Bài tập tích phân liên quan đến phương trình hàm ẩn ôn thi THPT môn Toán

TÍCH PHÂN LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH HÀM ẨN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1.. TÍCH PHÂN LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH HÀM ẨN.[r]

f (x) dx +

bZ

a

f (x) dx +

bZ

ag(x) dx

a

f (t) dt =

bZ

u(a)

f (u) du, u = u(x)

Phương pháp đổi biến số thường được sử dụng theo hai cách sau đây:

Giả sử cần tính

bZ

ag(x) dx Nếu ta viết được g(x) dưới dạng f (u(x)) u(x) thì

bZ

ag(x) dx =

f (x) dx Đặt x = x(t) thỏa mãn α = x(a), β = x(b) thì

βZ

α

f (x) dx =

bZ

a

f (x(t)) x(t) dt =

bZ

ag(t) dt

f [u(x)] · u(x) dx =

u(b)Z

a

f (x) dx +

bZ

−1

f (x) dx

B2: Nhân cả hai vế của phương trình với x, rồi sử dụng tích phân hai vế để tính

1Z

0

f (x) dx

B3: Kết luận

◦Z

(∗) ⇒

1Z

−1

x2f (x3) dx +

1Z

−1

xf 1 − x2
dx =

1Z

−1

f (t) dt − 1

2

◦Z

−1

f (t) dt + 0 = −4

3 ⇔

1Z

−1

f (t) dt = −4 ⇔

1Z

−1

f (x) dx = −4

x2f (x3) dx +

1Z

0

xf 1 − x2
dx =

1Z

0

f (t) dt − 1

2

◦Z

0

f (t) dt = −5

8 ⇔

1Z

0

f (t) dt = −3

4 ⇔

1Z

−1

f (x) dx =

1Z

−1

f (x) dx −

1Z

0

f (x) dx = −13

4 Cách 2: Bậc cao nhất vế phải là x10, bậc cao nhất vế phải là x.f (x3) Kết luận: f (x) bậc 3 vìx.(x3)3 = x10.

Hệ số của bậc cao nhất vế phải là −1 Kết luận: Hệ số của bậc cao nhất vế trái là −1

−1

f (x) dx = −13

4 Chọn phương án B

Câu 1 Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R thỏa mãn 3f (x) + f (2 − x) = 2(x − 1)ex2−2x+1+ 4.Khi đó I =

2Z

0

f (x) dx bằng

Lời giải.

0[3f (x) + f (2 − x)] dx =

2Z

0

î2(x − 1)ex2−2x+1+ 4ó dx

⇔ 3

2Z

0

f (x) dx +

2Z

0

f (2 − x) dx =

2Z

02(x − 1)ex2−2x+1dx + 4

2Z

0dx

⇔ 3

2Z

0

f (x) dx −

2Z

0

f (2 − x)d(2 − x) =

2Z

0

ex2−2x+1d x2− 2x + 1
+ 8

⇔ 3

2Z

0

f (x) dx +

2Z

0

f (x) dx = ex2−2x+1

2

0+ 8

⇔ 4

2Z

0

f (x) dx = 8 ⇔

2Z

1dx

⇔

eZ

1

1

xf (ln x) dx +

eZ

1

f (ln x)d(ln x) −

eZ

1

f (1 − ln x)d(1 − ln x) = e − 1 (∗∗)

Đặt t = ln x Đổi cận

x

= e → t = 1x= 1 → t = 0

f (x) dx −

1Z

0

f (1 − t)d(1 − t) = e − 1

⇔

1Z

0

f (x) dx +

1Z

0

f (x) dx = e − 1

⇔

1Z

0

f (x) dx = e − 1

2 .Chọn phương án A

Câu 3 Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R\ {0; −1} thỏa mãn

2 Chọn phương án B

Câu 4 Cho hàm số y = f (x)có đạo hàm liên tục trên R Biếtf (1) = evà (x + 2) · f (x) = x · f (x) − x3với ∀x ∈R Tính

