA

The Area of the Solid of Intersection of a Sphere and an Ellipsoid - a Parametric Approach143

T ÍNH XÁC SUẤT TRONG TRÒ CHƠI BẦU CUA TÔM CÁ

Vấn đề đặt ra là trong trường hợp các mặt của xúc sắc không phải 6 mặt giống nhau làtùy thuộc vào thông tin do nhà cái muốn quyết định thì xác suất xảy ra là bao nhiêu đểbiết được rằng nên thưởng cho người chơi bao nhiêu cho phù hợp (sẽ có lợi theo mặt xácsuất) Bài phân tích nhỏ dưới đây muốn đưa ra hướng giải quyết vấn đề này, cùng codehiện thực nó viết bằng Visual Basic 6.0 trên Macro của Microsoft Excel

Bàn Bầu Cua Tôm Cá

1 Giới thiệu và phân tích vấn đề

Cho n con xúc sắc đặc biệt, mỗi con có các mặt “BẦU”, “CUA”, “TÔM”, “CÁ”, “NAI”, “GÀ”tùy ý, không nhất thiết là 1 Ở đây quy ước: các mặt trên có index là 0, 1, 2, 3, 4, 5 tương ứngtrong các mảng dữ liệu Tính xác suất để khi gieo đồng thời n con xúc sắc đó, ta nhận được một

số mặt của các loại trên với số lượng mong muốn

Gọi NUMBE_OF _T Y P E là số lượng các loại mặt xuất hiện trong trò chơi này, ở đây ta có giátrị số này bằng 6, tương ứng với 6 loại mặt Xét dữ liệu List < int[NUMBER_OF _T Y P E] >dicesthể hiện thông tin của các con xúc sắc, bao gồm tất cả n phần tử là

< dices[0], dices[1], , dices[n− 1] > Mỗi phần tử như thế lại là 1 mảng chứa số lượng mặt của con xúc sắc tương ứng

Chẳng hạn con xúc sắc thứ 1 có 3 mặt là “BẦU”, 1 mặt là “CUA”, 1 mặt là “TÔM”, 1 mặt là

“CÁ”, 4 mặt là “NAI” và 0 mặt là “GÀ” thì ta có:

dices[0] = (3, 1, 1, 1, 4, 0)

Kết quả mong muốn cũng có dạng một danh sách như sau:

List < KeyV alueP airs < int, int >> result

trong đó, số lượng phần tử của list này sẽ không vượt quá NUMBER_OF _T Y P E (khôngnhất thiết bằng đúng số này mà có thể nhỏ hơn), cho biết số lượng tương ứng của các mặt muốn

có được Chẳng hạn, ta muốn tính xác suất để khi tung các con xúc sắc, ta thu được đúng 2 mặt

“BẦU”, 1 mặt “CUA” và không có mặt nào là “GÀ”, ta có:

result = (< 0, 2 >, < 1, 1 >, < 0, 5 >)Ràng buộc dữ liệu:

1 Mỗi key xuất hiện không quá 1 lần

2 Tổng các value của tất cả các cặp phải không vượt quá n là số lượng xúc sắc

3 Các dữ liệu vi phạm ràng buộc này đều cho ra xác suất bằng 0

• Đầu tiên, ta tính tổng số lượng các mặt của các con xúc sắc (tính tổng của 6 phần tử), đặt

là a0, a1, a2, , an −1 Rõ ràng các số này đều phải là số lớn hơn 0

• Khi đó: n(Ω) = a0.a1.a2 an −1.

Bước 2 Tính n(A) Bước này là quan trọng nhất Đầu tiên, ta kiểm tra trong các giá trị values

của mặt, có giá trị nào là 0 hay không Nếu có, nghĩa là các mặt tương ứng không được xuấthiện, ta duyệt mảng dữ liệu các con xúc sắc và loại ra các mặt vi phạm được một bộ xúc sắcmới Nếu có một con xúc nào còn lại 0 mặt, ta trả về kết quả là 0

Tiếp theo, ta sẽ trải qua các bước sinh các thông tin:

Bước 2.1 Sinh ra dãy giá trị mong muốn.

Ta cần làm điều này vì nếu giữ nguyên thông tin ban đầu sẽ khó đếm số lượng các trường hợp.Chẳng hạn, từ yêu cầu cần có: 2 con “BẦU”, 3 con “CUA”, 1 con “CÁ”, ta sinh ra dãy số sau:

Bước 2.2 Sinh ra dãy index của xúc sắc.

Ở bước này, ta sinh ra tất cả các chỉnh hợp chập k, tức là các bộ số phân biệt nhau có tính thứ tựlấy ra từ tập hợp index = 0, 1, 2, 3, , n

Có tất cả n!

(n −1)! bộ như thế Do ở đây, các con xúc sắc có thông tin không nhất thiết giống nhaunên ta buộc phải xem xét cho từng trường hợp

Tương tự, ta đặt tên cho dãy index này là: (y0, y1, y2 yn−1)với 0 ≤ yi < n

Bước 2.3 Ép hai dãy trên lại và tính trường hợp.

Khi đã chọn được hai dãy như trên, ta sẽ tính số trường hợp của mệnh đề:

Với mọi i = 0, 1, 2, , k − 1, con xúc sắc thứ yi phải thu được mặt là xi , giả sử ta có tất cả zi

Ta cộng thêm giá trị này vào n(A) là số trường hợp mong muốn và chuyển qua chỉnh hợp tiếptheo sinh ra được ở bước 2.2.

Bước 3 Tính xác suất P(A):

Khi đã có 2 giá trị n(A), n(Ω), ta chia n(A) có số lượng hoán vị của các giá trị giống nhau(chẳng hạn cần 3 mặt “BẦU” thì sau đó, ta chia n(A)

3! và cứ thế

Cuối cùng, xác suất cần tính chính là

P (A) = n(A)

n(Ω).

