Bài giảng trọng tâm Toán 10: Cung và góc lượng giác, công thức lượng giác

cos α sin α tan α 1 1 = 1 + cot2α, = 1 + tan2α 2 cos 2 α sin α Dạng 3: Giả sử biết giá trị của một biểu thức lượng giác, cần tính giá trị của các hàm số lượng giác của một góc α, ta lựa [r]

 Cung có độ dài bằng l thì có số đo rađian bằng

R

l

Từ đó, ta có các kết quả:

1. Cung tròn bán kính R có số đo α rađian thì có độ dài αR

2. Với cung tròn có độ dài l Gọiα là số đo rađian và a là số đo độ của cung đó

thì ta thiết lập được mối quan hệ giữa số đo rađian và số đo độ là

180

a

=π

π3

π2

π3

2π4

3π6

5π

π 2

3π 2π

2 Góc lượng giác và số đo của chúng

Định nghĩa: Cho hai tia Ou, Ov Nếu tia Om quay chỉ theo chiều dương (hay chỉ theo

chiều âm) xuất phát từ tia Ou đến trùng với tia Ov thì ta nói "Tia Om quét một góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov" Khi quay như thế, tia Om có thể gặp tia Ov

nhiều lần, mõi lần ta được một góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov

Do đó, với hai tia Ou, Ov có vô số góc lượng giác (một họ góc lượng giác) tia đầu

Ou, tia cuối Ov Mỗi góc lượng giác như thế đều được kí hiệu là (Ou, Ov) Như vậy:

1. Một góc lượng giác gốc O được xác định bởi tia đầu Ou, tia cuối Ov và số đo độ

(hay số đo rađian) của nó

2. Nếu một góc lượng giác có số đo a0 (hay α rad) thì mọi góc lượng giác cùng tia

đầu, tia cuối với nó có số đo dạng a0 + k3600 (hay α + 2kπ), k là một số nguyên,

mỗi góc ứng với một giá trị của k

3 cung lượng giác và số đo của chúng

Số đo của góc lượng giác (Ou, Ov) là số đo của cung UV tương ứng thì ta có kết quả:

1. Trên đường tròn định hướng, mỗi cung lượng giác được xác định bởi điểm đầu,

điểm cuối và số đo của nó

2. Nếu một cung lượng giác UV có số đo α thì mọi cung lượng giác cùng tia đầu, tia cuối với nó có số đo dạng α + 2kπ, k là một số nguyên, mỗi cung ứng với một giá trị của k

4 Hệ thức Sa − lơ

Với ba tia Ou, Ov, Ow, ta có:

sđ(Ou, Ov) + sđ(Ov, Ow) = sđ(Ou, Ow) + 2kπ, k ∈ 

II Giá trị lượng giác của một cung

1 giá trị lượng giác c ủa một cung

2 2

5 Hàm số lượng giác của các cung phụ nhau

c cotα = αα

sin

cos

d tanα.cotα = 1

e

α2cos

1 = 1 + tan2α

f

α2sin

1 = 1 + cot2α

III Công thức lượng giác

1 Công thức cộng

a cos(x + y) = cosx.cosy − sinx.siny

b cos(x − y) = cosx.cosy + sinx.siny

c sin(x + y) = sinx.cosy + cosx.siny

d sin(x − y) = sinx.cosy − cosx.siny

e tan(x + y) =

tgy.tgx1

ytanxtan

−

+

f tan(x − y) =

ytan.xtan1

ytanxtan+

xtan22

3 Công thức nhân ba

a cos3x = 4cos3x − 3cosx

b sin3x = 3sinx − 4sin3x c. tan3x =

xtan31

xtan)xtan3(

x−

c sinx + siny = 2sin

2

y

x+cos2

y

x−

e tanx ± tany =

ycos.xcos

)yxsin( ±

f cotx ± coty =

ysin.xsin

)yxsin( ±

1− b cos2x =

2

x2cos

B Phương pháp giải các dạng toán liên quan

Dạng toán 1: Biến đổi biểu thức lượng giác thành tổng

Phương pháp áp dụng

Sử dụng các công thức lượng giác, thông thường là công thức biến đổi tích thành tổng

