Vậy với m = 3 thì hệ phương trình có nghiệm x; y và x, y là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5... Kẻ tiếp tuyến chung CD C, D là tiếp điểm và C [r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn: Toán
(Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi có 01 trang
Câu 1 (1,5 điểm)
Cho biểu thức
P
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm x nguyên dương để P nhận giá trị nguyên.
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Cho hệ phương trình
2
x y m
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) sao cho x, y là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5
b) Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn phương trình:
x y xy y
Câu 3 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình x2 x 1 x2 9x9 2 x
b) Giải hệ phương trình:
Câu 4 (3,5 điểm)
1) Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A, B Kẻ tiếp tuyến chung CD (C, D
là tiếp điểm và C thuộc (O), D thuộc (O’)) Qua B kẻ cát tuyến song song với CD cắt (O) tại E và cắt (O’) tại F Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của DA và CA với EF Gọi I là giao điểm của EC và FD Chứng minh rằng:
a) CD là đường trung trực của đoạn BI.
b) Tam giác IMN cân.
2) Cho A là điểm cố định trên đường tròn (O; R) Gọi AB và AC là hai dây cung thay đổi của đường tròn (O) thỏa mãn AB AC. R 3 Xác định vị trí của B, C trên (O)
để diện tích tam giác ABC lớn nhất.
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: 2 2 2
Chứng minh rằng:
4a b c a 4b c a b 4c 6
Hết
-ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2Họ và tên thí sinh: Số báo danh
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Trang 3SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
NĂM HỌC 2013-2014
HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN
(Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán)
Hướng dẫn chấm thi có 06 trang
I Một số chú ý khi chấm bài
Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm.
Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với biểu điểm của Hướng dẫn chấm.
Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn số.
II Đáp án và biểu điểm
Câu 1 (1,5 điểm)
Cho biểu thức
P
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm x nguyên dương để P nhận giá trị nguyên
P
1
x
1
P
Mà x (vì 1 1 x N *) nên x 1 1;2 0,25 đ
2;3 4;9
Câu 2 (2,0 điểm)
Trang 4a) Cho hệ phương trình
x y m
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) sao cho x, y là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5
b) Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn phương trình:
x y xy y
a) (1,00 đ) Từ (1) ta có x = m – 2y thay vào phương trình (2) tính được
1 5
m
y
Tiếp tục tính được
5
m
x
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất:
x y
0,25 đ
Để x, y là độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông thì
0 0
x y
1
m
0,25 đ
Do x, y là độ dài các cạnh góc vuông với cạnh huyền có độ dài bằng 5 nên
2
25
Giải phương trình tìm được m = 3 hoặc m = -4
Kết hợp điều kiện (*) ta được m = 3
Vậy với m = 3 thì hệ phương trình có nghiệm (x; y) và x, y là độ dài các cạnh
góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5
0,25 đ
b) (1,00 đ) Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn phương trình:
y 1 y 4 x y2
- Với y = 0, thay vào phương trình ban đầu ta tìm được x = 2
- Với y = 1, thay vào phương trình ban đầu ta tìm được x = - 1 (loại)
Câu 3 (2,0 điểm)
b) Giải hệ phương trình:
x y
xy x y x y
Trang 5a) (1,00 đ) Điều kiện:
2 2
1 0
x x
Vì
2
0,25 đ
t
x x
0,25 đ
2
1
0 0
5
4
t t
t t
t
0,25 đ
0
x x x= 1 Thay x = 1 vào phương trình ban đầu ta thấy
x = 1 thỏa mãn
Vậy phương trình có nghiệm x = 1.
0,25 đ
b) (1,00 đ) Giải hệ phương trình:
x y
xy x y x y
0,25 đ
Câu 4 (3,5 điểm)
1) Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A, B Kẻ tiếp tuyến chung CD (C, D
là tiếp điểm và C thuộc (O), D thuộc (O’)) Qua B kẻ cát tuyến song song với CD cắt (O) tại E và cắt (O’) tại F Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của DA và CA với EF Gọi I là giao điểm của EC và FD Chứng minh rằng:
a) CD là đường trung trực của đoạn BI
b) Tam giác IMN cân
2) Cho A là điểm cố định trên đường tròn (O; R) Gọi AB và AC là hai dây cung
để diện tích tam giác ABC lớn nhất
Trang 6ĐÁP ÁN ĐIỂM 1) (2,5 đ)
F E
A
B
I
N
C
D
M
K
a) (1,0 đ) Ta có ICD CEB (vì CD // EF); CEB DCB (cùng chắn cung CB)
ICD DCB
0,5 đ
b) (1,5 đ) Vì CD là đường trung trực của BI nên CDBI
Gọi K là giao điểm của AB và CD, chứng minh được:
Vì CD // MN nên
Từ (2) và (3) suy ra BM = BN (4)
2) (1,0 đ)
Trang 7I H
O
C
A
B
D
Kẻ AH BC OI, BC, đường kính AD
AH AC
AH AD AB AC
AB AD
0,25 đ
Mà AB AC. R 3 AB AC. 3R2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra
3 2
R
3
OI AH OA R
Do
3
2
R
AH
2
R
cân tại A
R
OI
0,25 đ
Câu 5 (1,0 điểm)
Chứng minh rằng:
4a b c a 4b c a b 4c 6
Ta có
2
0,25 đ
Trang 8
1 1 1
1
a b c
(1)
Dễ dàng chứng minh được:
1 1 1 (a b c)( ) 9 a b c 9
a b c
(2) Đặt
S
a b c a b c a b c
Sử dụng bất đẳng thức:
4a b c 3a a b c 4 3a a b c
Tương tự ta có:
0,25 đ
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được:
S
0,25 đ
Áp dụng (1), (2) vào bất đẳng thức (3) trên ta được:
S S
0,25 đ
HẾT