3 Ví dụ mô phỏng thuật toán

Với dữ liệu chuẩn thông thường là 3 con xúc sắc có 6 mặt khác nhau, ta cần tính xác suất để có

2con “BẦU” thì dữ liệu và các bước trên cụ thể như sau

5 Code mẫu bằng VisualBasic 6 hiện thực ý tưởng

Type Dictionary

Key As Integer

Value As Integer

End Type

Public Const NumberFace = 6

Public NumberDices As Integer

Public TotalRequire As Integer

Public RequireResultNumber As Integer

Public Dices (10, NumberFace ) As Integer

Public TempIndex ( NumberFace ) As Integer

Public RequireResult ( NumberFace ) As Dictionary

Public Const StartIndexRow = 3

Public Const StartIndexColumn = 1

Public Const StartColumnInfor = 17

Public TypeCalculation As Integer ’ 0 as compute single value, 1 as compute whole table

Public Numerator As Long

Public Demoninator As Long

Public NameOfFace ( NumberFace ) As String

Public StringName (10) As String

Public FailPercent As Double

Public Sub Probability ()

Public Sub Compute ()

Dim ListZero ( NumberFace ) As Integer

Dim TotalZero As Integer

Dim TempRequireResult ( NumberFace ) As Dictionary

Dim ConvertList ( NumberFace ) As Integer

Dim CurrentIndex ( NumberFace ) As Integer

Dim Index As Integer

Dim CountingCase As Long

If RequireResult ( ) Value = 0 Then

ListZero ( TotalZero ) = RequireResult ( ) Key

If RequireResult ( ) Value <> 0 Then

TempRequireResult ( ) Key = RequireResult ( ) Key

TempRequireResult ( ) Value = RequireResult ( ) Value

RequireResult ( ) Key = TempRequireResult ( ) Key

RequireResult ( ) Value = TempRequireResult ( ) Value

Next i

’ now we find the total situations

For i = 0 To RequireResultNumber - 1

TotalRequire = TotalRequire + TempRequireResult ( ) Value

If TypeCalculation = 0 Then MsgBox ( "Probability is: " & Numerator & "/" & Demoninator

& vbCrLf & "Reduce form is: 0" )

Exit Sub

End If

’ convert the require result into a list of number

t = 0 ’ index of new list

For i = 0 To RequireResultNumber - 1

For j = 0 To RequireResult ( ) Value - 1

ConvertList ( ) = RequireResult ( ) Key

CountingCase = CountingCase + Cur

Loop While NextPermutation

Total = Total - Dices ( , j

End If Next

CountingCase = CountingCase * Total

End If

Next i

Numerator = Numerator + CountingCase

’find the new subset

Dim CheckStatus As Boolean

CheckStatus = True

Index = TotalRequire - 1

While Index >= 0 And CheckStatus

If CurrentIndex ( Index ) = NumberDices - TotalRequire + Index Then

CurrentIndex ( Index ) = CurrentIndex ( Index ) + 1

For j = Index + 1 To TotalRequire - 1

Dim Reduce As Integer

Reduce = GCD ( Numerator , Demoninator )

If TypeCalculation = 0 Then MsgBox ( "Probability is: " & Numerator & "/" & Demoninator &

vbCrLf & "Reduce form is: " & Numerator / Reduce & "/" & Demoninator / Reduce & " = "

Cells (4, 16) = Demoninator

End Sub

’ find the greatest common divisor of two positive integers

Public Function GCD ( ByVal x As Long , ByVal y As Long ) As Long

While x > 0

Dim Current As Long

’ calculate the factorial

Public Function Factorial ( num As Integer ) As Integer

’ construct the permutation of the list

Public Function NextPermutation ()

While k >= 0 And CheckStatus

If TempIndex ( ) >= TempIndex ( + 1) Then

While l > k And CheckStatus

If TempIndex ( ) <= TempIndex ( ) Then

Mai Xuân Vi t - Trung tâm luy n thi Th Khoa

Gi i thiêu: Máy tính c m tay thực sự là một công cụ rất đắc lực cho giáo viên và h c sinh trong quá trình dạy và học hiện nay Máy tính ngày nay có nhiều chức năng giúp đơn giản hoá và tối ưu hoá các quá trình tính toán, và đ c bi t là máy tính c m tay còn có ch c năng l p trình thông qua phương pháp l p, đ gi i các bài toán ph c t p mà các phương pháp tính toán thông thư ng không th gi i quy t

đư c Sau đây tôi xin trình bày một trong những chức năng ưu việt như thế, đó là l p trình b ng phương pháp l p

Dạng 1: Tính giá trị của một biểu thức

Ấn " = " liên tiếp đến khi D=20, ấn " = " ta được S1 B 1, 718281828

b) Tính gần đúng giá trị của biểu thức sau :

11

D D





Ấn " = " liên tiếp đến khi D=15, ấn " = ", ta được S2  B 12,97546126

Thí dụ 2: Tính gần đúng giá trị các biểu thức sau :

1

D D

Các lo i máy tính khoa h c VietnamCalculator t 570RS tr lên, Casio t 570MS tr lên.

Máy tính khoa h c VietnamCalculator 570ES Plus 115ES

a) 1 15

142

133

124

115

106

978



 Trước tiên ta nhắc lại một kiến thức cũ đã học để áp dụng vào bài này :





1919!

(19 )!

