De thi thu tuyen sinh vao lop 10 tphcm 2017

Tứ giác MFOD nội tiếp 7 tứ giác có 2 đỉnh O, F cùng nhìn cạnh MD dưới một góc bằng... c Gọi K là giao điểm của AH và DE.[r]

Đ S 1: Ề Ố Đ MINH H A S 1, S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O TPHCM, NĂM 2017-2018 Ề Ọ Ố Ở Ụ Ạ

Câu 1:

a) Gi i phả ương trình: x ( x+3 ) =15− ( 3x−1 )

b) M t mi ng đ t hình ch nh t có chu vi 40m và chi u dài g p 3 l n chi u r ng Tính di n tích c a ộ ế ấ ữ ậ ề ấ ầ ề ộ ệ ủ

mi ng đ tế ấ

Câu 2:

a) Vẽ đ th (P) c a hàm s ồ ị ủ ố y=− x

2 4 b) Tìm m đ (P) c t để ắ ường th ng ẳ ( D ) :y=2x−m t i đi m có hoành đ x = 1 ạ ể ộ

Câu 3:

a) Thu g n bi u th c: ọ ể ứ A= √ 4+2 √ 3− √ 4−2 √ 3

b) Giá bán m t chi c Tivi gi m giá hai l n, m i l n gi m 10% so v i giá đang bán, sau khi gi m giá 2 ộ ế ả ầ ỗ ầ ả ớ ả

l n đó thì giá còn l i là 16.200.000 đ ng V y giá bán ban đ u c a Tivi là bao nhiêu? ầ ạ ồ ậ ầ ủ

Câu 4: Cho phương trình: x2−2mx+m−2=0 (1) (x là n s )ẩ ố

a) Ch ng minh phứ ương trình (1) luôn có hai nghi m phân bi t v i m i giá tr mệ ệ ớ ọ ị

b) Đ nh m đ hai nghi m ị ể ệ x1, x2 c a phủ ương trình (1) th a mãn: ỏ

(1+ x1) (2−x2)+(1+ x2) (2−x1)=x12+x22+2

Câu 5: Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nh n Đọ ường tròn tâm O đường kính BC c t các c nh AC, ABắ ạ

l n lầ ượ ạt t i D, E G i H là giao đi m c a BD và CE; F là giao đi m c a AH và BCọ ể ủ ể ủ

a) Ch ng minh: AF ứ ¿ BC và A ^F D=A ^C E

b) G i M là trung đi m c a AH Ch ng minh: MD ọ ể ủ ứ ¿ OD và 5 đi m M, D, O, F, E cùng thu c m t ể ộ ộ

đường tròn

c) G i K là giao đi m c a AH và DE Ch ng minh: ọ ể ủ ứ MD2=MK MF và K là tr c tâm c a tam giác ự ủ MBC

d) Ch ng minh: ứ

2

FK=

1

FH+ 1 FA

BÀI GI I Ả Câu 1:

a) Gi i phả ương trình: x ( x+3 ) =15− ( 3x−1 )

(1)

Gi i: ả

( 1 ) ⇔ x2+ 3x=15−3x +1

⇔ x2+3x−15+3x−1=0

⇔ x2+6x−16=0

Ta có Δ'=32−1.(−16 )=9+16=25>0; √ Δ'= √ 25=5

Do Δ'>0 nên phương trình (1) có 2 nghi m phân bi t: ệ ệ

x1=−3+5

1 =2; x2=−3−5

V y t p nghi m c a phậ ậ ệ ủ ương trình (1) là: S= { 2; −8 }

b) M t mi ng đ t hình ch nh t có chu vi 40m và chi u dài g p 3 l n chi u r ng Tính di n tích c a ộ ế ấ ữ ậ ề ấ ầ ề ộ ệ ủ

mi ng đ tế ấ

Gi i: ả

G i x (m) là chi u dài và y (m) là chi u r ng c a hình ch nh t (x > y > 0)ọ ề ề ộ ủ ữ ậ

Theo đ bài, ta có h phề ệ ương trình: { 2 ( x+ y ) = 40

x=3y

⇔{x+ y=20 x−3y=0⇔{3x+ 3y=60

x−3y=0 ⇔{4x=60

x −3y=0⇔{ x=15

15−3y=0⇔{x=15 y=5

(th a)ỏ

Di n tích c a mi ng đ t là: ệ ủ ế ấ S=xy=15 5=75 (m2)

Câu 2:

a) Vẽ đ th (P) c a hàm s ồ ị ủ ố y=− x2

4

Gi i: ả

B ng giá trả ị

y=− x2

Đ th ồ ị

b) Tìm m đ (P) c t để ắ ường th ng ẳ ( D ) :y=2x−m t i đi m có hoành đ x = 1 ạ ể ộ

