BAI TAP ON TAP CHUONG IIIII

a Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp được trong một đường tròn.Xác định tâm O của đường tròn đó.. Tia OA cắt đường tròn O' tại C, tia O'A cắt đường tròn O tại D.[r]

GV: NGUYễN THị HUYềN- BàI TậP TOáN 9

Cõu 3 (3 điểm): Giải bài toỏn sau bằng cỏch lập hệ phương trỡnh:

Hai tỉnh A và B cỏch nhau 225km Một ụtụ đi từ A đến B, cựng một lỳc một ụtụ thứ 2 đi từ B đến A Sau 3 giờ chỳng gặp nhau Biết vận tốc ụtụ đi từ A lớn hơn vận tốc ụ tụ đi từ B là 5 km/h Tớnh vận tốc củamỗi ụtụ?

2myx

Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x > 0 và y



C – 2 D

32

Câu 5 Cho hàm số y(2m1)x 2 và y3x 2 Với giá trị nào của m thì đồ thị hai hàm số trên song song với nhau?

Câu 10 Phương trỡnh nào dưới đõy cú thể kết hợp với phương trỡnh 2x – y = -1 được một hệ phương

trỡnh bậc nhất hai ẩn vụ nghiệm

A y = 2x -3 ; B 2x +y =2 ; C y = x -2 D x -2y =1

II T Ự LUẬN : (5điểm )

Bài 1 (1,5 điểm) Cho hệ phương trình

Bài 2 (2,5 điểm) Hai ô tô khởi hành từ hai địa điểm A và B cách nhau 210 km đi ngược chiều nhau

sau 3 giờ chúng gặp nhau Tìm vận tốc mỗi ô tô, biết rằng vận tốc ô tô đi từ A lớn hơn vận tốc ô tô đi

có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0 và y < 0

Bài 1: Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA và MB ( A, B là tiếp điểm) Cho biết góc

AMB bằng 400

a/ Tính góc AOB

b/ Từ O kẽ đường thẳng vuông góc với OA cắt MB tại N.Chứng minh tam giác OMN là tam giác cân

Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Kẽ các tiếp tuyến Ax, By cùng phía với nửa đường tròn đối

với AB Từ điểm M trên nửa đường tròn kẽ tiếp tuyến thứ ba với đường tròn, nó cắt Ax và By lần lượt tại C vàD

a/ Chứng minh: Tam giác COD là tam giác vuông

b/ Chứng minh: MC.MD=OM2

c/ Cho biết OC=BA=2R, tính AC và BD theo R

Bài 3: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài với nhau tại B Vẽ đường kính AB của đường tròn (O) và

đường kính BC của đường tròn (O’) Đường tròn đường kính OC cắt (O) tại M và N

a/ Đường thẳng CM cắt (O’) tại P Chúng minh: OM//BP

b/ Từ C kẽ đường thẳng vuông góc với CM cắt tia ON tại D Chứng minh: Tam giác OCD là tam giáccân

Bài 4: Cho hai đường tròn (O,R) và (O/,R/) cắt nhau tại A và B sao cho đường thẳng OA là tiếp tuyến củađường tròn (O/,R/) Biết R=12cm, R/=5cm

a/ Chứng minh: O/A là tiếp tuyến của đường tròn (O,R)

b/ Tính độ dài các đoạn thẳng OO/, AB

Bài 5: Cho đường tròn tâm O bán kính R=6cm và một điểm A cách O một khoảng 10cm Từ A vẽ tiếp tuyến

AB (B là tiếp điểm)

a/ Tính độ dài đoạn tiếp tuyến AB

b/ Vẽ cát tuyến ACD, gọi I là trung điểm của đoạn CD Hỏi khi C chạy trên đường tròn (O) thì I chạytrên đường nào ?