 Chú ý: Các em học sinh cần biết rằng những phép biến đổi kiểu này là rất cần

thiết khi thực hiện các bài toán về đạo hàm và tính tích phân (thuộc kiến thức toán 12)

Thí dụ 1 Biến đổi các biểu thức sau thành tổng:

4(sin2a + sin4a − sin6a)

b Biến đổi biểu thức về dạng:

B = 1

2(cos3a + cosa).cos4a =

1

2(cos4a.cos3a + cos4a.cosa) = 1

4(cos7a + cosa + cos5a + cos3a)

 Nhận xét: Như vậy, trong thí dụ trên để thực hiện mục đích biến đổi biểu thức

về dạng tổng chúng ta đã sử dụng hai lần liên tiếp công thức biến đổi tích thành tổng Tuy nhiên, trong những trường hợp riêng cần lựa chọn hai đối tượng phù hợp để giảm thiểu độ phức tạp, chúng ta sẽ minh hoạ thông qua ví dụ sau:

Thí dụ 2 Biến đổi biểu thức sau thành tổng:

A = 8sin(a −

6

π).cos2a.sin(a +

6

π)

3

π − cos2a).cos2a

= 4.1

2.cos2a − 4cos2a = 2cos2a − 2(1 + cos4a) = −2 + 2cos2a − 2cos4a

 Nhận xét: Như vậy, trong thí dụ trên chúng ta ghép bộ đôi góc a −

Việc biến đổi biểu thức lượng giác về dạng tích phụ thuộc vào các phép biến đổi dạng:

Dạng 1: Biến đổi tổng, hiệu thành tích

Dạng 7: Sử dụng các phép biến đổi hỗn hợp

Kĩ năng biến đổi một biểu thức lượng giác về dạng tích là rất quan trong bởi nó

được sử dụng chủ yếu trong việc giải các phương trình lượng giác không mẫu mực

Thí dụ 1 Biến đổi thành tích các biểu thức sau:

x4.

 Trong cách 2, dựa nhiều vào kinh nghiệm, với mục tiêu

làm xuất hiện −1 để khử số hạng tự do của biểu thức Điều này sẽ được giải thích đầy đủ trong mục sử dụng các công thức biến đổi của cos2α

 Trong cách 3, chúng ta sử dụng tới giá trị đặc biệt của góc

lượng giác để chuyển đổi 1 thành sin

2

π, từ đó dùng công thức biến đổi tổng thành tích sẵn có

b ở câu b), lấy ý tưởng ở cách 2, cách 3 của câu a)

Các em học sinh cần ghi nhận tốt cách giải 3 để có thể nhận được một lời giải ngắn gọn

Thí dụ 2 Biến đổi thành tích biểu thức sau:

A = cosa + cos2a + cos3a + cos4a

Biến đổi biểu thức về dạng:

A = (cosa + cos3a) + (cos2a + cos4a) = 2cos2a.cosa + 2cos3a.cosa

= 2(cos2a + cos3a).cosa = 4cos5a

2 .cosa

2.cosa

 Nhận xét: Trong lời giải trên ta lựa chọn cách gom theo hiêu (hiệu hai góc

bằng nhau) do đó đương nhiên có thể nhóm:

A = (cosa + cos2a) + (cos3a + cos4a)

Ngoài ra còn có thể gom theo tổng (tổng hai góc bằng nhau)

A = (cosa + cos4a) + (cos2a + cos3a)

Chúng ta sẽ sử dụng lại ý tưởng này trong ví dụ tiếp theo

Thí dụ 3 Biến đổi thành tích biểu thức sau:

A = sina + sin2a + sin3a + sin4a + sin5a + sin6a

Ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:

Cách 1: Biến đổi biểu thức về dạng:

A = (sina + sin6a) + (sin2a + sin5a) + (sin3a + sin4a)

3

π) cos3a

2 .sin

7a2 = 8cos(a

Thí dụ 4 Biến đổi thành tích biểu thức sau:

a A = 1 + sina − cosa − sin2a

b B = 1 + (sina − cosa) − (sin2a + cos2a) + cos3a

a Biến đổi biểu thức về dạng:

A = (1 − sin2a) + (sina − cosa) = (sina − cosa)2 + (sina − cosa)

= (sina − cosa)(sina − cosa + 1)

b Biến đổi biểu thức về dạng:

B = (1 − cos2a) + sina + (cos3a − cosa) − sin2a

= 2sin2a + sina − 2sin2a.sina − 2sina.cosa

= (2sina + 1 − 4sina.cosa − 2cosa).sina = (2sina + 1)(1 − 2cosa).sina

π − cosa).sina

= −16sin(a

2 + 12

π).cos(a

2 − 12

π).sin(

 Nhận xét: Trong lời giải câu b), sở dĩ ta lựa chọn cách gom như vậy bởi nhận

thấy rằng chúng đều có chung nhân tử sina

Thí dụ tiếp theo sẽ minh hoạ cho Dạng 2 − Biến đổi tích thành tổng

Thí dụ 5 Biến đổi thành tích biểu thức sau:

A = 2cosa.cos2a.cos3a − 2sina.sin2a.sin3a − 1

Biến đổi biểu thức về dạng:

A = (cos3a + cosa).cos3a + (cos3a − cosa).sin3a − 1

= cos23a + cos3a.cosa + cos3a.sin3a − sin3a.cosa − 1

= (cosa + sin3a)cos3a − sin3a.cosa − sin23a

= (cosa + sin3a)cos3a − (cosa + sin3a)sin3a

= (cosa + sin3a)(cos3a − sin3a) sin3a sin a 2cos 3a

 Nhận xét: Như vậy, để thực hiện biến đổi thành tích của biểu thức trên, trước

tiên chúng ta cần thực hiến biến đổi các biểu thức tích thành tổng, rồi sau đó ghép các cặp đôi thích hợp để làm xuất hiện nhân tử chung Thí dụ tiếp theo sẽ minh hoạ Dạng 3 − Lựa chọn phép biến đổi cho cos2x

Thí dụ 6 Biến đổi thành tích biểu thức A = 2cos3a + cos2a + sina

Biến đổi biểu thức về dạng:

A = 2cos3a + 2cos2a − 1 + sina = 2(cosa + 1).cos2a + sina − 1

= 2(cosa + 1)(1 − sin2a) + sina − 1 = (1 − sina)[2(cosa + 1)(1 + sina) − 1]

= (1 − sina)[1 + 2sina.cosa + 2(sina + cosa)]

= (1 − sina)[(sina + cosa)2 + 2(sina + cosa)]

= (1 − sina)(sina + cosa)(sina + cosa + 2)

 Nhận xét: Trong lời giải trên:

1 Sở dĩ chúng ta lựa chọn phép biến đổi:

cos2a = 2cos2a − 1 bởi 2 nhân tử còn lại là 2cos3a (cos có hệ số 2) và sina (sin có hệ

cos2a = cos2a − sin2a

4 Đôi khi việc gom các toán tử trong đầu bài nhằm tăng độ phức tạp của bài toán Khi đó, để tiện cho việc cân nhắc lựa chọn phép biến đổi các em học sinh hãy chuyển biểu thức về dạng đơn Cụ thể ta xem xét ví dụ sau:

Thí dụ 7 Biến đổi thành tích biểu thức sau:

A = 4sin2a − 3cos2a − 3(4sina − 1) − 6sin2a

Biến đổi biểu thức về dạng:

A = 4sin2a − 3cos2a − 12sina + 3 − 6sin2a

= 4sin2a − 3(1 − 2sin2a) − 12sinx + 3 − 6sin2a

= 8sina.cosa − 12sina = 4(2cosa − 3)sina

 Nhận xét: Trong lời giải trên, khi chuyển biểu thức về dạng đơn, ta lựa chọn

phép biến đổi cos2a = 1 − 2sin2a bởi khi đó sẽ khử được số hạng

tự do và cùng với nhận xét các toán tử còn lại đều chứa sina Thí dụ tiếp theo sẽ minh hoạ Dạng 4 − Phương pháp luận hệ số

Thí dụ 8 Biến đổi thành tích các biểu thức:

a A = 5sin3a − 3sin5a

b B = 3(cota − cosa) − 5(tana − sina) − 2

a Biến đổi biểu thức về dạng:

A = 2sin3a − 3(sin5a − sin3a) = 2(3sina − 4sin3a) − 6cos4a.sina

= (3 − 4sin2a − 3cos4a).sina = [3 − 2(1 − cos2a) − 3(2cos22a − 1)].sina

= (3cos22a − cos2a − 2).sina = (3cos2a + 2)(cos2a − 1).sina

b Biến đổi biểu thức về dạng:

B = 3(cota − cosa + 1) − 5(tana − sina + 1)

= 3(

asin

acos − cosa + 1) − 5(

acos

asin − sina + 1)

=

asin

)asinacos.asina(cos

acos

)acosacos.asina(sin

= (sina + cosa − sina.cosa)(

asin

3 −

acos

5)

 Nhận xét: Trong lời giải trên:

1 Với câu a), các em học sinh cũng có thể sử dụng phương pháp tách dần:

sin3a = 3sina − 4sin3a, sin5a = sin(a + 4a) = sina.cos4a + cosa.sin4a

= sina.cos4a + 2cosa.cos2a.sin2a

= sina.cos4a + 4cos2a.cos2a.sina

Ngoài ra, không sử dụng cách tách:

A = 2sin5a − 5(sin5a − sin3a) bởi chúng ta chỉ có công thức cho sin3a còn sin5a không có

2 Với câu b), việc lựa chọn cách tách 2 = 5 − 3 được đề xuất khá

tự nhiện bởi hai biểu thức đã được gom trước

Thí dụ 9 Biến đổi thành tích các biểu thức:

a A = 9sina + 6cosa − 3sin2a + cos2a − 8

b B = 2sin2a − cos2a − 7sina − 2cosa + 4

a Biến đổi biểu thức về dạng:

A = 9sina + 6cosa − 6sina.cosa + 2cos2a − 1 − 8

= 9sina − 9 + 6cosa − 6sina.cosa + 2cos2a = 9(sina − 1) − 6cosa(sina − 1) + 2cos2a = 9(sina − 1) − 6cosa(sina − 1) − 2(sin2a − 1)

= (sina − 1)(9 − 6cosa − 2sina − 2) = (sina − 1)(7 − 6cosa − 2sina)

b Biến đổi biểu thức về dạng:

B = 4sina.cosa − 2cosa − (1 − 2sin2a) − 7sina + 4

= 4sina.cosa − 2cosa + 2sin2a − 7sina + 3

= 2cosa(2sina − 1) + (2sina − 1)(sina − 3) = (2sina − 1)(2cosa + sina − 3)

 Nhận xét: Trong lời giải trên:

1 Với câu a), chúng ta sử dụng ý tưởng đưa biểu thức lượng giác

về cùng một cung và ở đó lựa chọn cos2a = 2cos2a − 1 bởi cần

có sự kết hợp −1 với −8 để có được hệ số tương ứng với 9sina,

từ đó xuất hiện cách nhóm các nhân tử

2 Với câu b), các em học sinh nếu chưa có kinh nghiệm thì tốt nhất là thực hiện phép thử với các cách biến đổi của cos2a

Thí dụ tiếp theo sẽ minh hoạ Dạng 5 − Phương pháp hằng số biến thiên

Thí dụ 10 Biến đổi thành tích biểu thức sau:

a A = sina.cosa + m(sina + 2cosa) + 2m2

a Viết lại A dưới dạng:

A = 2m2 + (sina + 2cosa)t + sina.cosa

khi đó A là một tam thức bậc hai theo m có:

∆m = (sina + 2cosa)2 − 8sina.cosa = (sina − 2cosa)2,

2 − 1)(12sin2a + 1)

 Nhận xét: Lời giải của thí dụ trên minh hoạ cho ý tưởng của phương pháp

hằng số biến thiên, lẽ đương nhiên chúng ta có thể thực hiện phép

nhóm một cách thích hợp để có được các kết quả đó, cụ thểvới câu a) ta có:

A = sina.cosa + m.sina + 2m.cosa + 2m2

= (cosa + m).sina + 2m(cosa + m) = (cosa + m)(sina + 2m)

và chúng ta nhận thấy công việc đó đơn giản hơn nhiều so với những lập luận trong lời giải trên, xong đây luôn là ý tưởng hay để sử dụng cho việc giải các phương trình đại số cũng như lượng giác

