Dai so 8 Chuong 1 Phep nhan va phep chia da thuc Nang cao

Chứng minh biểu thức sau không thể là lập phương của một số tự nhiên.. Đề thi HSG Toán 8_Quãng Ngãi.[r]

Chương I

PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC

1 Tính giá trị của biểu thức:

a. A x 4 2223x32223x2 2223x2223 tại x = 2222

b. B x 14  2009x132009x12 2009x11 2009 x2 2009x2009 tại x = 2008

2 Cho

123456.123457 123455.123458 987654.987655 987653.987656

A

B





3 Chứng minh (x 3)2 65x x(  6) 74 Từ đó tìm GTNN của M x x(  6) 74

4 Xác định a, b biết (x a x )( 5)x23x b với mọi x

5 a) Cho a, b là hai số tự nhiên Biết a chia cho 5 dư 3, b chia cho 5 dư 4 Chứng minh rằng ab

chia cho 5 dư 2

b) Tìm các số tự nhiên x, y sao cho (5x 3)(5y4) 516

6 Cho p là số nguyên tố, p  và thỏa mãn 2p +1 cũng là số nguyên tố 5

Chứng minh p(p + 5) + 31 là hợp số

7 Rút gọn biểu thức P 75(4199341992 4 25) 25 (Đề thi HSG Toán 8_Quận 3_HCM)

8 Cho , x y   Chứng minh rằng:

- Nếu A = 5x + y chia hết cho 19 thì B = 4x – 3y cũng chia hết cho 19.

- Nếu C = 4x + 3y chia hết cho 13 thì D = 7x + 2y cũng chia hết cho 13.

9 Viết biểu thức sau dưới dạng tổng của hai bình phương B4x2 y2 4x10y26

Khi đó, tìm x, y biết 4x2y2 4x10y26 0

10 Tính nhanh:

a A 1002 992982 972 2 2 1

b B  12 2232 42 2007 2 2008220092

c C  (2 1)(22 1)(241)(281)(216 1) 2 32

11 Chứng minh rằng các biểu thức sau dương với mọi giá trị của x:

12 Chứng minh rằng các biểu thức sau âm với mọi giá trị của x:

13 Tìm GTNN của biểu thức A4x2 x2015

Tìm GTLN của biểu thức B x25x 127

14 Cho a + b + c = 0 Chứng minh a3b3c3 3abc

15 Cho a3 3ab2  và 2 b3 3a b2 11 Tính a2b2

16 Cho a, b, c thỏa mãn a2010 b2010 c2010 a1005 1005b b1005 1005c c1005 1005a

Tính A(a b )20(b c )11(c a )2010 (Đề thi HSG Toán 8_Quận 9_HCM)

17 Cho a, b, c, d là các số nguyên thỏa a + b = c + d Chứng minh rằng a2b2c2d2 luôn là tổng của ba số chính phương (Đề thi HSG Toán 8_Quận 9_HCM)

18 Chứng minh rằng: Nếu p và q là hai số nguyên tố thỏa mãn p2  q2  p 3q thì 2 p2q2 cũng là số nguyên tố (Đề thi HSG Toán 8_Quận 1_HCM)

19 Chứng minh biểu thức sau không thể là lập phương của một số tự nhiên

3333 2222 1111

1991 1990 1989 (Đề thi HSG Toán 8_Quãng Ngãi)

20 Chứng minh hiệu các bình phương của hai số lẻ bất kì thì chia hết cho 8.

(Đề thi HSG Toán 8_Quận 1_HCM)

21 Tìm x biết:

a. 7 (x x2 2 7) 5 (7 x  x2) 0

b. (2x5)2 2(2x5)(x 1) ( x 1)2  0

22 a Cho a2b2c2 ab bc ca  Chứng minh a = b = c

b Cho a4b4c4 d4 4abcd Chứng minh a = b = c = d

23 Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác Chứng minh:

a. (a b c  )a2 ( a b c b c  )(  )2  0.

b ( a b c a b c  )(   )(a b c  )abc.