Bài 6: Cho hai đường tròn đồng tâm (O,R) và (O,r) Dây AB của (O,R) tiếp xúc với (O,r) Trên tia AB lấy

điểm E sao cho B là trung điểm của đoạn AE Từ E vẽ tiếp tuyến thứ hai của (O,r) cắt (O,R) tại C và D (D ởgiữa E và C)

a/ Chứng minh: EA=EC b/ Chứng minh: EO vuông góc với BD

c/ Điểm E chạy trên đường nào khi dây AB của (O,R) thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với (O,r) ?

Bài 7: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và một điểm M nằm trên nửa đường tròn đó H là chân đường

vuông góc hạ từ M xuống AB

a/ Khi AH=2cm, MH=4cm Hãy tính độ dài các đoạn thẳng: AB, MA, MB

D C

B O

H

K

A

M

GV: NGUYÔN THÞ HUYÒN- BµI TËP TO¸N 9

b/ Khi điểm M di động trên nửa đường tròn (O) Hãy xác định vị trí của M để biểu thức: 2 2

c) Gọi M là trung điểm BC Chứng minh 2OM = AH

Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) Đường cao AH cắt đường tròn ở điểm D

a) AD có phải là đường kính của đường tròn (O) không ? Tại sao?

b) Chứng minh: BC2 = 4AH DHc) Cho BC = 24cm, AB = 20cm Tính bán kính của đường tròn (O)

Bài 10 Cho đường tròn tâm O đường kính AB Gọi H là trung điểm OA Dây CD vuông góc với OA tại H.

1 Tứ giác ACOD là hình gì? Tại sao?

2 Chứng minh các tam giác OAC và CBD là các tam giác đều

3 Gọi M là trung điểm BC Chứng minh ba điểm D,O, M thẳng hàng

4 Chứng minh đẳng thức CD2 = 4 AH HB

Bài 11 Hình bên cho biết AB = CD Chứng minh rằng:

1 MH = MK

2 MB= MD

3 Chứng minh tứ giác ABDC là hình thang cân

Bài 12 Cho đường tròn đường kính 10 cm, một đường thẳng d cách

tâm O một khoảng bằng 3 cm

1 Xác định vị trí tương đối của đường thẳng d và đường

tròn (O)

2 Đường thẳng d cắt đường tròn (O) tại điểm A và B Tính độ dài dây AB

3 Kẻ đường kính AC của đường tròn (O) Tính độ dài BC và số đo CAB (làm tròn đến độ).

4 Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C cắt tia AB tại M Tính độ dài BM

Bài 13.Cho tam giác ABC nhọn, đường tròn đường kính BC cắt AB ở N và cắt AC ở M Gọi H là giao điểm

của BM và CN

1 Tính số đo các góc BMC và BNC

2 Chứng minh AH vuông góc BC

3 Chứng minh tiếp tuyến tại N đi qua trung điểm AH

Bài 14.Cho đường tròn tâm (O;R) đường kính AB và điểm M trên đường tròn sao cho MAB 600 Kẻ dây

MN vuông góc với AB tại H

1 Chứng minh AM và AN là các tiếp tuyến của đường tròn (B; BM):

2 Chứng minh MN2 = 4 AH HB

3 Chứng minh tam giác BMN là tam giác đều và điểm O là trọng tâm của nó

4 Tia MO cắt đường tròn (O) tại E, tia MB cắt (B) tại F.Chứng minh ba điểm N; E; F thẳng hàng

Bài 15 Cho đường tròn (O) và điểm A cách O một khoảng bằng 2R, kẻ tiếp tuyến AB tới đường tròn (B là tiếp

điểm)

1) Tính số đo các góc của tam giác OAB

2) Gọi C là điểm đối xứng với B qua OA Chứng minh điểm C nằm trên đường tròn O và AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)

3) AO cắt đường tròn (O) tại G Chứng minh G là trọng tâm tam giác ABC.