Thí dụ tiếp theo sẽ minh hoạ Dạng 6 − Phương pháp nhân

Thí dụ 11 Biến đổi thành tích biểu thức sau:

a2

⇔ A = (5cos2a + cosa − 1)(cosa − 1)sina

2

b Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu a = 2kπ, k ∈  thì:

sina = sin2a = = sinna = 0 ⇒ S = 0

Trường hợp 2: Nếu a ≠ 2kπ, k∈ thì nhân cả hai vế của biểu thức với 2sin

2

a, ta được: 2Asin

a

3 − cos

2

a5 + + cos

2

a)1n( − − cos

2

a)1n( +

= cos2

a − cos

2

a)1n( + = 2sin

2

na.sin

2

a)1n( +

⇔ A =

2

asin2

a)1n(sin2

na

 Nhận xét: Như vậy, chúng ta đã được làm quen với 6 phương pháp biến đổi

tổng thành tích, cuối cùng chúng ta minh hoạ thêm một thí dụ cho

phương pháp sử dụng các phép biến đổi hỗn hợp

Thí dụ 12 Biến đổi thành tích các biểu thức sau:

a A = cos4a − cos2a + 2sin6a b B = cos2a + cos3a + 2sina − 2

a Ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:

Cách 1: Biến đổi biểu thức về dạng:

A = cos4a − cos2a + sin2a + 2sin6a = (cos2a − 1)cos2a + sin2a + 2sin6a

= −sin2a.cos2a + sin2a + 2sin6a = (1 − cos2a)sin2a + 2sin6a

= sin4a + 2sin6a = (2sin2a + 1).sin4a

Cách 2: Biến đổi biểu thức về dạng:

A = cos4a − (2cos2a − 1) + 2sin6a = (cos4a − 2cos2a + 1) + 2sin6a

= (1 − cos2a)2 + 2sin6a = sin4a + 2sin6a = (2sin2a + 1).sin4a

b Biến đổi biểu thức về dạng:

B = (1 + cosa)cos2a − 2(1 − sina) = (1 + cosa)(1 − sin2a) − 2(1 − sina)

= [(1 + cosa)(1 + sina) − 2](1 − sina)

= (cosa + sina + sina.cosa − 1)(1 − sina)

 Nhận xét: Như vậy, để chuyển đổi các biểu thức trên về dạng tích chúng ta

đã thực hiện phép nhóm dần

Thí dụ 13 Biến đổi thành tích biểu thức sau:

A = (2sina + 1)(3cos4a + 2sina − 4) + 4cos2a − 3

Ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:

Cách 1: Biến đổi biểu thức về dạng:

A = (2sina + 1)(3cos4a + 2sina − 4) − 3 + 4(1 − sin2a)

= (2sina + 1)(3cos4a + 2sina − 4) − 4sin2a + 1

= (2sina + 1)(3cos4a + 2sina − 4 − 2sina + 1) = (2sina + 1)(3cos4a − 3)

Cách 2: Biến đổi biểu thức về dạng:

A = 3cos4a.(2sina + 1) + (2sina + 1)(2sina − 4) + 4cos2a − 3

= 3cos4a.(2sina + 1) + 4sin2a − 6sina − 4 + 4cos2a − 3

= 3cos4a.(2sina + 1) − 3(2sina + 1) = (2sina + 1)(3cos4a − 3)

Thí dụ 14 Biến đổi thành tích các biểu thức sau:

a A = cos23a + cos22a − sin2a

b B = sin23a − cos24a − sin25a + cos26a

Dạng toán 3: Chứng minh đẳng thức lượng giác

Phương pháp áp dụng

Sử dụng hệ thức cơ bản và các hệ quả để thực hiện phép biến đổi tương đương

Ta lựa chọn một trong các hướng biến đổi sau:

VP hoặc VP ⇒ VT) Khi đó:

 Nếu xuất phát từ vế phức tạp ta cần thực hiện việc đơn giản biểu thức

 Nếu xuất phát từ vế đơn giản ta cần thực hiện việc phân tích

Hướng 3: Biến đổi một đẳng thức đã biết là luôn đúng thành đẳng thức cần

1(1 − cos4x); sin22x = 4sin2x.cos2x

Tuỳ theo mỗi bài toán, ta lựa chọn công thức thích hợp để biến đổi

Thí dụ 1 Chứng minh các đẳng thức sau:

a sin(a + b).sin(a − b) = sin2a − sin2b = cos2b − cos2a

b cos(a b) cot a.cot b 1

cos(a b) cot a.cot b 1

VT = (sina.cosb + sinb.cosa)(sina.cosb − sinb.cosa)

