Cách nhớ: Tử số là diện tích hình bình hành, chia cho mẫu số là độ dài cạnh đáy ra chiều cao 16.. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau Trong đó.[r]
Trang 1CHƯƠNG III – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
TÓM TẮT KIẾN THỨC
1 ⃗ AB = (xB-xA; yB-yA;zB-zA);
2 AB =
zB− zA¿2
yB− yA¿2+ ¿
xB− xA¿2+ ¿
¿
√¿
3 Cho ⃗ a = (a1;a2;a3), ⃗b = (b1;b2;b3) và số thực k Thế thì:
a) ⃗a = ⃗b ⇔ a1 = b1 và a2 = b2 và a3 = b3 b) ⃗a ± ⃗b = (a1 ± b1; a2
± b2; a3 ± b3)
c) k ⃗a = (ka1;ka2;ka3) d) Tích vô hướng ⃗a ⃗b = a1b1 + a2b2 + a3b3
e) Độ dài véc tơ ⃗a là : | ⃗a | = √ a12+ a22+ a32
f) Góc giữa hai véc tơ ⃗ a và ⃗b là : cos( ⃗ a , ⃗b ) = a1b1+ a2b2+ a3b3
√ a12+ a22+ a32√ b12+ b22+ b32
g) ⃗ a ⃗b ⇔ ⃗ a ⃗b = 0 ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0
4 Tích có hướng : Cho ⃗ a = (a1;a2;a3), ⃗b = (b1;b2;b3).Thế thì ⃗ n = [ ⃗ a , ⃗b ] =
¿
a2 a3
b2 b3
¿ rli
¿ ;
¿ a3 a1
b3 b1
¿ rli
¿ ;
¿ a1 a2
b1 b2
¿
||
¿
¿
Lưu ý : Tích có hướng của 2 véctơ là một véctơ Véctơ này vuông góc với cả 2 véctơ ban đầu.
Tức là ⃗n ⃗a và ⃗n ⃗b ; ⃗a và ⃗b cùng phương ⇔ [ ⃗a , ⃗b ] = ⃗ 0
Như vậy, nếu thấy [ ⃗ a , ⃗b ] ⃗ 0 thì ⃗ a , ⃗b không cùng phương
5 Diện tích hình bình hành ABCD: S = |[ ⃗ AB , ⃗ AD ]|
Và do đó diện tích tam giác ABC : S = 1
2 |[ ⃗ AB , ⃗AC ]|
6 Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng ⇔ ⃗ AB , ⃗AC , ⃗ AD đồng phẳng ⇔ [ ⃗ AB , ⃗AC ] ⃗ AD = 0
7 A, B, C, D là 4 đỉnh của tứ diện ⇔ ⃗ AB , ⃗ AC , ⃗ AD không đồng phẳng ⇔ [ ⃗ AB , ⃗ AC ] ⃗ AD 0
8 Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là : V = |[ ⃗ AB , ⃗ AD ] ⃗ AA ' |
(Cách nhớ: Từ một đỉnh bất kỳ phát ra 3 cạnh)
Và do đó, thể tích tứ diện ABCD là : V = 1
6 |[ ⃗ AB , ⃗AC ] ⃗ AD |
9 Mặt cầu tâm I(a;b;c), bán kính R là :
(x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2 (dạng 1)
Hoặc x2 + y2 + z2 - 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (dạng 2) Với lưu ý a 2 + b 2 + c 2 – d > 0
C D
A
B C
A’
D
Trang 2Phương trình mặt cầu ở dạng 2, có tâm là I(a;b;c), bán kính R = √ a2+ b2+ c2−d
10 Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2 0
* Mặt phẳng ( α ) qua M0(x0;y0;z0) và nhận ⃗ n = (A;B;C) làm véctơ pháp tuyến (VTPT) phương trình là :
A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
* Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: Mặt phẳng ( α ) cắt 0x tại A(a;0;0), cắt Oy tại B(0;b;0) và cắt Oz tại C(0;0;c), a,b,c 0, phương trình là : x
a +
y
b +
z
c =1
* Các trường hợp riêng của mp ( α ):Ax + By + Cz +D = 0
a Khuyết D : khi đó ( α ):Ax + By + Cz = 0, mp này qua gốc O
b Khuyết A (B, C, D 0) khi đó ( α ): By + Cz + D = 0, mp này song song với Ox
c Khuyết A và B (C, D 0) khi đó ( α ): Cz + D = 0, mp này song song với mp(Oxy)
Cách nhớ: Nhìn vào phương trình thấy không có D thì mp qua O; không thấy x thì // hoặc Ox, …
11 VTTĐ của 2 mặt phẳng: Cho 2 mp
( α1 ): A1x + B1y + C1z + D1 = 0, VTPT ⃗n1 = (A1;B1;C1)