Bài 16 Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O;R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B và C là hai tiếp điểm) Gọi H là

giao điểm của OA và BC

1 Chứng minh OA  BC và tính tích OH OA theo R

2 Kẻ đường kính BD của đường tròn (O) Chứng minh CD // OA

3 Gọi E là hình chiếu của C trên BD, K là giao điểm của AD và CE Chứng minh K là trung điểm CE

Bài 17 Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B và C là các tiếp điểm) Kẻ BE

 AC và CF  AB ( E AC F, AB), BE và CF cắt nhau tại H

1 Chứng minh tứ giác BOCH là hình thoi

2 Chứng minh ba điểm A, H, O thẳng hàng

3 Xác định vị trí điểm A để H nằm trên đường tròn (O)

Bài 18 Cho đường tròn (O ; 3cm) và điểm A có OA = 6 cm Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C

là các tiếp điểm).Gọi H là giao điểm của OA và BC

1 Tính độ dài OH

2 Qua điểm M bất kì thuộc cung nhỏ BC , kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB và AC theo thứ

tự tại E và F Tính chu vi tam giác ADE

3 Tính số đo góc DOE

Bài 19 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Gọi Ax , By là các tia vuông góc với AB( Ax , By và nửa

đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M bất kì thuộc tia Ax kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt By ở N

1 Chứng minh AD AB = AE AC

2 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BH và CH Chứng minh DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (M; MD) và (N; NE)

3 Gọi P là trung điểm MN, Q là giao điểm của DE và AH Giả sử AB = 6 cm,AC = 8 cm Tính

Bài 22 Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A Kẻ tiếp tuyến chung ngoài MN với M thuộc (O)

và N thuộc (O’) Gọi P là điểm đối xứng với M qua OO’, Q là điểm đối xứng với N qua OO’ Chứng minh rằng :

1 MNQP là hình thang cân

2 PQ là tiếp tuyến chung của của hai đường tròn (O) và (O’).MN + PQ = MP + NQ

Chủ đề 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – ĐỊNH LÝ VI-ÉT.

Dạng 1: Chứng minh phương trình có nghiệm, vô nghiệm.

Bài 1: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm.

1) x2 – 2(m - 1)x – 3 – m = 0 ; 2) x2 + (m + 1)x + m = 0 ;

GV: NGUYÔN THÞ HUYÒN- BµI TËP TO¸N 9

x) (Èn 0 c x

1 b x

1 a

d) Chứng minh rằng phương trình bậc hai:

(a + b)2x2 – (a – b)(a2 – b2)x – 2ab(a2 + b2) = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt

x2 - 2bx + 4a2 = 0 (2)

x2 - 4ax + b2 = 0 (3)

x2 + 4bx + a2 = 0 (4)Chứng minh rằng trong các phương trình trên có ít nhất 2 phương trình có nghiệm

c) Cho 3 phương trình (ẩn x sau):

(3) 0cb

1xba

ba2acx

(2) 0ba

1xac

ac2cbx

(1) 0ac

1xcb

cb2bax

2 2 2

với a, b, c là các số dương cho trước

Chứng minh rằng trong các phương trình trên có ít nhất một phương trình có nghiệm

Bài 4:

a) Cho phương trình ax2 + bx + c = 0

Biết a ≠ 0 và 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh rằng phương trình đã cho có hai nghiệm

b) Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có hai nghiệm nếu một trong hai điềukiện sau được thoả mãn:

  