1Z

0

f (x) dx

−x2dx +



1 + 1e



1Z



1Z





e −

1Z

02xexdx



1Z

0xd(ex)

= 2

3 + e − 2



1 + 1e





e −

1Z

[e − (e − 1)] = −4

3 + e −

2

e.Chọn phương án D

Câu 5 Cho hàm sốy = f (x)liên tục trên R\{0}và thỏa mãn2f (3x)+3f

2x



= −15x

2 ,

9Z

3

f (x) dx =

2019 Tính I =

3 2Z

1 2

f1x

dx

1f

2t

dt

Mà 2f (3x) + 3f

2x



= −5t

2 − 2

3f (3t)

t dt − 13

3Z

1

f (3t) dt = −5 − 1

3

3Z

= 3 ⇒ u = 9t = 1 ⇒ u = 3

Khi đó I = −5 − 1

9

9Z

Câu 6 Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R\ {0} và thỏa mãn 2f (2x) − f

1x



= x2,2

Z

1

xf (x) dx = 5 Giá trị

2Z

1

f2x

1

−

2Z

1

f (x) dx ⇔ 5 = 2f (2) − f (1) −

2Z

2Z

1

f (x) dx = 2f (2) − f (1) − 5 = −4 ⇒

1Z

1 2

f (2x) dx = 1

2

2Z

1

f (x) dx = −2

Lại có 2f (2x) − f

1x



= x2⇒ 2

1Z

1 2

f (2x) dx −

1Z

1 2

f

1x



dx =

1Z

1 2

x2dx ⇔ 2 · (−2) −

1Z

1 2

f

1x



dx = 724

1

f2x



dx =

1Z

2

f (t) ·−2

t2 dt = 2

1Z

1 2

f1x



dx =

1Z

2

f (u) · −1

u2 du =

1Z

2

f (t) ·−1

t2 dt = −103

24 .

2x



dx = 2 ·



−10324



= −103

12 Chọn phương án D

Câu 7 Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] đồng thời thỏa mãn f (0) = 9 và9f (x) + [f (x) − x]2 = 9 Tính T = f (1) − f (0)

0

= 9 ln 2 + 1

2 Chọn phương án C

Câu 8 Cho hàm số f (x) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 2] Biết f (0) = 1 và

f (x) · f (2 − x) = e2x2−4x, với mọi x ∈ [0; 2] Tính tích phân I =

2Z

0

−

2Z

0

3x2− 6x

· ln[f (x)] dx =

2Z

06x − 3x2
· ln[f (x)] dx (1)

23(2 − t)t · ln[f (2 − t)] dt =

2Z

06t − 3t2
· ln[f (2 − t)] dt

Vì tích phân không phụ thuộc vào biến nên I =

2Z

06x − 3x2
· ln[f (2 − x)] dx (2)

Cộng 2 vế của (1) và (2), ta được 2I =

2Z

06x − 3x2
· (ln[f (x)] + ln[f (2 − x)]) dx

Hay I = 1

2

2Z

06x − 3x2
· (ln[f (x)] + ln[f (2 − x)]) dx(∗∗)

Thế (∗) vào (∗∗), ta có I = 1

2

2Z

0

6x − 3x2
· 2x2− 4x
dx = −16

5 Chọn phương án B

Câu 9 Cho hàm sốf (x) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên (0; +∞)thỏa mãn f (2) = 1

15

và f (x) + (2x + 4)f2(x) = 0 Biết

1Z

1Z

f (x) dx =

0Z

−1

x3+ x + 1
dx = 1

4 Chọn phương án C

Câu 11 Cho hàm số f (x) liên tục trên R và biết

π 4Z

0

f (tan x) dx = 4,

1Z

1Z

0

x2f (x)

x2+ 1 dx =

π 4Z

0

tan2t · f (tan t)tan2t + 1 tan

2t + 1
dt =

π 4Z

0tan2t · f (tan t) dt

=

π 4Z

0

 1cos2t − 1· f (tan t) dt =

π 4Z

0

f (tan t)cos2t dt −

π 4Z

0

f (x) dx Vậy

1Z

Hàm số y = f (x) đồng biến trên (0; +∞) nên suy ra f (x) ≥ 0, ∀x ∈ (0; +∞).

