Cho hai đường thẳng d và d’ có phương trình: a Tìm tọa độ giao điểm của d và d’ b Viết phương trình mặt phẳng P chứa cả hai đường thẳng đó.. Viết phương trình mặt phẳng Q chứa d’ và song[r]
Trang 1ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1.
Viết PTTS, PTCT của đường thẳng
B1: Tìm toạ độ vectơ chỉ phương (a; b; c) ( là vectơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng đó B2: Tìm toạ độ điểm M0(x0; y0; z0) thuộc đường thẳng
B3: PTTS:
0 0 0
x x at
y y bt
z z ct
PTCT:
Với a1, a2, a3 ¹ 0
2.
Chú ý
a) Nếu đường thẳng d là giao tuyến của hai mp (P):Ax+By+Cz+D = 0 và (P’): A’x+B’y+C’z+D’ = 0
Khi đó đt d có VTCP:
B C C A A B
Muốn tìm một điểm thuộc d thì ta cho x = x 0 (thường cho x = 0), giải hệ phương trình tìm y, z
b) Đường thẳng d qua 2 điểm A, B thì d có VTCP là AB
c) Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng(P) thì d có VTCP là VTPT của (P)
d) đường thẳng d song song với đường thẳng thì d và có cùng VTCP
e) hai đường thẳng vuông góc thì hai vectơ chỉ phương của chúng vuông góc
BÀI TẬP
1 Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) (d) đi qua A(1;2;3) và B(3; 5; 7)
b) (d) qua C(-2; 0; 2) và D(1; -2; 3)
2 Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc ( nếu có) của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) (d) qua M(-1; 3; 1) và vuông góc với mặt phẳng(P): 2x – y + 3z + 1 = 0 b) (d) qua N(0; 2; 3 ) và vuông góc với mặt phẳng(Q): x + y - z = 0
3 Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc ( nếu có) của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) (d) qua K(-2; -1; 3) và song song đường thẳng
4 1 3
x t
b) (d) qua K(0; 3; -2) và song song đường thẳng
3 2
1 5
y
4 Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng :
a) (P): x + 2y – 2z + 1= 0 và (Q): x – y + z – 4 = 0 b) (P): 3x - y – z + 2 = 0 và (Q): x + 2z + 1 = 0
5 Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M(2; -1; 3) và vuông góc với
hai đường thẳng:
:
x y z
' :
x y z
6 (TN năm 2007) Trong không gian Oxyz, cho M(-1; -1; 0) và mp(P): x + y – 2z – 4 = 0.Viết phương trình tham
số của đường thẳng d qua M và vuông góc với (P) Tìm toạ độ giao điểm của d và mp(P)
7 (TN năm 2008)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; -2; -2) và mp(P) : 2x – 2y + z – 1 = 0 Viết
phương trình của đường thẳng đi qua A và vuông góc với mp(P)
8 (TN năm 2009) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x +2y + 2z + 18 = 0 Viết phương trình tham số của
d đi qua T và vuông góc với (P) Tìm tọa độ giao điểm của d và (P)
9 (ĐH- Khối A- 2005)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d:
x 1 y 3 z 3
2x + y – 2z + 9 = 0 Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mp (P) bằng 2
Trang 2II VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Cho qua M(x 0 ; y 0 ; z 0 ) và có vectơ chỉ phương ua b c; ;
’ qua M’(x’ 0 ; y’ 0 ; z’ 0 ) và có vectơ chỉ phương u'a b c'; '; '
có PTTS là:
' ' '
' ' '
*) Nếu thấy u ku '
thì lấy tọa độ điểmM thế vào phương trình đường thẳng ’
Xảy ra 2 khả năng:
TH1: M ' thì hai đường thẳng trên trùng nhau TH2: M 'thì 2 đường thẳng trên song song
*) Nếu thấy u ku '
thì giải hệ phương trình gồm hai phương trình của 2 đường thẳng
' ' ' ' ' ' ' ' '
x at x a t
y bt y b t
z ct z c t
TH3: hệ có duy nhất nghiệm thì hai đường thẳng trên cắt nhau TH4: hệ vô nghiệm thì hai đường thẳng trên chéo nhau
*) Nếu aa’+ bb’ + cc’ = 0 thì hai đường thẳng trên vuông góc.