4 2

4 1

3 2

3

1

1 2 2 1 2

1

2 1

2 2

2

1

x x F

; x x E ; x 3x x 3x D

; 1 x 1 1 x 1 C ; x x B

; x x A                Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là x 1 1 vµ 1 x 1 2 1  Bài 2: Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình: 5x2 – 3x – 1 = 0 Không giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức sau: x 4x x 4x 3x x 5x 3x C ; x 1 x 1 1 x x x x 1 x x x x B ; x 3x 2x x 3x 2x A 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 3 2 2 2 1 3 1                         Bài 3: a) Gọi p và q là nghiệm của phương trình bậc hai: 3x2 + 7x + 4 = 0 Không giải phương trình hãy thành lập phương trình bậc hai với hệ số bằng số mà các nghiệm của nó là p 1 q vµ 1 q p   b) Lập phương trình bậc hai có 2 nghiệm là 10 6 2 1 vµ 72 10 1   Bài 4: Cho phương trình x2 – 2(m -1)x – m = 0 a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm x1 ; x2 với mọi m b) Với m ≠ 0, lập phương trình ẩn y thoả mãn 1 2 2 2 1 1 x 1 x y vµ x 1 x y     Bài 5: Không giải phương trình 3x2 + 5x – 6 = 0 Hãy tính giá trị các biểu thức sau:    2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 x 2 x x 2 x D

; x x C ; 1 x x 1 x x B

; 2x 3x 2x 3x A              Bài 6: Cho phương trình 2x2 – 4x – 10 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 Không giải phương trình hãy thiết lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: y1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2 – x1 Bài 7: Cho phương trình 2x2 – 3x – 1 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 Hãy thiết lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn:                 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 x x y x x y b)

2 x y

2 x y a)

Bài 8: Cho phương trình x2 + x – 1 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 Hãy thiết lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn:

GV: NGUYÔN THÞ HUYÒN- BµI TËP TO¸N 9

















































0

5x 5x y

y

x x y y b)

; 3x 3x y

y y y

x

x x

x y y

a)

2 1

2 2

2 1

2 2

2 1 2 1

2 1 1

2 2 1

1

2 2

1 2 1

Bài 9: Cho phương trình 2x2 + 4ax – a = 0 (a tham số, a ≠ 0) có hai nghiệm x1 ; x2 Hãy lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn:

2 1 2 1 2

1 2

y

1 y

1

vµ x

1 x

1 y

Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm có nghiệm kép,vô nghiệm.

Bài 1:

a) Cho phương trình (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = 0 (ẩn x)

Xác định m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép này

b) Cho phương trình (2m – 1)x2 – 2(m + 4)x + 5m + 2 = 0

Tìm m để phương trình có nghiệm

a) Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2mx + m – 4 = 0

- Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm

- Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó

b) Cho phương trình: (a – 3)x2 – 2(a – 1)x + a – 5 = 0

Tìm a để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Bài 2:a) Cho phương trình:

1 x

x 1 2m 2 1 2x x

2 2

4

2

















Xác định m để phương trình có ít nhất một nghiệm

b) Cho phương trình: (m2 + m – 2)(x2 + 4)2 – 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = 0 Xác định m để phương trình có ít nhất một nghiệm

Dạng 4: Xác định tham số để các nghiệm của phương trình ax 2 + bx + c = 0 thoả mãn điều kiện

cho trước.

Bài 1: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0

1) Xác định m để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó

2) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 4 Tính nghiệm còn lại

3) Với điều kiện nào của m thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu (trái dấu)

4) Với điều kiện nào của m thì phương trình có hai nghiệm cùng dương (cùng âm)

5) Định m để phương trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia

6) Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 – x2 = - 2

7) Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 sao cho A = 2x12 + 2x22 – x1x2 nhận giá trị nhỏ nhất

Bài 2: Định m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra:

a) (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + m – 3 = 0; (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18

b) mx2 – (m – 4)x + 2m = 0; 2(x1 + x2) = 5x1x2

c) (m – 1)x2 – 2mx + m + 1 = 0; 4(x12 + x22) = 5x12x22

d) x2 – (2m + 1)x + m2 + 2 = 0; 3x1x2 – 5(x1 + x2) + 7 = 0

Bài 3: Định m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra:

a) x2 + 2mx – 3m – 2 = 0 ; 2x1 – 3x2 = 1

b) x2 – 4mx + 4m2 – m = 0 ; x1 = 3x2

2 1

2 2

2 1

2 1

Bài 5: Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôinghiệm kia là 9ac = 2b2