Gi i: ả

Phương trình hoành đ giao đi m c a (P) và (d) có d ng: ộ ể ủ ạ −

x2

4 =2x−m

Do (D) c t (P) t i đi m có hoành đ x = 1 nên th a: ắ ạ ể ộ ỏ −

12

4 =2 1−m⇔m=2+

1

4=

9 4

V y ậ m=9

4 là giá tr c n tìm ị ầ

Câu 3:

a) Thu g n bi u th c: ọ ể ứ A= √ 4+2 √ 3− √ 4−2 √ 3

Gi i: ả

Ta có A= √ 4+2 √ 3− √ 4−2 √ 3

= √ ( √ 3+1 )2− √ ( √ 3−1 )2=| √ 3+1|−| √ 3−1|= ( √ 3+1 ) − ( √ 3−1 ) = √ 3+1− √ 3+1=2

(vì √ 3+1>0; √ 3−1>0 )

b) Giá bán m t chi c Tivi gi m giá hai l n, m i l n gi m 10% so v i giá đang bán, sau khi gi m giá 2 ộ ế ả ầ ỗ ầ ả ớ ả

l n đó thì giá còn l i là 16.200.000 đ ng V y giá bán ban đ u c a Tivi là bao nhiêu? ầ ạ ồ ậ ầ ủ

Gi i: ả

G i x (đ ng) là giá bán ban đ u c a Tivi (x > 0)ọ ồ ầ ủ

Giá bán được gi m l n th nh t là: ả ầ ứ ấ ( 100%−10% ) .x=90%x (đ ng)ồ

Giá bán được gi m l n th hai là: ả ầ ứ ( 100%−10% ) .90%x=90%.90% x (đ ng)ồ

Theo đ bài, ta có phề ương trình: 90% 90%x=16200000 ⇔ x=20000000 (nh n)ậ

V y giá bán ban đ u là c a Tivi là: 20.000.000 (đ ng) ậ ầ ủ ồ

Câu 4: Cho phương trình: x2−2mx+m−2=0 (1) (x là n s )ẩ ố

a) Ch ng minh phứ ương trình (1) luôn có hai nghi m phân bi t v i m i giá tr mệ ệ ớ ọ ị

Gi i: ả

Ta có

Δ'= ( − m )2−1 ( m−2 ) = m2− m+2= ( m2−2.m 1

2 + ( 1 2 )2) − ( 1 2 )2+2= ( m− 1

2 )2− 1

4 +2 = ( m− 1

2 )2+ 7

4 ≥

7

4 >0, ∀ m (vì ( m− 1

2 )2≥0, ∀ m

)

Do Δ'>0, ∀m nên phương trình (1) luôn có hai nghi m phân bi t v i m i giá tr m ệ ệ ớ ọ ị

b) Đ nh m đ hai nghi m ị ể ệ x1, x2 c a phủ ương trình (1) th a mãn: ỏ

(1+ x1) (2−x2)+(1+ x2) (2−x1)=x12+x22+2

Gi i: ả

Theo câu a, v i m i m thì phớ ọ ương trình (1) luôn có hai nghi m xệ 1, x2 th a h th c Vi-ét:ỏ ệ ứ

{x1+x2=−b

a=−

−2m

x1x2=c

a=

m−2

Ta có: (1+ x1) (2−x2)+(1+ x2) (2−x1)=x1

2

+x22+2

⇔2−x2+2x1−x1x2+2−x1+2x2−x1x2=(x1+x2)2−2x1x2+2

⇔(x1+x2)2−(x1+x2)−2=0

⇔ ( 2m )2−2m−2=0

(do h th c Vi-ét)ệ ứ

⇔ 4m2−2m−2=0

⇔2m2− m−1=0 (¿)

Ta có a+b +c=2+ ( −1 ) + ( −1 ) =0 nên phương trình (*) có 2 nghi m: ệ

m1=1; m2=c

a=

−1 2

V y ậ m1=1; m2=−1

2 là các giá tr c n tìm ị ầ

Câu 5: Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nh n Đọ ường tròn tâm O đường kính BC c t các c nh AC, ABắ ạ

l n lầ ượ ạt t i D, E G i H là giao đi m c a BD và CE; F là giao đi m c a AH và BCọ ể ủ ể ủ

a) Ch ng minh: AF ứ ¿ BC và A ^F D=A ^C E

Gi i: ả

Ta có B ^D C=B ^E C=900 (góc n i ti p ch n n a độ ế ắ ử ường tròn (O))

⇒ BD ¿ AC, CF ¿ AB

Xét ∆ABC có: BD và CE là 2 đường cao c t nhau t i H ắ ạ

⇒ H là tr c tâm c a ∆ABCự ủ

⇒ AH ¿ BC t i F ạ

Xét t giác HFCD có: ứ

H ^F C+H ^DC=900+ 900=1800 (vì AH ¿ BC, BD ¿ AC)