D

D D

1(10 )

i i



Ta viết f x( )lại thành f x( )2(1cos2x) + sin2x - 5cosx = 2cos2x + sin2x - 5cosx + 2

Cách 2: Vào chương trình tính cơ số BASE ( MODE MODE 3 )

Gán A=3, B = 49 Lần lượt thực hiện các thao tác sau :

Ghi vào màn hình : A×100000000 ÷ B (ta được 8 chữ số thập phân sau dấu phẩy),

ấn tiếp A×100000000 - AnsB SHIFT STO A , Dùng  trên phím REPLAY để quay lại và thực hiện SHIFT COPY (REPLAY) Lúc đó trên màn hình hiển thị như sau :

A×100000000 ÷ B : A×100000000 - AnsB  A

Ấn "=" để lặp, mỗi lần ấn dấu "=" ta lại được 8 chữ số sau chữ số thập phân sau dấu phẩy của phép chia 3/49 theo thứ tự trên

Bài tập dành cho các bạn tự luyện:

Bài 1: Tính gần đúng giá trị của biểu thức sau :

Bài 2: Tính gần đúng (làm tròn đến 5 chữ số thập phân) giá trị của biểu thức sau :

2 3 4 19 20

Bài 3: Tìm gần đúng nghiệm của phương trình sau:

[A]x + A-1 = 2010 ( [A] phần nguyên của A)

8 sau dấu phẩy của phép chia 216 ÷ 43

Bài 5: Cho đa thức 9 7

Dạng 2: Tính toán trong các bài toán dãy số

Thí dụ 1: Cho dãy số {un} được xác định bởi : 0 1

i i



 Gán D= 1 (biến đếm); A = 1 ; B = 3 (số hạng ) ; C= 4 (tổng) Ghi vào màn hình :

i i



 Gán D=2 (biến đếm); A = 1 ; B = 2 ; C = 3 (số hạng) ; E = 6 ( tổng) Ghi vào màn

Cách 1: Ta lập dãy số truy hồi cho từng dãy số trên như sau :

Tới đây ta thực hiện tương tự như những ví dụ trên.

Cách 2: Tính trực tiếp mà không qua biến đổi

Gán : E = 1 (biến đếm) ; A= 1 (số hạng un) ; B = 5 (số hạng vn)

Ghi vào màn hình: E = E + 1 : C = 3A + 2B : D = 4B – A : E = E + 1 : A = 3C +

2D : B = 4D – C

Ấn "=" liên tiếp ta được u15 = -522.059.840 và v16 = -597.753.856

Thí dụ 4: Cho dãy số được xác định như sau:

2 1 2

12

n n n

Ấn "=" liên tiếp đến khi D=10 thì ta được S10 = C = 40546

Phần chứng minh xin dành cho bạn đọc

Sau đây là một số bài tập dành cho các bạn tự luyện:

Bài 1: (Dãy Fibonacy) Cho 0 1

i i

Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên

Bài 3: Cho dãy số {xn} được xác định bởi :

Tim cách tính chính xác giá trị của x20 ?

( Gợi ý: chuyển về hai dãy phụ bằng cách đặt n

n n

y x z

 )

Dạng 3: DỰ ĐOÁN GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Thí dụ 1: Cho dãy số được xác định bởi : x15



Ấn " = " liên tiếp đến khi B=0, và D không đổi, khi đó ta tính được

D=0,208712152 Nếu giải tay ta được kết quả chính xác là :

u u

Sau đây là một số bài tập dành cho các bạn tự luyện

Bài 1: Dãy {un} được xác định như sau : 1 2 2

Thí dụ 1: Tìm gần đúng hai nghiệm của phương trình sau :

Suy ra phương trình f x( )0có ít nhất 1 nghiệm trong mỗi khoảng (-1;0) và (1; 2)

Sử dụng quy trình lặp sau để tìm nghiệm ( Phương pháp Niutơn)

1

( )'( )

C ÁC PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN

CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG DẠNG

Henry Tran

Wayne State University, Michigan, USA

LỜI BAN BIÊN TẬPBài viết của tác giả Henry Tran có nguyên bản là tiếng Anh, có ba phần chính gồm:

• Lý thuyết và ứng dụng lập trình MATLAB trong phương trình Parabolic (xem tạp

chí AMTEJ số 01)

• Lý thuyết và ứng dụng lập trình MATLAB trong phương trình Hyperbolic

• Lý thuyết và ứng dụng lập trình MATLAB trong phương trình Elliptic

Ở số báo này, chúng tôi sẽ đăng tiếp phần hai, dạng Hyperbolic

Tóm tắt

Chúng ta sẽ tiếp tục áp dụng hai phương pháp sai phân hữu hạn (Finite Difference

Method) là: phương pháp tường minh (Explicit method) và phương pháp Crank-Nicolson

(viết tắt là CNM) cho phương trình sai phân hữu hạn dạng Hyperbolic, nghĩa là ta lấy vi

phân bậc hai cho biến theo thời gian t (trong phần 1 - dạng Parabolic, ta đã lấy vi phân bậc

nhất cho biến theo thời gian t) Trong phần Hyperbolic này, chúng ta sẽ tìm hiểu các công

thức tính toán cho các bài toán phương trình sóng một cách cụ thể với các chứng minh, từ

đó xây dựng các thuật toán tìm nghiệm gần đúng cho ngôn ngữ lập trình MATLAB xử lí,

cũng như cho bạn đọc thấy các quá trình tìm nghiệm thông qua các hình ảnh được hiển

thị từ mỗi phương trình và quá trình đồ thị hóa

1 Các dạng toán Hyperbolic

1.1 Phương trình đạo hàm riêng dạng Hyperbolic

Một phương trình đạo hàm riêng bậc hai có dạng

Phương trình sóng là một dạng cơ bản của PDEs trong bài toán hyperbolic của không gian mộtchiều với a = 1

1.2 Bài toán mô hình phương trình sóng

Phương trình sóng được viết dưới dạng

∂2

∂t2u (x, t) = ∂

2

∂x2u (x, t)Chúng ta có thể viết lại thành

1

h2 [u (x + h, t)− 2u (x, t) + u (x − h, t)] = k12 [u (x, t + k)− 2u (x, t) + u (x, t − k)]