10 Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:
a)
'
9
3
5 ; ' :
3
x t
y t
c)
1
2 3
e)
2 2 ; ' 3 2 '
11 Cho hai đường thẳng d và d’ có phương trình:
a) Tìm tọa độ giao điểm của d và d’
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai đường thẳng đó
12 Cho 2 đường thẳng
4 2 ; ' 3 2 '
a) Chứng minh d và d’ chéo nhau
b) Viết phương trình mặt phẳng(P) chứa d và song song d’ Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d’ và song song d Từ đó suy ra vị trí tương đối giữa (P) và (Q)
Trang 3III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GI ỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẰNG
Cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và đường thẳng d:
0 0 0
x x at
y y bt
z z ct
Xét hệ phương trình
0 0 0
1 2 3
x x at
y y bt
z z ct
Ax By Cz D
Thay (1), (2), (3) vào (4), ta có phương trình : A(x 0 + at) + B(y 0 + bt) + C(z 0 + ct) + D = 0 (*)
TH1: (*) vô nghiệm thì d và (P) không có giao điểm hay d và (P) song song
TH2: (*) có 1 nghiệm t duy nhất thì d và (P0 có 1 giao điểm hay d và (P) cắt nhau tại 1 điểm
TH3: (*) có vô số nghiệm thì d và (P) có vô số giao điểm hay d nằm trong mặt phẳng (P)
Chú ý:
1 Trong trường hợp d // (P) hoặc d P
thì VTCP của d và VTPT của (P) vuông góc
2 Khi d // (P) thì khoảng cách giữa d và (P) chính là khoảng cách từ một điểm trên d đến mặt phẳng (P)
13 Tìm số giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P):
a)
12 4
1
1
1 2
c)
1
2 3
1 3
3 5
CÁC DẠNG TOÁN VỀ ĐƯỜNG THẲNG
Dạng 1: Đường thẳng (d) đi qua A,B : (d) qua A ( hay B) và vtcp uuur
AB
Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A và song song (): ( d) qua A và a®d =®aD
Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc mp(): (d) qua A và ®a d =®n a
Dạng 4: Tìm tọa độ H là hình chiếu của M trên mp()
Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vuông góc mp() : ta có auurd =nura
Tọa độ H là nghiệm của hpt :
( )
a
ìïïï íï ïïî
d Ptr ( )
Ptr
Dạng 5: PT d’ hình chiếu của d lên :
+Trường hợp d cắt ( )a tại điểm A:
- Tìm giao điểm A của (a) và (P)
- Tìm B (a)
- Viết phương trình của đường thẳng qua B và vuông góc (P)
- Tìm giao điểm B’ của (d) và (P)
- Viết phương trình của đường thẳng AB’
Trang 4+ Trường hợp d // ( )a :
Tìm điểm M’ là hình chiếu của M lên mp( )a
d’ đi qua điểm M’ và có vectơ chỉ phương a®d' =a®d
+ Cách khác: d là hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng (P):
Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa và vuông góc với mặt phẳng (P) bằng cách:
– Lấy M .
– Vì (Q) chứa và vuông góc với (P) nên nQ a n , P
Khi đó d = (P) (Q).
