Mộtlàđến hình là bài định từng Nếu bạn nhàtừhóa họchọc và đó muốn xáctoán địnhxác được tiếp củaứng đường và một đến nhà từ vật bài toán định tốctuyến độ phản hóa cong học nào đó, hay vật[r]
Trang 1CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM
1 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
2 QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
3 ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
4 VI PHÂN
5 ĐẠO HÀM CẤP HAI
Trang 2Giáo sinh : Bùi Thị Khuyên
Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Thị Triền
Trang 3 0
0
( ) - ( )
-tb
s t s t
v
t t
I ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
1 Bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm
0
0 0
0
( ) ( ) ( ) lim
t t
s t s t
v t
t t
0 ( )
s t s t ( )
'
s
Bài toán: Xét chuyển động của chất điểm trên trục s’O s Quãng
đường của chuyển động là hàm số của thời gian s=s(t) Tìm một đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm (t0 tìm vận tốc tức thời tại thời điểm t0 )
0 ( )
s t
'
Đạo hàm của hs y = s(t) tại điểm t0
(Hữu hạn)
Trong khoảng thời gian từ t0 đến t1 chất
được quãng đường
Công thức tính vận tốc trung bình ?
Vận tốc tại thời điểm to là bao
nhiêu?
Trang 4Vận tốc tức thời Cường độ dòng
điện tức thời Tốc độ phản ứng hóa học tức thời
Đạo hàm
Đạo hàm là một khái niệm cơ bản nhất và quan trọng nhất của giải tích toán học Nó xuất hiện do nhu cầu giải quyết những bài toán thực tế như: Cơ học, điện học, quang học, hình học, hóa học, Sự xuất hiện khái niệm đạo hàm như sau:
0
0 0
0
( ) ( ) ( ) lim
t t
s t s t
v t
t t
0 0
0
( ) ( ) ( ) lim
t t
Q t Q t
I t
t t
0
0 0
( ) ( ) lim
x x
0
0 0
) ( )
( lim )
(
0 t t
t C t
C t
C
t
Trang 5x
Đạo hàm của hs y = s(t) tại điểm t0
(Hữu hạn)
0
0) ( )
( lim
0 t t
t s t
s
t
0
0) ( )
(
lim
0 x x
x f x
f
x
Đạo hàm của hs tại điểm
(Hữu hạn)
)
(x
f
y
Trang 6I ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
1 Bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm
2 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm:
Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) xác định trên (a;b) và
Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số khi x dần đến
gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm , kí hiệu là:
0 0
( ) ( )
x x
0
x
0 ( ; )
x a b
0
x
0
'( )
f x
0
0 0
0
'( ) lim
x x
f x
x x
Ta có:
Trang 7I ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
1 Bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm
2 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm:
0
0 0
0
'( ) lim
x x
f x f x
f x
x x
Ví dụ 1:
Đạo hàm của hàm số tại điểm là:f ( x ) x2 x0 2
2
Trang 80 0
0
( ) ( ) '( ) lim
x x
f x f x
f x
x x
I ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
1 Bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm
2 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm:
là số gia của đối số tại x 0
là số gia tương ứng của hàm số
Ta có:
0
x x x
x0 x f x0 .
f
y
0 0
'( ) lim
x
y
f x
x
Chú ý: (SGK)
Trang 90 0
0
( ) ( ) '( ) lim
x x
f x f x
f x
x x
0
x x x
f
x
y
lim0
I ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
1 Bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm
2 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm:
3 Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa
hàm của hàm số, hãy nêu các bước để tính đạo hàm của hàm số tại một
Trang 10Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số
x x
x f
Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0 1.Ta có:
) 1 ( )
1 ( y
ra
0 )
1 ( )
1 ( ) 1 (
1
2 1 )
1 ( 1
) 1
(
2 2
2
2 2
x x
x x
f x
f Suy
f
x x
x x
x x
x x
f
Giải
lim
) 1
.(
lim
lim
0 0
x
x
x x
y
x x
x
Vậy, f ’(-1) = - 1
Trang 114.Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số
a) Định lý: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì
nó liên tục tại x0
b) Chú ý:
-Một hàm số gián đoạn tại x0 thì không có đạo hàm
tại điểm đó.