Ta cũng có công thức

u (x, t + k) = ρu (x + h, t) + 2 (1− ρ) u (x, t) + ρu (x − h, t) − u (x, t − k) (∗) Điều kiện ổn định ở đây là ρ = k 2

h 2 ≤ 1

Phương trình sóng và các điều kiện ban đầu là

Từ phương trình của điều kiện ban đầu với điều kiện đầu tiên của ut(x, 0) = 0là

1

k[u (x, k)− u (x, 0)] = 0,chúng ta có thể kết luận điều kiện đầu tiên của u (x, k) = u (x, 0) = f (x) Thay t = 0 trong(∗), ta được

u (x, k) = ρu (x + h, 0) + 2 (1− ρ) u (x, 0) + ρu (x − h, 0) − u (x, −k)

Sử dụng xấp xỉ sai số trung tâm, ta có

12k[u (x, k)− u (x, −k)] = 0

Do đó, ta có điều kiện thứ hai của hệ điều kiện biên của (x, k) là

u (x, k) = 1

2ρ [f (x + h) + f (x− h)] + (1 − ρ) f (x)

1.3 Công thức tường minh

1.3.1 Phương pháp tường minh sử dụng công thức

Từ phương trình ban đầu, bằng việc dùng biến h, k lần lượt ký hiệu cho số gia của các biến x, t,chúng ta có

Chúng ta có năm điểm được biểu diễn ở lược đồ sau

1.3.2 Giải phương trình sóng và lập trình tính toán

Điều kiện ban đầu là u (0, t) = u (1, t) = 0 và

1

k [u (x, k)− u (x, 0)] = 0hay

u (x, k) = 1

2ρ [f (x + h) + f (x− h)] + (1 − ρ) f (x)b) Lập trình tính toán (xem thêm phần Phụ lục bên dưới)

Nghiệm chính xác là

uexact(x, t) = 1

2[sin2π (x + t) + sin2π (x− t)] tại T = 1

Chúng ta có các kết quả về nghiệm xấp xỉ bởi phương pháp sai phân hữu hạn và nghiệm chínhxác với T = 1 trong các hình minh họa

Trong 2D: với T = 1, L = 1, nt= 200, nx = 8, 16, 32, 64

So sánh giữa phương pháp sai phân hữu hạn và nghiệm chính xác

Minh họa của nghiệm gần đúng bởi phương pháp tường minh với T = 1

Minh họa của nghiệm chính xác với T = 1

Bằng cách tính các sai số giữa nghiệm gần đúng và nghiệm chính xác, ta có bảng sai số của giữanghiệm chính xác và nghiệm gần đúng như sau (phần lí thuyết và các công thức tìm sai số, vuilòng xem bài trong phần 1 - dạng Parabolic):

2 Kết luận

Phương pháp sai phân hữu hạn cho PDEs của bài toán hyperbolic với dạng đơn giản nhất làphương trình sóng của một chiều Giá trị của h và k thỏa mãn điều kiện ổn định là ρ = k 2

h 2 ≤ 1.Điều này có nghĩa là nx ≥ nT và ta cần chọn giá trị thích hợp cho nT và nx trong chương trìnhMATLAB

Nghiệm hội tụ khi ta cố định giá trị của nT nhưng thay đổi giá trị của nx Chúng ta cũng thấyrằng nếu chọn nx ≥ nT thì đồ thị sẽ không còn đúng dạng nữa

Chúng ta đã tính được sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm gần đúng bởi các giá trị khácnhau của nx Điều này chứng tỏ rằng bậc hội tụ là 1 Thông qua bảng hội tụ, ta đã vẽ được đồthị để so sánh các giá trị của nghiệm chính xác và nghiệm gần đúng trên cùng một hệ trục tọa

độ Cuối cùng, ta cũng đã thể hiện được đồ thị của hàm số đã chọn trong không gian ba chiều

Lý thuyết về bài toán dạng hyperbolic có nhiều mô hình từ đơn giản đến phức tạp trong Toánhọc, chẳng hạn như phương trình đối lưu, Lax, Upwind, Lax-Wendroff, phương trình Navier-Stokes Thêm nữa, bài toán này trong những năm gần đây cũng được nghiên cứu và phát triểnphục vụ cho khoa học và kỹ thuật

Phương trình sóng có nhiều ứng dụng trong vật lý như các sóng của chuỗi, sóng giật trong khôngkhí, sóng cơ học lượng tử, các mô hình âm thanh của sóng địa chấn, sóng âm trong chất lỏng vàgas, v.v

3 Lập trình MATLAB dạng Hyperbolic

MATLAB program: Bài toán mô hình phương trình sóng

function hyperfdm_sol(L,T,nT,nx)

% Matlab Program : Hyperbolic problems:

%Wave equation: u_xx=u_tt

%where u(x,0)=sin(pi*x) Use the explicit method

%The exact solution: u_exact=(1/2)*(sin(2*pi*(x+t))+sin(2*pi*(x-t)))

%L = 1.; % Length of the wire

rho = dt^2/(dx^2); % Stability parameter rho <= 1 when nx <= nT

% Initial temperature of the wire

%Implementation of the explicit method

for i = 2:nx %k=2, the first time step

u(i,2) = (1/2)*rho*(f0(x(i+1))+f0(x(i-1)))+(1-rho)*f0(x(i));

end

% The second time step

for k = 3:nT+1 % Time Loop

for i = 2:nx % Space Loop

figure

%The graphic of the exact solution in 2D

plot(x,u3(:,1),’-r’,’MarkerFaceColor’,’r’)

%The graphic of the explicit method in 2D

plot(x,u(:,1),’*b’,’MarkerFaceColor’,’b’)

xlabel(’x’)

method’},’location’,’NE’);

[3] R J Lopez 2001 Advanced Engineering Mathematics Addison Wesley.