VÍ DỤ: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (a): 1 1
1 2
x
.Viết phương trình hình chiếu vuông góc (a’) của (a) lên:
HD:
) 0
; 1
; 3 ( ' ) ( ) 1
; 2
; 3 ( ) 0
; 1
; 1 ( 0 1
0 1
0 )
(
y x
z Oxy
a
A
a
là hình chiếu của B lên mpOxy 0
; 1
; 2 1 : ) ' ( )
0
;
1
;
2
(
' a x t y t z
AB
b)Gọi A là giao điểm của (a) và mp(P).Tọa độ của A là :
2
3
; 2
1
; 2
1 2
3 2
1 3 0
2 3 2 1 1 1 1
1 2
1
A z
y x
z y
y x z
y x
z y
y x
B(1;-1;0)(a) Gọi (d) là đường thẳng qua B và vuông góc với (P) =>(d):x=1+2t ; y=-1-3t ; z = t;
B’ là giao điểm của (d) và (P)=>tọa độ của B’ là nghiệm của hệ :
14
3
; 14
5
; 7
4 ' 0 2 3 2
3 1
2 1
B z
y x
t z
t y
t x
(a’) là đường thẳng qua A;B’=>
t z
t y
t x
a AB
24 2 3
2 2 1
15 2 1 :
) ' ( 7
12
; 7
1
; 14
15 '
BÀI TẬP:
Viết phương trình của đường thẳng (a’) là hình chiếu của (a) lên mp(P)
1 3
9 4
x
(P):3x+5y-z-2 = 0 DS:x=8t ; y = -7t ; z =-2-11t 2)(a):x =1+2t ; y ==2+3t ; z = 3+t (P)mp(Oyz) DS: (a’) :x = 0;y = =2+3t ; z = 3+t
3)(a): x ==2+t ; y = 7-9t ; z =-2 –t (P):2x – 3y +z – 1 = 0DSa’):x = 2+t ;y = 1+t ; z = t
4)(a):x= 2t ; y = 1+2t ; z =-2+t (P):2x –y +z+4=0 DS: x=2t ; y = -6 +5t ; z= -2+t
Dạng 6 : Tìm điểm M / đối xứng với điểm M qua mp(P) :
Lập pt đt (d) đi qua điểm M và vuông góc mp(P)
Tìm toạ độ giao điểm H của đt(d) và mp(P)
Trang 5 A/ đối xứng với A qua (P) H là trung điểm của MM/ nên :
-ïï
-íï
-ïïî
/ / /
2 2 2
M
M
M
Dạng 7: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc (d 1 ),(d 2 ): =éê ùú
2
( )d A
1
qua vtcpa a , a d d
Dạng 8: Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) và cắt 2 đường thẳng d 1 , d 2
B1: Gọi A là giao điểm của đường thẳng d và d1 Þ toạ độ điểm A ( theo t)
Gọi B là giao điểm của đường thẳng d và d2 Þ toạ độ điểm B ( theo t’)
B2 : Do A Î (P) Þ t Þ A( ; ; )
Do B Î (P) Þ t’Þ B ( ; ; )
B3: Phương trình đường thẳng d :
hoÆc ìïïï
íï = ïïîuurd uuur
u
qua AB
Ví dụ:
Trong không gian Oxyz cho mp(P):y+2z = 0 và 2 đường thẳng (d): x=1+2t ; y = t ; z= 4t và (d’): x= 2-t’ ; y = 4+2t’ ; z= 1.Viết phương trình (a) nằm trong (P) và cắt cả 2 đường thẳng (d) và (d’)
HD:
t z t y t x
a AB
B P d
B A
d
A( ) (1;0;0) ( ')( ) (5;2;1) (4;2;1)( ): 14; 2;
BÀI TẬP
Viết phương trình của đường thẳng (a) năm trong mp(P) và cắt 2 đường thẳng (d) ; và (d’)
a)(P):6x+3y-13z+39 = 0 (d):x=1+t ;y=5+2t ;z =1-t (d’):x = 2; y= -3+t’ ; z= 5+2t’
b) (P):2x – 3y +6z -11 = 0 (d):x= 1+2t ; y = -1 +t ;z = 1 (d’):x=4 ;y= -5 +t’ ;z= -2 + 2t’;
c)(P):5x – 4y +2z = 0 (d):x = 2t ;a n y= 1+t ;z= 2 -2t (d’) : x= 2+t’ ;y = 3 – 3t’ ; z= 1;
d)(P):x – 9y +2z +11 = 0 (d): x= 6+t ; y= -7 -9t ;z = 3+2t (d’): 1
3 3
3 2
x
Dạng 9 : CM sự song song:
a/ Cm đt(d) // đt(d ) :/
đt(d) đi qua điểm M1(x1 , y1 , z1) và có VTCP ar =( , , )a a a1 2 3
đt(d/) đi qua điểm M2( x2 , y2 , z2) và có VTCP br =( , , )b b b1 2 3 .
Ta tính M Muuuuur1 2=(x2- x y1, 2- y z1, 2- z1).