Bài 6: Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ đểphương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp k lần nghiệm kia (k > 0) là :

kb2 = (k + 1)2.ac

Chủ đề 2:

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH –HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Bài 1: Một ôtô đi từ A đến B trong một thời gian nhất định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến

chậm mất 2 giờ Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ Tính quãng đường AB và thời gian dự định đi lúc đầu

Bài 2: Một người đi xe máy từ A đến B cách nhau 120 km với vận tốc dự định trước Sau khi được 3

1

quãng đường AB người đó tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đường còn lại Tìm vận tốc dự định

và thời gian xe lăn bánh trên đường, biết rằng người đó đến B sớm hơn dự định 24 phút

Bài 3: Một canô xuôi từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 30 km/h, sau đó lại ngược từ B trở về

A Thời gian xuôi ít hơn thời gian đi ngược 1 giờ 20 phút Tính khoảng cách giữa hai bến A và B Biếtrằng vận tốc dòng nước là 5 km/h và vận tốc riêng của canô lúc xuôi và lúc ngược bằng nhau

Bài 4: Một canô xuôi một khúc sông dài 90 km rồi ngược về 36 km Biết thời gian xuôi dòng sông

nhiều hơn thời gian ngược dòng là 2 giờ và vận tốc khi xuôi dòng hơn vận tốc khi ngược dòng là 6 km/h Hỏi vận tốc canô lúc xuôi và lúc ngược dòng

Bài 5: Hai người thợ cùng làm chung một công việc trong 7 giờ 12 phút thì xong Nếu người thứ nhất

làm trong 5 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai người chỉ làm được 4

3 công việc Hỏi một người làm công việc đó trong mấy giờ thì xong?

Bài 6:Nếu vòi A chảy 2 giờ và vòi B chảy trong 3 giờ thì được 5

Bài 7: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 6 giờ đầy bể Nếu mỗi vòi chảy một mình cho đầy

bể thì vòi II cần nhiều thời gian hơn vòi I là 5 giờ Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể?

GV: NGUYÔN THÞ HUYÒN- BµI TËP TO¸N 9

Bài 8: Trong tháng giêng hai tổ sản xuất được 720 chi tiết máy Trong tháng hai, tổ I vượt mức 15%,

tổ II vượt mức 12% nên sản xuất được 819 chi tiết máy Tính xem trong tháng giêng mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?

Bài 9: Năm ngoái tổng số dân của hai tỉnh A và B là 4 triệu người Dân số tỉnh A năm nay tăng 1,2%,

còn tỉnh B tăng 1,1% Tổng số dân của cả hai tỉnh năm nay là 4 045 000 người Tính số dân của mỗi tỉnh năm ngoái và năm nay?

Bài 10: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 280 m Người ta làm lối đi xung quanh vườn (thuộc

đất trong vườn) rộng 2 m Tính kích thước của vườn, biết rằng đất còn lại trong vườn để trồng trọt là

4256 m2

Bài 11: Cho một hình chữ nhật Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên 5 m thì diện tích

tăng 500 m2 Nếu giảm chiều dài 15 m và giảm chiều rộng 9 m thì diện tích giảm 600 m2 Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu

Bài 12:Cho một tam giác vuông Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 2 cm và 3 cm thì diện tích tam giác

tăng 50 cm2 Nếu giảm cả hai cạnh đi 2 cm thì diện tích sẽ giảm đi 32 cm2 Tính hai cạnh góc vuông

Bài 13: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số bằng 11, nếu đổi chỗ hai chữ số hàng chục

và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị

Bài 14: Tìm một số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 7 lần chữ số hàng đơn vị của nó và nếu số cần

tìm chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 4 và số dư là 3

Bài 15: Nếu tử số của một phân số được tăng gấp đôi và mẫu số thêm 8 thì giá trị của phân số bằng 4