[4] G.E Forsythe., W.R.Wasow.1960 Finite Difference Methods for Partial Differential tions New York: John Wiley & Sons, Inc

Equa-[5] G.F.D Duff., D Naylor 1966 Differential Equations of Applied Mathematics New York:John Wiley & Sons, Inc

[6] G.F.D Duff., D Naylor 1966 Differential Equations of Applied Mathematics New York:John Wiley & Sons, Inc

[7] R J LeVeque.2007 Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential tions Philadelphia: SIAM

Equa-[8] E.D Rainville., P.E Bedient., R.E Bedient 1997 Elementary Differential Equations,Eight edition New Jersey: Prentice Hall Inc

[9] S.C Chapra., 2012 Applied Numerical Methods with Matlab for Engineers and Scientists,Third edition New York: McGraw-Hill

[10] P.D.Lax., Hyperbolic Systems of Conservation Laws and the Mathematical TheoryofShock Waves Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, 1973 ,Octo-ber 8

[11] B.L.Keyfitz., Self-similar solutions of two-dimensional conservation laws Journal of perbolic Differential Equations, 2004

Hy-[12] W Boyce and R.D Prima., Elementary Differential Equations and Boundary Value lems John Wiley & Sons Ltd., Hoboken, N.J., Eight edition, 2005

Prob-[13] L.C Evans , Partial Differential Equations, volume 19 of Graduate Studies in ics American Mathematical Society, Providence, RI, Second edition, 2010

Mathemat-[14] R Haberman., Applied Partial Differential Equations Prentice Hall Inc., Upper SaddleRiver, N.J., Fourth edition, 2004

[15] T Myint-U, L Debnath., Linear Partial Differential Equations for Scientists and neers Birkhauser Boston Inc., Boston, MA, Fourth edition, 2007

Engi-[16] F John., Partial Differential Equations, volume 1 of Applied Mathematica Sciences.Springer-Verlag, New York, Fourth edition, 1982

[17] M A Pinsky Partial Differential Equations and Boundary Value Problems with tions Waveland Press Inc., Prospect Heights, Illinois, Third edition, 2003.

Applica-[18] I P Stavroulakis, S A Tersian Partial Differential Equations World Scientific Publishing

Co Inc., River Edge, NJ, second edition, 2004 An introduction with Mathematica andMAPLE

[19] W A Strauss Partial Differential Equations John Wiley & Sons Ltd., Chichester, Secondedition, 2008

[20] S.Attaway., MATLAB: A Practical Introduction to Programming and Problem Solving,Elsevier Science, Burlington, MA, 2009

[21] D Hanselma , B Littlefield., Mastering MATLAB 7, Prentice Hall, Upper Saddle River,

NJ, 2005

[22] C B Moler., Numerical Computing with MATLAB, SIAM, Philadelphia, 2004

[23] W J Palm, A Concise Introduction to MATLAB, McGraw-Hill, New York, 2007

Th h he e e R R Riiie e em m ma a an n nn n n H H Hy y yp p po o ottth h he e es ssiiis ss

JJJ B B Br rriiia a an n n C C Co o on n nr rre eey y T

Th h heee A A Am m meeerrriiiccca a an n n IIIn n nssstttiiitttu u uttteee o oofff M M Ma a attth h heeem m ma a atttiiicccsss,,, U U US SSA A

Hilbert, in his 1900 address to the Paris

International Congress of

Mathemati-cians, listed the Riemann Hypothesis as

one of his 23 problems for

mathe-maticians of the twentieth century to

work on Now we find it is up to twenty-first

cen-tury mathematicians! The Riemann Hypothesis

(RH) has been around for more than 140 years, and

yet now is arguably the most exciting time in its

history to be working on RH Recent years have seen

an explosion of research stemming from the

con-fluence of several areas of mathematics and

physics.

In the past six years the American Institute of

Mathematics (AIM) has sponsored three workshops

whose focus has been RH The first (RHI) was in

Seattle in August 1996 at the University of

Wash-ington The second (RHII) was in Vienna in

Octo-ber 1998 at the Erwin Schrödinger Institute, and the

third (RHIII) was in New York in May 2002 at the

Courant Institute of Mathematical Sciences The

intent of these workshops was to stimulate

think-ing and discussion about one of the most

chal-lenging problems of mathematics and to consider

many different approaches Are we any closer to

solving the Riemann Hypothesis after these

ef-forts? Possibly Have we learned anything about the

zeta-function as a result of these workshops?

Def-initely Several of the participants from the

work-shops are collaborating on the website (http://

www.aimath.org/WWN/rh/) which provides an overview of the subject.

Here I hope to outline some of the approaches

to RH and to convey some of the excitement of working in this area at the present moment To begin, let us examine the Riemann Hypothesis itself In 1859 in the seminal paper “Ueber die Anzahl der Primzahlen unter eine gegebener

Grösse”, G B F Riemann outlined the basic

ana-lytic properties of the zeta-function

The series converges in the half-plane where the

real part of s is larger than 1 Riemann proved that ζ(s) has an analytic continuation to the whole plane apart from a simple pole at s = 1 Moreover,

he proved that ζ(s) satisfies an amazing functional

equation, which in its symmetric form is given by

J Brian Conrey is director of the American Institute of

Mathematics His email address is conrey@aimath.org.

-2 -1

1 2

Figure 1 ζ(12 + it) for 0 < t < 50.

Gi thi t Riemann là m t trong b y bài toán thiên niên k , và hi n nay v n chưa có l i gi i Vi n Toán h c Clay, M đã treo gi i thư ng m t tri u USD cho b t k ai gi i đư c bài toán này

Bài vi t bên dư i c a tác gi J Brian Conrey cho chúng ta cái nhìn t ng quan v gi thi t hóc búa trên.

L I BAN BIÊN T P

ξ(s) : =1

2s(s − 1)π − s

2 Γ

s2



ζ(s) = ξ(1 − s),

where Γ (s) is the usual Gamma-function.