Mặt khác y = f (x) liên tục, nhận giá trị dương trên (0; +∞) nên.

[f (x)]2= (x + 1)f (x) ⇒ f (x) =p(x + 1)f (x), ∀x ∈ (0; +∞)

⇒ pf (x)

f (x) =

p(x + 1), ∀x ∈ (0; +∞);

3

p(x + 1)3+ C;

Từ f (3) = 2

3 suy ra C =

…2

3 −8

3 Như vậy f (x) =

Ç13

p(x + 1)3+

…2

3− 83

å2 Bởi thế:

f (8) =

Ç

13

p(8 + 1)3+

…2

3 −83

3 − 83

3− 83

å4 Chọn phương án A

Câu 13 Cho hàm số y = f (x) liên tục, không âm trên R thỏa mãn f (x) · f (x) = 2x»(f (x))2+ 1

và f (0) = 0 Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = f (x) trên đoạn [1; 3] lần lượt là

π 2Z

Bài ra f (0) = 0 và f (x) + f

π

2 − x= sin x · cos x nên f (0) + f

π2



= 0 ⇔ f

π2



= 0

x · f (x) dx =

π 2Z

0xd[f (x)] = [xf (x)]

π 2

0cos xf (x) dx +

π 2Z

0cos2x dx = 0 ⇔

π 2Z

0[f (x) − cos x]2 dx = 0

Suy ra f (x) = cos x, do đó f (x) = sin x + C Vì f (0) = 0 nên C = 0

Ta được

π 2Z

0

f (x) dx =

π 2Z

0sin x dx = 1

Chọn phương án D

Câu 17 Cho hàm sốf (x)có đạo hàm liên tục trên đoạn[0; 1] thỏa mãnf (x) = 6x2f (x3)+√ 6

3x + 1 Giá trị

2Z

0

(x + 1)f

x2



 2

0

− 2

2Z

0f

x2



dx = 6f (1) − 2f (0) − 4

1Z

f (x) = 6x2f (x3)+√ 3

3x + 1 ⇒

1Z

0

f (x) dx =

1Z

0

Å6x2f (x3) + √ 6

3x + 1

ã

dx =

1Z

06x2f (x3) dx+6

1Z

0

dx

√3x + 1 (1).Tính

0

f (t) dt = 2

1Z

1Z

0

3 dx

√3x + 1 =

1

3· 2√3x + 1

1

0

f (x) dx = 2

1Z

0

f (x) dx + 6 · 2

3 ⇒

1Z



dx = 6f (1) − 2f (0) − 4

1Z

0

f (u) du = 6 ·



−35



− 2 · 6 − 4 · (−4) = 2

5 Chọn phương án D

Câu 18 Cho hàm số f (x) liên tục trên R, và các tích phân

π 2Z

0

[f (x)]2dx = π

4,

π 2Z

0

sin x · f (x) dx = π

4 Biết rằng f (0) = 0, tính f

π3





=

√3

π3



= −1

π3



= −

√3

2 Lời giải.

sin x · f (x) dx = π

4 ⇔ − cos x · f (x)

... .Chọn phương án A

Câu Cho hàm số y = f (x) liên tục R\ {0; −1} thỏa mãn

2 Chọn phương án B

Câu Cho hàm số y =...



− · − · (−4) = 2

5 Chọn phương án D

Câu 18 Cho hàm số f (x) liên tục R, tích phân< /h3>

π 2Z

0...

0

= ln + 1

2 Chọn phương án C

Câu Cho hàm số f (x) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục đoạn [0; 2] Biết f (0) = và