( α2 ): A2x + B2y + C2z + D2 = 0, VTPT ⃗ n2 = (A2;B2;C2)
Nếu thấy ⃗n1 = k ⃗n2 và D1 kD2 thì ( α1 )//( α2 )
Nếu thấy ⃗ n1 = k ⃗ n2 và D1 = kD2 thì ( α1 ) ( α2 )
Nếu thấy ⃗n1 k ⃗n2 thì ( α1 ) cắt ( α2 ) Đặc biệt : ( α1 ) ( α2 ) ⇔ A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0
12 Khoảng cách từ M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) đến mp ( α ):Ax + By + Cz +D = 0 là :
d(M0,( α )) = ¿ Ax0+ By0+Cz0+ D∨ ¿
√ A2+ B2+ C2
¿
13 Phương trình tham số của đường thẳng (d) :
¿
x=x0+at
y= y0+ bt
z=z0+ct
¿ { {
¿
t R
trong đó M0(x0;y0;z0) là điểm mà (d) đi qua và ⃗ a = (a;b;c) là véctơ chỉ phương (VTCP) của (d)
* Phương trình chính tắc của đường thẳng (d): x − x0
y − y0
z− z0
c (abc 0)
14 VTTĐ của 2 đường thẳng: Cho 2 đường thẳng (d):
¿
x=x0+ at
y= y0+ bt
z=z0+ct
¿ { {
¿
và (d’):
¿
x=x0'+ a't' y= y0'
+ b't'
z=z0'
+ c't'
¿ { {
¿
Từ 2 phương trình đó, ta lấy ra M0(x0;y0;z0) (d) ; M’0(x’0;y’0;z’0) (d’);
VTCP của (d): ⃗a = (a;b;c); VTCP của (d’): ⃗ a ' = (a’;b’;c’)
a Nếu thấy 3 véctơ ⃗ a , ⃗ a ' và ⃗ M0M0' cùng phương thì kết luận (d) (d’)
(Tức là [ ⃗ a , ⃗ a ' ] = ⃗ 0 và [ ⃗ a , ⃗ M0M0' ] = ⃗ 0 )
b Nếu thấy 2 véctơ ⃗ a , ⃗ a ' cùng phương và chúng không cùng phương với ⃗ M0M0' thì kết luận (d) // (d’)
(Tức là [ ⃗ a , ⃗ a ' ] = ⃗ 0 và [ ⃗ a , ⃗ M0M0' ] ⃗ 0 )
Trang 3c Nếu thấy 2 véctơ ⃗ a , ⃗ a ' không cùng phương và 3 véctơ ⃗ a , ⃗ a ' , ⃗ M0M0' đồng phẳng thì kết luận (d) cắt (d’)
(Tức là [ ⃗ a , ⃗ a ' ] ⃗ 0 và [ ⃗ a , ⃗ a ' ] ⃗ M0M0' = 0)
d Nếu thấy 3 véctơ ⃗ a , ⃗ a ' , ⃗ M0M0' không đồng phẳng thì kết luận (d) và (d’) chéo nhau
(Tức là [ ⃗ a , ⃗ a ' ] ⃗ M0M0' 0)
15 Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng Δ : d(A, Δ ) =
¿ ⃗ aΔ∨ ¿
¿ [⃗ M0A , ⃗ aΔ]∨ ¿
¿
¿
Trong đó ⃗a Δ là VTCP của Δ ; M0 là điểm thuộc Δ .
(Cách nhớ: Tử số là diện tích hình bình hành, chia cho mẫu số là độ dài cạnh đáy ra chiều cao)
16 Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau Δ 1 và Δ 2 : d( Δ 1, Δ 2) =
¿ [ ⃗ a1, ⃗ a2]∨ ¿
¿ [ ⃗ a1, ⃗ a2].⃗ M1M2∨ ¿
¿
¿
Trong đó ⃗ a 1 , ⃗ a 2 là VTCP của Δ 1 , Δ 2 và M1 Δ 1 , M2 Δ 2
(Cách nhớ: Tử số là thể tích khối hộp, chia cho mẫu số là diện tích đáy ra chiều cao hộp)
17 VTTĐ của đường thẳng và mặt phẳng:
Cho đường thẳng (d):
¿
x=x0+at
y= y0+ bt
z=z0+ct
¿ { {
¿
và mặt phẳng ( α ): Ax + By + Cz + D = 0
Từ 2 phương trình này, ta lấy ra VTCP của (d) là ⃗a = (a;b;c) và VTPT của ( α ) là ⃗n = (A;B;C)
và M0(x0;y0;z0) (d)
a Nếu thấy ⃗a ⃗n và tọa độ của M0 không thỏa mãn phương trình ( α ) thì (d) // ( α )
(Tức là Aa+Bb+Cc = 0 và Ax0 + By0 + Cz0 + D 0)
b Nếu thấy ⃗a ⃗n và tọa độ của M0 thỏa mãn phương trình ( α ) thì (d) ( α )
(Tức là Aa + Bb + Cc = 0 và Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0)
c Nếu thấy ⃗a và ⃗n không vuông góc thì (d) cắt ( α )
(Tức là Aa + Bb + Cc 0 thì (d) cắt ( α )) Đặc biệt : Nếu thấy ⃗a và ⃗n cùng phương (tức là ⃗a = k ⃗n ) thì (d) ( α )
………