1 Nếu tử số thêm 7 và mẫu số tăng gấp 3 thì giá trị phân số bằng 24

5 Tìm phân số đó

Bài 16:Nếu thêm 4 vào tử và mẫu của một phân số thì giá trị của phân số giảm 1 Nếu bớt 1 vào cả tử

và mẫu, phân số tăng 2

3 Tìm phân số đó

PHẦN II: HÌNH HỌC

Bài 1: Cho hai đường tròn (O), (O') cắt nhau tại A, B Các tiếp tuyến tại A của (O), (O') cắt (O'), (O)

lần lượt tại các điểm E, F Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EAF

a) Chứng minh tứ giác OAO'I là hình bình hành và OO'//BI

b) Chứng minh bốn điểm O, B, I, O' cùng thuộc một đường tròn

c) Kéo dài AB về phía B một đoạn CB = AB Chứng minh tứ giác AECF nội tiếp

Bài 2: Cho tam giác ABC Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H.Gọi D là điểm đối xứng của H qua

trung điểm M của BC

a) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp được trong một đường tròn.Xác định tâm O của đường trònđó

b) Đường thẳng DH cắt đường tròn (O) tại điểm thứ 2 là I Chứng minh rằng 5 điểm A, I, F, H, Ecùng nằm trên một đường tròn

Bài 3: Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B Tia OA cắt đường tròn (O') tại C, tia O'A

cắt đường tròn (O) tại D Chứng minh rằng:

a) Tứ giác OO'CD nội tiếp

b) Tứ giác OBO'C nội tiếp, từ đó suy ra năm điểm O, O', B, C, D cùng nằm trên một đường tròn

Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn đường kính AD Hai đường chéo AC và BD cắt

nhau tại E Vẽ EF vuông góc AD Gọi M là trung điểm của DE Chứng minh rằng:

a) Các tứ giác ABEF, DCEF nội tiếp được

b) Tia CA là tia phân giác của góc BCF c)* Tứ giác BCMF nội tiếp được

Bài 5: Từ một điểm M ở bên ngoài đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn Trên

cung nhỏ AB lấy một điểm C Vẽ CD  AB, CE  MA, CF  MB

Gọi I là giao điểm của AC và DE, K là giao điểm của BC và DF Chứng minh rằng:

a) Các tứ giác AECD, BFCD nội tiếp được.

b) CD2 = CE CF c)* IK // AB

Bài 6:Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Từ A vẽ tiếp tuyến xy với đường tròn Vẽ hai

đường cao BD và CE

a) Chứng minh rằng bốn điểm B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn

b) Chứng minh rằng xy// DE, từ đó suy ra OA  DE

Bài 7: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) Trên cung nhỏ AB lấy một điểm M Đường

thẳng qua A song song với BM cắt CM tại N

a) Chứng minh rằng tam giác AMN là tam giác đều

b) Chứng minh rằng MA + MB = MC

c)* Gọi D là giao điểm của AB và CM Chứng minh rằng: MD

1MB

1AM

1





Bài 8: Cho ba điểm A, B, C cố định với B nằm giữa A và C Một đường tròn (O) thay đổi đi qua B và

C Vẽ đường kính MN vuông góc với BC tại D ( M nằm trên cung nhỏ BC).Tia AN cắt đường tròn(O) Tại một điểm thứ hai là F Hai dây BC và MF cắt nhau tại E Chứng minh rằng:

a) Tứ giác DEFN nội tiếp được b) AD AE = AF AN

c) Đường thẳng MF đi qua một điểm cố định

Bài 9:Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn ( O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn Gọi M là

trung điểm của AB Tia CM cắt đường tròn tại điểm N Tia AN cắt đường tròn tại điểm D

a) Chứng minh rằng MB2 = MC MN b) Chứng minh rằng AB// CD

c) Tìm điều kiện của điểm A để cho tứ giác ABDC là hình thoi Tính diện tích cử hình thoi đó