The zeta-function had been studied previously

by Euler and others, but only as a function of a real

variable In particular, Euler noticed that

where the infinite product (called the Euler

prod-uct) is over all the prime numbers The product

con-verges when the real part of s is greater than 1 It

is an analytic version of the fundamental theorem

of arithmetic, which states that every integer can

be factored into primes in a unique way Euler used this product to prove that the sum of the recipro- cals of the primes diverges The Euler product sug- gests Riemann’s interest in the zeta-function: he was trying to prove a conjecture made by Legendre and, in a more precise form, by Gauss:

π (x) : = #{primes less than x} ∼

of ζ(s) with real part greater than 1; the functional

equation implies that there are no zeros with real

part less than 0, apart from the trivial zeros at

0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 99

100 101 102 103 104 105 106

Figure 2 Contour plot of ζ(s), the curves ζ(s) = 0 (solid) and ζ(s) = 0 (dotted), contour plot of

ζ(s).

Figure 3 3-D plot of |ζ(s)|, and the curves ζ(s) = 0 (solid) and ζ(s) = 0 (dotted) This may be the

first place in the critical strip where the curves ζ(s) = 0 loop around each other.

s = −2, −4, −6, Thus, all of the complex zeros

are in the critical strip 0 ≤ s ≤ 1 Riemann gave

an explicit formula for π (x) in terms of the

com-plex zeros ρ = β + iγ of ζ(s) A simpler variant of

goldt function Λ(n) = log p if n = p k for some k and

Λ(n) = 0 otherwise Note that the sum is not

ab-solutely convergent; if it were, then

n≤x Λ(n) would have to be a continuous function of x, which

it clearly is not Consequently, there must be

infi-nitely many zeros ρ The sum over ρ is with

mul-tiplicity and is to be interpreted as limT→∞

|ρ|<T Note also that |x ρ | = x β; thus it was necessary to

show that β < 1 in order to conclude that

n ≤x Λ(n) ∼ x , which is a restatement of Gauss’s

conjecture.

The functional equation shows that the complex

zeros are symmetric with respect to the line s =1

2 Riemann calculated the first few complex zeros

1

2+ i14.134 , 1

2+ i21.022 and proved that the

number N(T ) of zeros with imaginary parts

continuous variation starting from arg ζ(2) = 0

and proceeding along straight lines, first up to

2+ iT and then to 1/2 + iT Riemann also proved

that S(T ) = O(log T ) Note for future reference that

at a height T the average gap between zero heights

is ∼ 2π/ log T Riemann suggested that the

num-ber N0(T ) of zeros of ζ(1/2 + it) with 0 < t ≤ T

and then made his conjecture that all of the zeros

of ζ(s) in fact lie on the 1/2-line; this is the

Rie-mann Hypothesis.

Riemann’s effort came close to proving Gauss’s conjecture The final step was left to Hadamard and

de la Vallée Poussin, who proved independently in

1896 that ζ(s) does not vanish when the real part

of s is equal to 1 and from that fact deduced

Gauss’s conjecture, now called the Prime Number Theorem.

Initial Ideas

It is not difficult to show that RH is equivalent to

the assertion that for every  > 0,

However, it is difficult to see another way to

ap-proach π (x) and so get information about the zeros.

Another easy equivalent to RH is the assertion

that M(x) = O(x 1/2 + ) for every  > 0, where

M(x) =

n≤x

µ(n)

and µ(n) is the Möbius function whose definition

can be inferred from its generating Dirichlet series

Thus, if p1, , p k are distinct primes, then

µ(p1 p k)= (−1) k ; also µ(n) = 0 if p2| n for some

prime p This series converges absolutely when

s > 1 If the estimate M(x) = O(x 1/2 +) holds for

every  > 0, then it follows by partial summation that the series converges for every s with real part

greater than 1/2; in particular, there can be no

zeros of ζ(s) in this open half-plane, because zeros

of ζ(s) are poles of 1/ζ(s) The converse, that RH implies this estimate for M(x) , is also not difficult

his much weaker theorem that ζ(s) does not

van-ish on the 1-line in the hope that the simplicity of his proof will be useful Stieltjes never published his proof.

Mertens made the stronger conjecture that

x;

|M(x)| ≤ √

clearly this implies RH However, Mertens’s jecture was disproved by Odlyzko and te Riele in

con-1985 The estimate M(x) = O( √ x ) is also likely to

Figure 4 Explicit formula for ψ(x) using the

first 100 pairs of zeros.

even used RH as a defense: he once sent a postcard

to his colleague Harald Bohr prior to crossing the English Channel one stormy night, claiming that he had solved RH Even though Hardy was an atheist,

he was relatively certain that God, if he did exist, would not allow the ferry to sink under circum- stances so favorable to Hardy!

Hilbert seems to have had somewhat dictory views about the difficulty of RH On one occasion he compared three unsolved problems: the transcendence of 2√2 , Fermat’s Last Theorem, and the Riemann Hypothesis In his view, RH would likely be solved in a few years, Fermat’s Last The- orem possibly in his lifetime, and the transcendence question possibly never Amazingly, the transcen- dence question was resolved a few years later by Gelfond and Schneider, and, of course, Andrew Wiles recently proved Fermat’s Last Theorem An- other time Hilbert remarked that if he were to awake after a sleep of five hundred years, the first question he would ask was whether RH was solved Near the end of his career, Hans Rademacher, best known for his exact formula for the number

contra-of partitions contra-of an integer, thought he had proved RH Siegel had checked the work, which was based on the deduction that a certain function would absurdly have an analytic continuation if RH were true The mathematics community tried to get

dis-Time magazine interested in the story It

tran-spired that Time became interested and published

an article only after it was discovered that Rademacher’s proof was incorrect.

Evidence for RH

Here are some reasons to believe RH.