đt(d) // đt(d/) Û a a a1: 2: 3=b b b1: 2: 3¹ (x2- x1) : (y2- y1) : (z2- z1).
b/ Cm đt(d) // mp(P) :
đt(d) đi qua điểm M1(x1 , y1 , z1) và có VTCP ar =( , , )a a a1 2 3
mp(P) : Ax + By + Cz + D = 0 có VTPT nur=( , , )A B C .
đt(d) // mp(P)
ïïï
Û íï
ïïî
r ur
0
an
Dạng 10: Viết phương trình giao tuyến (c) của 2 mp cắt nhau:
(P): A1x +B1y +C1z+D = 0 (Q): A2x +B2y +C2 z+D = 0
Phương pháp :
Cách 1: Tìm một điểm và một VTCP.
– Tìm toạ độ một điểm A d: bằng cách giải hệ phương trình
P Q
( ) ( )
(với việc chọn giá trị cho một ẩn)
Trang 6– Tìm một VTCP của d: an n P Q,
Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d, rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.
VÍ DỤ: Trong không gian Oxy z cho 2 mp(P):2x–y+z+2 = 0 và mp(Q):x+y+2z–1 = 0 Viết phương trình của giao
tuyến (c) của (P) và (Q)
HD:
)
1
;
1
;
2
(
1
n là vec tơ pháp tuyến của (P) n2 (1;1;2) là vec tơ pháp tuyến của (Q)
1 2
1 3
1
x
x y
z t
BÀI TẬP
1 Viết phương trình đường thẳng (c) là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q) sau:
a)(P):2x–y+3z +1 = 0 (Q)x-y+z+5=0 ĐS:x=4 -2t ; y=9-t z = t
b)(P): x–3y +z = 0 (Q):x+y-z +4 = 0 ĐS:x = -2+2t ; y = 2t ; z= 2+4t
c)(P): 3y-z-7=0 (Q):3x+3y-2z -17 = 0 ĐS: x= 1+t ; y= t ;z = -7 +3t
d)(P) : 3x-y+2z-7 = 0 (Q):x+3y-2z +3 = 0 ĐS: x= -2t ; y= 2 +4t ; z = 9/2 +5t
2 Trong không gian Oxy z cho 2 mp(P):2x–y+z+2 = 0 và mp(Q):x+y+2z–1 = 0 Viết phương trình của giao tuyến
(c) của (P) và (Q)
3 Viết phương trình mặt phẳng () đi qua điểm M và giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước, với:
a) M1 2 3; ; , P :2x 3y z 5 0 , Q : x3 2y5z1 0
b) M2 1 1; ; , P x y z: 4 0 , Q : x y z3 1 0
c) M3 4 1; ; , P :19x 6y 4z27 0 , Q : x42 8y3z11 0
d) M0 0 1; ; , P :5x 3y2z 5 0 , Q :2x y z 1 0
4 Viết phương trình mặt phẳng () qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời song song với mặt phẳng
(R) cho trước, với:
a) ( ) :P y2z 4 0 , ( ) :Q x y z 3 0 , ( ) :R x y z 2 0
b) ( ) :P x 4y2z 5 0 , ( ) :Q y4z 5 0 , ( ) :R 2x y 19 0
c) ( ) :P 3x y z 2 0 , ( ) :Q x4y 5 0 , ( ) :R 2x z 7 0
5 Viết phương trình mặt phẳng () qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời vuông góc với mặt phẳng
(R) cho trước, với:
a) ( ):P 2x3y 4 0 , ( ) :Q 2y 3z 5 0 , ( ) :R 2x y 3z 2 0
b) ( ) :P y2z 4 0 , ( ) :Q x y z 3 0, ( ) :R x y z 2 0
c) ( ) :P x2y z 4 0 , ( ) :Q 2x y z 5 0, ( ) :R x 2y 3z 6 0
d) ( ) :P 3x y z 2 0 , ( ) :Q x4y 5 0 , ( ) :R 2x z 7 0
6 Viết phương trình mặt phẳng () qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời cách điểm M cho trước một
khoảng bằng k, với:
a) ( ):P x y 2 0 , ( ) :Q 5x13y2z0, ( ; ; ),M 1 2 3 k2
Trang 7………