Tài liệu Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất pptx

Chuẩn hị cho ki thi Wt nghiệp THPT va thi vào DANG THANH HAI GV Hoe vién Phong khéng - Khéng quan, Ha Tay ai toán tìm giá trị lớn nhất GTLN, giá trị nhỏ nhất GTNN của một biểu t

Chuẩn hị

cho ki thi

Wt nghiệp THPT

va thi vào

DANG THANH HAI

(GV Hoe vién Phong khéng -

Khéng quan, Ha Tay)

ai toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN),

giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một

biểu thức hoặc một hàm số là bài

toán thường xuất hiện ở các câu ÌV, câu Ý,

trong các kì thì tuyển sinh vào Đại học và

Cao đẳng hay các kì thí học sinh giỏi các cấp

Bài viết xin trình bày một số phương pháp

cơ bản để giải các bài toán thuộc dạng này

Phương pháp 1 ƯỚC LƯỢNG GIÁ TRỊ CỦA

BIỂU THỨC HOẶC CỦA HÀM SỐ

Phương pháp này chủ yếu sử dụng các bất đẳng

thức quen thuộc (Cauchy, Bunyakovski, .)

hoặc các BĐT cơ bản để ước lượng giá trị của

biểu thức hoặc của hàm số Từ đó tìm điều

kiện xảy ra dấu đẳng thức để suy ra GTLN,

GTNN cần tìm

Thí dụ 1 Cho x, y, z là các số thực đương

thay đổi và thoả mãn điêu kiện xyz = 1 Tìm

giá trị nhỏ nhất của biểu thức

x

ytz) vies) (ety)

Loi gidi Ap dung BDT Cauchy cho hai số

đương, ta có peraaye-2]" , Từ đó x

}

ave , suy ra

eoejeze |

x(y+z) „2xx yjy+2z/z yjy+2zÝz

Xét hai BĐT tương tự nữa, ta thu được

a Nevins xjx+2jy 5|

Dat a=xvx,b=yJy c=zVaz;thi a, b,c la các số dương và abe = 1

Ta có

ma c+2a a+2b

Áp dụng BĐT Bunyakovski ta có

(a(b+2e)+b(c+24)+e(a+2ð)) x

a b b+e)”

(%5 Ta <n) 2 (asbre)!

(3)

Từ (2) suy ra P > 2

Vậy GTNN của P là 2, đạt được khi và chỉ khi

Thí dụ 2 Cho x, y, z là ba số thực đương thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Q=x 4š'z)*('2}*i*z} Lời giải Ta có

a)

Dễ thấy x?+ y?+z? > xy+JZ+zx (2)

Từ (1) và (2) ta thấy

‘i

Áp dựng BĐT Cauchy cho ba số dương ta được

2

7 3

x

Hoàn toan tuong tu ta thay O 234,3,3

222

Vay GINN cila Q 1a ': đạt được khi và chỉ

khí z=y=z=l

Phương pháp 2 XÉT CHIỀU BIẾN THIÊN

CỦA HÀM SỐ

Sử đựng công cụ đạo hàm, thiết lập bảng biến

thiên của hầm s #9) trên tập xác định của

nó, từ đó suy ra GTLN, GTNN của hàm số đó

* Thí dụ 3 Cho hai số thực x, y khác 0 thay

đổi thoả mãn điêu kiện(x+y)sy=x2+32-ap

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A

Lời giải Từ giả thiết có

xy

Dat x= , cũng từ giả thiết(x+)xy=x'+;2—»

suy ra(†+1)2 =(2 =r+l)y2,

2-31, p _ ttl

Từdó A=lLyL| -[ +2 Ÿ,

Xét hàm số/()= 65 pe

Giải PT f'(?}=0 ta duge ¢= +1

Lại có tim f()=tim 2+" | tir a6 ta 08

bang biến thiên

fo

Từ bảng biến thiên, ta có GTEN của A 1a f (1)

= 16, dat được khi và chỉ khi x = y = >

* Thí dụ 4 Cho x, y là các số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức -

ay(x-l) ty? ty (xt) +? +]y-2] Lời giải Trên mặt phẳng với hệ trục toạ độ

Oxy, xét các điểm M{(—1 + x; —y); NŒ + x: y)

Ta có OM + ON > MN, suy ra

(&- 32 SeH 2> (4492 Ji Œ)

Đẳng thức xảy ra khí và chỉ khi x = 0

Từ (1) ta có 8>2//I+y2 +|y~2| @ Xét hàm số ƒ(y)=2a/I+y° +|y—2|

Với y>2, ta có /(y)=2\[I+y? +y~2 là hàm

số đồng biến Với y < 2, ta có

Giải PT ƒ'(y)=0, ta được =F Lập bảng biến thiên của hàm số f(y):

“Từ bảng biến thiên hàm số, ta có

min = 2+3/3 ©(

fo)

fo)

Phương pháp 3 TIM MIEN GIA TRI CUA

HAM SỐ

Cho hàm số y = f(x) xéc định tren tap YCR

Để tìm GTLN, GTNN của hàm y=/(x) ta

tìm miền giá trị của y, tức là tìm điều kiện của

tham số y để phương trình y = ƒf>) (Ấn x) có

nghiệm trên tập X

Thí dụ § Cho x là số thực dương thay đổi

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

Lời giải Ta có (1) @ Jx?+tay-x

x

y>x

2yx3~y2x+I=0,

Dé tìm tập giá trị ta tìm

tất cả các giá trị của y sao cho PT (ẩn x):

2y - yx+ 1=0

có nghiệm thỏa mãn Õ < x< y (2)

Dat flx) = 2yx?-y2x41

Do Ñ0) = 1> 0; Ấy) = y'+l>0; y > 0 nên

A>0 yt -By20

Vậy tập giá trị của y là [2, +œ) Từ đó GTNN

của y là 2, đạt được khi và chỉ khi ry

*Thi du 6 Xác định các số thực a, b sao cho

® có giá trị lớn nhất bằng 4,

x4]

và giá trị nhỏ nhất bang -1

làm số y =

Lời giải Hàm số có tập xác định là Ta tìm

tập giá trị của hàm y, nghĩa là tìm tất cả giá trị

axth

của tham số y sao cho PT =y tấn x) có

x?+l

Tacé (1) < yx? -ax+ y-b=0 (2)

Nếu y = 0, thì (2) © ax+b=0, PT này có

a#0

nghiệm <= l =b=0

Nếu y z0, thì PT (2) có nghiệm A= a®—4y(y-b) 20

(Do |b|<ð?+a? nen

BS tái co bavi tat }

2 2

Từ đó suy ra tập giá trị của y là

re]

btvb? +a?

2

bxvb2+a?

—

maxy=

Vậy

miny=

Từ giả thiết đẻ bài ta tìm được (z : b) = (4; 3)

hoặc (ø; ö) = (=4; 3)

Để kết thúc bài viết, mời các bạn luyện tập

theo các phương pháp đã nêu ở trên qua các

bài toán sau

1 Cho x > y > 0 là các số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biển thức

Il

P=x+-

ax-y)

2 Xác định số thực k sao cho ham số

y= ESINEHT s4 GTNN nhỏ hơn —1

€osx+2

3 Cho x +0; y #0 là các số thực thay đổi

Tìm GTNN của biểu thức

yi y2 FB, Boys

4.Tim GILN và GTNN của hàm số

y=x+V4—x?.