= sin2a.cos2b − sin2b.cos2a = sin2a(1 − sin2b) − sin2b(1 − sin2a)

= sin2a − sin2b = 1 − cos2a − 1 + cos2b = cos2b − cos2a − đpcm

2[(1 − sin2b) − (1 − 2sin2a)] = sin2a − sin2b

Cách 3: (Hướng dẫn): Sử dụng công thức hạ bậc để biến đổi VP, sau đó sử dụng công

thức biến đổi tổng thành tích

b Ta có:

VT =

bsin.asinbcos.acos

bsin.asinbcos.acos

−

bsin.asin

bsin.asinbsin.asin

bcos.acos

bsin.asin

bsin.asinbsin.asin

bcos.acos

−

+

= cot a.cot b 1cot a.cot b 1

+

−

 Chú ý: Ví dụ tiếp theo chúng ta sẽ sử dụng phép biến đổi hạ bậc, theo hai hướng:

Hướng 2: Hạ bậc toàn cục, tức là dựa trên hằng đẳng thức đại số:

4

3

b cos3x.sin3x + sin3x.cos3x =

4

3sin4x

xcos1

1cos22x =

2

1 + 2

1.2

x4cos

1+

= 4

3 + 4

1cos4x

Cách 2: (Sử dụng phép hạ bậc toàn cục): Ta có:

VT = sin4x + cos4x = (sin2x + cos2x)2 − 2sin2x.cos2x

= 1 −

2

1.sin22x = 1 −

2

1.2

xcos

1−

= 4

3 + 4

1cos4x

b Ta lựa chọn một trong hai cách:

Cách 2: (Sử dụng phép hạ bậc đối xứng): Ta có:

VT = sin2x.sinx.cos3x + cos2x.cosx.sin3x

= (1 − cos2x).sinx.cos3x + (1 − sin2x).cosx.sin3x

= sinx.cos3x + cosx.sin3x − (cosx.cos3x + sinx.sin3x)sinx.cosx

4

3sin4x

 Nhận xét: Như vậy, thí dụ trên đã minh hoạ sự khác biệt trong việc lựa chọn

các phép hạ bậc khác nhau để chứng minh một đẳng thức lượng giác Và ở đó, các em dễ so sánh tính hiệu quả của phép hạ bậc

đơn đối với những biểu thức khác nhau

Để tăng độ khó bài toán trên thường được mở rộng như sau:

1 Với câu a), có thể là "Tính giá trị của biểu thức sin4x + cos4x

= "

2 Với câu b), có thể là "Tính giá trị của A = cos3x.sin3x + sin3x.cos3x

Thí dụ 3 Chứng minh các đẳng thức sau:

a sin3x.(1 + cotanx) + cos3x.(1 + tanx) = sinx + cosx

b sin3x − 2sin33x + cos2x.sinx = cos5x.sin4x

a Ta có:

VT = sin2x.(sinx + cosx) + cos2x.(cosx + sinx)

= (sin2x + cos2x)(cosx + sinx) = sinx + cosx, đpcm

2

1(sin9x − sinx) = cos5x.sin4x, đpcm

 Chú ý: Ví dụ tiếp theo chúng ta sử dụng một đẳng thức luôn đúng để suy ra

đẳng thức cần chứng minh

Thí dụ 4 Cho x + y + z = π, chứng minh rằng:

tanx + tany + tanz = tanx.tany.tanz

− = − tanz ⇔ tanx + tany = − tanz + tanx.tany.tanz

⇔ tanx + tany + tanz = tanx.tany.tanz

 Nhận xét: Thí dụ trên được trình với mục đích để các em học sinh tiếp cận với

bài toán chứng minh đẳng thức lượng giác có điều kiện và nó được thực hiện bằng việc xuất phát từ biểu thức điều kiện để suy ra đẳng thức cần chứng minh, tuy nhiên đây không phải là đường lối chung cho mọi dạng toán như vậy