24 Tìm , x y   biết x3x2  x 1 y3

25 Cho a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0 Chứng minh a3a c abc b c b2   2  3 0

(Đề thi HSG Toán 8_Quận 1_HCM)

26 Cho A x 3y3z3 3xyz

a Chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì A = 0.

b Điều ngược lại có đúng không? (Đề thi HSG Toán 8_Quận 12_HCM)

27 Cho hai số dương a, b thỏa a100 b100 a101b101 a102b102 Tính giá trị biểu thức

2015 2015

28 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a. 9x2 y210xy 25z2

b x2 y2z2 t2 2xz2yt

c ( x2)(x3)(x4)(x5) 24

d a b c2(  )b c a2(  )c a b2(  )

29 Tìm x biết:

a x45x3 8x 40 0

b x44x3 16x 16 0

30 Tìm các số tự nhiên n sao cho 5n3 9n215n 27 là số nguyên tố

31 Cho a, b, c, d thỏa mãn a b c d a   ; 2b2 c2d2

Chứng minh rằng a2015 b2015 c2015 d2015 (Đề thi HSG Toán 8_Quận 3_HCM)

32 Chứng minh rằng đa thức x4 x y2 2 4x y2 2 4y4 không thể có giá trị là 929 với mọi số nguyên x, y

33 Chứng minh rằng (n5 n) 30 với mọi số nguyên n

Khi đó, cho a a1, , ,2 a  , n a  Đặt i 2 5 5 5

1 2 n

P a a  a và Q(a1a2 a n)5 Chứng minh rằng P30 Q30.

34 Tìm n   để (n 2 8)236 là số nguyên tố (Đề thi HSG Toán 8_Quận 9_HCM 2007)

35 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC và thỏa mãn 1 1 1 8

Chứng minh rằng tam giác ABC đều (Đề thi HSG Toán 8_Quận 1_HCM)

36 Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau luôn dương với mọi x0,y :0

(7x y  6x y 2x y ) : ( 2 x y ) 8( x1)(x 1) 10

37 Xác định đa thức dư của phép chia đa thức x49 x13 x8 cho đa thức x  2 1.

38 Tìm các số nguyên n để đa thức n36n2 7n chia hết cho đa thức n – 2.4

39 Xác định đa thức bậc ba sao cho khi chia đa thức ấy cho lần lượt các nhị thức x – 1; x – 2; x –

3 đều có số dư là 6 và tại x = - 1 thì đa thức nhận giá trị là – 18 (Đề HSG Toán 8 Quận 1)

40 Cho a2b2 c2d2 2009 và ad bc  Tính 0 ab cd .

41 Cho a2b2(a b )2 c2d2(c d )2

Chứng minh a4b4(a b )4 c4 d4 (c d ) 4

42 Cho hai đa thức P x( ) 3 x52x22011, ( ) 2Q x  x2  Gọi x 1 x x x x x là các nghiệm1, , , ,2 3 4 5 của đa thức P(x) Tính Q x Q x Q x Q x Q x ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 5

43 Cho a + b + c = 0 Chứng minh

2 2 2 2

2

44 Cho a + b + c = 0 Chứng minh a4b4c4 2(a b2 2 b c2 2c a2 2)

45 Cho a + b + c = 0 Chứng minh a4b4c4 2(ab bc ca  )2

46 Cho (a b )2 2(a2b2) Chứng minh a = b

47 Cho a + b = 1 Tính M a3b33 (ab a2b2) 6 a b a b2 2(  ).

48 Cho x + y = a và x2 + y2 = b Tính x3 + y3 theo a, b

49 Cho ba số a, b, c thỏa a b c2(  )b c a2(  )c a b2(  ) 0 Chứng minh rằng trong ba số a, b,

c phải có hai số bằng nhau

50 Chứng minh rằng nếu a3b3c3 3abc và a, b, c là các số dương thì a = b = c