• Billions of zeros cannot be wrong Recent work

by van de Lune has shown that the first 10 billion zeros are on the line Also, there is a distributed computing project organized by Sebastian We- deniwski—a screen-saver type of program—that many people subscribe to, which claims to have verified that the first 100 billion zeros are on the line Andrew Odlyzko has calculated millions of zeros near zeros number 10 20, 1021 , and 10 22

(available on his website).

• Almost all of the zeros are very near the

1/2-line In fact, it has been proved that more than

99 percent of zeros ρ = β + iγ satisfy

|β −1

2| ≤ 8/ log |γ|

• Many zeros can be proved to be on the line berg got a positive proportion, and N Levinson

Sel-showed at least 1/3; that proportion has been

improved to 40 percent Also, RH implies that

all zeros of all derivatives of ξ(s) are on the 1/2-line It has been shown that more than

99 percent of the zeros of the third derivative

ξ  (s) are on the 1/2-line Near the end of his

life, Levinson thought he had a method that allowed for a converse to Rolle’s theorem in

Figure 5 1/ |ζ(x + iy)| for 0 < x < 1 and

16502.4 < y < 16505

be false, but a proof of its falsity has not yet been

found.

Subsequent Efforts

In England in the early 1900s the difficulty of the

question was not yet appreciated Barnes assigned

RH to Littlewood as a thesis problem Littlewood

independently discovered some of the

develop-ments that had already occurred on the continent.

Hardy, Littlewood, Ingham, and other British

math-ematicians were responsible for many of the results

on the zeta-function in the first quarter of the

cen-tury Hardy and Littlewood gave the first proof

that infinitely many of the zeros are on the

1/2-line They found what they called the approximate

functional equation for ζ(s) Later, Siegel uncovered

a very precise version of this formula while

study-ing Riemann’s notes in the Göttstudy-ingen library; the

formula is now called the Riemann-Siegel formula

and gives the starting point for all large-scale

cal-culations of ζ(s) Hardy and Littlewood gave an

asymptotic evaluation of the second moment of

ζ(12+ it); Ingham proved the asymptotics for the

fourth moment.

Much effort has also been expended on the

un-proved Lindelöf hypothesis, which is a consequence

of RH The Lindelöf hypothesis asserts that for

every  > 0,

ζ(1/2 + it) = O(t ) as t → ∞.

Hardy and Littlewood proved that

ζ(1/2 + it) = O(t 1/4 +) This bound is now called

the “convexity bound”, since it follows from the

functional equation together with general

princi-ples of complex analysis (the maximum modulus

principle in the form of the Phragmén-Lindelöf

theorem) Weyl improved the bound to t 1/6 +with

his new ideas for estimating special

trigonometri-cal sums, now trigonometri-called Weyl sums.

Hardy grew to love the problem He and

Little-wood wrote at least ten papers on the

zeta-function Hardy once included proving RH on a

list of New Year’s goals he set for himself Hardy

this situation, implying that if ξ  (s) has at least

a certain proportion of zeros on the line, then

so does ξ and similarly for ξ  to ξ and so on.

However, no one has been able to make this

argument work.

• Probabilistic arguments For almost all random

sequences of −1’s and +1’s, the associated

sum-matory function up to x is bounded by x 1/2 +.

The Möbius sequence appears to be fairly

ran-dom.

• Symmetry of the primes RH tells us that the

primes are distributed in as nice a way as

pos-sible If RH were false, there would be some

strange irregularities in the distribution of

primes; the first zero off the line would be a very

important mathematical constant It seems

un-likely that nature is that perverse!

Various Approaches

There is an often-told story that Hilbert and Pólya

independently suggested that the way to prove RH

was to interpret the zeros spectrally, that is, to find

a naturally occurring Hermitian operator whose

eigenvalues are the nontrivial zeros of ζ(1/2 + it).

Then RH would follow, since Hermitian operators

have real eigenvalues This idea has been one of the

main approaches that has been tried repeatedly.

We describe an assortment of other interesting

approaches to RH.

Pólya’s Analysis

Pólya investigated a chain of ideas that began with

Riemann: namely, studying the Fourier transform

of Ξ(t) : = ξ(1

2+ it), which as a consequence of the

functional equation is real for real t and an even

function of t RH is the assertion that all zeros of

Ξ are real The Fourier transform can be computed

It can be shown that Φ and Φare positive for

pos-itive t One idea is to systematically study classes

of reasonable functions whose Fourier transforms

have all real zeros and then try to prove that Ξ(t)

is in the class A sample theorem in this direction

is due to de Bruijn:

Let f (t) be an even nonconstant entire function

of t such that f (t) ≥ 0 for real t and

f  (t) = exp(γt2)g(t), where γ ≥ 0 and g(t) is an

en-tire function of genus ≤ 1 with purely imaginary

zeros only Then Ψ (z) = −∞ ∞ exp{−f (t)}e izt dt has

real zeros only.

In particular, all the zeros of the Fourier form of a first approximation (see Titchmarsh for details)

trans-φ(t) = 2π cosh 9t

2 − 3 cosh 5t2

× exp(−2π cosh 2t)

to Φ(t) are real These ideas have been further

explored by de Bruijn, Newman, D Hejhal, and others Hejhal (1990) has shown that almost all of the zeros of the Fourier transform of any partial

sum of Φ(t) are real.

Probabilistic Models

Researchers working in probability are intrigued by

the fact that the ξ-function arises as an

expecta-tion in a moment of a Brownian bridge:

2ξ(s) = E(Y s)

where

Y : = 2π

 max

Amer Math Soc (N.S.) 38 (2001), 435–65).

Functional Analysis: The Nyman-Beurling Approach

This approach begins with the following theorem

of Nyman, a student of Beurling.

RH holds if and only if

spanL2(0,1) {η α , 0 < α < 1 } = L2(0, 1)

where

η α (t) = {α/t} − α{1/t}

and {x} = x − [x] is the fractional part of x.