Thí dụ 5 Cho sinx + siny = 2sin(x + y), với x + y ≠ kπ, k ∈  Chứng minh rằng:

sinx + siny = 2sin(x + y) ⇔ 2sinx y

2

+.cosx y2

− = 4sinx y

2

+.cosx y2

actan x.tan y

[a.sin(x + y) + b cos(x + y)]sin(x + y) = c[1 − cos2(x + y)] = c.sin2(x + y)

⇔ a.sin(x + y) + b cos(x + y) = c.sin(x + y) ⇔ b cos(x + y) = (c − a).sin(x + y)

Biến đổi biểu thức về dạng:

A = cos10x + 1 + cos8x − cosx − 2(4cos33x − 3cos3x)cosx

= 2cos9x.cosx + 1 − cosx − 2cos9x.cosx = 1 − cosx

 Nhận xét: Như vậy, để rút gọn các biểu thức trên chúng ta sử dụng công thức

hạ bậc dựa trên ý tưởng chủ đạo là biến đổi nó về dạng tổng

Thí dụ 2 Rút gọn các biểu thức:

sin

1 + tanα.cotα =

α

α2

2sin

cos + 1 =

α

α+α2

2 2

sin

sincos

=

α2sin

1

 Nhận xét: Như vậy, để rút gọn các biểu thức trên chúng ta chỉ việc sử dụng

mối liên hệ giữa các góc đặc biệt

Thí dụ 3 Rút gọn biểu thức:

A =

xcosxcosxcos

xsinxsinxsin

++

++

Ta lần lượt có:

sinx + sin3x + sin5x = sinx + sin5x + sin3x

= 2sin3x.cos2x + sin3x = sin3x(2cos2x + 1) (1) cosx + cos3x + cos5x = cosx + cos5x + cos3x

= 2cos3x.cos2x + cos3x = cos3x(1cos2x − 1) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

A =

xcos

xsin

= tan3x

 Nhận xét: Đương nhiên, chúng ta có thể trình bày theo kiểu biến đổi đồng

thời TS và MS Cách trình bày như trên có tính minh hoạ để các

em học sinh lấy nó áp dụng cho những biểu thức mà độ phức tạp trong các phép biến đổi cho TS và MS khác nhau

2cos x.sin xcos2x =

sin 2xcos2x = tan2x

sin 4x = −2sin24x.

cos4xsin 4x = −2 sin4x.cos4x = −sin8x

 Nhận xét: Như vậy, để rút gọn các biểu thức hỗn hợp chứa sin, cos và tan, cot

như trên chúng ta thường chuyển đổi tan, cot theo sin, cos

Thí dụ 5 Rút gọn các biểu thức:

a A = sin2a + sin22a + + sin2na

b B =

a2sin.asin

a3sin.a2sin

1 + +

a)1nsin(

.nasin

nasin.a)1n

nasin.a)1ncos( +

b Nhân cả hai vế của biểu thức với sina, ta được:

B.sina =

a2sin.asin

asin

+

a3sin.a2sin

asin

+ +

a)1nsin(

.nasin

asin+ =

a2sin.asin

)aa2sin( − +

a3sin.a2sin

)a2a3sin( − + +

a)1nsin(

.nasin

]naa)1nsin[(

+

−+ = cota − cot2a + cot2a − cot3a + … + cotna − cot(n + 1)a

= cota − cot(n + 1)a =

a)1nsin(

.asin

nasin+

⇔ B =

a)1nsin(

.asin

nasin

Thí dụ 6 Rút gọn biểu thức A = sin1a +

a2sin

1 + +

a2sin

a2cosa2cos1

a2cos1k

k

a2sin

a2cosk k

=

a2cos.a2sin2

a2cos2

1 k 1

k

1 k 2

a3cos.a2cos

1 + +

a)1ncos(

.nacos

1+ Thật vậy, nếu nhân cả hai vế của đẳng thức với cosa, ta được:

B.cosa =

a2cos.acos

acos

+

a3cos.a2cos

acos

+ +

a)1ncos(

.nacos

acos+ =

a2cos.acos

)aa2cos( −

+

a3cos.a2cos

)a2a3cos( −

+ +

a)1ncos(

.nacos

]naa)1ncos[(

+

−+

= 1 + tana.tan2a + 1 + tan2a.tan3a + + 1 + tanna.tan(n + 1)a = n + tana.tan2a + tan2a.tan3a + + tanna.tan(n + 1)a