Bài 10: Cho đường tròn (O) và một dây AB Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB Vẽ đường kính

MN Cắt AB tại I Gọi D là một điểm thuộc dây AB Tia MD cắt đường tròn (O) tại C

a) Chứng minh rằng tứ giác CDIN nội tiếp được

b) Chứng minh rằng tích MC MD có giá trị không đổi khi D di động trên dây AB

c) Gọi O' là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD Chứng minh rằng MAB = 2

1

 AO'D.d) Chứng minh rằng ba điểm A, O', N thẳng hàng và MA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếptam giác ACD

Bài 11: Cho tam giác ABC vuông ở A ( AB < AC), đường cao AH Trên đoạn thẳng HC lấy D sao

cho HD = HB Vẽ CE vuông góc với AD ( E  AD)

a) Chứng minh rằng AHEC là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHEC

c) Chứng minh rằng CH là tia phân giác của góc ACE

d) Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng CA CH và cung nhỏ AH của đường tròn nóitrên biết AC= 6cm, ACB = 300

Bài 12: Cho đường tròn tâm O có đường kính BC Gọi A là Một điểm thuộc cung BC ( AB < AC), D là

điểm thuộc bán kính OC Đường vuông góc với BC tại D cắt AC ở E, cắt tia BA ở F

a) Chứng minh rằng ADCF là tứ giác nội tiếp

b) Gọi M là trung điểm của EF Chứng minh rằng AME = 2 ACB

c) Chứng minh rằng AM là tiếp tuyến của đường tròn (O)

d) Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng BC, BA và cung nhỏ AC của đường tròn (O)biết BC= 8cm, ABC = 600

Bài 13: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R Điểm M thuộc nửa đường tròn Vẽ đường

tròn tâm M tiếp xúc với AB ( H là tiếp điểm) Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn (M) ( C, D làtiếp điểm)

a) Chứng minh rằng C, M, D thẳng hàng b) Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn (O).c) Tính tổng AC + BD theo R d) Tính diện tích tứ giác ABDC biết AOM = 600

GV: NGUYÔN THÞ HUYÒN- BµI TËP TO¸N 9

Bài 14: Cho tam giác vuông cân ABC (A = 900), trung điểm I của cạnh BC Xét một điểm D trên tia

AC Vẽ đường tròn (O) tiếp xúc với các cạnh AB, BD, DA tại các điểm tương ứng M, N, P

a) Chứng minh rằng 5 điểm B, M, O, I, N nằm trên một đường tròn

b) Chứng minh rằng ba điểm N, I, P thẳng hàng

c) Gọi giao điểm của tia BO với MN, NP lần lượt là H, K Tam giác HNK là tam giác gì, tại sao?d) Tìm tập hợp điểm K khi điểm D thay đổi vị trí trên tia AC

PHẦN BỔ SUNG ( TUẤN PHƯƠNG )

ĐỀ 1 Bài 1: (4,0 điểm) Cho phương trình x4 2mx23m 4 0 (1)

1 Xác định m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt

2 Khi (1) có 4 nghiệm phân biệt x x x x1, , ,2 3 4, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 4: (6,0 điểm): Cho đường tròn (O ; R), trên đó lấy một điểm cố định A và vẽ đường tròn (A ; R) Lấy điểm

H di động trên (A ; R), cát tuyến của (O) đi qua A và H cắt (O) tại điểm thứ hai K Dựng trung trực của đoạn

HK cắt (O) tại B và C

1 Chứng tỏ rằng H là trực tâm của tam giác ABC

2 Tính số đo góc A của tam giác ABC

Bài 5: (2,0 điểm): Một hình tròn bán kính 1 cm lăn ở ngoài một tam giác vuông có các cạnh góc vuông là 6 cm

và 8 cm Hình tròn khi lăn luôn tiếp xúc với một trong các cạnh của tam giác và tại mỗi đỉnh của tam giác, hìnhtròn vẫn luôn giữ tiếp xúc với đỉnh đó khi lăn từ một cạnh sang cạnh kế tiếp Khi hình tròn lăn một vòng đầy

đủ trên các cạnh của tam giác thì quỹ đạo của tâm hình tròn đó có độ dài bằng bao nhiêu ?