⇒ T giác HFCD n i ti p (t ng 2 góc đ i b ng 180ứ ộ ế ổ ố ằ 0)

⇒ A ^F D=A ^C E (cùng ch n cung HD) ắ

b) G i M là trung đi m c a AH Ch ng minh: MD ọ ể ủ ứ ¿ OD và 5 đi m M, D, O, F, E cùng thu c m t ể ộ ộ

đường tròn

Gi i: ả

Ta có ∆ADH vuông t i D và có DM là trung tuy n ạ ế

⇒ MD = MA = MH (1)

Ta có ∆AEH vuông t i E và có EM là trung tuy n ạ ế

⇒ ME = MA = MH (2)

T (1) và (2) ừ ⇒ MD = ME (3)

Xét ∆OEM và ∆ODM có:

OE = OD = R

ME = MD (do (3)) OM: chung

⇒ ∆OEM = ∆ODM (c.c.c)

⇒ M ^O E=M ^O D (2 góc tương ng)ứ

=

1

2E ^O D (4)

Ta có E ^C D=1

2E ^O D (5) (h qu góc n i ti p)ệ ả ộ ế

Ta có H ^F D=E ^C D (6) (cùng ch n cung HD c a t giác HFCD n i ti p)ắ ủ ứ ộ ế

T (4), (5) và (6) ừ ⇒ M ^O D=H ^F D

⇒ T giác MFOD n i ti p (7) (t giác có 2 đ nh O, F cùng nhìn c nh MD dứ ộ ế ứ ỉ ạ ưới m t góc b ng ộ ằ nhau)

⇒ M ^DO=1800− M ^F O (t ng 2 góc đ i c a t giác MFOD n i ti p)ổ ố ủ ứ ộ ế

=1800−900=900 (vì AF ¿ BC)

Xét t giác MEOD có: ứ

M ^E O=M ^D O=900 (vì ∆MEO = MDO: cmt)

⇒ M ^E O+M ^D O=900+900=1800

⇒ T giác MEOD n i ti p (8) (t ng 2 góc đ i b ng 180ứ ộ ế ổ ố ằ 0)

T (7) và (8) ừ ⇒ 5 đi m M, E, F, O, D cùng thu c để ộ ường tròn (MOD)

c) G i K là giao đi m c a AH và DE Ch ng minh: ọ ể ủ ứ MD2=MK MF và K là tr c tâm c a tam giác ự ủ MBC

Gi i: ả

G i I là giao đi m th hai c a MC và đọ ể ứ ủ ường tròn (O)

Ta có M ^D E=D ^C E (h qu góc t o b i ti p tuy n và dây cung)ệ ả ạ ở ế ế

Hay M ^D K=H ^C D

= H ^F D (cùng ch n cung HD c a t giác HFCD n i ti p) ắ ủ ứ ộ ế

= M ^F D (9)

Xét ∆MDK và ∆MFD có:

F ^M D : chung

M ^D K=M ^F D (do (9))

⇒ ∆MDK ∆MFD (g.g)∽

⇒MD

MF =

MK

MD ⇔MD

2=MK MF

(10)

Ta có M ^D I=M ^C D (11) (h qu góc t o b i ti p tuy n và dây cung) ệ ả ạ ở ế ế

Xét ∆MDI và ∆MCD có:

C ^M D : chung

M ^D I=M ^C D (do (11))

⇒ ∆MDI ∆MCD (g.g) ∽

⇒MD

MC=

MI

MD ⇔MD

2=MI MC

(12)

T (10) và (12) ừ ⇒ MI.MC = MK.MF = MD2

⇒MI

MF=

MK

MC (13) Xét ∆MKI và ∆MCF có:

F ^M C : chung

MI

MF=

MK

MC (do (13))

⇒ ∆MKI ∆MCF (c.g.c)∽

⇒ M ^I K=M ^F C=900 (2 góc tương ng) ứ

⇒ KI ¿ MC (14)

Mà B ^I C=900 (góc n i ti p ch n n a độ ế ắ ử ường tròn)

⇒ BI ¿ MC (15)

T (14) và (15) ừ ⇒ 3 đi m B, K, I th ng hàng ể ẳ

Mà MK ¿ BC nên K là tr c tâm ∆MBC ự

d) Ch ng minh: ứ

2

FK=

1

FH+

1 FA

Gi i: ả

Ta có FA FH= ( FM+MA ) ( FM−MH )

= ( FM+MA )( FM−MA ) = FM2−MA2 (16) (vì MA = MH)

Ta có FK FM= ( FM−MK ) FM=FM2−MK MF

=FM2−MD2 (do trên) =FM2−MA2 (17) (vì MD = MA)

T (16) và (17) ừ ⇒ FA.FH = FK.FM

⇒ 2

FK=

2FM

FA FH=

(FM+MA)+(FM−MH)

FA+FH

FA FH =

1

FA+ 1

FH