Tuy nhiên, có thể sử dụng sina để nhận được lời giải độc lập

Thí dụ 8 Rút gọn biểu thức A = tana + 21tan

x sin x

xsin

xcos

2 = 2cot2x ⇔ tanx = cotx − 2cot2x

1cot2

a

− Cộng theo vế các đẳng thức trên, ta được A = n

+

= 2cos x22sin x.cos x = cotx

 Chú ý: Người ta có thể sử dụng kết quả của ví dụ trên để tạo ra những yêu

cầu khá thú vị, để minh hạo ta xét đòi hỏi:

“Cho t ∈ [−1; 1]\{0} và thoả mãn tanx =

t 1 t 1

t 1 t 1

−

− +

− +

+ − = t

 Chú ý: Trong các bài toán thi chúng ta thường gặp phải yêu cầu " Chứng minh

đẳng thức lượng giác độc lập với biến số"

Thí dụ 10 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

2

3(sin2x + cos2x) =

2

3 Vậy, biểu thức A không phụ thuộc vào x

= 1 + cos2x +

2

1[cos(2x +

3

2π) + cos(2x −

3

2π)]

Thí dụ 11 Xác định a ∈ (0; 2π) để biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

A = cosx + cos(x + 2a) + cos(x + 4a) + cos(x + 6a)

Ta biến đổi:

A = cosx + cos(x + 6a) + cos(x + 2a) + cos(x + 4a)

= 2cos(x + 3a).cos3a + 2cos(x + 3a).cosa = 2(cos3a + cosa)cos(x + 3a)

Để biểu thức không phụ thuộc vào x điều kiện là:

cos3a + cosa = 0 ⇔ cos3a = cos(π − a) = 0

⇔ 





π + + π

=

π +

− π

=

k a a

3

k a a

−

=

π+π

=

k2a

2

k4

2 , 0 (

π biểu thức không phụ thuộc vào x

Dạng toán 5: Tính giá trị của hàm số lượng giác, biểu thức lượng giác

Phương pháp áp dụng

Ta sử dụng hệ thức cơ bản và các hệ quả:

Dạng 1: Ta sử dụng các hệ quả trong bảng giá trị lượng giác của các cung đặc

biệt hoặc bằng việc biểu diễn góc trên đường tròn đơn vị

Dạng 2: Nếu biết giá trị của một trong bốn hàm số lượng giác để tính giá trị của các

hàm số còn lại chúng ta cần thực hiện theo các bước:

Bước 1: Xác định dấu của chúng

Bước 2: Sử dụng các công thức:

sin2α + cos2α = 1 tanα =

α

αcos

sin , cotα =

α

αsin

cos hoặc cotα =

αtan

1

α2sin

1 = 1 + cot2α,

α2cos

1 = 1 + tan2α

Dạng 3: Giả sử biết giá trị của một biểu thức lượng giác, cần tính giá trị của các

hàm số lượng giác của một góc α, ta lựa chọn một trong các hướng sau:

lượng giác rồi thực hiện phép đặt ẩn phụ (nếu cần) để giải một phương trình đại số

Dạng 4: Giả sử biết giá trị của một biểu thức lượng giác (ký hiệu (1)), cần tính

giá trị của biểu thức lượng giác khác (ký hiệu (2)), ta lựa chọn một trong các hướng sau:

Hướng 1: Biếu đổi (1) rồi thay vào (2)

Hướng 3: Biếu đổi đồng thời (1) và (2) dẫn tới biểu thức trung gian (3)

Thí dụ 1 Trên đường tròn lượng giác cho điểm M xác định bởi sđAM = α (0 < α <

2

π)

Gọi M1, M2, M3 lần lượt là điểm đối xứng của M qua trục Ox, Oy và gốc toạ độ Tìm số đo các cung AM1, AM2, AM3

π −

2

C

B+ suy ra:

C

B+] = cos

2

C

B+, cos2

A = cos[

2

π − 2

C

B+] = sin

2

C

B+,

C

B+] = cot

2

C

B+, cot2

A = cot[

2

π − 2

C

B+] = tan

2

C

B+

Thí dụ 2 Tính các giá trị lượng giác của góc α nếu:

2

3π