Bài 6: (2,0 điểm): Người ta thiết lập dãy các hình ngũ giác bằng các chấm điểm được biểu diễn bởi 5 hình ngũ

giác đầu tiên như hình vẽ sau Hỏi ngũ giác thứ 25 gồm bao nhiêu chấm điểm ? Tìm công thức để tính u n vớin

u là số chấm điểm tạo nên hình ngũ giác thứ n.

GV: NGUYÔN THÞ HUYÒN- BµI TËP TO¸N 9

Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì cần và đủ là phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt

Do đó (2) luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt

Để (2) có 2 nghiệm dương phân biệt t t1, 2, cần và đủ là:

43

(2 đ) Với điều kiện: m 43, phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt t t1, 2, nên

phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt:

0,250,5

19

u v

91

u v

u v

u v

S 

0,50,25

0,50,250,5

Với y1; y3 thì ' = 22 và ' = 6, không phải là các số chínhphương

Với y 2 ta có  ' 4.16 8 2   ' 8, ta có nghiệm của phương trình:

10 8

29

y

Khi y 2 phương trình có một nghiệm nguyên x 2Khi y 2 phương trình có một nghiệm nguyên x 2.Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm:

x0; y0 , x2; y2 , x2; y2

0,250,25

0,50,250,25

0,5

GV: NGUYÔN THÞ HUYÒN- BµI TËP TO¸N 9

Vẽ tia CH cắt AB tại E và tia BH cắt AC tại D

Ta có: BAK BCK (góc nội tiếp cùng chắn cung

BK ) và BCH BCK (CI là đường cao của tam giáccân HCK, vừa là phân giác góc C)

Suy ra: BAK BCE

Mà BAK ABC  900 nên BCE ABC 900

Do đó: BEC 900, nên CE là đường cao thứ hai củatam giác ABC

H là giao điểm của hai đường cao AI và CE của tam giác ABC, vậy H là trực tâmcủa tam giác ABC

0,25

0,25

0,50,5

0,5

4.2

(4 đ)

(2 đ)

+ Trường hợp H ở trong đường tròn (O):

Kẻ đường kính FG của (O) vuông góc với dây BC tại M, thì M là trung điểm củaBC

Trong đường tròn (O) hai dây AK và FG song song nên chắn hai cung

 

KF AG KF AG (1)

Tứ giác OHAG có OG // = AH = R nên OHAG là hình bình hành, suy ra:

AG = OH (2)

Từ (1) và (2) suy ra KF = HO, nên HKFO là hình thang cân

Mà BC là trung trực của HK nên cũng là trung trực của OF, nên

BAC  BOC FOC 

(góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung BC)

0,25

0,250,250,250,50,5

(1 đ)

+ Trường hợp H ở ngoài (O) nhưng vẫn ở trên nửa

đường tròn (A)chứa điểm O, đường kính PQ là tiếp

tuyến của (O) tại A

Khi đó tam giác ABC có 2 góc nhọn và một góc tù(góc C tù chẳng hạn)

Ta có: HBI AHB 90 ,0 HBI IBK (đối xứng nhau qua BI), IBK CAK  (góc nội tiếp cùng chắn cung KC), nên CAH AHB  900, suy ra: BH  AC tại D Vậy H là trực tâm của tam giác ABC

Chứng minh tương tự trên, ta có M là trung điểm của OF và BAC  600

0,25

0,250,5