-Một hàm số liên tục tại x0 có thể không có đạo
hàm tại điểm đó.
Nếu hàm số y = f(x) có
hay không ?
Trang 12Ví dụ 1:
Cho hàm số:
a) Xét tính liên tục của hàm số tại x = 0 b) Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0
Trang 13* Tính liên tục:
Trang 14* Tính đạo hàm
Trang 15f(x)=-x^2 f(x)=x
f(x)=0 x(t)=0, y(t)=t
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1
x y
y = x
Trang 160 0
0
( ) ( ) '( ) lim
x x
f x f x
f x
x x
Ghi nhớ
1 Định nghĩa đạo hàm tại 1 điểm:
2 Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa ( theo quy tắc)
3.Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số
BÀI TẬP VỀ NHÀ : bài 2 trang 156
0
0 0
0
( ) ( ) '( ) lim
x x
f x f x
f x
x x
Trang 17TIỂU SỬ VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
Trích dẫn lời của tác giả Grabiner: “Đạo hàm đầu tiên
được sử dụng như công cụ, sau đó mới được phát minh, tiếp nữa là được mở rộng và phát triển, cuối cùng mới
được định nghĩa.”
Đạo hàm ra đời lấy cảm hứng từ hai nguồn động lực chính Động lực này đến từ nhu cầu phải giải quyết hai bài toán quan trong trong hai lĩnh vực khác nhau Một đến từ hình học đó là bài toán xác định
vận tốc tức thời của chất điểm
Newton và Leibniz được lịch sử công nhận là độc lập với nhau phát
minh ra giải tích và khái niệm đạo hàm nói riêng
Còn với mọi người trong chúng ta, nếu bạn là nhà kinh tế và muốn biết tốc độ tăng trưởng kinh tế nhằm đưa ra những quyết định đầu
tư chứng khoán đúng đắn Nếu bạn là nhà hoạch định chiến lược
và muốn có những thông tin liên quan đến tốc độ gia tăng dân số ở từng vùng miền Nếu bạn là nhà hóa học và muốn xác định được tốc độ phản ứng hóa học nào đó, hay nhà vật lí muốn tính toán vận tốc, gia tốc của một chuyển động… Đạo hàm sẽ là thứ mà chúng
ta cần, rất đơn giản đầu tiên bạn cần có hàm số mô tả đại lượng đang được quan tâm, và sau đó chỉ cần đạo hàm nó Còn tính đạo hàm như thế nào thì Sgk đã chỉ dẫn rõ ràng và chi tiết
Trang 18Ứng Dụng Của Đạo Hàm?
Trong vật lý
• Trong bài toán điện, sức điện động cảm ứng là đạo hàm của từ thông biến
thiên.Trong tụ điện thì dòng điện là đạo hàm của điện áp
• Trong cuộn cảm thì điện áp là đạo hàm của dòng điện.
• Trong dao động điện từ thì cường độ dòng điện là đạo hàm của điện tích biến
thiên theo thời gian.
Trong hoá học
• Tốc độ phản ứng hóa học tức thời tại một thời điểm bất kì
Ứng dụng của đạo hàm vào thực tế thì hầu như ngành nào cũng có.
Từ khoa học tự nhiên, kĩ thuật, công nghệ, đến các bài toán trong các quá trình
khoa học xã hội
VD:
• Tìm vận tốc, quỹ đạo của thiên thể.
• Đạo hàm được ứng dụng trong các bài toán cực trị trong kinh tế hay là các bài toán về tối ưu hóa trong kinh tế
• Đạo hàm là một phép tính cơ bản tiền đề cho việc xây dựng toán học cao cấp tiền
đề cho những môn học như giải tích hàm,giải tích phức , phương trình vi phân đạo hàm riêng….
Trong toán học: Đạo hàm dùng để khảo sát sự biến thiên của hàm số, giải các
bài toán cực trị, tìm hệ số góc của tiếp tuyến,…