This has been extended by Baez-Duarte, who showed that one may restrict attention to integral

values of 1/α Balazard and Saias have rephrased

this in a nice way:

RH holds if and only if

Let d N be the infimum over all Dirichlet nomials

of length N They conjecture that d N ∼ C/ log N,

where C = ρ 1/ |ρ|2 Burnol has proved that

Figure 6 Duality: The Fourier transform of the error term in the Prime Number Theorem (note the spikes at ordinates of zeros) and the sum over zeros − x ρ with |ρ| < 100 (note the peaks at primes and prime powers).

where m ρ is the multiplicity of the zero ρ If RH

holds and all the zeros are simple, then clearly

these two bounds are the same.

Weil’s Explicit Formula and Positivity Criterion

André Weil proved the following formula, which is

a generalization of Riemann’s formula mentioned

above and which specifically illustrates the

de-pendence between primes and zeros Suppose h is

an even function that is holomorphic in the strip

| t| ≤ 1/2 + δ and that satisfies h(t) =

O((1 + |t|) −2−δ ) for some δ > 0, and let

In this formula, a zero is written as ρ = 1/2 + iγ

where γ ∈ C; of course RH is the assertion that

every γ is real Using this duality Weil gave a

Xian-Jin Li has given a very nice criterion which,

in effect, says that one may restrict attention to a

specific sequence h n:

The Riemann Hypothesis is true if and only if

λ n ≥ 0 for each n = 1, 2, where

It would be interesting to find an interpretation

(geometric?) for these λ n, or perhaps those ciated with a different L-function, to make their pos- itivity transparent.

asso-Selberg’s Trace Formula

Selberg, perhaps looking for a spectral

interpreta-tion of the zeros of ζ(s) , proved a trace formula

for the Laplace operator acting on the space of real-analytic functions defined on the upper half- plane H = {x + iy : y > 0} and invariant under

the group SL(2,Z) of linear fractional tions with integer entries and determinant one, which acts discontinuously on H This invariance

The spectrum of ∆ splits into a continuous part and

a discrete part The eigenvalues λ are all positive

and, by convention, are usually expressed as

λ = s(1 − s) The continuous part consists of all

s = 1/2 + it, t ≥ 0, and we write the discrete part

as s j = 1

2+ ir j Then

Some Other Equivalences of Interest

Here are a few other easy-to-state equivalences of RH:

• Hardy and Littlewood (1918): RH holds if and only

• Redheffer (1977): RH holds if and only if for

every  > 0 there is a C() > 0 such that

| det(A(n))| < C()n 1/2 + , where A(n) is the n × n matrix of 0’s and 1’s defined by A(i, j) = 1 if

j = 1 or if i divides j, and A(i, j) = 0 otherwise.

It is known that A(n) has n − [n log 2] − 1

eigen-values equal to 1 Also, A has a real eigenvalue

(the spectral radius) which is approximately √ n,

a negative eigenvalue which is approximately

− √ n, and the remaining eigenvalues are small.

• Lagarias (2002): Let σ (n) denote the sum of the positive divisors of n RH holds if and only if

Other Zeta- and L-Functions

Over the years striking analogies have been served between the Riemann zeta-function and other zeta- or L-functions While these functions are seemingly independent of each other, there is grow- ing evidence that they are all somehow connected

ob-in a way that we do not fully understand In any event, trying to understand, or at least classify, all

of the objects which we believe satisfy RH is a sonable thing to do The rest of the article will give

rea-a glimpse in this direction rea-and perhrea-aps rea-a clue to the future.

First, some examples of other functions that we

believe satisfy RH The simplest after ζ is the

Dirichlet L-function for the nontrivial character of conductor 3:

L(s, χ3)= 1 −21s +41s −51s +71s −81s +

Figure 7 The eigenvalues of a random 40 x 40 unitary matrix, 40 consecutive zeros of ζ(s) scaled to wrap once

around the circle, and 40 randomly chosen points on the unit circle.

where g, h, and Λ are as in Weil’s formula and

G(r ) =ΓΓ(12+ ir) +ΓΓ(1+ ir) − π6r tanh π r

+ cosh π r π (18+ √3

9 coshπ r3 ).

The final sum is over the norms P of prime

geodesics of SL(2, Z)\H The values taken on by P

are of the form (n + √ n2− 4 )2/4 , n ≥ 3, with

certain multiplicities (the class number h(n2− 4)).

H Haas was one of the first people to compute

the eigenvalues r1= 9.533 , r2= 12.173 , r3=

13.779 of SL(2,Z) in 1977 in his University

of Heidelberg Diplomarbeit Soon after, Hejhal

was visiting San Diego, and Audrey Terras pointed

out to him that Haas’s list contained the numbers

14.134 , 21.022 : the ordinates of the first few

zeros of ζ(s) were lurking amongst the

eigenval-ues! Hejhal discovered the ordinates of the zeros

of L(s, χ3 ) (see section 7) on the list too He

un-raveled this perplexing mystery about six months

later It turned out that the spurious eigenvalues

were associated to “pseudo cusp forms” and

ap-peared because of the method of computation

used If the zeros had appeared legitimately, RH

would have followed because λ = ρ(1 − ρ) is

pos-itive (The 1979 IHÉS preprint by P Cartier and

Hejhal contains additional details of the story.)

The trace formula resembles the explicit

for-mula in certain ways Many researchers have

at-tempted to interpret Weil’s explicit formula in

terms of Selberg’s trace formula.

2< /small>+ i21. 022 and proved that the

number N(T ) of zeros with imaginary parts

continuous variation starting from arg ζ (2) = 0... has calculated millions of zeros near zeros number 10 20 , 1021 , and 10 22

(available on his website).

• Almost...

trans-φ(t) = 2? ? cosh 9t

2< /small> − cosh 5t2< /sub>

× exp(? ?2? ? cosh 2t)

to